考研數(shù)學(xué)習(xí)題

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§1一階常系數(shù)線性差分方程的求解

形如yn+1+ayn=f(n)0的方程為一階常系數(shù)線性非齊次差分方程，其中a為非零常數(shù)，f(n)為已知函數(shù)，n為非負(fù)整數(shù)；yn+1+ayn=0為對(duì)應(yīng)的齊次方程。1.yn+1+ayn=0的通解可以由以下兩種方法給出：

（1）yn+1+ayn=0對(duì)應(yīng)的特征方程為l+a=0，則l=-a為特征根，從而其通解為yn=Cln=C(-a)n，于是C=y0，即通解為yn=(-a)ny0。

（2）設(shè)y0已知，將n=0,1,2,L依次代入yn+1=-ayn中，得

y1=(-a)y0，y2=(-a)2y0，L，yn=(-a)ny0。

2.設(shè)yn+1+ayn=f(n)0(a10)有一個(gè)特解yn，則yn+1+ayn=f(n)0的通解為

nyn=C(-a)n+yn

其中yn=C(-a)為對(duì)應(yīng)齊次差分方程yn+1+ayn=0的通解。

3.關(guān)于yn+1+ayn=f(n)0，針對(duì)不同的f(n)，其特解的求取方法：（1）設(shè)f(n)為關(guān)于n的m次已知多項(xiàng)式Pm(n)，則特解為

yn=nkRm(n)

即l11是特征根，則k=0；若a=-1，1，

其中Rm(n)為n的m次待定多項(xiàng)式。若a?即l=1是特征根，則k=1。

（2）設(shè)f(n)=Pm(n)q(q11)，其中q為已知的常數(shù)，Rm(n)為n的m次待定多項(xiàng)式，則特解為

nyn=nkRm(n)qn

當(dāng)q不是特征根時(shí)，取k=0；當(dāng)q是特征根時(shí)，取k=1。（3）設(shè)f(n)=b1coswn+b2sinwn，則

yn=nk(B1coswn+B2sinwn)

1

其中B1,B2為待定系數(shù)，當(dāng)e=cosw+isinw?iwa時(shí)，取k=0；當(dāng)

eiw=cows+iswi=n-

時(shí)，取ak=1。

例1求差分方程yn+1-yn=n2的通解。

解先求對(duì)應(yīng)齊次方程yn+1-yn=0的通解。其特征方程為l-1=0，于是l=1，于是yn+1-yn=0的通解為yn=Clnnn=C。

nn設(shè)yn+1-yn=n2的一個(gè)特解為yn=(an+b)2，代入yn+1-yn=n2，得

a=1,b=-2，于是yn+1-yn=n2n的通解為

yn=C+(n-2)g2n。

例2求差分方程2yt+1+10yt-5t=0的通解。

解簡(jiǎn)單求得對(duì)應(yīng)齊次差分方程的通解為yt=C(-5)，設(shè)原差分方程的特解為

tyt*=at+b，代入原方程，得a=

55，于是2yt+1+10yt-5t=0的通解為,b=-127251yt=C(-5)t+(t-)。

126§2二階差分方程

若a10，稱aDn+bDn-1+cDn-2=0為二階線性齊次差分方程，它對(duì)應(yīng)的特征方程為

ar2+br+c=0。

（1）若D=b-4ac0，則ar+br+c=0有不相等的根r1,r2，原差分方程的通解為

其中A,B可以由初始條件來確定。

22Dn=Ar1n+Br2n

2

注

通解也可以寫成Dn=Ar1n-1+Br2n-1的形式，但是求出的系

數(shù)A,B有變化，最終結(jié)果是一致的。

（2）若D=b-4ac=0，則ar+br+c=0有重根r1=r2，原差分方程的通解為

其中A,B可以由初始條件來確定。通解也可以寫成Dn=(A+nB)r1的。

例3已知數(shù)列{xn}：x0=a,x1=b,xn=解方法一xn-xn-1=-

各式相加，得

n-122Dn=(A+nB)r1n

，但是求出的系數(shù)A,B有變化，最終結(jié)依舊是一致

1(xn-1-xn-21(xn-1+xn-2),n2，求limxn。

n21n-1)=L=(-)(b-a)，于是22x1-x0=b-a，

，

1x3?x2?(?)2(b?a)，

2??1xn?xn?1?(?)n?1(b?a)，

2111?1?xn?x0??1?(?)?(?)2???(?)n?1?(b?a)?(b?a)(n??)，

1222??1?2所以

?limxn?n??a?2b。3方法二limxn?n???(xn?1?xn)?x0?n?0b?aa?2b?a?。131?(?)2方法三差分方程xn?1111xn?1?xn?2的特征方程為r2?r??0，解之，得特征根22221r1?1,r2??，于是差分方程的通解為

2

1xn?A(?)n?B?1n

23

考慮到x0?a,x1?b，代入，得A?于是

2a?2b2(a?b)1na?2b，，(a?b),B?xn?(?)?33323limxn?n??a?2b。3?21例4若a1?4,a2?2,an?an?1?an?2,n?3,4,?，探討級(jí)數(shù)?an的斂散性。

39n?121211an?1?an?2所對(duì)應(yīng)的特征方程為r2?r??0，解之，得r1?r2?，393931于是an?(A?Bn)r1n?1?(A?Bn)n?1，令n?3和n?4，得

3解an?

?A?3B?8，??A?4B?10?2?2n解之，得A?B?2，即an?n?1,n?3,4,?，所以?an收斂。

3n?1思考您能否求出級(jí)數(shù)的和？

例5設(shè)a1?a2?1,an?2?2an?1?3an,n?1，求級(jí)數(shù)函數(shù)。

?axnn?1?n的收斂半徑、收斂域及和

解分析假使單單求收斂半徑、收斂區(qū)間與和函數(shù)的表達(dá)式，通過{an}的遞推公式是不難辦到的，但是，假使考慮在端點(diǎn)的收斂性，不考慮an是有較大困難的。

由于an?2?2an?1?3an所對(duì)應(yīng)的特征方程為r?2r?3?0，解之，得特征根r1??1，

211nnn3n，r2?3，設(shè)an?Ar1?Br2?A(?1)?B?考慮到a1?a2?1，代入，得A??,B?，

26于是有an?a11n13?(?1)n,n?1,2,?，從而收斂半徑R?limn?。

n??a362n?1??11nn顯然，當(dāng)x??時(shí)，?anx通項(xiàng)的極限不為零，于是?anx在x??發(fā)散，所以

33n?1n?1冪級(jí)數(shù)

11nax的收斂域?yàn)??,)。?n33n?11133?當(dāng)x?(?,)時(shí)，有和函數(shù)

4

?3n11?1?xxn?nnn?s(x)??anx????(?1)?x??(3x)??(?x)?。

26n?12n?12(1?3x)2(1?x)n?1n?1?6??n?

驏001÷?÷??÷例設(shè)矩陣B=?010÷，A,B相像，求R(A-2E)+R(A-E)?！?÷?÷?100÷桫解由于A,B相像，所以A-2E與B-2E相像，A-E與B-E相像，只要計(jì)算

B-2E與B-E的秩即可

例設(shè)A為3階矩陣，若存在3個(gè)正交的特征向量，則A為對(duì)稱矩陣。

證明設(shè)A的3個(gè)正交的特征向量分別為x1,x2,x3，將它們分別單位化，得三個(gè)相互正交的單位長(zhǎng)度的特征向量h1,h2,h3，再設(shè)l1,l2,l3分別為對(duì)應(yīng)的特征值，令P=(h1,h2,h3)，

驏l10??-1AP=?0l2則P為正交矩陣，且PAP=P￠????00桫矩陣。

驏0÷l100÷?÷÷?÷?÷0÷P￠為對(duì)稱，于是A=P?0l20÷÷÷?÷÷?÷÷÷?l3÷00l桫3例設(shè)A,B為n階非負(fù)定矩陣，則AB的特征值非負(fù)。

證明由于A,B為n階非負(fù)定矩陣，所以存在n階矩陣P,Q，使得

A=PⅱP,B=，

于是

AB=PⅱP=(PⅱPQ)Q=TQ，

PQ，