華東師范大學2023年高等代數(shù)考研試題

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華東師范大學2023年高等代數(shù)考研試題

一．填空、選擇、是非題（共15小題，總分值60分，每題4分）

1．設3階方陣A的特征值為2，3，5，則2A?E?2．假使?是f'''?x?的2重根，則?一定是多項式f?x?的5重根。

3．設向量組a1,?2,…，?s?s?2?線性相關，且其中任意s?1個向量線性無關，則存

在全不為0的數(shù)k1,k2,…，ks，使得k1?1?k2?2???ks?s?0

4．設W1與W2分別是數(shù)域K上8元齊次線性方程組AX?0與BX?0的解空間，如

果rankA?3，rankB?2,W1?W2?K，那么dim?W1?W2??

85．實反對稱矩陣的非零特征值必為：A.正實數(shù)B.負實數(shù)C.1或-1D.純虛數(shù)6．若三次實系數(shù)多項式f?x?恰有一個實根，?為f?x?的判別式，則A.??0B.??0C.??0D.??R

7.3階整系數(shù)的行列式等于-1的正交矩陣共有個

8．設A是行列式等于-1的正交變換，則一定是A的特征值。

9．排列j1j2?jn?1jn與排列jnjn?1?j2j1具有一致的奇偶性的充要條件是n?

?mod4?

10．設?0是數(shù)域K上非齊次線性方程組AX?B的特解，?1,?2,?,?s是該方程組的導

出組的基礎解系，則以下命題中錯誤的是：

A.?0,?0??1,?0??2,?,?0??s是AX?B的一組線性無關解向量；B.AX?B的每個解均可表為?0,?1,2?2,?,s?s的線性組合。C.2?0??1??2????s是AX?B的解；

D.AX?B的每個解均可表為?0,?0??1,?0??2,?,?0??s的線性組合。

11．以下各向量組中線性無關的向量組為：

A.?2,?3,4,1?,?5,2,7,1?,??1,?3,5,5?;B.?12,0,2?,?1,1,1?,?3,2,1?,?4,78,16?;C.(2,3,1,4),(3,1,2,4),(0,0,0,0);D.(1,2,-3,1),(3,6,-9,3),(3,0,7,7)

12.由標準歐幾里得空間R中的向量組?1?(1,0,1,1)，?2?(1,?1,?1,0)，

4?3?(2,0,?1,?1)，張成的子空間W的一組規(guī)范正交基為

13．設V是n維歐幾里得空間，W是V的子空間，則(W)=W（A）?（B）

???（C）=（D）?

?1??114．A??0??0?2?1?2??1?1?1?的逆矩陣A?1??012?011??15．設?是有限維線性空間V上的線性變換,假使V?KerA?ImA，則

KerA?ImA?{0}

二、計算題16．（12分）求實二次型

f(x1,x2,?xn)?2?i?1xi2?2(x1x2?x2x3???xn?1xn?xnx1)的正慣性指數(shù)、負

慣性指數(shù)、符號差以及秩。

17．（18分）探討b1,b2,?bn(n?2)滿足什么條件時以下方程有解，并求解

n?x1?x2?b1?x?x?b?223?????x?x?bnn?1?n?1??xn?x1?bn18．（12分）試在有理數(shù)域、實數(shù)域以及復數(shù)域上將f(x)?x?x?x???x?1分解為不可約因式的乘積（結果用根式表示），并簡述理由。

19．（18分）已知g(?)?(??2??2)(??1)是六階方陣A的微小多項式，且Tr(A)=6,試求（1）A的特征多項式f(?)及其若爾當?shù)浞缎?；?）A的伴隨矩陣A的若爾當?shù)浞缎汀?/p>

三、證明題20．（10分）設f(?)???a1?nn?198722*???an?1??an是實對稱矩陣A的特

征多項式，證明：A是負定矩陣的充要條件是a1,a2,?,