第17講正多邊形和圓基礎(chǔ)課程講義例題練習(xí)含答案

正多邊形和圓一知識(shí)講解(基礎(chǔ))【學(xué)習(xí)目標(biāo)】.了解正多邊形和圓的有關(guān)概念及對(duì)稱性；.理解并掌握正多邊形半徑和邊長(zhǎng)、邊心距、中心角之間的關(guān)系，會(huì)應(yīng)用正多邊形和圓的有關(guān)知識(shí)畫(huà)正多邊形；.會(huì)進(jìn)行正多邊形的有關(guān)計(jì)算.【要點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、正多邊形的概念各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形.要點(diǎn)詮釋：判斷一個(gè)多邊形是否是正多邊形，必須滿足兩個(gè)條件：(1)各邊相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各邊都相等，矩形的各角都相等，但它們都不是正多邊形(正方形是正多邊形).知識(shí)點(diǎn)二、正多邊形的重要元素.正多邊形的外接圓和圓的內(nèi)接正多邊形正多邊形和圓的關(guān)系十分密切，只要把一個(gè)圓分成相等的一些弧，就可以作出這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓就是這個(gè)正多邊形的外接圓..正多邊形的有關(guān)概念(1)一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心.(2)正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑.(3)正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角.(4)正多邊形的中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距..正多邊形的有關(guān)計(jì)算C^-2Y180o(1)正n邊形每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是^——； ；360°(2)正n邊形每個(gè)中心角的度數(shù)是——；式360°(3)正n邊形每個(gè)外角的度數(shù)是——.建要點(diǎn)詮釋：要熟悉正多邊形的基本概念和基本圖形，將待解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形知識(shí)點(diǎn)三、正多邊形的性質(zhì).正多邊形都只有一個(gè)外接圓，圓有無(wú)數(shù)個(gè)內(nèi)接正多邊形.正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個(gè)全等的直角三角形..正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸的條數(shù)與它的邊數(shù)相同，每條對(duì)稱軸都通過(guò)正n邊形的中心；當(dāng)邊數(shù)是偶數(shù)時(shí)，它也是中心對(duì)稱圖形，它的中心就是對(duì)稱中心.邊數(shù)相同的正多邊形相似。它們周長(zhǎng)的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方..任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓要點(diǎn)詮釋：（1）各邊相等的圓的內(nèi)接多邊形是圓的內(nèi)接正多邊形；（2）各角相等的圓的外切多邊形是圓的外切正多邊形.知識(shí)點(diǎn)四、正多邊形的畫(huà)法1.用量角器等分圓由于在同圓中相等的圓心角所對(duì)的弧也相等，因此作相等的圓心角（即等分頂點(diǎn)在圓心的周角）可以等分圓；根據(jù)同圓中相等弧所對(duì)的弦相等，依次連接各分點(diǎn)就可畫(huà)出相應(yīng)的正n邊形.2.用尺規(guī)等分圓對(duì)于一些特殊的正n邊形，可以用圓規(guī)和直尺作圖.①正四、八邊形。在。O中，用尺規(guī)作兩條互相垂直的直徑就可把圓分成4等份，從而作出正四邊形。再逐次平分各邊所對(duì)的?。醋鱊AOB的平分線交“于E）就可作出正八邊形、正十六邊形等，邊數(shù)逐次倍增的正多邊形。②正六、三、十二邊形的作法。A通過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算可知，正六邊形的邊長(zhǎng)與其半徑相等，所以，在@中，任畫(huà)一條直徑AB,分別以A、B為圓心，以。O的半徑為半徑畫(huà)弧與。O相交于C、D和E、F,則A、C、E、B、F、D是。O的6等分點(diǎn)。顯然，A、E、F（或C、B、D）是。O的3等分點(diǎn)。同樣，在圖⑶中平分每條邊所對(duì)的弧，就可把。O12等分……。

要點(diǎn)詮釋：畫(huà)正n邊形的方法：（1）將一個(gè)圓n等份，（2）順次連結(jié)各等分點(diǎn).【典型例題】類型一、正多邊形的概念01.已知：如圖，四邊形ABCD是。O的內(nèi)接正方形，點(diǎn)P是劣弧上不同于點(diǎn)C的任意一點(diǎn)，則NBPC的度數(shù)是（ ）【答案】A.【解析】如圖，【解析】如圖，連接OB、OC,則NB0C=90°,根據(jù)圓周角定理，得：NBPc[nBOC=45°.故選A.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形的性質(zhì)和圓周角定理的應(yīng)用.舉一反三：【變式】如圖，。。是正方形ABCD的外接圓，點(diǎn)P在。O上，則NAPB等于（ ）C.55°【答案】連接OAA.30°B.45°D.60°C.55°【答案】連接OAA.30°B.45°D.60°OB.根據(jù)正方形的性質(zhì)，得NAOB=90°.再根據(jù)圓周角定理，得NAPB=45°..如圖1,A.60B.65°C.72D.75°.如圖1,A.60B.65°C.72D.75°故選B.△PQR是。O的內(nèi)接正三角形，四邊形ABCD是。O的內(nèi)接正方形，BC〃QR,則NAOQ二圖1 圖2【思路點(diǎn)撥】連接OD,根據(jù)題意求出NPOQ和NAOD的度數(shù)，利用平行關(guān)系求出NAOP度數(shù)，即可求出NAOQ的度數(shù).【答案】D.【解析】如圖2,連接OD,由題意可知NPOQ=12O°,NAOD=9O°,由BC〃RQ可知P為弧AD的中點(diǎn)，所以NAOP=45°,所以NAOQ=NPOQ-NAOP=12O°-45°=75°.故選D.【點(diǎn)評(píng)】解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是作出恰當(dāng)?shù)妮o助線(如正多邊形的半徑、邊心距、中心角等)，再利用正多邊形與圓有關(guān)性質(zhì)求解.類型二、正多邊形和圓的有關(guān)計(jì)算眇(?鞍山一模)如圖，點(diǎn)G,H分別是正六邊形ABCDEF的邊BC,CD上的點(diǎn)，且BG=CH,AG交BH于點(diǎn)P.(1)求證：AABG^△BCH；(2)求NAPH的度數(shù).BGC【答案與解析】(1)證明：:在正六邊形ABCDEF中，AB=BC,NABC=NC=120°,

rAB=BC在^ABG與^BCH中^ZABC=ZC=120",、BG=CH?.△ABGM△BCH；（2）解：由（1）知：△ABG^△BCH,?.NBAG=NHBC,「.NBPG=NABG=120°,?.NAPH=NBPG=120°.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正多邊形的性質(zhì)及相關(guān)計(jì)算，解題的關(guān)鍵是正確地利用正六邊形中相等的元素.（?道里區(qū)二模）若同一個(gè)圓的內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊長(zhǎng)分別記作a3,a4,a6,TOC\o"1-5"\h\z則a3：a4：%等之（ ） _ _A.1：.2：一3B.1：2：3 C.3：2：1 D. 3： 2：1【思路點(diǎn)撥】從中心向邊作垂線，構(gòu)建直角三角來(lái)解決.【答案】D.【解析】解：設(shè)圓的半徑是r,則多邊形的半徑是r, _如圖1,則內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)a3=；'3r,圖1 _如圖2,內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)是a4=；Wr如圖3,正六邊形的邊長(zhǎng)是a6=r圖3因而半徑相等的圓的內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊長(zhǎng)之比a3：a4：a6=*:巧：1.故選D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正多邊形和圓，正多邊形的計(jì)算一般是通過(guò)中心作邊的垂線，連接半徑，構(gòu)造直角三角形來(lái)求解.舉一反三：【變式】如圖是對(duì)稱中心為點(diǎn)。的正六邊形.如果用一個(gè)含30口角的直角三角板的角，借助點(diǎn)。（使角的頂點(diǎn)落在點(diǎn)O處），把這個(gè)正六邊形的面積內(nèi)等分，那么用的所有可能的值是 .【答案】根據(jù)圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)可知，只要把此正六邊形再化為正多邊形即可，即可知：360：30=12；360^60=6；360^90=4；360^120=3；360：180=2.故么n的所有可能的值是2,3,4,6,12.正多邊形和圓一鞏固練習(xí)（基礎(chǔ)）【鞏固練習(xí)】一、選擇題.一個(gè)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角為120°,則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為（）A.9 B.8 C.7 D.6.如圖所示，正六邊形螺帽的邊長(zhǎng)是2cm,這個(gè)扳手的開(kāi)口a的值應(yīng)是（）

第2題圖 _ 第5題圖.（?廣州）已知圓的半徑是馬巧，則該圓的內(nèi)接正六邊形的面積是（ ）_A.3\：3 B.9\：3 C.18'/3 D.36,.;3.正三角形、正方形、圓三者的周長(zhǎng)都等于l，它們的面積分別為SjS2、可，則（）.a.si=s2=s3 b.s3Vsi<S2 c.S1<S2<S3 d.s2Vsi<S3.中華人民共和3國(guó)國(guó)旗上的五角星的畫(huà)法通常是先把圓五等分，然后連接五個(gè)等分點(diǎn)而得到的（如圖所示）.五角星的每一個(gè)角的度數(shù)是（）.A.30° B.35° C.36° D.37°第6題圖 第7題圖 第9題圖.如圖所示，是由5把相同的折扇組成的“蝶戀花”（如圖①）和梅花圖案（如圖②）（圖中的折扇無(wú)重疊），則梅花圖案中的五角星的五個(gè)銳角均為（）A.36° B.42° C.45° D.48°二、填空題.如圖所示，平面上兩個(gè)正方形與正五邊形都有一條公共邊，則Na等于..要用圓形鐵片裁出邊長(zhǎng)為4的正方形鐵片，則選用的圓形鐵片的直徑最小是.如圖所示，等邊4ABC內(nèi)接于。O,AB=10cm,則。。的半徑是..（?鐵嶺）如圖，點(diǎn)O是正五邊形ABCDE的中心，則NBAO的度數(shù)為一.A.正六邊形的半徑是5cm,則邊長(zhǎng)a6二——，周長(zhǎng)々二——，邊心距%二——，面積.正六邊形的外接圓的半徑與內(nèi)切圓的半徑之比為 三、解答題.如圖所示，正AABC的外接圓的圓心為0,半徑為2,求^ABC的邊長(zhǎng)a,周長(zhǎng)P,邊心距r,面積S..如圖所示，半徑為R的圓繞周長(zhǎng)為10nR的正六邊形外邊作無(wú)滑動(dòng)滾轉(zhuǎn)，繞完正六邊形后，圓一共轉(zhuǎn)了多少圈？ C10KR一位同學(xué)的解答過(guò)程：圓的周長(zhǎng)為2nR,所以它繞完正六邊形后一共轉(zhuǎn)了圈，結(jié)果一共轉(zhuǎn)了2兀R5圈.你認(rèn)為這位同學(xué)的解答有無(wú)錯(cuò)誤？如有錯(cuò)誤，請(qǐng)更正..（秋?吳江市校級(jí)期中）如圖，已知等邊4ABC內(nèi)接于。0,BD為內(nèi)接正十二邊形的一邊，CD=5?/叫cm,求。0的半徑R.AA【答案與解析】一、選擇題.【答案】D；【解析】可求每個(gè)外角為60°,??.360：60=6或伙二2）x180°=120°.?.n=6.n.【答案】A；【解析】較長(zhǎng)對(duì)角線與較短對(duì)角線及一邊長(zhǎng)構(gòu)成一直角三角形，用勾股定理求解..【答案】C；

【解析】連接正六邊形的中心與各個(gè)頂點(diǎn)，得到六個(gè)等邊三角形，等邊三角形的邊長(zhǎng)是2?巧，高為3,因而等邊三角形的面積是3..凡???正六邊形的面積=18?2，故選C..【答案】C；【解析】當(dāng)周長(zhǎng)一定時(shí)，邊數(shù)越多的正多邊形其面積越大，當(dāng)它成為圓時(shí)面積最大..【答案】C；【解析】五角星的每一個(gè)角所對(duì)的弧為圓的5，二弧的度數(shù)為72°,因而每個(gè)角的度數(shù)為36°故選C..【答案】D.【解析】如圖③所示，正五邊形ABCDE的中心角為72°,各內(nèi)角為108°,故五角星五個(gè)銳角均為48二、填空題.【答案】720；【解析】a=360°—90°—90°—108°=72°..【答案】4V2；【解析】如圖所示，4ABC為等腰口△,AC=，；2AB=4V2..【答案】130^3cm；1 1s,、【解析】過(guò)O作ODLBC于D,連接OB,在Rt^BOD中，BD=-BC=-x10=5(cm).180°ZBOD= 二60BD<3 二10.OB210.【答案】54°；【解析】連接OB,則OB=OA,

.\ZBAO=ZABO,???點(diǎn)O是正五邊形ABCDE的中心,.\ZAOB=——=72-72°)=54°；5-72°)=54°；.\ZBAO=-(180°2故答案為：54°.11.【答案】a=5cm,P二30cm,r6cm-2J3cm2；12.【答案】2：，氫.【解析】設(shè)正六邊形的半徑是r,則外接圓的半徑r,內(nèi)切圓的半徑是正六邊形的邊心距，因而是零『，因而正六邊形的外接圓的半徑與內(nèi)切圓的半徑之比為2：?點(diǎn).三、解答題.【答案與解析】作ADLBC于D.?:4ABC是正三角形，???點(diǎn)O在AD上，a=BC=2CD,ZOCD=30°,在Rt^COD中，r=OD=O^OC=1,^2CD=JOC2—OD2=\22-12=<3,a=BC=2CD=2<3,P=3a=6<3.又<AD=OA+OD=2+1=3,...S=1BCAD=1x2<3x3=3<3,2 2Ja=2<3,P=6V;3,