分式解題技巧

例1例1解方程T+V+Tx-2x-ax-4x-6一、裂項(xiàng)法 宀―……分析方程中每一個(gè)分式的分母加1都等于它的分子.根據(jù)這樣一個(gè)特點(diǎn)，可以把分子分裂成兩項(xiàng)，然后分別用它的分母去除，消去分子中的未知數(shù)，再分組通分將分子化為1.解原方程可化為(疋一刃+1,(x-8)+l(x-4)+l,(x-6)+l(x-4) x-61x-2 x-8(x-4) x-61x-2 x-8即—+—=—+ ,x-2 x-8 x-4 x-6移項(xiàng)得士-士=士-士'22通分得解之得x=5‘經(jīng)檢驗(yàn)x=5是原方程的解..?.X2—14x+48=X2—6x+8,例3解方程：-L--—二、局部通分法 分析用去分母化整式方程的常規(guī)辦法來解，將會(huì)帶來繁瑣的運(yùn)算，如能適當(dāng)局部通分，并輔以除法求解，將會(huì)得到較為理想的效果. 解局部通分得‘a(chǎn)去分母，得X2—7x+10=X2—9x+18.故2x=8.?°?x=4.經(jīng)檢驗(yàn)知x=4是原方程的解.分式運(yùn)算中的“七巧” 1?巧用公式的基本性質(zhì)X-1例1計(jì)算口一例1計(jì)算口一(x-2X X22?巧用逐步通分法例^簡在+丄+"+仁X-—22?巧用逐步通分法例^簡在+丄+"+仁亍分析若一次性完成通分，運(yùn)算量很大，注意到(1—x)(l+x)=l—X2,而(1—X2)(l+x2)=l—x4，可以用逐步通分法化簡.解原式=▲+厶+二=宀+宀=宀1-x2 1+x21+x4 1+x1 盪了 4/ 2瓦 13．巧用運(yùn)算律 例3計(jì)算1一盜1+X81+J1+瓦$ 1+3．巧用運(yùn)算律 例3計(jì)算可以先用加法交換律整理順序如下再用逐步通分法化簡．可以先用加法交換律整理順序如下再用逐步通分法化簡．例4化簡解例4化簡解原式==［胚務(wù)+畠+胚匕「冬型=(-)2+2(-)+1(乘法分配律)XX ■4．巧用已知條件例5當(dāng)4．巧用已知條件例5當(dāng)x2－4x＋1=0時(shí)，求各…士)的值?解原式呂-刖解原式呂-刖為了求出代數(shù)式的值，將已知條件變形為為了求出代數(shù)式的值，將已知條件變形為x2+1=4x,則原式=手=4ba蘭_5?巧用乘法公式 例6計(jì)算Jb^ba蘭_5?巧用乘法公式 例6計(jì)算Jb^a解應(yīng)用立方和公式原式6．巧變形1例7計(jì)算1b + +???+ 0+1)0+2)(X+2)(x+3)(X+99)(x+100)分析我們注意一個(gè)事實(shí)2 5-3 1 1 ==3x53x5 3 5?4 7-3 1 1 = =3x7 3x7 3 丁般地有耳abab1 12 5-3 1 1 ==3x53x5 3 5?4 7-3 1 1 = =3x7 3x7 3 丁般地有耳abab1 1ababba針對本題1_11(x+l)(x+2)_ _x+211_11(x+99)(x+100)=x+99_x+100解:原式=7n~x+2+x+2_7T3+'_x+1x+100991 1x+99x+100(x+l)(x+100)7．巧換元 例8化簡b3a通過換元，降低了式子中字母的次數(shù)，便于計(jì)算．@+l)g+2)仗+3)6+4)+1例9計(jì)算 解把分子括號適當(dāng)搭配［(a+l)(a+4)][(a+2)(a+3)]+l=(a2+5a+4)(a2+5a+6)+1.這時(shí)若把a(bǔ)2+5a+5看作m 貝Ua2看作m 貝Ua2+5a+4=m—1a2+5a+6=m+1原式_(m_1)山+1)+1m2-1+1 =mm=a2+5a+5討論分式問題的四點(diǎn)注意1.討論分式有無意義時(shí)，要注意對原分式進(jìn)行討論，不能在約分后再討論?因?yàn)榧s分后常會(huì)使未知數(shù)取值范圍擴(kuò)大.例1當(dāng)富取何值時(shí)，分式,+2『有意義.x-x-6錯(cuò)解原式=x+2

仗錯(cuò)解原式=x+2

仗+2)(x-3)由X—3H0得xH3.?:當(dāng)xH3時(shí)，原分式有意義.分析上述解法是錯(cuò)誤的，事實(shí)上當(dāng)x=-2時(shí)，原分式也沒有意義．2．討論分式的值為零時(shí)，不但要使分子的值為零，而且還要注意使分母的x=1時(shí)，分式的分母為零，分式無意義．值不能為零．例2當(dāng)盜為何值時(shí)，分式J二值不能為零．例2當(dāng)盜為何值時(shí)，分式J二3的值為零錯(cuò)解由x2-1=0，得x=±1．當(dāng)汁士時(shí)分式莊二的值為零分析當(dāng)3．討論繁分式有無意義時(shí)，不能只討論最后一層分母，而且要注意對每層例3芷為何值時(shí)，繁分式」^有意義.分母都要討論. 錯(cuò)解由x-1H0得xHl. ???當(dāng)xHl時(shí)，原繁分式有意分析原分式中1+亠是分母，當(dāng)諏值使每一層的分母的值義. 都不為零時(shí)，繁分式才有意義.4.討論分式方程的解時(shí)，不但要使各分母的值不能為零，還要注意分子為例4解關(guān)于超的方程二=