難題突破專題五-實(shí)踐與應(yīng)用

難題突破專題五實(shí)踐與應(yīng)用現(xiàn)實(shí)生活中存在大量的有關(guān)數(shù)量關(guān)系的問題，需要從所研究的問題中捕捉數(shù)量關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型——方程(組)、不等式(組)、函數(shù)表達(dá)式，再通過對(duì)數(shù)學(xué)模型的研究，使原問題獲得解決，為此學(xué)生要過好三關(guān)：1．審題關(guān)．應(yīng)用題出題形式多樣，如利用對(duì)話或圖表呈現(xiàn)相關(guān)信息．對(duì)于文字?jǐn)⑹鋈唛L(zhǎng)的問題，要從數(shù)學(xué)的角度去除無關(guān)信息，抓住有用信息，捕捉數(shù)量關(guān)系，為此學(xué)生要提高閱讀能力和搜集信息的能力．2．轉(zhuǎn)化關(guān)．在分析數(shù)量關(guān)系時(shí)要抓住反映數(shù)量關(guān)系的關(guān)鍵詞語，如“共”“少”“是”“剩下”等，根據(jù)相等、不等關(guān)系分別列方程(組)、不等式(組)，根據(jù)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系列函數(shù)表達(dá)式，切忌混淆數(shù)量關(guān)系，建立錯(cuò)誤的數(shù)學(xué)模型．3．解題關(guān)．加強(qiáng)解方程(組)、不等式(組)的訓(xùn)練，確保求解正確，充分考慮結(jié)果的多樣性，使答案簡(jiǎn)明、準(zhǔn)確．在空間與圖形的綜合題中，常遇到求未知幾何量或探索存在性問題，可通過探索圖形性質(zhì)，尋找未知幾何量和已知幾何量之間的等量關(guān)系或不等關(guān)系，列出方程(組)或不等式(組)，利用其有解、無解探索存在性問題，通過求解來求幾何量．類型1分析數(shù)量之間的相等或不等關(guān)系，建立方程(組)或不等式(組)1某電器超市銷售每臺(tái)進(jìn)價(jià)分別為200元、170元的A，B兩種型號(hào)的電風(fēng)扇，下表是近兩周的銷售情況：銷售時(shí)段銷售數(shù)量銷售收入A種型號(hào)B種型號(hào)第一周3臺(tái)5臺(tái)1800元第二周4臺(tái)10臺(tái)3100元(進(jìn)價(jià)、售價(jià)均保持不變，利潤(rùn)＝銷售收入－進(jìn)貨成本)(1)求A，B兩種型號(hào)的電風(fēng)扇的銷售單價(jià)．(2)若超市準(zhǔn)備用不多于5400元的金額再采購(gòu)這兩種型號(hào)的電風(fēng)扇共30臺(tái)，則A種型號(hào)的電風(fēng)扇最多能采購(gòu)多少臺(tái)？(3)在(2)的條件下，超市銷售完這30臺(tái)電風(fēng)扇能否實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)為1400元的目標(biāo)？若能，請(qǐng)給出相應(yīng)的采購(gòu)方案；若不能，請(qǐng)說明理由．例題分層分析(1)設(shè)A，B兩種型號(hào)電風(fēng)扇的銷售單價(jià)分別為x元，y元，根據(jù)3臺(tái)A種型號(hào)、5臺(tái)B種型號(hào)的電風(fēng)扇收入1800元，4臺(tái)A種型號(hào)、10臺(tái)B種型號(hào)的電風(fēng)扇收入3100元，可列得方程組____________，從而求出A，B兩種型號(hào)的電風(fēng)扇的銷售單價(jià)．(2)設(shè)采購(gòu)A種型號(hào)電風(fēng)扇a臺(tái)，則采購(gòu)B種型號(hào)電風(fēng)扇(30－a)臺(tái)，根據(jù)金額不多于5400元，可列不等式__________________，從而得到結(jié)果．(3)根據(jù)利潤(rùn)為1400元，可列出方程__________，求出a的值，即可判斷是否能實(shí)現(xiàn)目標(biāo)．類型2分析數(shù)量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，建立函數(shù)表達(dá)式2某企業(yè)接到一批粽子生產(chǎn)任務(wù)，按要求在15天內(nèi)完成，約定這批粽子的出廠價(jià)為每只6元，為按時(shí)完成任務(wù)，該企業(yè)招收了新工人，設(shè)新工人李明第x天生產(chǎn)的粽子數(shù)量為y只，y與x滿足下列表達(dá)式：y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(54x（0≤x≤5），,30x＋120（5<x≤15）.))圖Z5－1(1)李明第幾天生產(chǎn)的粽子數(shù)量為420只？(2)如圖Z5－1，設(shè)第x天每只粽子的成本是p元，p與x之間的關(guān)系可用圖中的函數(shù)圖象來刻畫．若李明第x天創(chuàng)造的利潤(rùn)為w元，求w與x之間的函數(shù)表達(dá)式，并求出第幾天的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少元．(利潤(rùn)＝出廠價(jià)－成本)(3)設(shè)(2)中第m天的利潤(rùn)達(dá)到最大值，若要使第(m＋1)天的利潤(rùn)比第m天的利潤(rùn)至少多48元，則第(m＋1)天每只粽子至少應(yīng)提價(jià)多少元？例題分層分析(1)把y＝420代入y＝30x＋120，解方程即可求得．(2)根據(jù)圖象求得成本p與x之間的函數(shù)表達(dá)式為：當(dāng)0≤x≤9時(shí)，p＝________；當(dāng)9＜x≤15時(shí)，p＝____________.根據(jù)利潤(rùn)等于出廠價(jià)減去成本列出等式，然后整理即可得到w與x的函數(shù)表達(dá)式為：當(dāng)0≤x≤5時(shí)，w＝________；當(dāng)5＜x≤9時(shí)，w＝__________；當(dāng)9＜x≤15時(shí)，w＝________．再根據(jù)一次函數(shù)的增減性和二次函數(shù)的增減性解答．(3)根據(jù)(2)得出m＋1＝________，根據(jù)利潤(rùn)等于出廠價(jià)減去成本得出提價(jià)a與利潤(rùn)w的關(guān)系式為w＝__________，再根據(jù)題意列出不等式，求解即可．解題方法點(diǎn)析此類問題考查的是函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，主要是利用函數(shù)的增減性求最值，難點(diǎn)在于讀懂題目信息，列出相關(guān)的函數(shù)表達(dá)式．類型3函數(shù)與方程、不等式之間的關(guān)系3某農(nóng)業(yè)觀光園計(jì)劃將一塊面積為900m2的園圃分成A，B，C三個(gè)區(qū)域，分別種植甲、乙、丙三種花卉，且每平方米栽種甲3株或乙6株或丙12株，已知B區(qū)域面積是A的2倍，設(shè)A區(qū)域面積為xm2(1)求該園圃栽種花卉總株數(shù)y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．(2)若三種花卉共栽種6600株，則A，B，C三個(gè)區(qū)域的面積分別是多少？(3)已知三種花卉的單價(jià)(都是整數(shù))之和為45元，且差價(jià)均不超過10元，在(2)的前提下，全部栽種共需84000元，請(qǐng)寫出甲、乙、丙三種花卉中，種植面積最大的花卉總價(jià)．例題分層分析(1)設(shè)A區(qū)域面積為xm2，則B區(qū)域面積是______m2，C區(qū)域面積是________m2，根據(jù)每平方米栽種甲3株或乙6株或丙12株，即可解答．(2)當(dāng)y＝6600時(shí)，即可得到方程________，解之可得．(3)設(shè)三種花卉的單價(jià)分別為a元、b元、c元，根據(jù)題意得方程組______________；整理得方程________，根據(jù)三種花卉的單價(jià)(都是整數(shù))之和為45元，且差價(jià)均不超過10元，可得b＝________，c＝________，a＝________，即可解答．解題方法點(diǎn)析此類題目需根據(jù)題意構(gòu)建函數(shù)模型，然后再與方程、不等式相互轉(zhuǎn)化．專題訓(xùn)練1．某市為提倡節(jié)約用水，采取分段收費(fèi)的方法．若每戶每月用水不超過20m3，每立方米收費(fèi)2元；若用水超過20m3，超過部分每立方米加收1元．小明家5月份交水費(fèi)64元，2．[2017·沈陽]某商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)一批單價(jià)為20元的日用商品，如果以單價(jià)30元銷售，那么半月內(nèi)可銷售出400件，根據(jù)銷售經(jīng)驗(yàn)，提高銷售單價(jià)會(huì)導(dǎo)致銷售量的減少，即銷售單價(jià)每提高1元，銷售量相應(yīng)減少20件，當(dāng)銷售單價(jià)是________元時(shí)，才能在半月內(nèi)獲得最大利潤(rùn)．3．[2017·河池]某班為滿足同學(xué)們課外活動(dòng)的需求，要求購(gòu)排球和足球若干個(gè)．已知足球的單價(jià)比排球的單價(jià)多30元，用500元購(gòu)得的排球數(shù)量與用800元購(gòu)得的足球數(shù)量相等．(1)排球和足球的單價(jià)各是多少元？(2)若恰好用去1200元，有哪幾種購(gòu)買方案？4．[2017·衢州]五一期間，小明一家乘坐高鐵前往某市旅游，計(jì)劃第二天租用新能源汽車自駕出游．圖Z5－2根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)設(shè)租車時(shí)間為x小時(shí)，租用甲公司的車所需費(fèi)用為y1元，租用乙公司的車所需費(fèi)用為y2元，分別求出y1，y2關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；(2)請(qǐng)你幫助小明計(jì)算并選擇哪個(gè)出游方案合算．5．小慧和小聰沿圖Z5－3①中景區(qū)公路游覽．小慧乘坐車速為30km/h的電動(dòng)汽車，早上7：00從賓館出發(fā)，游玩后中午12：00回到賓館．小聰騎車從飛瀑出發(fā)前往賓館，速度為20km/h，途中遇見小慧時(shí)，小慧恰好游完一景點(diǎn)后乘車前往下一景點(diǎn)，上午10：00小聰?shù)竭_(dá)賓館．圖②中的圖象分別表示兩人離賓館的路程s((1)小聰上午幾點(diǎn)鐘從飛瀑出發(fā)？(2)試求線段AB，GH的交點(diǎn)B的坐標(biāo)，并說明它的實(shí)際意義．(3)如果小聰?shù)竭_(dá)賓館后，立即以30km/h圖Z5－3參考答案類型1分析數(shù)量之間的相等或不等關(guān)系，建立方程(組)或不等式(組)例1【例題分層分析】(1)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋5y＝1800，,4x＋10y＝3100))(2)200a＋170(30－a(3)(250－200)a＋(210－170)(30－a)＝1400解：(1)設(shè)A，B兩種型號(hào)的電風(fēng)扇的銷售單價(jià)分別為x元，y元，依題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋5y＝1800，,4x＋10y＝3100，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝250，,y＝210.))答：A，B兩種型號(hào)電風(fēng)扇的銷售單價(jià)分別為250元、210元．(2)設(shè)采購(gòu)A種型號(hào)電風(fēng)扇a臺(tái)，則采購(gòu)B種型號(hào)電風(fēng)扇(30－a)臺(tái)．依題意，得200a＋170(30－a)≤5400解得a≤10.答：A種型號(hào)電風(fēng)扇最多能采購(gòu)10臺(tái)．(3)依題意，得(250－200)a＋(210－170)(30－a)＝1400，解得a＝20，∵a≤10，∴在(2)的條件下，超市不能實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)為1400元的目標(biāo)．類型2分析數(shù)量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，建立函數(shù)表達(dá)式例2【例題分層分析】(2)4.10.1x＋3.2102.6x57x＋228－3x2＋72x＋336(3)13510(a＋1.5)解：(1)設(shè)李明第n天生產(chǎn)的粽子數(shù)量為420只，由題意可知30n＋120＝420，解得n＝10.答：李明第10天生產(chǎn)的粽子數(shù)量為420只．(2)當(dāng)0≤x≤9時(shí)，p＝4.1；當(dāng)9＜x≤15時(shí)，設(shè)p＝kx＋b，把(9，4.1)，(15，4.7)代入，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9k＋b＝4.1，,15k＋b＝4.7，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝0.1，,b＝3.2，))∴p＝0.1x＋3.2.①當(dāng)0≤x≤5時(shí)，w＝(6－4.1)×54x＝102.6x，當(dāng)x＝5時(shí)，w最大＝513；②當(dāng)5＜x≤9時(shí)，w＝(6－4.1)×(30x＋120)＝57x＋228，當(dāng)x＝9時(shí)，w最大＝741；③當(dāng)9＜x≤15時(shí)，w＝(6－0.1x－3.2)×(30x＋120)＝－3x2＋72x＋336，∵－3＜0，∴當(dāng)x＝12時(shí)，w最大＝768.綜上，當(dāng)x＝12時(shí)，w有最大值，最大值為768.(3)由(2)可知m＝12，m＋1＝13，設(shè)第13天提價(jià)a元，由題意，得w13＝(6＋a－p)·(30x＋120)＝510(a＋1.5)，∴510(a＋1.5)－768≥48，解得a≥0.1.答：第13天每只粽子至少應(yīng)提價(jià)0.1元．類型3函數(shù)與方程、不等式之間的關(guān)系例3【例題分層分析】(1)2x900－3x(2)－21x＋10800＝6600(3)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝45，,600a＋2400b＋3600c＝84000))3b＋5c解：(1)y＝3x＋12x＋12(900－3x)＝－21x＋10800.(2)當(dāng)y＝6600時(shí)，－21x＋10800＝6600，解得x＝200，∴2x＝400，900－3x＝300.答：A，B，C三個(gè)區(qū)域的面積分別是200m2，400m(3)設(shè)三種花卉的單價(jià)分別為a元、b元、c元，在(2)的前提下，分別種植甲、乙、丙三種花卉的株數(shù)為600株，2400株，3600株，根據(jù)題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝45，,600a＋2400b＋3600c＝84000，))整理得3b＋5c＝95∵三種花卉的單價(jià)(都是整數(shù))之和為45元，且差價(jià)均不超過10元，∴b＝15，c＝10，∴a＝20，∴種植面積最大的花卉總價(jià)為2400×15＝36000(元)．答：種植面積最大的花卉總價(jià)為36000元．專題訓(xùn)練1．28[解析]設(shè)該用戶5月份實(shí)際用水x立方米，則20×2＋(x－20)×3＝64，解得x＝28.2．353．解：(1)設(shè)排球單價(jià)為x元，足球單價(jià)為(x＋30)元，由eq\f(500,x)＝eq\f(800,x＋30)，解得x＝50，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝50是原方程的解，∴x＋30＝80.答：排球單價(jià)為50元，足球單價(jià)為80元．(2)設(shè)買排球a個(gè)，足球b個(gè)，則50a＋80b＝1200，即5a＋8b∴a＝eq\f(120－8b,5).∵a，b為自然數(shù)，∴b＝0時(shí)，a＝24，b＝5時(shí)，a＝16，b＝10時(shí)，a＝8，b＝15時(shí)，a＝0.答：共有4種方案：0個(gè)足球和24個(gè)排球，5個(gè)足球和16個(gè)排球，10個(gè)足球和8個(gè)排球，15個(gè)足球和0個(gè)排球．4．解：(1)由題意可知y1＝k1x＋80，且圖象過點(diǎn)(1，95)，則有95＝k1＋80，∴k1＝15，∴y1＝15x＋80(x≥0)，由題意知y2＝30x(x≥0)．(2)當(dāng)y1＝y(tǒng)2時(shí)，解得x＝eq\f(16,3)；當(dāng)y1＞y2時(shí)，解得x＜eq\f(16,3)；當(dāng)y1＜y2時(shí)，解得x＞eq\f(16,3).∴若租車時(shí)間為eq\f(16,3)小時(shí)，則選擇甲、乙公司一樣合算；若租車時(shí)間小于eq\f(16,3)小時(shí)，則選擇乙公司合算；若租車時(shí)間大于eq\f(16,3)小時(shí)，則選擇甲公司合算．5．解：(1)小聰從飛瀑到賓館所用的時(shí)間為50÷20＝2.5(h),∵小聰上午10：00到達(dá)賓館，∴小聰從飛瀑出發(fā)的時(shí)刻為10－2.5＝7.5，∴小聰早上7：30從飛瀑出發(fā)．(2)設(shè)直線GH的函數(shù)表達(dá)式為s＝kt＋b，由于點(diǎn)G(eq\f(1,2)，50)，點(diǎn)H(3,0)，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)k＋b＝50，,3k＋b＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－20，,b＝60，))∴直線GH的函數(shù)表達(dá)式為s＝－20t＋60,又∵點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為30，∴當(dāng)s＝30時(shí)，令－20t＋60＝30，解得t＝eq\f(3,2)，∴點(diǎn)B(eq\f(3,2)，30).點(diǎn)B的實(shí)際意義是：上午8：30小慧與小聰在離賓館30km(3)設(shè)直線DF的函數(shù)表達(dá)式為s＝k1t＋b1，該直線過點(diǎn)D和F(5，0)，∵小慧從賓館到飛瀑所