等差數(shù)列、等比數(shù)列（解讀）-2020年高考數(shù)學(xué)（文）二輪復(fù)習(xí)學(xué)與練

專題9等差數(shù)列、等比數(shù)列

考情解讀

高考側(cè)重于考查等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)斯，前〃項(xiàng)和s,的基本運(yùn)算，另外等差、等比數(shù)列的性質(zhì)也是

高考的熱點(diǎn).備考時(shí)應(yīng)切實(shí)文解等差、等比數(shù)列的概念，加強(qiáng)五個(gè)量的基本運(yùn)算，強(qiáng)化性質(zhì)的應(yīng)用意識(shí).

重點(diǎn)知識(shí)梳理

1.等差數(shù)列

(1)定義式：a〃+i-a〃=d(〃eN*,d為常數(shù))；

(2)通項(xiàng)公式：為=0+(〃一10；

幾〃1+斯―――1d

(3)前〃項(xiàng)和公式：Sn=2=〃。1+2;

(4)性質(zhì)：①金=am+(n—m)d(n、m￡N)；

②若根+〃=p+q(機(jī)、〃、p、qeN,)，則。加+小=%+為.

2.等比數(shù)列

斯+1

(1)定義式：~=^(n￡N,4為非零常數(shù))；

(2)通項(xiàng)公式：a,,=alq"'；

na\q=l,

?1一.

{\-q療L

(4)性質(zhì)：①斯=?""'(〃，，"GN")；

②若〃?+"=p+q,則。,"斯=%的(p、q、m、/?GN*).

3.復(fù)習(xí)數(shù)列專題要把握等差、等比數(shù)列兩個(gè)定義，牢記通項(xiàng)、前〃項(xiàng)和四組公式，活用等差、等比數(shù)

列的性質(zhì)，明確數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系，巧妙利用斯與S.的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，細(xì)辨應(yīng)用問題中的條件與結(jié)論是通

項(xiàng)還是前"項(xiàng)和，集中突破數(shù)列求和的五種方法(公式法、倒序相加法、錯(cuò)位相減法、分組求和法、裂項(xiàng)相

消法).

【誤區(qū)警示】

1.應(yīng)用斯與S,的關(guān)系，等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式時(shí)，注意分類討論.

2.等差、等比數(shù)列的性質(zhì)可類比掌握.注意不要用混.

3.討論等差數(shù)列前〃項(xiàng)和的最值時(shí)，不要忽視〃為整數(shù)的條件和斯=0的情形.

4.等比數(shù)列｛斯｝中，公比肝0,斯#）.

高頻考點(diǎn)突破

高頻考點(diǎn)一等差數(shù)列的運(yùn)算

例1、（2018年江蘇卷）已知集合人=｛x|x=2nT,n€N*｝，B=｛x|x=2n,n6N*｝?將AUB的所有元素從

小到大依次排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)列⑶上記?為數(shù)列｛/｝的前〃項(xiàng)和，則使得S“>12aB+i成立的”的最小值為

【答案】27

[解析】設(shè)/=2k,則Sn=[(2xl-l)+(2x2-1)+-+(2-2k-1-l)]+[2+22+-+2k]

k-1k-1k

2(l+2x2-l)2(l-2)2k_2k+i

21-2

S>12a2kk+1kk-12k-1k-15

由nn+1得2?+2-2>l2(2+l),(2)-20(2)-14>0,2>2,k>6

所以只需研究<26是否有滿足條件的解，

25+1

此時(shí)Sn=[(2X1-1)+(2x2-l)+“?+(2m-l)]+[2+22+“,+25]=m+2-2-an+1=2m+1,m為等差

數(shù)列項(xiàng)數(shù)，且m>16.

由m?+2'+1-2>12(2m+l),m2-24m+50>0,m>22,n=m+5>27

得滿足條件的戰(zhàn)小值為27.

【變式探究】(2017.高考全國卷I)記S“為等差數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和.若見+的=24,&=48,則｛斯｝

的公差為()

A.1B.2

C.4D.8

解析：通解：選C.設(shè)｛斯｝的公差為d,則

由+3d+。]+4d=24,

。4+〃5=24,

由限=48,得6x5

60+2d=48,

解得d=4.故選C.

優(yōu)解：由56—48得〃4+〃3=16,

(。4+〃5)一(〃4+々3)=8,

???d=4,故選C.

【變式探究】(1)已知等差數(shù)列｛為｝前9項(xiàng)的和為27,0o=8,則/oo=()

A.100B.99

C.98D.97

解析：通解：???｛〃〃｝是等差數(shù)列，設(shè)其公差為4

9x8

Sg=9a\+2d=21tzi=-L

由題意得'

d=\,

〃io=m+9d=8

，moo=ai+99d=-l+99xl=98,選C.

優(yōu)解：設(shè)等差數(shù)列｛恁｝的公差為d,因?yàn)椋梗秊榈炔顢?shù)列，且S9=9的=27,所以的=3.又勾0=8,解得

5d=〃]()—〃5=5,所以d=l,所以000=。5+95〃=98,選C.

答案：C

(2)設(shè)S“是等差數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和，若0+的+。5=3,則§5=()

A.5B.7

C.9D.11

解析：通解：:s+。3+〃5=。1+31+2d)+3i+4")=3〃]+6d=3,

；.0+2d=l,

5x4

.*.S5=5ai+2d=5(a\+2d)=5,故選A.

優(yōu)解：,.,4]+〃5=2的，.二〃]+〃3+〃5=3。3=3,

5〃|—一5

:?S$=2=5的=5,故選A.

答案：A

【方法規(guī)律】

1.通解是尋求0與d的關(guān)系，然后用公式求和.優(yōu)解法是利用等差中項(xiàng)性質(zhì)轉(zhuǎn)化求和公式.

nn~1

2.在等差數(shù)列中，當(dāng)已知和d時(shí)，用Sft=nai+2d求和.當(dāng)已知a\和?！ɑ蛘?+如=生

0+斯77—+劣-]一

+an-\形式時(shí),常用Sn=2=2求解.

【變式探究】若數(shù)列｛斯｝滿足￡—A=d(“eN*,”為常數(shù))，則稱數(shù)列｛%｝為調(diào)和數(shù)列，已知數(shù)列｛2｝為

調(diào)和數(shù)列，且即+忿+…+X20=200,則45+xi6=()

A.10B.20

C.30D.40

解析：選B「.?數(shù)列｛!｝為調(diào)和數(shù)列，二±一七=x“+|—x“=d,...｛/｝是等差數(shù)列，

X“十|Xn

2（）+120

VXj+X2+...+X2O=200=2，Axj+%2O=2O,又??3]+匯20=的+為6，...犬5+國6=20.

高頻考點(diǎn)二等比數(shù)列的運(yùn)算

例2.（2019?高考全國卷HI）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛斯｝的前4項(xiàng)和為15,且的=3俏+4的，則

。3=（）

A.16B.8

C.4D.2

67|>0,夕>0,

解析：由題意知‘?i+?^+W+ai</=15，

,a\q=3。聞-+4。|,

眄=1，

解得jq=2,.?.43=。q-=4.故選C.

答案：C

【舉一反三】（2018?高考全國卷I）記S”為數(shù)列｛”,｝的前〃項(xiàng)和.若S,=2斯+1,則$6=.

解析：本題主要考查由斯與S,,的關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式.

法一：由S"=2a”+1,得。1=2。1+1,所以0=—1.當(dāng)定2時(shí),由知=5"—Si=2?！?1一（2斯一1+1）,

得?！?2%-1.

G（1-成）_（l_2b

，｛斯｝是首項(xiàng)為一1，公比為2的等比數(shù)列.所以$6=\—q=1—2=-63.

法二:由S"=2”“+l,得-=25|+1,所以$=—1.當(dāng)它2時(shí)，由S,=2a“+1,得S“=2（SLS“T）+1，

即S,=2S“?-1，所以&-1=2（S“?一1）.又Si—1=-2,所以｛￡一1｝是首項(xiàng)為-2,公比為2的等比數(shù)列.所

]

以S”一1——2x2"——2".所以Sn—1—2".所以S（,—1—2，=—63.

答案：一63

【變式探究】【2017江蘇，9]等比數(shù)列｛”“｝的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，其前〃項(xiàng)的和為S”,已知53=，$6=竽，

貝IJ%

【答案】32

【解析】當(dāng)夕=1時(shí)，顯然不符合題意;

4(1一°)=7

1

\-q4則q=；x2;=32.

當(dāng)時(shí),6、，解得

q(l-力=63

4=2

1-(74

【變式探究】（1）（2016?高考全國卷I）設(shè)等比數(shù)列｛斯｝滿足卬+的=10,念+四=5,則…斯的最大

值為.

解析：通解：求。1。2...如關(guān)于〃的表達(dá)式

做+如m+的q5

。|+。3=0+〃3=10，:?q=?

?,.ai+ai?2=10,.?必=8

2

〃——1p\nn~\一〃~+7〃

?141?〃2?。3…小尸cl\?〃2=8"x（2j2=22-

—〃2+7〃

當(dāng)〃=3或〃=4時(shí)，2最大為6.

.?.0。2…斯的最大值為26=64

優(yōu)解：利用數(shù)列的單調(diào)變化

設(shè)｛斯｝的公比為％由41+。3=10，。2+44=5得0=8,4=5，則。2=4,43=2,。4=1，?5=2>所以

a\a2...an<a]a2a3a4=64.

答案：64

1

（2）已知等比數(shù)列｛斯｝滿足〃1=Z，。3。5=4（〃4-1），則《2=（）

A2

?

11

C-B.-

2D.8

解析：通解：V?3=^r^~?田=。1，/，

:.〃褐6=4（0./一]）

1

Vai=4，

1

???q6—16夕3+64=0,:.《=8,<*.<7=2,/.a2=a\-q=2-

優(yōu)解：設(shè)｛斯｝的公比為心由等比數(shù)列的性質(zhì)

可知〃3〃5=〃；，，泊=4（田一1），即（出-2）2=0,

得44=2,

a%2

則/=〃]=1=8,得q=2,

4

I1

則“2=04=4x2=5，故選C.

答案：C

【方法規(guī)律】

1.解題關(guān)鍵：抓住項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系及項(xiàng)的序號(hào)之間的關(guān)系，從這些特點(diǎn)入手選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)進(jìn)行求

解.

2.運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)：數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，具有函數(shù)的一些性質(zhì)，如單調(diào)性、周期性等，可利用函數(shù)

的性質(zhì)解題.

【變式探究】等比數(shù)列｛斯｝中，44=2,恁=5,則數(shù)列｛1g斯｝的前8項(xiàng)和等于()

A.6B.5

C.4D.3

解析:選C.由題意知4g=10，：?數(shù)列｛1g。”｝的前8項(xiàng)和等于lgOl+lg七+…+

4

lga8-lg(ai-a2-...-as)—lg(a4-as)=4lg(a4-a5)—41g10=4.故選C.

高頻考點(diǎn)三數(shù)列遞推關(guān)系的應(yīng)用

例3、(2018年天津卷)設(shè)｛斯｝是等差數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為S,(〃?N*)；｛乩｝是等比數(shù)列，公比大于0,

其前"項(xiàng)和為T"(n￡N*).已知11=1,匕3=1+2,仇=的+“5，85=44+2。6.

(I)求S,和Tn；

(II)若&+(Ti+4+…+4)=an+4bn,求正整數(shù)〃的值.

n

【答案】(I)Sn,鮑Tn=2-1;(11)4.

【解析】(I)設(shè)等比數(shù)列｛1｝的公比為g,由,=1,&=岳+2,可得q2-q-2=0?

n

因?yàn)閝>0,可得q=2,故b“=2nT.所以，Tn=lZ^=2-l-

設(shè)等差數(shù)列｛aj的公差為d.由b4=as+a5,可得為+3d=4.由65=24+225,可得3電+13d=16,從而

a]=l,d=l,故an=n,所以，為:“11；1).

(H)由(I),有丁1+12+…+Tn=Qi+23+…+==

1—2

n+1n+1

由工+(、+T2+…+Tn)=%+4bli可得^+2-n-2=n+2,

整理得n2-3n-4=0解得n=T(舍)，或n=4.所以〃的值為4.

1

【變式探究】已知｛斯｝是公差為3的等差數(shù)列,數(shù)列｛兒｝滿足"=1,anbn+i+bn+i=nbn.

(1)求｛斯｝的通項(xiàng)公式.

(2)求｛6“)的前〃項(xiàng)和.

解析：(1)因?yàn)?+|+8,+1=“兒，

所以4|歷十歷=",解得0=2

又｛%｝是公差為3的等差數(shù)列,所以a?=ai+(n—l)J=2+(rt—1)x3=3n—1,即通項(xiàng)公式為斯=3"-1.

11

(2)由a,Q"+i+瓦+1=〃/得仇.=]，

1

所以數(shù)列｛九｝是首項(xiàng)仇=1,公比q=Q的等比數(shù)列

1-(1)

所以數(shù)列｛加｝的前n項(xiàng)和為S〃=1

1-3

31

=2-2-3'-n.

【方法規(guī)律】判斷和證明數(shù)列是等差(比)數(shù)列的方法

1.定義法：對(duì)于〃21的任意自然數(shù)，驗(yàn)證斯+1-?！?或7J為與正整數(shù)〃無關(guān)的一常數(shù).

2.中項(xiàng)公式法：

(1)若2處=加]+%+](〃￡N*,e2),則｛斯｝為等差數(shù)列；

⑵若片=0LIS+I(〃￡N*,n>2),則｛斯｝為等比數(shù)列.

【變式探究】已知等差數(shù)列｛斯｝的公差存0,｛知｝的部分項(xiàng)成1，成2，…,心〃構(gòu)成等比數(shù)列，若俗=1,

k2=5,依=17,求女

解：設(shè)等比數(shù)列〃舟，成2,…，。公的公比為q，

因?yàn)樨?1,左2=5,攵3=17,

所以〃[〃]7=歷，

即3(山+16t/)=(〃]+4")\化簡得40=2』.

。1+4d2d+4d

乂存0,得ai=2d,所以4=°1=a\=2d=3.

一方面，〃〃作為等差數(shù)列｛斯｝的第心項(xiàng)，有以〃=s+(公一l)d=24+(公-l)d=(E+l)d,

另一方面，成,作為等比數(shù)列的第八項(xiàng)，有端=〃x"T=ar3"」=2d3"T,

所以出+1)4=2/3"?

又存0,所以公=2X3”-1.

真題感悟

112019年高考全國III卷文數(shù)】已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛4｝的前4項(xiàng)和為15,且%=+4”,

則％=

A.16B.8

C.4D.2

【答案】C

4+二15

【解析】設(shè)正數(shù)的等比數(shù)列｛6｝的公比為4,則〈

=3%q2+4q

4=1，->

解得《，...%=44=4,故選C.

匕=2

2.【2019年高考浙江卷】設(shè)a,bGR,數(shù)列｛“”｝滿足〃i=a,an+\-a?+h,neN*>則

A.當(dāng)〃=1,am〉10B.當(dāng)〃=!，4（）〉10

24

C.當(dāng)力=-2,4O>1OD.當(dāng)。=-4,qo>lO

【答案】A

［解析】①當(dāng)b=0時(shí)，取。=0,則an=0,〃wN*.

②當(dāng)匕<0時(shí)，令％=即*2一x+〃=o

則該方程4=1一4人>0,即必存在鼻，使得%一/+。=0,

則一定存在q=a=x（）,使得an+l-a；+b—對(duì)任意〃eN*成立,

解方程a2-a+〃=0，得。=丑―i——

2

當(dāng)1+"―46勺0時(shí),即〃「90時(shí)，總存在。=112匠亞，使得q=o2=...=qo<10,

22

故C、D兩項(xiàng)均不正確.

③當(dāng)。>0時(shí)，a2=af+b>b.

則q=a^+b>b2

4—ag+b..f^h~++h.

2-2

1\_11171

>1-1+

4--_+----

2722162

-

/121H

4>++=>2

-2-

/4

192-

>22+=

2-2-

921

%>83-O

2-2-4

2

1

2

4=+>O

O-2

11\21n

力

當(dāng)A=--U--

4-44742

+-=-,以此類推,

42

所以4。=片+；＜出

故B項(xiàng)不正確.

故本題正確答案為A.

3

3.[2019年高考全國I卷文數(shù)】記S,為等比數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和.若4=1,S3=~,則54=

【答案】|

31

【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為4,由已知53=4+44+4才=1+4+才=^，即如+4+^=。.

解得4=-g，

i-(-j)4

q(l-心_5

所以S4

"qi-(一g)8

4.【2019年高考全國III卷文數(shù)】記S“為等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，若%=5,%=13,則

【答案】100

【解析】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為止根據(jù)題意可得

%=q+2d=5q=1

,X，1C，得Lc,

a7=al+6d=13[d=2

[f)x9inxg

???5I0=10?1+-y-6/=10xl+—x2=100.

5.【2019年高考江蘇卷】己知數(shù)列eN*)是等差數(shù)列，S“是其前〃項(xiàng)和.若4為+/=0,Sg=27,

則58的值是.

【答案】16

02a$+/=(q+d)(q+4d)+(q+7d)=0

【解析】由題意可得：\9x8，

S9=9a[+^--d=27

4=一5八8x7入,

解得：<,則§8=8。]4-------d——40+28x2=16.

d=22

6.【2019年高考全國I卷文數(shù)】記S”為等差數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和，已知S9=-"5.

(I)若的=4,求｛為｝的通項(xiàng)公式;

(II)若0>0,求使得Sa斯的n的取值范圍.

【答案】(I)??=-2n+10；(II)1</?<10(/1eN*).

【解析】(I)設(shè)｛。,,｝的公差為止

由S9=一％得q+4d=0.

住sl=4得4+2d=4.

于是6=8,d=—2.

因此｛凡｝的通項(xiàng)公式為4=10—2”.

（II）由（I）得4=-4d,故％-5）d,S“=X"29）-.

由4>0知d<0,故S.2a”等價(jià)于"2_]山+]°,,°解得仁心io.

所以〃的取值范圍是｛n|l</i<10,/ieN,｝.

7.【2019年高考全國H卷文數(shù)】已知｛4｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，q=2,%=2。2+16.

（I）求｛4｝的通項(xiàng)公式；

（II）設(shè)〃=log?an,求數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和.

【答案】（D^=22,,_|；（II）S“=〃2.

【解析】⑴設(shè)應(yīng)｝的公比為g,由題設(shè)得

2q2=4q+16,即/-2q-8=0.

解得4=-2（舍去）或q=4.

因此｛凡｝的通項(xiàng)公式為凡=2x4"T=2?"T.

（ID由（I）得a=（2〃-l）log22=2"-l,因此數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和為1+3++2n-l=n2-

8.【2019年高考北京卷文數(shù)】設(shè)｛斯｝是等差數(shù)列，-10,且4+10,的+8,3+6成等比數(shù)列.

（I）求｛斯｝的通項(xiàng)公式；

（II）記｛斯｝的前〃項(xiàng)和為S”求S,的最小值.

【答案】（I）4=2“-12；（II）當(dāng)〃=5或者〃=6時(shí)，5“取到最小值-30.

【解析】（I）設(shè)｛凡｝的公差為d.

因?yàn)?=-10,

所以a,=-10+t/,q—10+2￡Z,c?4=—10+3（7.

因?yàn)?+10,q+8,4+6成等比數(shù)列，

所以3+8）2=3+10）（4+6）.

所以（—2+2d）~=d（—4+3d）.

解得d=2.

所以a“=4+(/?—1)d—2n—12.

(II)由(I)知，an=2/7-12.

所以，當(dāng)“27時(shí)，見>0；當(dāng)〃46時(shí)，an<Q.

所以，工的最小值為&=一30.

9.【2019年高考天津卷文數(shù)】設(shè)｛《,｝是等差數(shù)列，｛包｝是等比數(shù)列，公比大于0,已知

q=b\=3,a==4a,+3.

(I)求｛%｝和｛d｝的通項(xiàng)公式；

1,〃為奇數(shù)，

(II)設(shè)數(shù)列｛c,J滿足c“=〃為偶數(shù),求qq+/G++%夕2”(〃N*).

、2

【答案】(I)%=3〃，2=3"；(II)(2〃_l)3；+6〃2+9(〃eN*)

xxf3q=3+2d,

【解析】(I)設(shè)等差數(shù)列｛(4｝的公差為d，等比數(shù)列出(｝的公比為。.依題意，得必；2T5+41解

①=3,

得，故=3+3(〃-1)=3"，2=3x3〃—=3".

<7=3,

所以，｛q｝的通項(xiàng)公式為?！?3〃，｛2｝的通項(xiàng)公式為勿=3".

(II)年1+02。2++a2nC2n

=(“+%+4++%1)+(44+。也+&4++/*“)

=〃x3+“(l)x6+(6X3'+12X32+18X33++6"X3")

=3n2+6(lx3'+2x32++鹿x3").

記(=1x31+2x32++〃x3",①

則34=1x32+2x33++〃X3“M,②

②-①得，-―心-照+〃

(2n-l)3n+1+3

所以，ac+ac++。2"。2”=3〃2+6(=3〃2+3x

}}222

(2n-l)3n+2+6n2+9

=--------2--------(z〃eN)-

10.【2019年高考江蘇卷】定義首項(xiàng)為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M—數(shù)列”.

(I)已知等比數(shù)列｛a“｝(〃eN*)滿足：4%=%，％—々4+44=。，求證:數(shù)列｛““｝為"M—數(shù)列”;

122

(II)已知數(shù)歹U｛b〃｝(〃￡N*)滿足：4=1,丁=丁一7一,其中S?為數(shù)列｛/?〃｝的前〃項(xiàng)和.

①求數(shù)列｛/%｝的通項(xiàng)公式；

②設(shè)，〃為正整數(shù)，若存在“M—數(shù)列”｛c“｝(〃eN*),對(duì)任意正整數(shù)k,當(dāng)公機(jī)時(shí)，都有Q領(lǐng)口G+1成

立，求，〃的最大值.

【答案】(I)見解析；(II)①兒=〃(〃eN)；②5.

【解析】解：(1)設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的公比為g,所以0和,#0.

'244(1

a

a2a4-5得"i"，解得

%一

4%+4q=0axq_4qg+4q=0國=2

因此數(shù)列｛%｝為“M—數(shù)列”.

I22

(2)①因?yàn)槎《∫还ひ?，所?w0.

s,b,bn+i

]22

由4=1,SI=4，得，=：_1■，則偽=2.

IId-

,122”a%

由『廠后’得s"二bU，

當(dāng)〃川’由…f,得丘端號(hào)一可匿了

整理得%+%=%“.

所以數(shù)列仍“｝是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)歹ll.

因此，數(shù)歹山bn］的通項(xiàng)公式為d=〃(〃€N*).

②由①知，bk=k,kwN".

因?yàn)閿?shù)列&｝為“M-數(shù)列”，設(shè)公比為g,所以燈=1,q＞0.

因?yàn)閏正次W以+1，所以qi＜女〈＜/,其中七1,2,3,m.

當(dāng)HI時(shí)，有死1;

,,一In攵,\nk

當(dāng)上=2,3,〃出寸，有——<\nq<——.

kk—1

5Inx]、…“、1-lnx

(x)=——(zx>1),則/(x)=——2—.

XX

令尸(x)=0,得產(chǎn)e.列表如下：

Xd,e)e(e,+8)

f\x)+0-

/(X)極大值

…、工In2In8In9In3.r/.xIn3

因?yàn)橐籘=b<丁=丫，所以/(Qmax=/(3)==~.

26633

]nk

取“=%，當(dāng)"1，2,3,4,5時(shí)，—?ln^,即成，

經(jīng)檢驗(yàn)知qiW%也成立.

因此所求/?的最大值不小于5.

若"侖6,分別取仁3,6,得且/w6,從而令能243,且42216,

所以q不存在.因此所求〃?的最大值小于6.

綜上，所求m的最大值為5.

1.(2018年浙江卷)已知a1,成等比數(shù)列,+a2+a3+a4=\n(3{+a2+a3).若a/l,則

A.<a3,a2<a4B.>a3,a2<a4C.<a3,a2>a4D.>a3,a2>a4

【答案】B

【解析】令f(x)=xTnxT,則f'(x)=」，令f'(x)=(\得x=1,所以當(dāng)x>l時(shí)，f'(x)>0,當(dāng)0〈x〈l時(shí)，f(x)<0?

x

因此f(x)>f(l)=0,???x。Inx+1,

若公比q>0,則a1+a2+@3+>ai+a2+a3>ln(aj+a2+aj),不合題意;

若公比qW—1,則a1+a2+=a/l+q)(l+q-)<0,

2

但ln(a]+a2+a3)=Infall+q+q)]>Ina1>0,

即a1+22+23+24—0vln(a]+z2+^,不合題意;

因此-1<q<0,q2e(0j)，

22

???aj>3]q=a3,a2<a2q=a4<0,選B.

2.(2018年北京卷)“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載墻最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例,

為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn).十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份，依次得到十三個(gè)單音，從第

二個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于?啦.若第一個(gè)單音的頻率為力則第八

個(gè)單音的頻率為

A.也fB.m

C.我fD.胃f

【答案】D

【解析】因?yàn)槊恳粋€(gè)單音與前一個(gè)單音頻率比為啜，所以/=啜an_i(n22,n€N+),

又ai=f,則a&=a】q7=箕時(shí)='^ff.故選D.

3.(2018年江蘇卷)已知集合人={x|x=2nT,n￡N*}，B={x|x=2n,nGN*}-將AUB的所有元素從小

到大依次排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)列{%}.記S”為數(shù)列{aj的前n項(xiàng)和，則使得Sn>12a“+i成立的〃的最小值為

【答案】27

k-12k

【解析】設(shè)3n=2匕則S」K2x1-1)+(2x2-1)+-??+(2-2-l)]+[2+2+-+2]

_尸。+2/\)2(1?)k+上

21-2

由Sn>12%+1得22k-2+2卜+1-2>12(2k+l),(2k-1)2-20(2k-1)-14>0,2k-1>25,k>6

所以只需研究25</<26是否有滿足條件的解，

25+1

此時(shí)Sn=[(2xl-l)+(2x2-l)+“?+(2mT)]+[2+22+“,+25]=m+2-2>an+i=2m+1,m為等差

數(shù)列項(xiàng)數(shù),且m>16.

由m2+2'+1-2>12(2m+l),m2-24m+50>0,m>22,n=m+5>27

得滿足條件的遍小值為27.

4.（2018年浙江卷）已知等比數(shù)列｛斯｝的公比4>1,且的+。4+。5=28,。4+2是的,的的等差中項(xiàng).數(shù)列

｛兒｝滿足歷=1，數(shù)列｛（b+L?。??！埃那啊?xiàng)和為2』+〃.

（I）求q的值；

（II）求數(shù)列｛九｝的通項(xiàng)公式.

【答案】（I）q=2

（II）bn=15-（4n+3）.（；）x2

【解析】

(1)由a4+2是a3，a§的等差中項(xiàng)得23+25=224+4,

所以+a4+a5=3a4+4=28,

解得=8.

由@3+a$=20得8(q4—)=20>

q

因?yàn)閝>1,所以q=2.

(II)設(shè)％=(++i-耳)%,數(shù)列｛%｝前〃項(xiàng)和為Sn.

由2解得Ln」

n

由(I)可知3n=2-i.

所以bn+1-bn=(4n-1),夕一

故bn-bn-1=(4n-5)?(；)”-2,n>2,

bn-bl=(bn-bn-l)+(bn-l-bn-2)+-+(b3-b2)+(b2-bl)

11nJ

=(4n-5)-q)-2+(4n_9)■(-)-H—+7--+3.

設(shè)1=3+71+11-1

n+…+(4n_5),(-)~,n>2,

112

11121n21ni

5Tli=3?5+7?02+…+(4n.9),(-)+(4n-5)?(-)

所以;Tn=3+4?；+4?d)2+…+4.(1)2_(4n-5)-(；尸

因此1n=14-(4n+3)-(；)"Ln>2,

又耳=1,所以bn=15_(4n+3)-(；)n-2.

5.（2018年天津卷）設(shè)｛斯｝是等差數(shù)列，其前"項(xiàng)和為S.56N*）；｛"｝是等比數(shù)列，公比大于0,

其前〃項(xiàng)和為T"（〃WN*）.已知6i=l,如=歷+2,匕4=的+的，人5=。4+2。6.

（I）求S,和心；

（II）若S“+（T1+―+…+*）=斯+4乩，求正整數(shù)”的值.

n（n+1）n

【答案】（I）Sn=,Tn=2-h（11）4.

【解析】（I）設(shè)等比數(shù)列｛1｝的公比為q,由"=1,加%2+2,可得q2_q_2=0.

n

因?yàn)閝>0,可得q=2,故'=2nT.所以，Tn=-^=-=2-l.

1—2

設(shè)等差數(shù)列｛aj的公差為d.由64=23+25,可得a1+3d=4.由65=24+225,可得3a1+13d=16,從而

a]=l,d=l,故an=n,所以，）

（II）由⑴，有T]+T,+…+Tn=（21+23+…+2，-n=三■支3-n=2*1-11-2.

12111-2

n+1n+1

由Sn+（L+T2+-+Tn）=an+4bli可得^+2-n-2=n+2,

整理得仔-3聯(lián)4=0,解得n=T（舍），或n=4.所以”的值為4.

6.（2018年北京卷）設(shè)｛%｝是等差數(shù)列，且力=M2亞+23=51112.

（I）求｛%｝的通項(xiàng)公式；

(II)求「+/+…+△

【答案】⑴nln2

(II)2n+1-2

【解析】(I)設(shè)等差數(shù)列｛aj的公差為d,

,:a2+a3=51n2,

/.2aj+3d=51n2,

又a】=ln2,/.d=ln2.

.\an=a1+(n-l)d=nln2.

(II)由(D知ian=nln2,

annln21112nn,

e=e=e=2o

???｛e）是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.

aa2,

l；i>n2+e'n2+...+e>-2

e+e2+…+e

=2+22+?1?+2n

=2"+1-2.

aaa+1

.,?ei+e2+...+e''=2"-2

7.(2018年江蘇卷)設(shè)n6N*，對(duì)1，2,…,〃的一個(gè)排列…％如果當(dāng)時(shí)，有isj，則稱(以)

是排列可2“、的一個(gè)逆序,排列甲2“、的所有逆序的總個(gè)數(shù)稱為其逆序數(shù).例如:對(duì)I,2,3的一個(gè)排列231,

只有兩個(gè)逆序(2,1),(3,1),則排列231的逆序數(shù)為2.記/&)為1,2,…，〃的所有排列中逆序數(shù)為女

的全部排列的個(gè)數(shù).

(1)求f3⑵&⑵的值;

(2)求4(2)(1125)的表達(dá)式(用〃表示).

【答案】(1)25

(2)應(yīng)5時(shí)，以2)=匚二

2

【解析】(1)記t(abc)為排列“兒的逆序數(shù)，對(duì)1,2,3的所有排列，有

T(123)=0.1(132)=1,T(213)=1,T(231)=2,"312)=2,?321)=3,

所以f3(0)=l,f3(l)=f3(2)=2.

對(duì)1,2,3,4的排列，利用已有的1,2,3的排列，將數(shù)字4添加進(jìn)去，4在新排列中的位置只能是

最后三個(gè)位置.

因此，f4(2)=f3(2)+f3(l)+f3(0)=5.

(2)對(duì)一般的〃(應(yīng)4)的情形，逆序數(shù)為0的排列只有一個(gè)：12…小所以4(0)=1.

逆序數(shù)為1的排列只能是將排列12…”中的任意相鄰兩個(gè)數(shù)字調(diào)換位置得到的排列，所以乳l)=n-1.

為計(jì)算￡+1(2),當(dāng)1,2,…，”的排列及其逆序數(shù)確定后，將〃+1添加進(jìn)原排列，”+1在新排列中的位

置只能是最后三個(gè)位置.

因此，$+1⑵=。⑵+fn(D+f?(0)=fn(2)+n.

當(dāng)n>5時(shí)，

f?(2)=[fn(2)-fn.1(2)]+%⑵-f?.2⑵]+…+國⑵-f4(2)]+f4(2)

n2-n-2

=(n-l)+(n-2)+...+4+Q⑵=---，

因此論5時(shí)，fn(2)=匚上！

2

1.(2017?高考全國卷I)記5〃為等差數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和.若〃4+恁=24,S6=48,則｛斯｝的公差為()

A.1B.2

C.4D.8

解析：通解：選C.設(shè)｛斯｝的公差為d,則

3+3d+cii+4J=24,

,4+45=24,

由怎=48,得6x5

6〃i+2d=48,

解得d=4.故選C.

優(yōu)解：由S6=48得火+的=16,

(〃4+〃5)一(〃4+。3)=8,

，d=4,故選C.

2.(2017?高考全國卷HI)等差數(shù)列｛斯｝的首項(xiàng)為1,公差不為0.若。2,的，生成等比數(shù)列，則｛斯｝前6項(xiàng)

的和為()

A.-24B.-3

C.3D.8

解析：選A.由已知條件可得6=1,d#0,

由詔=〃2〃6可得(1+2d)~=(l+J)(l+5d),

解得d=-2.

6x5x—2

所以§6=6x1+2=—24.故選A.

3.(2017?高考全國卷ni)設(shè)等比數(shù)列｛斯｝滿足4I+〃2=—1，0—。3=-3,則。4=.

解析：設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的公比為(

<0+。2=—1，0—=-3,

+q)=-1,①

〃1(1一力=-3.②

②?①，得1一夕=3,，q=-2.

??4/1—1?

.,.他=。|/=