數(shù)字圖像處理與模式識別

數(shù)字圖像處理與模式識別第1頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五第二章圖像處理中的常用數(shù)學變換2.1引言2.2空域變換

2.2.1代數(shù)運算

2.2.2幾何運算2.3離散傅立葉變換

2.3.1離散傅立葉變換基本概念

2.3.2離散傅立葉變換基本性質(zhì)

2.3.3快速離散傅立葉變換2.4離散Gabor變換

2.4.1加窗傅立葉變換

2.4.2Gabor變換的基本概念

2.4.3離散Gabor變換2.5小波變換2.5.1連續(xù)小波變換2.5.2二進小波變換2.5.3離散小波變換2.5.4二維離散小波變換2.5.5小波變換的應用2.6PCA變換

2.6.1PCA的基本概念及問題描述2.6.2PCA變換的應用2.7離散余弦變換2.8其他的正交變換第2頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五2.1引言

圖像的數(shù)學變換的特點在于其有精確的數(shù)學背景，是許多圖像處理技術的基礎。在這些變換中，一種是在空間域上進行的，這些變換根據(jù)處理操作的特點，可以分為圖像的代數(shù)運算和幾何運算，它們都是利用對輸入圖像進行加工而得到輸出圖像。另一種重要的數(shù)學變換則是將原定義在圖像空間的圖像以某種形式轉(zhuǎn)換到另外一些空間，并利用輸入圖像在這些空間的特有性質(zhì)有效而快速地對圖像進行處理和分析。最典型的變換有離散傅立葉變換，它把空域中的圖像信號看作二維時間序列，將其變換到頻率域來分析圖像的頻譜特性。

除了傅立葉變換外，常用的非空域的變換還有Gabor變換、小波變換、離散余弦變換、PCA變換等等。無論是在空域中的數(shù)學變換還是頻域中的數(shù)學變換，它們在圖像分析、濾波、增強、壓縮等處理中都有著非常典型而重要的應用。第3頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五2.2空域變換2.2.1代數(shù)運算

圖像的代數(shù)運算是指對兩幅圖像進行點對點的四則運算而得到一幅新的輸出圖像。圖像的代數(shù)運算在圖像處理中有著廣泛的應用，它除了可以實現(xiàn)自身所需要的算術操作，還能為許多復雜的圖像處理提供準備。1.加法運算

2.減法運算（差分）第4頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五+=第5頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五=—第6頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五（a）原圖（b）梯度運算第7頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五2.2.2幾何運算幾何運算可以改變圖像中物體之間的空間關系。這種運算可以看成是圖像內(nèi)的各物體在圖像內(nèi)移動的過程。例如，物體的轉(zhuǎn)動、扭曲、傾斜、拉伸等等，都是幾何運算的結(jié)果。第8頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五0,0xy旋轉(zhuǎn)第9頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五0,0xy水平鏡像第10頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五0,0xy垂直鏡像第11頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五平移放縮第12頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五旋轉(zhuǎn)第13頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五復雜變換右圖顯示了在失真和相應的校正圖像中的四邊形區(qū)域，四邊的頂點是相應的“控制點”。假設四邊形區(qū)域中的幾何形變過程用雙線性方程對來建模，即：

FDCBAFDCAB第14頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五幾何變換的應用舉例

圖像在生成過程中，由于系統(tǒng)本身具有非線性或拍攝角度不同，會使生成的圖像產(chǎn)生幾何失真。幾何失真一般分為系統(tǒng)失真和非系統(tǒng)失真。系統(tǒng)失真是有規(guī)律的、能預測的；非系統(tǒng)失真則是隨機的。但對圖像作定量分析時，就要對失真的圖像進行幾何校正（即將存在幾何失真的圖像校正成無幾何失真的圖像），以免影響分析精度?；痉椒ㄊ窍冉缀涡Ｕ臄?shù)學模型；其次利用已知條件確定模型參數(shù)；最后根據(jù)模型對圖像進行幾何校正。通常分為兩步：(1)圖像空間的坐標變換；(2)確定校正空間各象素的灰度值。

第15頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五灰度級插值輸出象素通常被映射到輸入圖像中的非整數(shù)位置，即位于四個輸入象素之間。因此，為了決定與該位置相對應的灰度值，必須進行插值運算。常用的插值方法有3種：

1）最近鄰插值(NearestNeighborInterpolation)2）雙線性插值(BilinearInterpolation)3）三次立方插值第16頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五1）最近鄰插值(NearestNeighborInterpolation)最簡單的插值方法是最近鄰插值，即選擇離它所映射到的位置最近的輸入象素的灰度值為插值結(jié)果。數(shù)學表示為：2）雙線性插值(BilinearInterpolation)雙線性插值法是對最近鄰法的一種改進，即用線性內(nèi)插方法，根據(jù)點的四個相鄰點的灰度值，分別在x和y方向上進行兩次插值，計算出的值。最后形成的插值函數(shù)為一雙曲拋物面方程：第17頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五(0,0)f(0,0)(x,0)(0,y)(0,1)(x,1)(1,1)(1,0)f(1,0)(x,y)f(x,y)灰度雙線性插值示意圖yx第18頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五首先，在x方向上作線性插值，對上端的兩個頂尖進行線性插值得：

類似的，對于底端兩個頂點進行線性插值有：y方向上作線性插值，以確定：最后得到雙線性插值公式為：

第19頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五3）三次立方插值該方法利用三次多項式來逼近理論上的最佳插值函數(shù)，其數(shù)學表達式為：上式中的是周圍象素沿方向離原點的距離。待求象素的灰度值由其周圍16個點的灰度值加權內(nèi)插得到?？赏茖С龃笙笏氐幕叶戎涤嬎闶綖椋旱?0頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五.2.1012S(x)x三次立方插值原理圖0uv(x,y)(i,j)(i+1,j)(i+1,j+1)(i,j+1)(i.1,j.1)(i.1,j+2)(i+2,j.1)(i+2,j+2)第21頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五其中：第22頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五2.3離散傅立葉變換2.3.1傅立葉定義理論基礎、連續(xù)與離散的傅立葉變換。2.3.2二維傅立葉變換特性可分離性、周期與共軛對稱、平移性；旋轉(zhuǎn)特性、線性與相似性、均值性；拉普拉斯、卷積與相關。2.3.3快速傅立葉變換FFT算法、逆向FFT算法、算法實現(xiàn)。第23頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五連續(xù)與離散的傅立葉變換一維連續(xù)傅立葉變換二維連續(xù)傅立葉變換離散傅立葉變換離散傅立葉變換的計算與顯示3.1傅立葉變換理論基礎第24頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五2.3.1傅立葉變換導言:傅立葉變換離散傅立葉變換的計算與顯示離散傅立葉變換的計算舉例離散傅立葉變換的顯示第25頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五離散傅立葉變換的計算舉例xf(x0)=f(x0+x)01231234第26頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五2.3.1傅立葉變換導言:傅立葉變換F(0)=1/4Σf(x)exp[0]=1/4[f(0)+f1(1)+f(2)+f(3)]=1/4(2+3+4+4)=3.25F(1)=1/4Σf(x)exp[-j2πx/4)]=1/4(2e0+3e

–j2π1/4+4e

–j2π2/4+4e

–j2π3/4)=1/4(-2+j)F(2)=-1/4(1+j0)F(3)=-1/4(2+j)第27頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五離散傅立葉變換的顯示

通過對傅立葉變換模，來顯示傅立葉變換圖象。由于模的值域大于顯示的值域，因此要進行動態(tài)值域的壓縮

D(u,v)=clog(1+|F(u,v)|)

其中：

c=255/k; k=max(log(1+|F(u,v)|))

值域[0,k]的上限（最大值）第28頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五離散傅立葉變換的顯示第29頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五第30頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五離散傅立葉變換的顯示——對稱平移后第31頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五第32頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五2.3.2二維傅立葉變換特性可分離性周期與共軛對稱平移性旋轉(zhuǎn)特性

線性與相似性均值性拉普拉斯卷積與相關第33頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五2.3.2二維傅立葉變換特性:可分離性先對行做變換：然后對列進行變換f(x,y)（0，0）（N-1，M-1）xyF(x,v)（0，0）（N-1，M-1）xvF(x,v)（0，0）（N-1，M-1）xvF(u,v)（0，0）（N-1，M-1）uv第34頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五2.3.3快速傅立葉變換:FFT算法思想分析這些表達式得到如下的特性：（1）一個N個點的變換，能夠通過將原始表達 式分成兩個部分來計算（2）通過計算兩個（N/2）個點的變換。得到

Feven(u)和Fodd(u)（3）奇部與偶部之和得到F(u)的前(N/2)個值。（4）奇部與偶部之差得到F(u)的后(N/2)個值。且不需要額外的變換計算。第35頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五2.3.3快速傅立葉變換:FFT算法思想快速傅立葉變換的思想：1）通過計算兩個單點的DFT，來計算兩個點的DFT2）通過計算兩個雙點的DFT，來計算四個點的DFT，…，以此類推3）對于任何N=2m的DFT的計算，通過計算兩個N/2點的DFT，來計算N個點的DFT第36頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五第37頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五2.4離散Gabor變換2.4.1加窗傅立葉變換2.4.2Gabor變換的基本概念2.4.3離散Gabor變換第38頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五引言連續(xù)小波變換（CWT）小波變換的性質(zhì)離散小波變換（DWT）二維小波多分辨率分析快速小波變換（FWT）2.5小波變換第39頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五1．引言付利葉等變換的局限小波的提出、發(fā)展和應用波和小波第40頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五第41頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五

應用：將小波用于地震信號的分析與處理；將二進小波變換用于圖像的邊緣檢測、圖像壓縮與重構(gòu)；將連續(xù)小波變換用于渦流的研究；將小波變換用于噪聲中的未知瞬態(tài)信號；將小波變換用于語音信號的分析、變換和綜合;將正交小波變換用于算子及擬微分算子的化簡；將小波變換的自適應性用于解微分方程；將小波變換用于電磁場領域的若干問題研究等，都取得了初步成果。第42頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五波和小波（Wavelet）第43頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五第44頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五2．連續(xù)小波變換（CWT）小波變換的定義設函數(shù)f(t)∈L2(R)，則小波變換的定義如下：其中，積分核為的函數(shù)族。a＞0為尺度參數(shù)（伸縮參數(shù)）,b為定位參數(shù)（平移參數(shù)），該函數(shù)稱為小波。若a＞1函數(shù)ψ(t)具有伸展作用，若a＜1函數(shù)ψ(t)具有收縮作用。伸縮參數(shù)a對ψ(t)的影響如下圖：

第45頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五隨著參數(shù)a的減小，ψ(t)的支撐區(qū)也隨之變窄，反之亦然。ψ(t)隨伸縮參數(shù)a和平移參數(shù)b而變化如下圖：大a小a第46頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五圖中小波函數(shù)為

。當a=2,b=15時，ψ2,15(t)的波形從原點向右移至t=15，且波形展寬。當a=0.5，b=-10時，ψ1/2,-10(t)的波形從原點向左移至t=-10,且波形收縮。

第47頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五2）小波函數(shù)要滿足的條件(1)緊支撐性（Compactsupport），即在一個很小的區(qū)域之外函數(shù)均為零，函數(shù)具有速降特性。(2)平均值為零，即：而且其高階矩也為零：第48頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五小波應是一個具有振蕩性和迅速衰減的波。因為：第49頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五3）小波反變換對于所有f(t),ψ(t)∈L2(R)，連續(xù)小波逆變換定義為：變換能量守恒：a,b第50頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五4）幾種小波（1）Haar小波第51頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五（2）MexicoHat小波

MexicoHat小波是Gauss函數(shù)的二階導數(shù)：它是實值小波，一般形式為：第52頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五（3）Morlet小波

Morlet小波是最常用的復值小波，它可由下式給出：第53頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五3.小波變換的性質(zhì)（1）線性（2）平移和伸縮的共變性（3）小波變換還有微分運算、局部正則、能量守恒、空間-尺度局部化等特性。第54頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五4．離散小波變換（DWT）離散小波函數(shù)、離散小波變換、反變換分別定義如下：第55頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五5.二維小波連續(xù)的二維小波函數(shù)、小波變換和反變換分別如下：第56頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五二維離散小波變換和反變換分別為：第57頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五6．多分辨率分析金字塔算法拉普拉斯金字塔編碼子帶編碼和解碼第58頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五拉普拉斯金字塔編碼第59頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五子帶編碼和解碼第60頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五雙通道子帶編碼第61頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五雙通道子帶解碼第62頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五7．快速小波變換（FWT）快速小波變換（FWT）：魚骨算法第63頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五快速小波反變換：第64頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五第65頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五第66頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五1．PCA(主分量分析/K-L)變換2．DCT與PCA的關系2.6PCA變換第67頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五1．PCA(主分量分析/K-L)變換均值：偏差：協(xié)方差矩陣：第68頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五PCA變換：PCA反變換：變換后均值為0，方差為：第69頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五作用：解除相關性；可以用于降維處理

也稱為主分量分析(K-L)，用于人

臉識別。如果降到M維的均方誤差為：第70頁