數(shù)字圖像處理與模式識別

數(shù)字圖像處理與模式識別第1頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五第二章圖像處理中的常用數(shù)學(xué)變換2.1引言2.2空域變換

2.2.1代數(shù)運(yùn)算

2.2.2幾何運(yùn)算2.3離散傅立葉變換

2.3.1離散傅立葉變換基本概念

2.3.2離散傅立葉變換基本性質(zhì)

2.3.3快速離散傅立葉變換2.4離散Gabor變換

2.4.1加窗傅立葉變換

2.4.2Gabor變換的基本概念

2.4.3離散Gabor變換2.5小波變換2.5.1連續(xù)小波變換2.5.2二進(jìn)小波變換2.5.3離散小波變換2.5.4二維離散小波變換2.5.5小波變換的應(yīng)用2.6PCA變換

2.6.1PCA的基本概念及問題描述2.6.2PCA變換的應(yīng)用2.7離散余弦變換2.8其他的正交變換第2頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五2.1引言

圖像的數(shù)學(xué)變換的特點(diǎn)在于其有精確的數(shù)學(xué)背景，是許多圖像處理技術(shù)的基礎(chǔ)。在這些變換中，一種是在空間域上進(jìn)行的，這些變換根據(jù)處理操作的特點(diǎn)，可以分為圖像的代數(shù)運(yùn)算和幾何運(yùn)算，它們都是利用對輸入圖像進(jìn)行加工而得到輸出圖像。另一種重要的數(shù)學(xué)變換則是將原定義在圖像空間的圖像以某種形式轉(zhuǎn)換到另外一些空間，并利用輸入圖像在這些空間的特有性質(zhì)有效而快速地對圖像進(jìn)行處理和分析。最典型的變換有離散傅立葉變換，它把空域中的圖像信號看作二維時(shí)間序列，將其變換到頻率域來分析圖像的頻譜特性。

除了傅立葉變換外，常用的非空域的變換還有Gabor變換、小波變換、離散余弦變換、PCA變換等等。無論是在空域中的數(shù)學(xué)變換還是頻域中的數(shù)學(xué)變換，它們在圖像分析、濾波、增強(qiáng)、壓縮等處理中都有著非常典型而重要的應(yīng)用。第3頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五2.2空域變換2.2.1代數(shù)運(yùn)算

圖像的代數(shù)運(yùn)算是指對兩幅圖像進(jìn)行點(diǎn)對點(diǎn)的四則運(yùn)算而得到一幅新的輸出圖像。圖像的代數(shù)運(yùn)算在圖像處理中有著廣泛的應(yīng)用，它除了可以實(shí)現(xiàn)自身所需要的算術(shù)操作，還能為許多復(fù)雜的圖像處理提供準(zhǔn)備。1.加法運(yùn)算

2.減法運(yùn)算（差分）第4頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五+=第5頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五=—第6頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五（a）原圖（b）梯度運(yùn)算第7頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五2.2.2幾何運(yùn)算幾何運(yùn)算可以改變圖像中物體之間的空間關(guān)系。這種運(yùn)算可以看成是圖像內(nèi)的各物體在圖像內(nèi)移動的過程。例如，物體的轉(zhuǎn)動、扭曲、傾斜、拉伸等等，都是幾何運(yùn)算的結(jié)果。第8頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五0,0xy旋轉(zhuǎn)第9頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五0,0xy水平鏡像第10頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五0,0xy垂直鏡像第11頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五平移放縮第12頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五旋轉(zhuǎn)第13頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五復(fù)雜變換右圖顯示了在失真和相應(yīng)的校正圖像中的四邊形區(qū)域，四邊的頂點(diǎn)是相應(yīng)的“控制點(diǎn)”。假設(shè)四邊形區(qū)域中的幾何形變過程用雙線性方程對來建模，即：

FDCBAFDCAB第14頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五幾何變換的應(yīng)用舉例

圖像在生成過程中，由于系統(tǒng)本身具有非線性或拍攝角度不同，會使生成的圖像產(chǎn)生幾何失真。幾何失真一般分為系統(tǒng)失真和非系統(tǒng)失真。系統(tǒng)失真是有規(guī)律的、能預(yù)測的；非系統(tǒng)失真則是隨機(jī)的。但對圖像作定量分析時(shí)，就要對失真的圖像進(jìn)行幾何校正（即將存在幾何失真的圖像校正成無幾何失真的圖像），以免影響分析精度?；痉椒ㄊ窍冉缀涡Ｕ臄?shù)學(xué)模型；其次利用已知條件確定模型參數(shù)；最后根據(jù)模型對圖像進(jìn)行幾何校正。通常分為兩步：(1)圖像空間的坐標(biāo)變換；(2)確定校正空間各象素的灰度值。

第15頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五灰度級插值輸出象素通常被映射到輸入圖像中的非整數(shù)位置，即位于四個(gè)輸入象素之間。因此，為了決定與該位置相對應(yīng)的灰度值，必須進(jìn)行插值運(yùn)算。常用的插值方法有3種：

1）最近鄰插值(NearestNeighborInterpolation)2）雙線性插值(BilinearInterpolation)3）三次立方插值第16頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五1）最近鄰插值(NearestNeighborInterpolation)最簡單的插值方法是最近鄰插值，即選擇離它所映射到的位置最近的輸入象素的灰度值為插值結(jié)果。數(shù)學(xué)表示為：2）雙線性插值(BilinearInterpolation)雙線性插值法是對最近鄰法的一種改進(jìn)，即用線性內(nèi)插方法，根據(jù)點(diǎn)的四個(gè)相鄰點(diǎn)的灰度值，分別在x和y方向上進(jìn)行兩次插值，計(jì)算出的值。最后形成的插值函數(shù)為一雙曲拋物面方程：第17頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五(0,0)f(0,0)(x,0)(0,y)(0,1)(x,1)(1,1)(1,0)f(1,0)(x,y)f(x,y)灰度雙線性插值示意圖yx第18頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五首先，在x方向上作線性插值，對上端的兩個(gè)頂尖進(jìn)行線性插值得：

類似的，對于底端兩個(gè)頂點(diǎn)進(jìn)行線性插值有：y方向上作線性插值，以確定：最后得到雙線性插值公式為：

第19頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五3）三次立方插值該方法利用三次多項(xiàng)式來逼近理論上的最佳插值函數(shù)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：上式中的是周圍象素沿方向離原點(diǎn)的距離。待求象素的灰度值由其周圍16個(gè)點(diǎn)的灰度值加權(quán)內(nèi)插得到?？赏茖?dǎo)出待求象素的灰度值計(jì)算式為：第20頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五.2.1012S(x)x三次立方插值原理圖0uv(x,y)(i,j)(i+1,j)(i+1,j+1)(i,j+1)(i.1,j.1)(i.1,j+2)(i+2,j.1)(i+2,j+2)第21頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五其中：第22頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五2.3離散傅立葉變換2.3.1傅立葉定義理論基礎(chǔ)、連續(xù)與離散的傅立葉變換。2.3.2二維傅立葉變換特性可分離性、周期與共軛對稱、平移性；旋轉(zhuǎn)特性、線性與相似性、均值性；拉普拉斯、卷積與相關(guān)。2.3.3快速傅立葉變換FFT算法、逆向FFT算法、算法實(shí)現(xiàn)。第23頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五連續(xù)與離散的傅立葉變換一維連續(xù)傅立葉變換二維連續(xù)傅立葉變換離散傅立葉變換離散傅立葉變換的計(jì)算與顯示3.1傅立葉變換理論基礎(chǔ)第24頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五2.3.1傅立葉變換導(dǎo)言:傅立葉變換離散傅立葉變換的計(jì)算與顯示離散傅立葉變換的計(jì)算舉例離散傅立葉變換的顯示第25頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五離散傅立葉變換的計(jì)算舉例xf(x0)=f(x0+x)01231234第26頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五2.3.1傅立葉變換導(dǎo)言:傅立葉變換F(0)=1/4Σf(x)exp[0]=1/4[f(0)+f1(1)+f(2)+f(3)]=1/4(2+3+4+4)=3.25F(1)=1/4Σf(x)exp[-j2πx/4)]=1/4(2e0+3e

–j2π1/4+4e

–j2π2/4+4e

–j2π3/4)=1/4(-2+j)F(2)=-1/4(1+j0)F(3)=-1/4(2+j)第27頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五離散傅立葉變換的顯示

通過對傅立葉變換模，來顯示傅立葉變換圖象。由于模的值域大于顯示的值域，因此要進(jìn)行動態(tài)值域的壓縮

D(u,v)=clog(1+|F(u,v)|)

其中：

c=255/k; k=max(log(1+|F(u,v)|))

值域[0,k]的上限（最大值）第28頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五離散傅立葉變換的顯示第29頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五第30頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五離散傅立葉變換的顯示——對稱平移后第31頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五第32頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五2.3.2二維傅立葉變換特性可分離性周期與共軛對稱平移性旋轉(zhuǎn)特性

線性與相似性均值性拉普拉斯卷積與相關(guān)第33頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五2.3.2二維傅立葉變換特性:可分離性先對行做變換：然后對列進(jìn)行變換f(x,y)（0，0）（N-1，M-1）xyF(x,v)（0，0）（N-1，M-1）xvF(x,v)（0，0）（N-1，M-1）xvF(u,v)（0，0）（N-1，M-1）uv第34頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五2.3.3快速傅立葉變換:FFT算法思想分析這些表達(dá)式得到如下的特性：（1）一個(gè)N個(gè)點(diǎn)的變換，能夠通過將原始表達(dá) 式分成兩個(gè)部分來計(jì)算（2）通過計(jì)算兩個(gè)（N/2）個(gè)點(diǎn)的變換。得到

Feven(u)和Fodd(u)（3）奇部與偶部之和得到F(u)的前(N/2)個(gè)值。（4）奇部與偶部之差得到F(u)的后(N/2)個(gè)值。且不需要額外的變換計(jì)算。第35頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五2.3.3快速傅立葉變換:FFT算法思想快速傅立葉變換的思想：1）通過計(jì)算兩個(gè)單點(diǎn)的DFT，來計(jì)算兩個(gè)點(diǎn)的DFT2）通過計(jì)算兩個(gè)雙點(diǎn)的DFT，來計(jì)算四個(gè)點(diǎn)的DFT，…，以此類推3）對于任何N=2m的DFT的計(jì)算，通過計(jì)算兩個(gè)N/2點(diǎn)的DFT，來計(jì)算N個(gè)點(diǎn)的DFT第36頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五第37頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五2.4離散Gabor變換2.4.1加窗傅立葉變換2.4.2Gabor變換的基本概念2.4.3離散Gabor變換第38頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五引言連續(xù)小波變換（CWT）小波變換的性質(zhì)離散小波變換（DWT）二維小波多分辨率分析快速小波變換（FWT）2.5小波變換第39頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五1．引言付利葉等變換的局限小波的提出、發(fā)展和應(yīng)用波和小波第40頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五第41頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五

應(yīng)用：將小波用于地震信號的分析與處理；將二進(jìn)小波變換用于圖像的邊緣檢測、圖像壓縮與重構(gòu)；將連續(xù)小波變換用于渦流的研究；將小波變換用于噪聲中的未知瞬態(tài)信號；將小波變換用于語音信號的分析、變換和綜合;將正交小波變換用于算子及擬微分算子的化簡；將小波變換的自適應(yīng)性用于解微分方程；將小波變換用于電磁場領(lǐng)域的若干問題研究等，都取得了初步成果。第42頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五波和小波（Wavelet）第43頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五第44頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五2．連續(xù)小波變換（CWT）小波變換的定義設(shè)函數(shù)f(t)∈L2(R)，則小波變換的定義如下：其中，積分核為的函數(shù)族。a＞0為尺度參數(shù)（伸縮參數(shù)）,b為定位參數(shù)（平移參數(shù)），該函數(shù)稱為小波。若a＞1函數(shù)ψ(t)具有伸展作用，若a＜1函數(shù)ψ(t)具有收縮作用。伸縮參數(shù)a對ψ(t)的影響如下圖：

第45頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五隨著參數(shù)a的減小，ψ(t)的支撐區(qū)也隨之變窄，反之亦然。ψ(t)隨伸縮參數(shù)a和平移參數(shù)b而變化如下圖：大a小a第46頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五圖中小波函數(shù)為

。當(dāng)a=2,b=15時(shí)，ψ2,15(t)的波形從原點(diǎn)向右移至t=15，且波形展寬。當(dāng)a=0.5，b=-10時(shí)，ψ1/2,-10(t)的波形從原點(diǎn)向左移至t=-10,且波形收縮。

第47頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五2）小波函數(shù)要滿足的條件(1)緊支撐性（Compactsupport），即在一個(gè)很小的區(qū)域之外函數(shù)均為零，函數(shù)具有速降特性。(2)平均值為零，即：而且其高階矩也為零：第48頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五小波應(yīng)是一個(gè)具有振蕩性和迅速衰減的波。因?yàn)椋旱?9頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五3）小波反變換對于所有f(t),ψ(t)∈L2(R)，連續(xù)小波逆變換定義為：變換能量守恒：a,b第50頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五4）幾種小波（1）Haar小波第51頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五（2）MexicoHat小波

MexicoHat小波是Gauss函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：它是實(shí)值小波，一般形式為：第52頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五（3）Morlet小波

Morlet小波是最常用的復(fù)值小波，它可由下式給出：第53頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五3.小波變換的性質(zhì)（1）線性（2）平移和伸縮的共變性（3）小波變換還有微分運(yùn)算、局部正則、能量守恒、空間-尺度局部化等特性。第54頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五4．離散小波變換（DWT）離散小波函數(shù)、離散小波變換、反變換分別定義如下：第55頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五5.二維小波連續(xù)的二維小波函數(shù)、小波變換和反變換分別如下：第56頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五二維離散小波變換和反變換分別為：第57頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五6．多分辨率分析金字塔算法拉普拉斯金字塔編碼子帶編碼和解碼第58頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五拉普拉斯金字塔編碼第59頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五子帶編碼和解碼第60頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五雙通道子帶編碼第61頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五雙通道子帶解碼第62頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五7．快速小波變換（FWT）快速小波變換（FWT）：魚骨算法第63頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五快速小波反變換：第64頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五第65頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五第66頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五1．PCA(主分量分析/K-L)變換2．DCT與PCA的關(guān)系2.6PCA變換第67頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五1．PCA(主分量分析/K-L)變換均值：偏差：協(xié)方差矩陣：第68頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五PCA變換：PCA反變換：變換后均值為0，方差為：第69頁，共88頁，2023年，2月20日，星期五作用：解除相關(guān)性；可以用于降維處理

也稱為主分量分析(K-L)，用于人

臉識別。如果降到M維的均方誤差為：第70頁