7大學(xué)物理習(xí)題及綜合練習(xí)答案詳解

大學(xué)物理練習(xí)冊(cè)—真空中的靜電場(chǎng)大學(xué)物理練習(xí)冊(cè)—真空中的靜電場(chǎng)#GMm =0q2k2：.q2GMm=5.69義GMm =0q2k2：.q2GMm=5.69義1013cGMmqk2=5.69x1013C,Q=q+q=1.14x1014c12（2）q1 q2q1q2GMm

k，Mq2=mqq

2 12GMm=m k解得q2GmT二632x162cq1M2=5.15x1014C,...Q=q+q=5.21義1014cm 12庫侖定律7—1把總電荷電量為Q的同一種電荷分成兩部分，一部分均勻分布在地球上，另一部分均勻分布在月球上，使它們之間的庫侖力正好抵消萬有引力，已知地球的質(zhì)量M=5。98xl024kg,月球的質(zhì)量m=7.34xl022kg。（1）求Q的最小值；（2）如果電荷分配與質(zhì)量成正比，求Q的值。qqMm 1解：（1）設(shè)Q分成q1、q2兩部分，根據(jù)題意有k電=G--，其中k=贏-0GMm即Q=q+q= +q。求極值，令Q=0,得1-1 2qk227—2三個(gè)電量為-q的點(diǎn)電荷各放在邊長為l的等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，電荷Q（Q>0）放在三角形的重心上。為使每個(gè)負(fù)電荷受力為零，Q值應(yīng)為多大?解：Q到頂點(diǎn)的距離為廠=—lQ與一q的相互吸引力為F11qQ4ker解：Q到頂點(diǎn)的距離為廠=—lQ與一q的相互吸引力為F11qQ4ker20兩個(gè)一q間的相互排斥力為-ql-q據(jù)題意有2Fcos300=F2x cos300=4兀s12

01qQ 3-一絲，解得：Q=*q4犯r2 30電場(chǎng)強(qiáng)度7—3如圖7—3所示,有一長l的帶電細(xì)桿。（1）電荷均勻分布，線密度為+九，則桿上距原點(diǎn)x處的線元dx對(duì)P點(diǎn)的點(diǎn)電荷q0的電場(chǎng)力為何？q0受的總電場(chǎng)力為何？（2）若電荷線密度九=kx,k為正常數(shù)，求P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。解：（1）線元網(wǎng)所帶電量為dq=Xdx，它對(duì)q0的電場(chǎng)力為20「a-Px1q九dx 0 圖7-34ke(l+a-x)2 4ke(l+a-x)200q九qq九q0受的總電場(chǎng)力F=%0q九l—o——0(l+a-x)2 4kea(l+a)0q0>0時(shí),其方向水平向右;q0<0時(shí)，其方向水平向左(2)在％處取線元心，其上的電量dq=Xdx=kxdx，它在P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為dEPddEPdq4ke(l+a—x)201 kxdx4ke(l+a—x)20：.EPk：.EPk Jl xdx4ke0(l+a-x)2 4疫00la—+ln- )方向沿x軸正向。al+a7-4一半徑為R的絕緣半圓形細(xì)棒，其上半段均勻帶電量+q，下半段均勻帶電量一q，如圖7—4所示，求半圓中心處電場(chǎng)強(qiáng)度.解:建立如圖所示的坐標(biāo)系，由對(duì)稱性可知，+q和-q在O點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度沿x軸的分量之和為零。取長為dl的線元,其上所帶電量為y方向的分量dEy4keR2

0dqcos0=E=-y方向的分量dEy4keR2

0dqcos0=E=-2x2兀2￡R2o0f：cos0d0j=-??.dE=ErR方向如圖0qd0 cos02兀28R20q兀28R207—5一半徑為R的半球殼，均勻帶有電荷,電荷面密度為o,求球心處電場(chǎng)強(qiáng)度。解：沿半球面的對(duì)稱軸建立x軸，坐標(biāo)原點(diǎn)為球心O.在球面上取半徑為r、寬為dl的環(huán)帶，如圖，其面積為dS=2兀rdl=2兀r?Rd0，所帶電荷dq=odS=o?2兀r?Rd0dq在O處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為,dE=xdqoR xrd04垢0(x2+r2)32 280(x2+r2)32圖7-4?「r?「r=Rsin0,x=Rcos0，dE=-0—sin0cos0d0

2e0o孤因?yàn)榍蛎嫔纤协h(huán)帶在O處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度方向相同，，Eo孤因?yàn)榍蛎嫔纤协h(huán)帶在O處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度方向相同，，E=J228 00sin0cosOd0i=o i4807—6—無限大均勻帶電薄平板,面電荷密度為o，平板中部有一半徑為R的圓孔中心軸線上的場(chǎng)強(qiáng)分布。(提示:利用無窮大板和圓盤的電場(chǎng)及場(chǎng)強(qiáng)疊加原理)解：利用補(bǔ)償法，將圓孔看作由等量的正、負(fù)電荷重疊而成，即等效為一個(gè)完整的帶電無窮大平板和一個(gè)電荷面密度相反的圓盤疊加而成.如圖7-6所示。求圓孔無窮大平板的電場(chǎng)為Ei二營0二O-X一圓盤激發(fā)的電場(chǎng)為E=--(1-. )e,2 2e %x2+R2n其中e為平板外法線的單位矢量。n二O-X一圓盤激發(fā)的電場(chǎng)為E=--(1-. )e,2 2e %x2+R2n其中e為平板外法線的單位矢量。n二二二oX一圓孔中心軸線上的電場(chǎng)強(qiáng)度為E=E+E=-—— e1 2 280Xx2+R2n電通量7—7電場(chǎng)強(qiáng)度為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)，其方向與半徑為R的半球面的對(duì)稱軸平行，如圖7-7所示，求通過該半球面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量。解:作半徑為R的平面S'與半球面S構(gòu)成一個(gè)閉合曲面，由于該閉合曲面內(nèi)無電荷，由高斯定理f fE,dS=JE,dS+JE?dS=0S+S':.O=JE.dSSS=」E.dSS'S'=-E,兀R2cos兀=兀R2E7—8一邊長為的立方體置于直角坐標(biāo)系中，如圖7—8所示?，F(xiàn)空間中有一非均勻電場(chǎng)E=(E+kx)i+EjE1、E2為常量，求電場(chǎng)對(duì)立方體各表面及整個(gè)立方體表面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量。ABGFCDEOAOEFBCDG...①OABCDEFG[(E+kx)i+Ej]-(dSj)=ES=12 2[(E+kx)i+Ej]?(-dSj)=-Ea2

1 2 2(Ei+Ej)?(-dSi)=-Ea2

12 1[(E+ka)i+Ej]-(dSi)=(E+ka)a212 1整個(gè)立方體表面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量0=Zo=ka3高斯定理其外面各7—9有兩個(gè)同心的均勻帶電球面，內(nèi)外半徑分別為R1和R2，E知外球面的電荷面密度為+o其外面各處的電場(chǎng)強(qiáng)度都是零。試求：(1)內(nèi)球面上的電荷面密度；(2)外球面以內(nèi)空間的電場(chǎng)分布.解:作一半徑為r的同心球面為高斯面。設(shè)內(nèi)球面上的電荷面密度為o'.⑴r>R2處：因?yàn)橥馇蛎嫱獾碾妶?chǎng)強(qiáng)度處處為零，由高斯定理有1一.一一 RE?dS==—(o?4兀R2+o'4兀R2)=0，得o'=-(rE?dS=(2)由高斯定理R<r<R1210'-4kR200o'-4兀R21o'-4兀R2 R、 R2 R20，E= =—（優(yōu)）2o?~」=一t—方向沿徑向反向24犯r2 R￡r2 ￡r20 1 0 07-10一對(duì)無限長的均勻帶電共軸直圓筒，內(nèi)外半徑分別為R1和R2,沿軸線方向單位長度的電量分別為％和%.（1）求各區(qū)域內(nèi)的場(chǎng)強(qiáng)分布；（2）若％=—%,情況如何？畫出此情形下的E?r的關(guān)系曲線。解：（1）作一半徑為r、長為h的共軸圓柱面為高斯面，由高斯定理有R<r<RjE-dS=—九h1 2S2 ￡ 102K￡r02k￡r—^ —^ 八 —— ? ■（2）入=一九時(shí)，E =0,E = 1—r, E =0 : :1 2 1 2 2Ksr3 . ;0 1 1 OR R r1 27-11設(shè)半徑為R的球體，電荷體密度p=kr（r<R）,其中k為常量,r為距球心的距離。求電場(chǎng)分布，并畫出E?r的關(guān)系曲線。解：作一半徑為r的同心球面為高斯面.根據(jù)高斯定理1 1J-ipdV= kr-4兀r2dr=￡001—兀kr4￡00kr2E= r14￡0?dS=—jRkr-4兀r2dr=2 ￡001—兀kR4￡0「，— 1_E-4兀r2=一兀kR42 ￡04sr207-12一厚度為d=0。5cm的無限大平板，均勻帶電，電荷體密度p=1。0x10-4C/m3,求（1）平板內(nèi)外的電場(chǎng)分布；（2）討論平板中央以及平板內(nèi)與其表面相距0。1cm處的電場(chǎng)強(qiáng)度。解：（1）設(shè)中心平面為S0.根據(jù)對(duì)稱性，在距S0處為％處對(duì)稱地取兩面積均為AS的底面作一圓柱形高斯面，其側(cè)面與板面垂直（如圖所示），即側(cè)面的電通量為零。：.E00-2P-（2）平板中央x=0，，E=00平板內(nèi)與表面相距0。1cm處，x=0.15cm廠 Px 1.0x10-4x1.5x10-3...E=—= =1.69x104v/m8.85x10-12xxJI11AsS0dI04--nr33PRrr一OaO04--nr33PRrr一OaO0大球二P一7-13一個(gè)電荷體密度為p（常量）的球體.（1）證明球內(nèi)距球心r處一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為E=5r；（2）若在0-P_ _球內(nèi)挖去一個(gè)小球，如圖7—13所示，證明小球空腔內(nèi)的電場(chǎng)是勻強(qiáng)電場(chǎng)E=-^-a，式中a是球心3e到空腔中心的距離矢量。證：（1）作與球體同心的球面為高斯面，根據(jù)高斯定理JE-dS=—JPdVS 8V0P _P一?二E=r矢量式E=r得證3e 3800（2）填充法：設(shè)在空腔中填充電荷密度分別為P和一P的電荷球體，形成電荷密度分別為P和一P的大球體和小球體。對(duì)腔內(nèi)任一點(diǎn)P（如圖），由（1）的結(jié)果有小球E1P(r-r')二得證靜電場(chǎng)的環(huán)路定理7-14若電場(chǎng)中某一部分電場(chǎng)線的形狀是以O(shè)點(diǎn)為中心的同心圓弧.證明該部分上各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度都應(yīng)與該點(diǎn)離O點(diǎn)的距離成反比，即E1r1=E21P(r-r')二得證靜電場(chǎng)的環(huán)路定理7-14若電場(chǎng)中某一部分電場(chǎng)線的形狀是以O(shè)點(diǎn)為中心的同心圓弧.證明該部分上各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度都應(yīng)與該點(diǎn)離O點(diǎn)的距離成反比，即E1r1=E2r2。證：作一回路abcd，如圖。根據(jù)靜電場(chǎng)環(huán)路定理E-dl=El-Elbcda即El=El11 22,/l=r0l=r0，..Er=Er得證1 1 2 2 11 22bc0r11ra7-15證明：在靜電場(chǎng)中，凡電場(chǎng)線都是平行直線的地方,電場(chǎng)強(qiáng)度的大小必定處處相等。（提示:利用環(huán)路定理和高斯定理）證：設(shè)電場(chǎng)方向水平向右。在一電場(chǎng)線上任取兩點(diǎn)1和2,作兩底面足夠小的圓柱面，如圖。由高斯定理E?dS=E,AS-E?AS=01EE?dS=E,AS-E?AS=02S AS ASE=E即同一電場(chǎng)線上任意兩點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度相等。作一矩形回路abed,其中ab、cd與電場(chǎng)線垂直,bc、da與電場(chǎng)線平行，即有E=E，E=Eadbc由靜電場(chǎng)環(huán)路定理1E-E=E，E=Eadbc由靜電場(chǎng)環(huán)路定理1E-d—=1ab=1bcJbcJdar r—— —— ——E-dl+JE-dl+JE-dlcd da——E.dl=EAl-EAl=0E將一電外力所做的功A外=將一電外力所做的功A外=Q(U-U)=QU=-<3qQ2脂a03qq2脂a0E=E 即不同電場(chǎng)線上任意兩點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度相等.所以命題成立.ba電場(chǎng)力的功和電勢(shì)能7—16邊長為。的正三角形，三個(gè)頂點(diǎn)上各放置q，—q和-2q的點(diǎn)電荷,求此三角形重心上的電勢(shì)。量為+Q的點(diǎn)電荷由無限遠(yuǎn)處移到重心上，外力做功多少？解：頂點(diǎn)到重心的距離”三a，重心的電勢(shì)為U=$+7r+U7-17如圖7—17所示，三個(gè)點(diǎn)電荷Q1、Q2、Q3沿一直線等距放置，且Q尸Q3=Q，其中任一點(diǎn)電荷所受合力均為零。求Q1、Q3固定情況下，（1）Q2在O點(diǎn)時(shí)的電勢(shì)能;（2）將Q2從O點(diǎn)推到無窮遠(yuǎn)處，外力所做的功。解：（1）Q1和Q3在解：（1）Q1和Q3在O點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)為U0Q

1—

4ked

0+Q34ked0Q2ked0Q1

-0-Q3

-Gr-因?yàn)镼1所受合力為零，即QQ圖7-174ked2 4ke(2d)2=0，11解得11解得Q2=-4Q3==-4Q,Q2在O點(diǎn)的電勢(shì)能1W=QU=--QU20 4 0（2）將Q2（2）將Q2從O點(diǎn)推到無窮遠(yuǎn)處,外力所做的功A2外=Q(U-U)=-QU20<3qQ8脂a07-18一半徑為R的無限長帶電棒，其內(nèi)部的電荷均勻分布,電荷體密度為p。（1）求電場(chǎng)分布；（2）如圖7-18所示（沿棒軸向俯視），若點(diǎn)電荷q0由。點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)，則電場(chǎng)力做功為多少?解：（1）取長為l、半徑為「且與帶電棒同軸的圓柱面為高斯面。由高斯定理r<RJE?dSS111——JpdV——8v 800Jp2兀rldrVr<RJE?dSS111——JpdV——8v 800Jp2兀rldrV即E?2兀rl―11一pW21得80E_——_1 280圖7-181 r>RE-2兀rl=—p兀R21得E2 8 20（2）半徑相同處的電勢(shì)相等pR2 r28r0Aab=qJbE.dI=qfRE-dl+qJbE.dI=q卜-P^dr+qJrp”?dr

0a 0a1 0R2 0.28° 280rqp qpR21r—0 (R2—r2)+—0 ln―48 1 28R00電勢(shì)7—19題7-18中，若取棒的表面為零電勢(shì)，求空間的電勢(shì)分布。解：取棒表面為零電勢(shì)，即U0Rr>R時(shí)，U=JRE-dI=J史dr=￡(R2—r2)1r1 28 48r0 0時(shí),U=JRE.dl=-J空dr=吧InR\o"CurrentDocument"2r2 28r 28 rR0 07—20如圖7—20所示，電荷面密度分別為+o和一o的兩塊“無限大”均勻帶電平行平面，分別與％軸相交于％1=a和％廣-a兩點(diǎn)。設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)O處電勢(shì)為零，求空間的電勢(shì)分布.^解： x<—a：E=0；—a<x<a：e=—i；x>a：e=0o1 2 8 30o——a80—J0E2x?dI=」E+o-o圖7-20—J0E?dl—J0E2?dl--J—dl-800o——a807—21兩根半徑分別為R1=3O0x10-2m和R2=0。10m的長直同軸圓柱面,帶有等量異號(hào)的電荷，兩者的電勢(shì)差為450V.求圓柱面單位長度上所帶電荷九。入解：由高斯定理可求得兩柱面間的電場(chǎng)強(qiáng)度E=- 2ker:.U12二:.U12二450V，解得 入=2.1x10-8c-m-i2ks r 2ks RR0 0 117—22如圖7-22所示的帶電細(xì)棒，電荷線密度為九，其中BCD為半徑為R的半圓，AB=DE=R，求（1）半圓上的電荷在半圓中心O處產(chǎn)生的電勢(shì)；（2）直細(xì)棒AB和DE在半圓中心O處產(chǎn)生的電勢(shì)；（3）O處的總電勢(shì)。解：（1）取電荷元d解：（1）取電荷元dq=Xdl，九兀R 九1 4KsR4兀eR4e（2）在AB上距O點(diǎn)為r處取電荷元dq=入dl???U2???U2_Jdq_于九dr4犯r 4ker0R0一一 人…ln2。同理DE在O點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)U_-——ln234ke0=U=U1+U2+U（兀+2ln2）7—23半徑分別為R1和R2的兩個(gè)同心球面，分別帶有電荷q1和q2.求：（1）各區(qū)域電勢(shì)分布,并畫出分布曲線；（2）兩球面間電勢(shì)差；（3）若R[=10cm、R2=30cm、q1=10-8C>q2=1.5x10-8C,離球心20cm和50cm處的電勢(shì)為多少？