2022-2023學(xué)年蘇教版（2019）必修第一冊 6.3對數(shù)函數(shù) 課件（41張）

第6章6.3對數(shù)函數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過實(shí)例直觀了解對數(shù)函數(shù)模型所刻畫的數(shù)量關(guān)系，理解對數(shù)函數(shù)的概念，體會對數(shù)函數(shù)是一類重要的數(shù)學(xué)模型.2.能畫出具體的對數(shù)函數(shù)的圖象，探索并了解對數(shù)函數(shù)的性質(zhì).3.能利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較兩個(gè)對數(shù)式值的大小，能研究一些對數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等.4.知道指數(shù)函數(shù)y＝ax（a>0，a≠1）與對數(shù)函數(shù)y＝logax（a>0，a≠1）互為反函數(shù).核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算 新知學(xué)習(xí)一、對數(shù)函數(shù)的概念一般地，函數(shù)y＝logax（a>0，a≠1）叫作對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，定義域是（0，+∞）.【說明】（1）由指數(shù)式與對數(shù)式的關(guān)系，知對數(shù)函數(shù)的自變量x恰好是指數(shù)函數(shù)的函數(shù)值y，所以對數(shù)函數(shù)的定義域是（0，+∞）.（2）對數(shù)函數(shù)中底數(shù)的限制條件與指數(shù)函數(shù)中相同，為a>0，且a≠1.（3）以10為底數(shù)的對數(shù)函數(shù)y＝lgx叫作常用對數(shù)函數(shù)，以e為底數(shù)的對數(shù)函數(shù)y＝lnx叫作自然對數(shù)函數(shù).

二、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)一般地，對數(shù)函數(shù)y＝logax（a>0，a≠1）的圖象和性質(zhì)如下表：底數(shù)a>10<a<1圖象性質(zhì)定義域（0，+∞）值域R定點(diǎn)函數(shù)圖象恒過點(diǎn)（1，0），即當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0函數(shù)值的正負(fù)當(dāng)x>1時(shí)，y>0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y<0當(dāng)x>1時(shí)，y<0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y>0單調(diào)性在（0，+∞）上為增函數(shù)在（0，+∞）上為減函數(shù)【說明】（1）對于對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，若底數(shù)a不確定，則需要分0<a<1和a>1兩種情況討論，這點(diǎn)與指數(shù)函數(shù)相同.（2）對數(shù)函數(shù)的圖象都在y軸右側(cè)的第一、四象限，過定點(diǎn)（1，0），且當(dāng)x→0時(shí)，圖象無限接近y軸.（3）對數(shù)函數(shù)的圖象可以向上、向下無限延伸，值域?yàn)镽.【巧記】

對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的記憶口訣對數(shù)函數(shù)有兩種，底數(shù)大小要分清.底數(shù)若是大于1，圖象從左往右增.底數(shù)0到1之間，圖象從左往右減.無論函數(shù)增和減，圖象都過（1，0）點(diǎn).2.指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的比較名稱指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)一般形式y(tǒng)＝ax（a>0，a≠1）y＝logax（a>0，a≠1）圖象y＝ax的圖象與y＝logax的圖象關(guān)于直線y＝x對稱

定義域（-∞，+∞）（0，+∞）值域（0，+∞）（-∞，+∞）函數(shù)值的變化情況當(dāng)a>1時(shí)，當(dāng)0<a<1時(shí)，當(dāng)a>1時(shí)，當(dāng)0<a<1時(shí)，單調(diào)性當(dāng)a>1時(shí)，y＝ax，y＝logax在定義域內(nèi)為增函數(shù)；當(dāng)0<a<1時(shí)，y＝ax，y＝logax在定義域內(nèi)為減函數(shù)示例函數(shù)y＝log2x的定義域是［1，64），則值域是（）A.R B.［0，+∞）

C.［0，6） D.［0，64）【規(guī)律總結(jié)】對數(shù)值正負(fù)的規(guī)律（1）當(dāng)a>1時(shí)，由對數(shù)函數(shù)y＝logax是增函數(shù)知：若0<x<1，則logax<loga1＝0；若x>1，則logax>loga1＝0.（2）當(dāng)0<a<1時(shí)，由對數(shù)函數(shù)y＝logax是減函數(shù)知：若0<x<1，則logax>loga1＝0；若x>1，則logax<loga1＝0.即對于區(qū)間（0，1）和（1，+∞），當(dāng)a，x都在同一區(qū)間時(shí)，有l(wèi)ogax>0；當(dāng)a，x分別在兩個(gè)區(qū)間時(shí)，有l(wèi)ogax<0.可簡記為：同區(qū)間為正，異區(qū)間為負(fù).C【解析】

因?yàn)楹瘮?shù)y＝log2x在（0，+∞）上是增函數(shù)，所以當(dāng)x∈［1，64）時(shí)，y∈［0，6）.

3.底數(shù)的大小決定了對數(shù)函數(shù)圖象的相對位置.（1）上下比較：在直線x＝1的右側(cè)，當(dāng)a>1時(shí)，a越大，對數(shù)函數(shù)圖象越靠近x軸；當(dāng)0<a<1時(shí)，a越小，對數(shù)函數(shù)圖象越靠近x軸.（2）左右比較：比較對數(shù)函數(shù)圖象與直線y＝1交點(diǎn)橫坐標(biāo)的大小，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)越大，對應(yīng)的對數(shù)函數(shù)底數(shù)就越大.根據(jù)如圖所示的圖象，我們很容易驗(yàn)證此結(jié)論.示例如圖所示的四條曲線是對數(shù)函數(shù)y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的圖象，則a，b，c，d與1的大小關(guān)系為

.（按從大到小的順序排）b>a>1>d>c【解析】由題圖，知對數(shù)函數(shù)y＝logax，y＝logbx的底數(shù)a>1，b>1，對數(shù)函數(shù)y＝logcx，y＝logdx的底數(shù)0<c<1，0<d<1.作平行于x軸的直線l：y＝1（如圖），則直線l與四條曲線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)從左向右依次為c，d，a，b，顯然b>a>1>d>c.四、反函數(shù)1.反函數(shù)的定義一般地，設(shè)A，B分別為函數(shù)y＝f（x）的定義域和值域，如果由函數(shù)y＝f（x）可解得唯一x＝φ（y）也是一個(gè)函數(shù)（即對任意一個(gè)y∈B，都有唯一的x∈A與之對應(yīng)），那么就稱函數(shù)x＝φ（y）是函數(shù)y＝f（x）的反函數(shù)（inversefunction），記作x＝f-1（y）.根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的互化，我們可以得到對數(shù)函數(shù)y＝logax（a>0，且a≠1，x∈（0，+∞））與指數(shù)函數(shù)y＝ax（a>0，且a≠1，x∈R）互為反函數(shù).

2.反函數(shù)的性質(zhì)（1）互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線y＝x對稱.若互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)，則該函數(shù)的圖象關(guān)于直線y＝x對稱.（2）若函數(shù)y＝f（x）圖象上有一點(diǎn)（a，b），則（b，a）必在其反函數(shù)的圖象上；反之，若點(diǎn)（b，a）在反函數(shù)的圖象上，則（a，b）必在其原函數(shù)的圖象上.（3）反函數(shù)的定義域、值域分別是原函數(shù)的值域、定義域.（4）互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性相同.示例函數(shù)y＝lnx+1（x>0）的反函數(shù)為（）A.y＝ex+1（x∈R） B.y＝ex-1（x∈R）

C.y＝ex+1（x>1） D.y＝ex-1（x>1）【解題必備】求反函數(shù)的步驟（1）求出函數(shù)y＝f（x）的值域；（2）由y＝f（x）解出x＝f-1（y）；（3）把x＝f-1（y）改寫成y＝f-1（x），并寫出函數(shù)的定義域（原函數(shù)的值域）.B【解析】

∵lnx＝y(tǒng)-1，∴x＝ey-1.在原函數(shù)中，由x>0知y＝lnx+1∈R.故y＝lnx+1（x>0）的反函數(shù)為y＝ex-1（x∈R）.五、對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性對數(shù)型復(fù)合函數(shù)一般分為兩類：y＝f（logax）型和y＝logaf（x）型.（1）對于對數(shù)型復(fù)合函數(shù)y＝f（logax）（a>0，a≠1）的單調(diào)性，一般用復(fù)合法判定，即令t＝logax，則只需研究t＝logax及y＝f（t）的單調(diào)性即可.（2）對于對數(shù)型復(fù)合函數(shù)y＝logaf（x）（a>0，a≠1）的單調(diào)性，首先由f（x）>0確定函數(shù)的定義域，然后判斷t＝f（x）在定義域上的單調(diào)性，最后結(jié)合底數(shù)a>1或0<a<1，來確定y＝logaf（x）的單調(diào)性，其核心是同增異減.具體如下表，其中區(qū)間（m，n）與（p，q）是通過t＝f（x）在函數(shù)定義域內(nèi)的單調(diào)性來確定的.函數(shù)y＝logat（a>0，a≠1）的單調(diào)性函數(shù)y＝logaf（x）（a>0，a≠1）的單調(diào)性當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)y＝logat在（0，+∞）上是增函數(shù)當(dāng)a>1時(shí)，若t＝f（x）在（m，n）上是增函數(shù)，則y＝logaf（x）在（m，n）上是增函數(shù)；若t＝f（x）在（p，q）上是減函數(shù)，則y＝logaf（x）在（p，q）上是減函數(shù)當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)y＝logat在（0，+∞）上是減函數(shù)當(dāng)0<a<1時(shí)，若t＝f（x）在（m，n）上是增函數(shù)，則y＝logaf（x）在（m，n）上是減函數(shù)；若t＝f（x）在（p，q）上是減函數(shù)，則y＝logaf（x）在（p，q）上是增函數(shù)示例求函數(shù)f（x）＝log2（x2-2x）的單調(diào)區(qū)間.【方法技巧】用換元法求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的關(guān)鍵是分清內(nèi)外兩層函數(shù)，常采用換元法求解，忽略新元的取值范圍是解題中的易錯(cuò)點(diǎn).【解】

函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（2，+∞）.設(shè)t＝x2-2x.當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，t＝x2-2x為減函數(shù)，則f（x）在（-∞，0）上為減函數(shù)；當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，t＝x2-2x為增函數(shù)，則f（x）在（2，+∞）上為增函數(shù).

典例剖析DA

【類題通法】對數(shù)（型）函數(shù)定義域的求法1.求對數(shù)（型）函數(shù)的定義域時(shí)，除遵循前面求函數(shù)定義域的方法外，還要注意：（1）真數(shù)大于0；（2）底數(shù)大于0且不等于1.2.y＝logaf（x）（a>0，且a≠1）型函數(shù)的定義域就是f（x）>0的解集.3.y＝f（logax）型函數(shù)的定義域保證f（x）的解析式有意義，保證真數(shù)大于0.二、對數(shù)型函數(shù)的圖象及應(yīng)用1.對數(shù)型函數(shù)圖象過定點(diǎn)問題例?2

函數(shù)y＝loga（x+1）+1（a>0且a≠1）的圖象恒過點(diǎn)（）A.（0，1） B.（0，2）

C.（-1，1） D.（-1，2）A【方法技巧】解答函數(shù)y＝m+logaf（x）（a>0且a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)的問題時(shí)，只需令f（x）＝1求出x，即得定點(diǎn)（x，m）.【解析】

要求函數(shù)y＝loga（x+1）+1（a>0且a≠1）的圖象恒過的點(diǎn)，只需令x+1＝1，則x＝0，y＝1，所以該點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1）.

2.對數(shù)型函數(shù)圖象的判定與識別例?3

已知a>0，且a≠1，則函數(shù)y＝ax與y＝loga（-x）的圖象只能是（）

A

B

C

D【解析】（方法1）若0<a<1，則函數(shù)y＝ax是減函數(shù)且過點(diǎn)（0，1），而函數(shù)y＝loga（-x）是增函數(shù)且過點(diǎn)（-1，0），以上圖象均不符合.若a>1，則函數(shù)y＝ax是增函數(shù)且過點(diǎn)（0，1），而函數(shù)y＝loga（-x）是減函數(shù)且過點(diǎn)（-1，0），只有B中圖象符合.（方法2）首先指數(shù)函數(shù)y＝ax的圖象只可能在x軸上方區(qū)域，函數(shù)y＝loga（-x）的圖象只可能在y軸左側(cè)區(qū)域，從而排除A，C；再看單調(diào)性，y＝ax與y＝loga（-x）的單調(diào)性正好相反，排除D.只有B中圖象符合.B

【方法技巧】給出函數(shù)解析式，判斷函數(shù)的圖象，首先應(yīng)考慮所給函數(shù)對應(yīng)的基本初等函數(shù)是哪一個(gè)，其次找出函數(shù)圖象經(jīng)過的特殊點(diǎn)，考慮函數(shù)的性質(zhì)（定義域、單調(diào)性、奇偶性等），最后綜合得出函數(shù)的圖象.此類題目經(jīng)常以選擇題的形式出現(xiàn)，常用排除法.3.對數(shù)型函數(shù)圖象的變換例?4

作出函數(shù)y＝|log2（x+1）|+2的圖象.（1）

（2）

（3）

（4）

【分析】充分利用圖象變換，即利用平移變換、翻折變換等作圖.【解】第一步：作出y＝log2x的圖象（如圖（1））；第二步：將y＝log2x的圖象沿x軸向左平移1個(gè)單位長度，得到y(tǒng)＝log2（x+1）的圖象（如圖（2））；第三步：將y＝log2（x+1）在x軸下方的圖象以x軸為對稱軸翻折到x軸的上方，得到y(tǒng)＝|log2（x+1）|的圖象（如圖（3））；第四步：將y＝|log2（x+1）|的圖象沿y軸向上平移2個(gè)單位長度，得到y(tǒng)＝|log2（x+1）|+2的圖象（如圖（4））.【類題通法】函數(shù)圖象的變換規(guī)律（1）一般地，函數(shù)y＝f（x+a）+b（a，b為實(shí)數(shù)）的圖象是由函數(shù)y＝f（x）的圖象沿x軸向左或向右平移|a|個(gè)單位長度，再沿y軸向上或向下平移|b|個(gè)單位長度得到的.（2）含有絕對值的函數(shù)的圖象一般是經(jīng)過對稱變換得到的.一般地，y＝f（|x-a|）的圖象是關(guān)于直線x＝a對稱的軸對稱圖形；函數(shù)y＝|f（x）|的圖象與y＝f（x）的圖象在f（x）≥0的部分相同，在f（x）<0的部分關(guān)于x軸對稱.

A

【規(guī)律方法】（1）指數(shù)函數(shù)y＝ax與對數(shù)函數(shù)y＝logax互為反函數(shù).（2）互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的定義域、值域相反.（3）互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線y＝x對稱.

A【解析】?由y＝f（x）是y＝ax的反函數(shù)，可知f（x）＝logax（a>0，a≠1）.再由f（2）＝1，可知loga2＝1，所以a＝2，即f（x）＝log2x.

【類題通法】對數(shù)式比較大小的三種類型和求解方法（1）底數(shù)相同時(shí)，利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大小.（2）底數(shù)與真數(shù)均不相同時(shí)，借助中間值0或1比較大小.（3）真數(shù)相同時(shí)，可利用換底公式換成同底對數(shù)式，再比較大小，但要注意對數(shù)值的正負(fù).2.解對數(shù)不等式例

8（1）解不等式：loga（2x-5）>loga（x-1）.（2）已知log0.7（2x）<log0.7（x-1），求x的取值范圍.

【類題通法】常見的對數(shù)不等式的三種類型及解法（1）形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的單調(diào)性求解，如果a的取值不確定，那么需分a>1與0<a<1兩種情況討論；（2）形如logax>b的不等式，應(yīng)將b化為以a為底數(shù)的對數(shù)式的形式，再借助y＝logax的單調(diào)性求解；（3）形如logax>logbx的不等式，可利用圖象求解.五、對數(shù)型復(fù)合函數(shù)問題1.對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題例?9

（1）函數(shù)f（x）＝log2（x2+2x-3）的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A.（-1，+∞）

B.（1，+∞）

C.（-∞，-1）

D.（-∞，-3）（2）已知函數(shù)f（x）＝log2（3-ax）在［0，1］上是減函數(shù)，則a的取值范圍是（）A.（0，1） B.（1，3）

C.（0，1）∪（1，3） D.（0，3）DB

【方法技巧】對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的求解方法對數(shù)型復(fù)合函數(shù)一般可分為兩類：一類是外層函數(shù)為對數(shù)函數(shù)，即y＝logaf（x）；另一類是內(nèi)層函數(shù)為對數(shù)函數(shù)，即y＝f（logax）.（1）對于y＝logaf（x）型的函數(shù)的單調(diào)性，有以下結(jié)論：函數(shù)y＝logaf（x）的單調(diào)性與函數(shù)u＝f（x）（f（x）>0）的單調(diào)性在a>1時(shí)相同，在0<a<1時(shí)相反.（2）研究y＝f（logax）型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，一般用換元法，即令t＝logax，則只需研究t＝logax及y＝f（t）的單調(diào)性即可.2.對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域與最值例10

已知函數(shù)f（x）＝lnx+ln（a-x）的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，則函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋ǎ〢.（0，2）

B.［0，+∞）

C.（-∞，2］

D.（-∞，0］【方法技巧】（1）求對數(shù)函數(shù)或與對數(shù)函數(shù)相關(guān)的復(fù)合函數(shù)的值域（最值）時(shí)，一般是根據(jù)單調(diào)性求解，若需要換元，則需考慮新元的取值范圍.（2）對于形如y＝logaf（x）（a>0，a≠1）的復(fù)合函數(shù)，其值域的求解步驟如下：①求復(fù)合函數(shù)的定義域；②分解成y＝logau，u＝f（x）兩個(gè)函數(shù)；③求u的取值范圍；④利用y＝logau的單調(diào)性求解即可.D【分析】?根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x＝1對稱可得f（1+x）＝f（1-x），由此可得a＝2，即f（x）＝lnx+ln（2-x），再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和定義域求得值域.【解析】∵函數(shù)f（x）＝lnx+ln（a-x）的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，∴f（1-x）＝f（1+x），即ln（1-x）+ln（a-1+x）＝ln（1+x）+ln（a-1-x），∴（1-x）（a-1+x）＝（1+x）（a-1-x），整理得（a-2）x＝0，∴a＝2，∴f（x）＝lnx+ln（2-x），定義域?yàn)椋?，2）.又f（x）＝lnx+ln（2-x）＝ln（2x-x2），當(dāng)0<x