面抽象函數(shù)解題方法與技巧(精華版)

歡迎下載——精品資料精品資料精品資料抽象函數(shù)解題方法與技巧古語云：授人以魚，只供一飯。授人以漁，則終身受用無窮。學(xué)知識，更要學(xué)方法。清華網(wǎng)校的學(xué)習(xí)方法欄目由清華附中名師結(jié)合多年教學(xué)經(jīng)驗和附中優(yōu)秀學(xué)生學(xué)習(xí)心得組成，以幫助學(xué)生培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣為目的，使學(xué)生在學(xué)習(xí)中能夠事半功倍。所謂抽象函數(shù)問題，是指沒有具體地給出函數(shù)的解析式，只給出它的一些特征或性質(zhì)。解決這類問題常涉及到函數(shù)的概念和函數(shù)的各種性質(zhì)，因而它具有抽象性、綜合性和技巧性等特點。抽象函數(shù)問題既是教學(xué)中的難點，又是近幾年來高考的熱點。換元法包括顯性換元法和隱性換元法，它是解答抽象函數(shù)問題的基本方法.例1.已知f(1+sinx)=2+sinx+cos2x,求f(x)故f(x)=-x2+3x+1(0≤u≤2)2.方程組法運用方程組通過消參、消元的途徑也可以解決有關(guān)抽象函數(shù)的問題。例2.設(shè)y=f(x)是實數(shù)函數(shù)(即x,f(x)為實數(shù)),,求證：1例3.已知,(x≠0且x≠1),求f(x).用代換x即.由得：(x≠0且x≠1)3.待定系數(shù)法如果抽象函數(shù)的類型是確定的，則可用待定系數(shù)法來解答有關(guān)抽象函數(shù)的問題。例4.已知f(x)是多項式函數(shù)，且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求f(x).解：由已知得f(x)是二次多項式，設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)歡迎下載——精品資料精品資料精品資料有些抽象函數(shù)的性質(zhì)是用條件恒等式給出的，可通過賦特殊值法使問題得以解決。例5.對任意實數(shù)x,y,均滿足f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0.則f(2001)=.例6.已知f(x)是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對于任意的函數(shù)a,b都滿足通過變量代換等數(shù)學(xué)手段將抽象函數(shù)具有的性質(zhì)與函數(shù)的單調(diào)性等定義式建立聯(lián)系，為問題的解決帶來極大的方便.例7.設(shè)函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x,y,都有f(x+y)=f(x)+f(y),若x>0時f(x)<0,且f(1)=-2,求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.所以f(x)是R上的減函數(shù)，又f(3)=f(1)+f(2)=-6,f(-3)=6.例8.定義在R+上的函數(shù)f(x)滿足：①對任意實數(shù)m,f(x")=mf(x);②f(2)=1.(3)若f(x)+f(x-3)≤2,求x的取值范圍.又f(x)+f(y)=f(2m)+f(2")=mf(2)+nf(2)=m+n,所以f(xy)=f(x)+f(y)(2)證明：設(shè)O<x?<x2,可令m<n且使x?=2Ⅲ,x?=2",(3)由f(x)+f(x-3)≤2及f(x)的性質(zhì)解得3<x≤4.6.遞推法對于定義在正整數(shù)集N*上的抽象函數(shù)，用遞推法來探究，如果給出的關(guān)系式具有遞推性，也常用遞推法來求解.例9.是否存在這樣的函數(shù)f(x),使下列三個條件：①f(n)>0,n∈N:②f(ni+nz)=f(n?)f(n?),n?,n?∈N*;歡迎下載——精品資料精品資料精品資料又f(2)=4=22,f(3)=23,…,由此猜想：f(x)=2×(x∈N*)(數(shù)學(xué)歸納證明略)若g(x)=f(x)+1-x,則g(2002):即g(x+5)≥g(x),g(x+1)≤g(x).又g(1)=1,故g(2002)=1.7.模型法模型法是指通過對題目的特征進(jìn)行觀察、分析、類比和聯(lián)想，尋找具體的函數(shù)模型，再由具體函數(shù)模型的圖象和性質(zhì)來指導(dǎo)我們解決抽象函數(shù)問題的方法。應(yīng)掌握下面常見的特殊模型：特殊模型抽象函數(shù)正比例函數(shù)f(X)=kx(k≠0)冪函數(shù)f(x)=x”指數(shù)函數(shù)f(x)=ax(a>0且a≠1)對數(shù)函數(shù)f(x)=logax(a>0且a≠1)正、余弦函數(shù)f(x)=sinxf(x)=cOsx正切函數(shù)f(x)=tanx余切函數(shù)f(x)=cotx(1)解不等式F(3x-x2)>4.;(2)解方程,假設(shè)存在某個x?！蔙,使f(x。)=0,則f(x)=f[(x-x?)+xσ]=f(x-x?)f(x?)=0,與已知矛盾，故f(x)>0(2)f(1)=2,f(2)=2,f(3)=8,原方程可化為：[f(x)]2+4f(x)-5=0,解得歡迎下載——精品資料精品資料精品資料在所以f(xi)>f(x?),故f(x)在R+上為減函數(shù).能力訓(xùn)練A.偶函數(shù)B.奇函數(shù)C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.非奇非偶函數(shù)的值為精品資料精品資料<0恒成立令x=y=0,得f(0+0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0(2)設(shè)任意x?,X?∈R且x?<x?,則x?-x?>0,由已知f(x?-x?)<0(1)由(1)(2)得f(x?)>f(x?又∵f(-3)=-f(3)=-f(2+1)=-[f(2)+f(1)]=-[f(1)+f(1)+f(1)]=-3f(1),→