量子力學(xué)復(fù)習(xí)題匯總

本文格式為Word版，下載可任意編輯——量子力學(xué)復(fù)習(xí)題匯總概念簡答題（每題2分，2*8=16分）1、何為束縛態(tài)？

???(r,t)?(r,t)狀態(tài)中測量力2、當(dāng)體系處于歸一化波函數(shù)所描述的狀態(tài)時，簡述在

學(xué)量F的可能值及其幾率的方法。

3、設(shè)粒子在位置表象中處于態(tài)?(r,t),采用Dirac符號時，若將?(r,t)改寫為

???(r,t)?有何不妥？采用Dirac符號時，位置表象中的波函數(shù)應(yīng)如何表示？

4、簡述定態(tài)微擾理論。

5、Stern—Gerlach試驗證明白什么？6、簡述波函數(shù)的統(tǒng)計解釋；

7、對“軌道〞和“電子云〞的概念，量子力學(xué)的解釋是什么？

?在自身表象中的矩陣表示有何特點？8、力學(xué)量G9、簡述能量的測不準(zhǔn)關(guān)系；

??1(x,y,z)??10、電子在位置和自旋Sz表象下，波函數(shù)?????(x,y,z)??如何歸一化？解釋各項的

?2?幾率意義。

20、厄米算符有那些特性？

23．描述氫原子狀態(tài)需要幾個量子數(shù)？量子數(shù)目取決于什么？1.微觀實物粒子的波粒二象性1.Bohr的原子量子論3.態(tài)迭加原理

4.波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件5.定態(tài)6.束縛態(tài)7.幾率波

8歸一化波函數(shù)9.幾率流密度矢量

10.線性諧振子的零點能11.厄密算符12.簡并度

13.力學(xué)量的完全集合14.箱歸一化15.函數(shù)的正交性16.角動量算符

17.力學(xué)量算符的本征函數(shù)的正交歸一性18.表象

19.希耳伯特空間20.幺正變換

單項選擇題（每題2分）2*10=20分

1.能量為100ev的自由電子的DeBroglie波長是A.1.2A.B.1.5A.C.2.1A.D.2.5A.

1

00005.用Bohr-Sommerfeld的量子化條件得到的一維諧振子的能量為（n?0,1,2,?）

1A.En?n??.B.En?(n?)??.

2C.En?(n?1)??.D.En?2n??.9.Compton效應(yīng)證明白

A.電子具有波動性.B.光具有波動性.C.光具有粒子性.D.電子具有粒子性.10.Davisson和Germer的試驗證明白A.電子具有波動性.B.光具有波動性.C.光具有粒子性.D.電子具有粒子性.

14.設(shè)?1(x)和?2(x)分別表示粒子的兩個可能運(yùn)動狀態(tài)，則它們線性迭加的態(tài)c1?1(x)?c2?2(x)的幾率分布為A.c1?1?c2?2.

*B.c1?1?c2?2+c1c2?1?2.

222222C.c1?1?c2?2+2c1c2?1*?2.

D.c1?1?c2?2+c1*c2?1*?2?c1c2*?1?2*.15.波函數(shù)應(yīng)滿足的標(biāo)準(zhǔn)條件是

A.單值、正交、連續(xù).B.歸一、正交、完全性.C.連續(xù)、有限、完全性.D.單值、連續(xù)、有限.18.若波函數(shù)?(x,t)歸一化，則

A.?(x,t)exp(i?)和?(x,t)exp(?i?)都是歸一化的波函數(shù).

B.?(x,t)exp(i?)是歸一化的波函數(shù)，而?(x,t)exp(?i?)不是歸一化的波函數(shù).C.?(x,t)exp(i?)不是歸一化的波函數(shù)，而?(x,t)exp(?i?)是歸一化的波函數(shù).D.?(x,t)exp(i?)和?(x,t)exp(?i?)都不是歸一化的波函數(shù).(其中?,?為任意實

數(shù))

19.波函數(shù)?1、?2?c?1(c為任意常數(shù))，A.?1與?2?c?1描寫粒子的狀態(tài)不同.

B.?1與?2?c?1所描寫的粒子在空間各點出現(xiàn)的幾率的比是1:c.C.?1與?2?c?1所描寫的粒子在空間各點出現(xiàn)的幾率的比是1:c.D.?1與?2?c?1描寫粒子的狀態(tài)一致.23.幾率流密度矢量的表達(dá)式為

??(?*??????*).A.J?2??i?(?*??????*).B.J?2??i?(???*??*??).C.J?2???(???*??*??).D.J?2?24.質(zhì)量流密度矢量的表達(dá)式為

2222

??JA.?(?*??????*).

2?i?B.J?(?*??????*).

2?i?C.J?(???*??*??).

2??D.J?(???*??*??).

225.電流密度矢量的表達(dá)式為

?q?A.J?(?*??????*).

2??iq?*B.J?(???????*).

2??iq?(???*??*??).C.J?2??q?(???*??*??).D.J?2?26.以下哪種論述不是定態(tài)的特點

A.幾率密度和幾率流密度矢量都不隨時間變化.B.幾率流密度矢量不隨時間變化.

C.任何力學(xué)量的平均值都不隨時間變化.

D.定態(tài)波函數(shù)描述的體系一定具有確定的能量.32.在一維無限深勢阱中運(yùn)動的粒子，其體系的A.能量是量子化的，而動量是連續(xù)變化的.B.能量和動量都是量子化的.C.能量和動量都是連續(xù)變化的.

D.能量連續(xù)變化而動量是量子化的.33.線性諧振子的能級為

,,3,...).A.(n?1/2)??,(n?12,,,).B.(n?1)??,(n?012,,,...).C.(n?1/2)??,(n?012,,3,...).D.(n?1)??,(n?1235.線性諧振子的

A.能量是量子化的,而動量是連續(xù)變化的.B.能量和動量都是量子化的.C.能量和動量都是連續(xù)變化的.

D.能量連續(xù)變化而動量是量子化的.36.線性諧振子的能量本征方程是

?2d21222???x]??E?.A.[?2?dx22?2d2122???x]??E?.B.[?22?dx23

?2d2122C.[???x]???E?.22?dx2?2d21222D.[???x]???E?.2?dx2237.氫原子的能級為

24?2es?2es2?es4?esA.?.B.?22.C.?.D.?22.222?n2?n2?n2?n38.在極坐標(biāo)系下,氫原子體系在不同球殼內(nèi)找到電子的幾率為

22A.Rnl(r)r.B.Rnl(r)r2.

C.Rnl(r)rdr.D.Rnl(r)r2dr.

39.在極坐標(biāo)系下,氫原子體系在不同方向上找到電子的幾率為A.Ylm(?,?).B.Ylm(?,?).C.Ylm(?,?)d?.D.Ylm(?,?)d?.

?為厄密算符的定義是40.波函數(shù)?和?是平方可積函數(shù),則力學(xué)量算符F??d???*F??*d?.A.?*F2222????d??(FB.??F???)?d?.??)?d???FC.?(F???d?.???d???FD.?F???d?.

*******?和G?是厄密算符,則41.F???GF??必為厄密算符.??必為厄密算符.B.FGA.FG???GF??)必為厄密算符.C.i(FG???GF??)必為厄密算符.D.i(FG?,則?x?x都是厄密算符.B.xpA.x??x必是厄密算符.?和p?xxC.xp??x?p?必是厄密算符.?xxD.xp??x?p?必是厄密算符.

43.自由粒子的運(yùn)動用平面波描寫,則其能量的簡并度為A.1.B.2.C.3.D.4.

44.二維自由粒子波函數(shù)的歸一化常數(shù)為(歸到?函數(shù))

A.1/(2??)1/2.B.1/(2??).C.1/(2??)3/2.D.1/(2??)2

47.若不考慮電子的自旋,氫原子能級n=3的簡并度為A.3.B.6.C.9.D.12.48.氫原子能級的特點是

A.相鄰兩能級間距隨量子數(shù)的增大而增大.B.能級的絕對值隨量子數(shù)的增大而增大.C.能級隨量子數(shù)的增大而減小.

D.相鄰兩能級間距隨量子數(shù)的增大而減小.

?x??i?42.已知算符x??x和p

4

49一粒子在中心力場中運(yùn)動,其能級的簡并度為n2,這種性質(zhì)是A.庫侖場特有的.B.中心力場特有的.C.奏力場特有的.D.普遍具有的.

56.體系處于??Ccoskx狀態(tài),則體系的動量取值為

1A.?k,??k.B.?k.C.??k.D.?k.

2?x]等于64.對易關(guān)系[x,pA.i?.B.?i?.C.?.D.??.

?]等于66.對易關(guān)系[Ly,z?.B.i?x?.C.?x?.D.??x?.A.?i?x?y]等于68.對易關(guān)系[x,pA.?.B.0.C.i?.D.??.

?,L?]等于70.對易關(guān)系[Lxz?.B.?i?L?.C.?L?.D.??L?.A.i?Lyyyy?2,L?]等于72.對易關(guān)系[Lx??L?).D.0.?.B.i?L?.C.i?(LA.Lxxzy?y]等于74.對易關(guān)系[Lx,p?.C.i?p?.B.?i?L?z.D.?i?p?z.A.i?Lzz?,p?]等于76.對易關(guān)系[Lzy?.D.i?L?.A.?i?p?x.B.i??px.C.?i?Lxx?,c]等于(c為任意常數(shù))80..對易式[F?.B.0.C.c.D.F?.A.cF?,則F?和G?的對易關(guān)系為[F?、G?的測不準(zhǔn)關(guān)系是?,G?]?ik81.算符F2222kk?)(?G?)??)(?G?)?A.(?F.B.(?F.

442222kk22????C.(?F)(?G)?.D.(?F)(?G)?.44?和p?,p?x]?i?,則x?x的測不準(zhǔn)關(guān)系是82.已知[x22?2?)(?p?)??)(?p?x)??.B.(?xA.(?x.

422?2222?)(?p?x)??)(?p?x)??.D.(?xC.(?x.

484.電子在庫侖場中運(yùn)動的能量本征方程是

2?22zesA.[???]??E?.

2?r22222?22zesB.[???2]??E?.

2?r?22zesC.[???]??E?.

2?r225

?22zesD.[???2]??E?.

2?r85.類氫原子體系的能量是量子化的,其能量表達(dá)式為

?z2es2?2z2es4A.?22.B.?.222?n2n?2?zes?z2es4C.?22.D.?22.

2n?2?n91.一維自由粒子的能量本征值A(chǔ).可取一切實數(shù)值.B.只能取不為負(fù)的一切實數(shù).C.可取一切實數(shù),但不能等于零.D.只能取不為正的實數(shù).

99.動量為p'的自由粒子的波函數(shù)在坐標(biāo)表象中的表示是

1i?P'(x)?expp('x),它在動量表象中的表示是

?2??A.?(p?p').B.?(p?p').C.?(p).D.?(p').

?對應(yīng)于本征值為x'的本征函數(shù)在坐標(biāo)表象中的表示是100.力學(xué)量算符xA.?(x?x').B.?(x?x').C.?(x).D.?(x').106.力學(xué)量算符在自身表象中的矩陣表示是A.以本征值為對角元素的對角方陣.B.一個上三角方陣.C.一個下三角方陣.D.一個主對角線上的元素等于零的方陣.

?在動量表象中的微分形式是107.力學(xué)量算符x????A.?i?.B.i?.C.?i?2.D.i?2.

?px?px?px?px01??表象中F??109.在Q??,其本征值是

?10?A.?1.B.0.C.?i.D.1?i.110.

111.幺正矩陣的定義式為

A.S??S?.B.S??S*.C.S?S?.D.S*?S?.

??1/2i??(???),則對易關(guān)系式[a?,a??]等于)(xp113.算符a2????,a??]?1.?,a??]?0.B.[aA.[a?,a??]??1.D.[a?,a??]?i.C.[a115.非簡并定態(tài)微擾理論中第n個能級的一級修正項為A.H'mn.B.H'nn.C.?H'nn.D.H'nm.119.非簡并定態(tài)微擾理論的適用條件是A.

H'mkEk(0)2?Em(0)??1.B.

H'mkEk(0)?Em(0)??1.

(0)(0)C.H'mk??1.D.Ek?Em??1.

122.氫原子的一級斯塔克效應(yīng)中,對于n?2的能級由原來的一個能級分裂為

6

A.五個子能級.B.四個子能級.C.三個子能級.D.兩個子能級.

124.用變分法求量子體系的基態(tài)能量的關(guān)鍵是A.寫出體系的哈密頓.B.選取合理的嘗試波函數(shù).

C.計算體系的哈密頓的平均值.

D.體系哈密頓的平均值對變分參數(shù)求變分.125.Stern-Gerlach試驗證明白

A.電子具有波動性.B.光具有波動性.C.原子的能級是分立的.D.電子具有自旋.

???,S?]等于126.S為自旋角動量算符,則[Syx?.A.2i.B.i?.C.0.D.?i?Sz??為Pauli算符,則[??,??]等于127.?xz?y.B.i???y.C.2i???y.D.?2i???y.A.?i??129.單電子的Pauli算符平方的本征值為A.0.B.1.C.2.D.3.

143.以下有關(guān)全同粒子體系論述正確的是

A.氫原子中的電子與金屬中的電子組成的體系是全同粒子體系.B.氫原子中的電子、質(zhì)子、中子組成的體系是全同粒子體系.C.光子和電子組成的體系是全同粒子體系.D.?粒子和電子組成的體系是全同粒子體系.

144.全同粒子體系中,其哈密頓具有交換對稱性,其體系的波函數(shù)A.是對稱的.B.是反對稱的.C.具有確定的對稱性.D.不具有對稱性.填空題，每題2分，8*2=16分

1.Compton效應(yīng)證明白。5.黑體輻射和光電效應(yīng)透露了。

6.1924年,法國物理學(xué)家DeBroglie提出了微觀實物粒子具有。

7.自由粒子的DeBroglie波函數(shù)為。9.玻恩對波函數(shù)的統(tǒng)計解釋是。12.態(tài)迭加原理的內(nèi)容是。15.一維自由粒子的薛定諤方程是。16.N個粒子體系的薛定諤方程是。21.量子力學(xué)中的質(zhì)量守恒定律是。22.量子力學(xué)中的電荷守恒定律是。23.波函數(shù)應(yīng)滿足的三個標(biāo)準(zhǔn)條件是。24.定態(tài)波函數(shù)的定義式是。.線性諧振子的零點能為。28.線性諧振子的兩相鄰能級間距為。30.表示力學(xué)量的算符都是。31.厄密算符的本征值必為。33.角動量平方算符的本征值為。

7

34.角動量平方算符的本征值的簡并度為。。

38.氫原子基態(tài)的電離能為。39.氫原子體系n?2的能量是。48.測不準(zhǔn)關(guān)系反映了微觀粒子的。

?,B?,B?的不確定關(guān)系?]?ic?成立，則A49.若對易關(guān)系[A是。50.假使兩個力學(xué)量算符對易，則在中它們可同時具有確定值。

?,p?y]?。55.[y57.一維自由粒子的動量本征函數(shù)是。58.角動量平方算符的本征值方程為。61.量子力學(xué)中，稱為表象。62.動量算符在坐標(biāo)表象的表達(dá)式是。63.角動量算符在坐標(biāo)表象中的表示是。

71.量子力學(xué)中，表示力學(xué)量算符的矩陣是矩陣。73.力學(xué)量算符在自身表象中的矩陣是矩陣。75.幺正矩陣滿足的條件是。

83.非簡并定態(tài)微擾理論的適用條件是。84.Stark效應(yīng)是。

計算題1*8+4*10=48分

2.1.證明在定態(tài)中，幾率流密度與時間無關(guān)。證：對于定態(tài)，可令

???(r，t)??(r)f(t)???Et??(r)e?i?J?(???*??*??)2?iiiii

Et???Et???Et*???Eti?*???[?(r)e?（?(r)e）??(r)e?（?(r)e）]2?????i??[?(r)??*(r)??*(r)??(r)]2??可見J與t無關(guān)。

2.4.證明（2.6-14）式中的歸一化常數(shù)是A??1a

8

證：

n???Asin(x?a),x?a?a?n???0,x?a?（2.6-14）

由歸一化，得

1???ndx??A?2sin2??a2an?(x?a)dxa?A?2?1n?[1?cos(x?a)]dx?a2aaaA?2A?2?x?2?a2?a?acosn?(x?a)dxaa

A?2an?2?A?a??sin(x?a)2n?a?a?A?2a∴歸一化常數(shù)A??1a

3.8.在一維無限深勢阱中運(yùn)動的粒子，勢阱的寬度為a，假使粒子的狀態(tài)由波函

數(shù)?(x)?Ax(a?x)

描寫，A為歸一化常數(shù)，求粒子能量的幾率分布和能量的平均值。

解：由波函數(shù)?(x)的形式可知一維無限深勢阱的分布如圖示。粒子能量的本征函數(shù)和本征值為

?2n?sinx,0?x?a??(x)?aa?0,x?0,x?a?n2?2?22，3，?)En?(n?1，2?a2動量的幾率分布函數(shù)為?(E)?CnCn?2?????*(x)?(x)dx??sin0an?x?(x)dxa先把?(x)歸一化，由歸一化條件，1???(x)dx??Ax(a?x)dx?A??0?2a222?a0x2(a2?2ax?x2)dx

9

?A22?a0(a2x2?2ax3?x4)dx

5a5a5a52a?)?A?A(?32530∴A?a305a∴Cn???0230n??sinx?x(a?x)dxaaa5aa215n?n?2[axsinxdx?xsinxdx]??300aaa

215a2n?a3n?a2n??[?xcosx?sinx?xcosx322n?aan?aan??2an?2an?xsinx?cosx]2233aan?n?023a

?415n[1?(?1)]33n?2∴?(E)?Cn?240n2[1?(?1)]66n??9603，5，??66，n?1，??n?

?0，n?2,4,6,??2?p??(x)dx??(x)?(x)dxE???(x)H?0??2??a??a030?2d2x(x?a)?[?x(x?a)]dx

2?dx2a530?2??a55?2

?

?a2

?a030?2a3a3x(x?a)dx?(?)523?a?和L?的矩陣分別為?2和L?的共同表象中，算符L4.5設(shè)已知在LZxy10

?010??2??101Lx???Ly?2???010??0?i2???i02??0i0???i?0??求它們的本征值和歸一化的本征函數(shù)。最終將矩陣Lx和Ly對角化。解：Lx的久期方程為

??

?2???20?2???0???3??2??0

?20??1?0，?2??，?3???

?的本征值為0，?，??∴Lx?的本征方程Lx?a1??010??a1?????????101??a2????a2?

2??a?????010??a3??3??a1????的本征函數(shù)L?2和L?共同表象中的矩陣??其中?a2?設(shè)為LZx?a??3?當(dāng)?1?0時，有

?010??a1??0?????????101??a2???0?

2???????010??a3??0??a2??0???????a1?a3???0??a3??a1，a2?0

2???0??a2????a1?????0∴0??

??a??1?由歸一化條件

11

?a1???2??0?(a1*,0,?a1*)?0??2a11??0??a??1?取a1?12

?1???2???的本征值0。?對應(yīng)于L?0??0x????1???2??當(dāng)?2??時，有

?a1??010??a1?????????101??a2????a2?

2??a?????010??a3??3??????????1??2??a??a2?2a1??1??1?(a1?a3)???a2???a2?2a32????a?a1??a3???31a2?2?a2?a1???∴????2a1?

??a1????由歸一化條件

?a1???2***1?(a1,2a1,a1)?2a1??4a1

??a1????取a1?12?1????2??1??的本征值?。∴歸一化的?????對應(yīng)于Lx2???1????2?

12

當(dāng)?2???時，有

?a1??010??a1?????????101??a2?????a2?

2??a?????010??a3??3?????????????2???a???1?1(a1?a3)????a2??2????a3???1?a2?2?1a1?a2??2a1???a2??2a3?a?a1??3?a1???∴??????2a1?

???a1???由歸一化條件

?a1???2***1?(a1,?2a1,a1)??2a1??4a1

???a1???取a1?12∴歸一化的????1????2??1??的本征值??????對應(yīng)于Lx2???1????2??表象的變換矩陣為?2和L?的共同表象變到L由以上結(jié)果可知，從LZx?1??2?S??0???1?2?121212??????

2?1?2??121?∴對角化的矩陣為L?x?SLxS

13

??????L?x?2????12121201?212??11???2??010??2??1???101??02????010???1???1?2?2??121212??????

2?1?2??121????11??000???122????111???211?2?2??0???2??

????11212??21?1???12?????222??00??000????02?020??????0?0???

?00?2????00????依照與上同樣的方法可得

L?y的本征值為0，?，??L?y的歸一化的本征函數(shù)為??1??1????2??2??0????0??i?????????2?1??2???????1?2??從L?2和L?Z的共同表象變到L?y表象的變換矩陣為??111??222??1??01?S???0i?i??22???i?1????S????12???12?12?2??i2?2?122????1?22?1??2??利用S可使L?y對角化14

??1??2???????i????2??????1?