人教版通用2015年高考文科數(shù)學(xué)練透高考必會(huì)題型8個(gè)專題37份

目錄

第1練小集合，大功能.......................................................2

第2練常用邏輯用語(yǔ)中的“常考題型”........................................7

第3練突破充要條件的綜合性問題...........................................12

第4練再談“三個(gè)二次”的轉(zhuǎn)化策略.........................................18

第5練如何用好基本不等式..................................................25

第6練處理好“線性規(guī)劃問題”的規(guī)劃.......................................32

第7練基本初等函數(shù)問題....................................................39

第8練函數(shù)性質(zhì)在運(yùn)用中的巧思妙解.........................................46

第9練分段函數(shù)，剪不斷理還亂.............................................53

第10練化解抽象函數(shù)快捷有效的幾個(gè)途徑...................................61

第11練尋圖有道，破解有方——函數(shù)的圖象問題.............................69

第12練函數(shù)的零點(diǎn)——關(guān)鍵抓住破題題眼...................................76

第13練高考對(duì)于導(dǎo)數(shù)幾何意義的必會(huì)題型...................................85

第14練導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性......................................................92

第15練函數(shù)的極值與最值..................................................99

第16練導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用...................................................108

第17練存在與恒成立問題..................................................119

第18練三角函數(shù)化簡(jiǎn)與求值策略...........................................129

第19練三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).............................................137

第20練解三角形問題......................................................147

第21練平面向量中的線性問題.............................................156

第22練關(guān)于平面向量數(shù)量積運(yùn)算的三類經(jīng)典題型.............................163

第23練基本量——破解等差、等比數(shù)列的法寶...............................174

第24練?？嫉倪f推公式問題的破解方略....................................181

第25練數(shù)列求和問題大全..................................................188

第27練完美破解立體幾何證明題...........................................207

第28練直線和圓的位置關(guān)系...............................................216

第29練與直線和圓有關(guān)的最值問題.........................................223

第30練橢圓問題中最值得關(guān)注的幾類基本題型.............................230

第31練雙曲線的漸近線和離心率...........................................238

第32練與拋物線相關(guān)的熱點(diǎn)問題...........................................246

第33練直線與圓錐曲線問題...............................................254

第34練圓錐曲線中的探索性問題..........................................264

第35練用樣本估計(jì)總體...................................................274

第36練概率的兩類模型...................................................282

第37練歸納與類比推理...................................................288

知識(shí)?考點(diǎn)?題型篇——練透高考必會(huì)題型

集合與常用邏輯用語(yǔ)

第1練小集合，大功能

［內(nèi)容精要］集合在各省市的高考題中，不論文科還是理科都有考查.而且考查形式也是千

變?nèi)f化，豐富多彩；考查的內(nèi)容也是多種多樣，與各章節(jié)知識(shí)都有聯(lián)系.所以說小集合，大

功能，高考命題沒它不行.

■典例剖析___________________________

題型一單獨(dú)命題獨(dú)立考查

例1已知集合/={1,2,3,4,5},B={(x,y)\x^A,y&A,x-y&A},則8中所含元素的個(gè)

數(shù)為()

A.3B.6

C.8D.10

破題切入點(diǎn)弄清“集合的代表元素”是解決集合問題的關(guān)鍵.

答案D

解析VB={(x,y)\x^A,y&A,x-y^A}>A={1,2,3,4,5),

?'?x=2,y=1;x=3,y=1,2；x=4,y=1,2,3；x=5,y=1,2,3,4.

???8={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)},

中所含元素的個(gè)數(shù)為10.

題型二與函數(shù)定義域、值域綜合考查

例2設(shè)函數(shù)大幻=吆(1一/),集合N={xip=ya)},B=3y=/(x)}，貝I」

圖中陰影部分表示的集合為()

A.[—1,0]B.(1],0)

C.(-8,-l)U[0,l)D.(一8,-l]U(0,l)

破題切入點(diǎn)弄清“集合”代表的是函數(shù)的定義域還是值域，如何求其定義域或值域.

答案D

解析因?yàn)?={x》=/(x)}={x|l-工2>0}=3-Ivxvl}.

CR/=(-8,-1]U[1,+8).

則“=1TG01],

所以8=0^=/(》)}=3>忘0},[述=(0,+8),

所以題圖陰影部分表示的集合為

(^nCRB)u(BnCR/()

=(0,l)U(-oo,-1],故選D.

題型三與不等式綜合考查

例3若集合/={x*—X—2<0},8={x[—2<r<a},則"/C8W0”的充要條件是()

A.a>~2B.aW~~2

C.a>—1D.一1

破題切入點(diǎn)弄清“集合”代表不等式的解集，“NCBK?！闭f明兩個(gè)集合有公共元素.

答案C

解析A={x\-l<x<2},5={x|-2<x<a}，

,?_-4—ni,'i—?

如圖所不：-2-1a012x

總結(jié)提高(1)集合是一個(gè)基本內(nèi)容，它可以與很多內(nèi)容綜合考查，題型豐富.

(2)對(duì)于集合問題，抓住元素的特征是求解的關(guān)鍵，要注意集合中元素的三個(gè)特征的應(yīng)用，

要注意檢險(xiǎn)結(jié)果.

(3)對(duì)于給出已知集合，進(jìn)行交集、并集與補(bǔ)集運(yùn)算時(shí)，可以直接根據(jù)它們的定義求解，也

可以借助數(shù)軸、Venn圖等圖形工具，運(yùn)用分類討論、數(shù)形結(jié)合等思想方法，直觀求解.

■精題狂練_____________________________

1.已知集合力=30<10綸<1},8={x,W2},則/C8等于()

A.(0,1)B.(0,2]

C.(1,2)D.(1,2]

答案D

解析A={x|l<x<4},8={x|xW2},

.?.408={x[l<xW2}.

2.已知集合/={xp+x—2=0},B—{x\ax—\},若4cB=B,則。等于（）

A.一：或1B.2或一1

C.-2或1或0D.—g或1或0

答案D

解析依題意可得=80814

因?yàn)榧?={XF+X-2=0}={-2,1},

當(dāng)x=-2時(shí)，-2q=l,解得。二弓；

當(dāng)x=1時(shí)，a=l；

又因?yàn)?是空集時(shí)也符合題意，這時(shí)〃=0,故選D.

3.已知集合力="|?一標(biāo)>0},B={x\~\[5<x<y[5},貝永）

A./C8=0B.ZU8=R

C.BJAD.A三B

答案B

解析易求Z={小<0或x>2},顯然NUB=R.

4.（2014?浙江）設(shè)全集U={xWN|x22},集合4={xeNUN5},則?！ǖ扔冢ǎ?/p>

A.。B.{2}

C.{5}D.{2,5}

答案B

解析因?yàn)?={xGN|xW-,或x》,},

所以[』={xGN|2Wx<小},故[〃={2}.

5.已知A/=3P=2X},N={（x,y）|x2+/=4},則MCN中元素個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1

C.2D.不確定

答案A

解析集合M是數(shù)集，集合N是點(diǎn)集，

故其交集中元素的個(gè)數(shù)為0.

6.設(shè)集合S={x[x>2},7={X?2_3X-4W0},貝貝RS）C（晚7）等于（）

A.（2,4]B.（-8,-1）

C.（一8,2]D.（4,+8）

答案B

解析因?yàn)?={x|-1WXW4},

所以(CR9n([RQ=CR(SUQ=(-8,-1).

7.若集合Z={xeR1ar2+ax+i=0}中只有一個(gè)元素，則。等于()

A.4B.2C.0D.0或4

答案A

解析當(dāng)4=0時(shí)，顯然不成立；

當(dāng)4六0時(shí)，由/=q2-4a=0,得a=4.故選A.

8.已知集合2="6為以-1|<2},Z為整數(shù)集，則集合ZCZ中所有元素的和等于.

答案3

解析A={xeR|pc-1|<2}={xGR|-l<x<3},

集合/中包含的整數(shù)有0,1,2,故/C1Z={0,1,2}.

故ZCZ中所有元素之和為0+1+2=3.

9.已知集合/={3,m2},8={-1,3,2加一1}.若A0B,則實(shí)數(shù)機(jī)的值為.

答案1

解析=1或加2=-i(舍).

由m2=2加-1得〃?=1.

經(jīng)檢驗(yàn)切=1時(shí)符合題意.

10.對(duì)于E={a”a，…，So。}的子集X={q,4},定義X的“特征數(shù)列”

為X1，X2，…，X]00，其中％=4="=%=1，其余項(xiàng)均為0.例如：子集{。2，6}的“特

征數(shù)列”為0,1,1,0,0,…，0.

⑴子集{0,。3,%}的“特征數(shù)列”的前3項(xiàng)和等于；

(2)若E的子集P的"特征數(shù)列"pi，p2,…，pioo滿足pi=l,pi+pi+i=l,lWiW99；E的子

集。的"特征數(shù)列",夕2，…，gio。滿足夕I=1，％++%+2=1,1W/W98,則PCQ的

元素個(gè)數(shù)為.

答案(1)2(2)17

解析(1)由題意，可得子集{6，的，⑹的“特征數(shù)列”為1,0,1,0,1,0,…，0,所以前3項(xiàng)

和為1+0+1=2.

(2)由題意，可知P的“特征數(shù)列”為1,0,1,0,1,0,…,0,

則尸={卬，。3，。5，…，。99}，有50個(gè)元素.

即集合尸中的元素的下標(biāo)依次構(gòu)成以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，

即這些元素依次取自集合￡中的項(xiàng)q2〃-i(lW"W50,nCN*).

。的''特征數(shù)列”為1,0,0,1,0,0,1,…，1,

則。={。1，。4,。7，00，…，00。}，有34個(gè)元素.

即集合。中的元素的下標(biāo)依次構(gòu)成以1為首項(xiàng)，

3為公差的等差數(shù)列，

即這些元素依次取自集合￡中的項(xiàng)a3”-2(lW〃W34,〃CN*).

而產(chǎn)。。中的元素是由這兩個(gè)集合中的公共元素構(gòu)成的集合，

所以這些元素的下標(biāo)依次構(gòu)成首項(xiàng)為1,

公差為2X3=6的等差數(shù)列，

即這些元素依次取自集合E中的項(xiàng)％,廠5，

由1W6--5W100,解得1W〃W苧，

又nGN,,

所以1W〃W17,即尸C。的元素個(gè)數(shù)為17.

11.已知函數(shù)y(x)=Y言不一；的定義域?yàn)榧?,函數(shù)g(x)=lg(—x2+2x+m)的定義域?yàn)?/p>

集合2.

(1)當(dāng)根=3時(shí)，求40(晚8)；

⑵若Zn8={x|-lvxv4},求實(shí)數(shù)機(jī)的值.

解⑴當(dāng)機(jī)=3時(shí)，8={x|-l<x<3},

則CR8={X|XW-1或x23},

又Z={x|-l〈xW5},

{x|3Wx《5}.

⑵={x\~l〈xW5},/A8={x|-1vx<4},

故4是方程-x?+2x+“7=0的一個(gè)根，

.?.*-42+2X4+OT=0,解得〃L8.

此時(shí)B={x|-2<x<4},符合題意.

因此實(shí)數(shù)〃?的值為8.

12.已知集合Z={x[3Wx<7},8={X|2<KV10},C={x\x<a},全集為實(shí)數(shù)集R.

⑴求/U8；

⑵([/)n&

(3)如果/CCW。，求a的取值范圍.

解(1)因?yàn)镹={x[3Wx<7},8={x[2<x<10},

所以NU8={x|2<x<10}.

(2)因?yàn)镹={x|3Wx<7},

所以(R/={x|x<3或xe7}.

所以(CRZ)CB={小<3或x27}D{x|2<x<10}={x\2<x<3或7Wx<10}.

(3)如圖，當(dāng)。＞3時(shí)，4CCW0.

3<37x

第2練常用邏輯用語(yǔ)中的“?？碱}型”

［內(nèi)容精要］常用邏輯用語(yǔ)應(yīng)突出“邏輯”二字，處理好邏輯關(guān)系是做好一切事情的根本，

可以起到很快很好的效果.本部分內(nèi)容在各地區(qū)文理科的高考題中也都有所考查，主要形式

為充分必要條件問題以及邏輯用語(yǔ)等方面，內(nèi)容包羅萬象，匕至大學(xué)新信息、新定義題，下

至初中、小學(xué)所學(xué)過的平面幾何等知識(shí)，所以一定要學(xué)好這部分內(nèi)容.

■典例剖析___________________________

題型一充分必要條件問題

例1⑴若山)和g(x)都是定義在R上的函數(shù)，則“危)與蛉)都為增函數(shù)”是Yx)+g(x)

是增函數(shù)”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分又不必要條件

TT

(2)已知函數(shù)加)=/cos(“x+0)(力＞0,。＞0,pdR),貝ij“火冷是奇函數(shù)”是“9=5”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

破題切入點(diǎn)(1)增函數(shù)的性質(zhì)以及互相推出的關(guān)鍵.

(2)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)要熟練掌握.

答案(1)A(2)B

解析(1)若危)與g(x)都為增函數(shù)，

根據(jù)單調(diào)性的定義易知Hx)+g(x)為增函數(shù)；

反之人X)+g(x)為增函數(shù)時(shí)，

例如y(x)=-X,g(x)=2x,/(x)+g(x)=x為增函數(shù)，

但7(x)為減函數(shù)，g(x)為增函數(shù).

故“火X)與ga)都為增函數(shù)”是)x)+g(x)是增函數(shù)”的充分不必要條件?

(2)9=，吻x)=ZcosQox+m=-Nsintux為奇函數(shù)，

”/(X)是奇函數(shù)”是“9=，’的必要條件.

又負(fù)x)=/cos3x+9)是奇函數(shù)=>/(0)=0=9=2+E(4eZ)力(p吟.

???”於)是奇函數(shù)"不是“9=，’的充分條件.

即“兀0是奇函數(shù)”是“9=自’的必要不充分條件.

題型二邏輯聯(lián)結(jié)詞、命題真假的判定

例2下列敘述正確的個(gè)數(shù)是()

①/為直線，a、夕為兩個(gè)不重合的平面，若/_L￡,a邛,貝

②若命題p：3xo^R,xo+IWO,則p：Vx^R,x2—x+l>0；

③在△/SC中，"NZ=60?！笔恰癱os/=T”的充要條件；

④若向量a，5滿足ab〈O,則“與》的夾角為鈍角.

A.1B.2

C.3D.4

破題切入點(diǎn)判定敘述是否正確，對(duì)命題首先要分清命題的條件與結(jié)論，再結(jié)合涉及知識(shí)進(jìn)

行判定；對(duì)含量詞的命題的否定，要改變其中的量詞和判斷詞.

答案B

解析對(duì)于①，直線/不一定在平面a外，錯(cuò)誤；對(duì)于②，命題p是特稱命題，否定時(shí)要寫

成全稱命題并改變判斷詞，正確；③注意到△4BC中條件，正確；④aS<0可能〈a,6〉=

兀，錯(cuò)誤.故敘述正確的個(gè)數(shù)為2.

總結(jié)提高⑴充要條件的判斷及選擇：首先要弄清楚所要考查的相關(guān)知識(shí)并將其聯(lián)系起來;

其次充要條件與互相推出的關(guān)系，有時(shí)以集合形式給出時(shí)找集合間的包含關(guān)系.牽扯到比較

復(fù)雜的問題時(shí)，要將條件轉(zhuǎn)化之后再判斷.

(2)命題真假的判定方法，注意真值表的使用.

(3)四種命題的改寫及真假判斷.

(4)含有一個(gè)量詞的命題的否定的改寫方法.

■精題狂練

1.已知集合/={1,a},8={1,2,3},則“a=3”是'7G8”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A

解析若。=3,則/=｛1,3｝

故“=3是/=8的充分條件；

而若則a不一定為3,

當(dāng)a=2時(shí)，也有/三區(qū)

故“=3不是的必要條件.故選A.

2.命題“若。=去則tana=l”的逆否命題是()

7T

A.若則tanaWl

B.若口=/則tanaWl

TT

C.若tanaWl,貝UaW4

71

D.若tanaWl,貝U儀=^

答案C

解析由命題與其逆否命題之間的關(guān)系可知，原命題的逆否命題是：若tana#l,則

3.下面是關(guān)于公差內(nèi)0的等差數(shù)列｛%｝的四個(gè)命題：

Pi：數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列；

P2：數(shù)列｛〃%｝是遞增數(shù)列；

P3：數(shù)列憐是遞增數(shù)列；

P4：數(shù)列｛4+3〃或是遞增數(shù)列.

其中的真命題為()

A.pi，piB.p3,pa

C.pz，PiD.pi，p4

答案D

解析如數(shù)列-2,-1,0,1,2,,,,,

則1X01=2X02,排除P2，

如數(shù)列1,2,3,…，則管=1,

排除P3,故選D.

4.已知p：^~<1,q：(x—<7)(x—3)>0,若%弟p是的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)。的取值

范圍是()

A.(-8,])B.[1,3]

C.[1,+8)D.[3,+8)

答案C

X+]

解析l<0^_j<O=^(x-l)(x+l)<O=>p:-當(dāng)〃23時(shí)，g:x<3或x>q;當(dāng)Q<3

時(shí)，q\X<Q或x>3./弟夕是夕的必要不充分條件，即p是q的充分不必要條件，即p今9且

件p、從而可推出。的取值范圍是a2l.

5.命題“對(duì)任意xCR,都有的否定為（）

A.對(duì)任意xWR,都有fvo

B.不存在xdR,使得/<0

C.存在x°GR,使得焉》0

D.存在x°GR,使得看<0

答案D

解析全稱命題的否定是一個(gè)特稱命題（存在性命題），故選D.

6.若命題P：函數(shù)y=》2—2X的單調(diào)遞增區(qū)間是［1,+8）,命題公函數(shù)v=x—;的單調(diào)遞

增區(qū)間是［1，+°°）,則（）

A.p/\g是真命題B.p\/q是假命題

C.是真命題D.是真命題

答案D

解析因?yàn)楹瘮?shù)y=》2-2x的單調(diào)遞增區(qū)間是口，+8）,所以p是真命題；

因?yàn)楹瘮?shù)y=x-：的單調(diào)遞增區(qū)間是（-8,0）和（0,+8）,所以q是假命題.

所以0八4為假命題，pVg為真命題，

為假命題，^4為真命題，故選D.

7.下列關(guān)于命題的說法中錯(cuò)誤的是（）

A.對(duì)于命題p：3x€R,使得f+x+l<0,則㈱p：VxGR,均有f+x+l》。

B.“x=l”是“f_3x+2=0”的充分不必要條件

C.命題“若/-3x+2=0,則x=l”的逆否命題為：“若x#l,則》2—3葉2#0”

D.若2八《為假命題，則p,?均為假命題

答案D

解析對(duì)于A,命題p:VxGR,均有f+x+l》O,因此選項(xiàng)A正確.對(duì)于B,由x=l

可得f-3x+2=0;反過來，由》2-3x+2=0不能得知x=1,此時(shí)x的值也可能是2,因

此“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要條件，選項(xiàng)B正確.對(duì)于C,原命題的逆否命

題是：“若xWl,則/-3》+240”，因此選項(xiàng)C正確，故選D.

8.下列命題中，是真命題的是（）

A.存在xe0,，,sinx+cosx>yj2

B.存在xG(3,+8),使2%+12/

C.存在xGR,使x2=x-l

D.對(duì)任意xe(0,~,使sinx<x

答案D

解析A中，?；sinx+8$》=啦$吊&+；)忘也，

?'.A錯(cuò)誤；

B中，2》+1》》2的解集為［1-爽，1+媳］,故B錯(cuò)誤；

C中，/=(-l)2-4=-3<0,

；.x2=x-1的解集為0,故C錯(cuò)誤；

D正確，且有一般結(jié)論，對(duì)Vxd(0,。

均有sinx<x<tanx成立，故選D.

9."<p=n"是"曲線y=sin(2x+9)過坐標(biāo)原點(diǎn)”的()

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A

解析當(dāng)°=兀時(shí)，y=sin(2x+兀)=-sin2x,

則曲線y=-sin2x過坐標(biāo)原點(diǎn)，

所以“夕=?！苯瘛扒€y=sin(2x+彷過坐標(biāo)原點(diǎn)”；

當(dāng)9=2兀時(shí)，y=sin(2x+2兀)=sin2x,

則曲線y=sin2x過坐標(biāo)原點(diǎn),

所以"夕=兀"牛"曲線y=sin(2x+0)過坐標(biāo)原點(diǎn)”，

所以“0=?！笔恰扒€y=sin(2x+0)過坐標(biāo)原點(diǎn)”的充分而不必要條件，故選A.

10.下列命題中錯(cuò)誤的是()

A.命題“若f-5x+6=0,則x=2”的逆否命題是“若x#2,貝"-5x+6#0”

B.若x,HR,則“x=y”是"中《守)中等號(hào)成立”的充要條件

C.已知命題p和q,若pVq為假命題，則命題p與q中必一真一假

D.對(duì)命題p：使得2QX—a』。，則P：Vx^R,2ox—J2。

答案C

解析易知選項(xiàng)A,B,D都正確；選項(xiàng)C中，若pVq為假命題，根據(jù)真值表，可知p,q

必都為假，故C錯(cuò).

11.設(shè)相，〃是空間兩條直線，?,4是空間兩個(gè)平面，則下列選項(xiàng)中不正確的是（）

A.當(dāng)n±a時(shí)，“"邛”是"a〃夕'成立的充要條件

B.當(dāng)mUa時(shí)，“ml/T是的充分不必要條件

C.當(dāng)機(jī)Ua時(shí)，"〃〃a"是的必要不充分條件

D.當(dāng)〃?Ua時(shí)，是的充分不必要條件

答案C

解析與同一條直線垂直的兩個(gè)平面平行，反之，當(dāng)兩個(gè)平行平面中有一個(gè)與一條直線垂直

時(shí)，另一個(gè)也與這條直線垂直，選項(xiàng)A正確；根據(jù)平面與平面垂直的判定定理，選擇B正

確；當(dāng)直線〃Ua時(shí)，直線〃不平行于平面a,選項(xiàng)C不正確；根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，選項(xiàng)

D正確.

12.對(duì)于原命題“單調(diào)函數(shù)不是周期函數(shù)”，下列陳述正確的是（）

A.逆命題為“周期函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)”

B.否命題為“單調(diào)函數(shù)是周期函數(shù)”

C.逆否命題為"周期函數(shù)是單調(diào)函數(shù)”

D.以上三者都不正確

答案D

解析根據(jù)四種命題的構(gòu)成可得選項(xiàng)A、B、C中結(jié)論均不正確.

第3練突破充要條件的綜合性問題

［內(nèi)容精要］有關(guān)充要條件主要有兩類題目：一類是判斷充要條件，另一類是根據(jù)充分必要

條件求參數(shù)范圍.解決這些問題的關(guān)鍵在于審清題意，分清何為條件，何為結(jié)論，然后看誰

能夠推出誰.

■典例剖析

題型一充分必要條件的判斷方法

例1是“1密。＞唾2-的（）

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

破題切入點(diǎn)有關(guān)充要條件的判斷問題，弄清楚誰是條件誰是結(jié)論，然后看誰能推出誰.

答案B

解析因?yàn)?gcob,

所以取。=1,b=-1,

則a>Z)=7^>log26Z>log2/>；

若Iog2<7>log2^>則d>b.

a

綜上，中l(wèi)og2a>log2^,

但"e"”<="log2a>log2b”.

所以"e">e"”是“Iog2〃>log2b”的必要而不充分條件.

題型二根據(jù)充要條件求參數(shù)范圍

[log2x,x>0,

例2函數(shù)兀v)="一八有且只有一個(gè)零點(diǎn)的充分不必要條件是()

I1-2十4,xWO

A.a<0B.0<a<；

C.^<a<lD.aWO或a>l

破題切入點(diǎn)把函數(shù).危)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題，從而求出｛x)有一

個(gè)零點(diǎn)的充分必要條件，再利用“以小推大”的技巧，即可得正確選項(xiàng).

答案A

解析因?yàn)楹瘮?shù)次x)過點(diǎn)(1,0),所以函數(shù)7(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)㈡函數(shù)y=-2、+。。(0)沒有

零點(diǎn)o函數(shù)y=2'(xW0)與直線y無公共點(diǎn).由數(shù)形結(jié)合，可得。W0或心1.

所以函數(shù)外)有且只有一個(gè)零點(diǎn)的充分必要條件是。W0或應(yīng)排除D;當(dāng)0<a弓時(shí)，函

數(shù)y=-2*+a(x<0)有一個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)_/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)是函數(shù)/(x)有且只有一

個(gè)零點(diǎn)的既不充分也不必要條件，應(yīng)排除B;同理，可排除C,應(yīng)選A.

總結(jié)提高(1)充要條件的判斷，首先要審清什么是條件，什么是結(jié)論，然后再看誰能推出

誰，有些還可以先找出條件和結(jié)論的等價(jià)條件，再看誰能推出誰，還有一些數(shù)集或集合形式

給出的條件或結(jié)論，可以從集合的觀點(diǎn)來判斷充要條件.

(2)根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)的值或取值范圍的關(guān)鍵是合理轉(zhuǎn)化條件，常通過有關(guān)性質(zhì)、

定理、圖象等將原問題轉(zhuǎn)化為最值問題、有解問題等，得到關(guān)于參數(shù)的方程或不等式(組)，

然后通過解方程(組)或不等式(組)求出參數(shù)的值或取值范圍.

■精題狂練

1.甲：x#2或yW3；乙：x+y#5,則()

A.甲是乙的充分不必要條件

B.甲是乙的必要不充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件

答案B

解析“甲今乙”，即“xW2或今“x+yW5”，其逆否命題為：“x+y=5”今"x

=2且y=3”顯然不正確.同理，可判斷命題“乙0甲”為真命題.所以甲是乙的必要不充

分條件.

2.設(shè)命題p：|4x-3|〈l；命題/f—(2a+l)x+a(a+l)W0,若㈱p是q的必要不充分

條件，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.0,1B(0,

C.(-8,O)uI，+8)D.(-8,0)U&+8)

答案A

解析幺弟p:|4x-3|>l;

q:x2-(2a+1)x+a(a+1)>0,

解得^p'.x>\或㈱q:x>a+1或x<a.

A(1

右^^㈱g,則，2或<2即OWaW,

.a+1>1。+121,

3.設(shè)a>0且aWl,則“函數(shù)於)=a,在R上是減函數(shù)”是“函數(shù)g(x)=(2—a］在R上是

增函數(shù)”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A

解析由題意知函數(shù)./(x)=，在R上是減函數(shù)等價(jià)于函數(shù)g(x)=(2-a)?在R上是

增函數(shù)等價(jià)于0<a<l或l<a<2,

”函數(shù)人x)=，在R上是減函數(shù)”是“函數(shù)g(x)=(2-aE在R上是增函數(shù)”的充分不必

要條件.

4.(2014?湖北)設(shè)。為全集，A,2是集合，則“存在集合C使得ZWC,是"ACB

=0”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案C

解析若存在集合C使得/aC,則可以推出4門8=0;

若41~18=0,由Venn圖（如圖）可知，存在4=C,同時(shí)滿足力三C,5-[uC.

故"存在集合C使得/GC,8三（必”是“ACB=0"的充要條件.

5.設(shè)平面a與平面￡相交于直線“，直線。在平面a內(nèi)，直線6在平面”內(nèi)，S.b±m(xù),則

“a邛”是“a_Lb”的（)

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

答案A

解析當(dāng)a_L6時(shí)，由于aC夕=/?,bU0,bl.m,由面面垂直的性質(zhì)定理知，Z>±a.

又taUa,"a_L.”是“a_Lb”的充分條件.

而當(dāng)°Ua且a〃機(jī)時(shí)，bl.m,,'.bA.a.

而此時(shí)平面a與平面廳不一定垂直，

:.“W不是“a_L6”的必要條件，故選A.

6.um=-1w是“直線/1：2x—my=2ni—1與直線“：》+2叩=m一2垂直”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A

解析若〃?=-1,則直線小/2垂直；

若直線八/2垂直，則有加=±1,

所以=-1"是"直線/]：lx-my=2m-1與直線6：x+2my=m-2垂直”的充分不必

要條件.選A.

7.給定兩個(gè)命題p,q.若是q的必要而不充分條件，則p是^4的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A

解析由題意知：（逆否命題）

8.已知下列各組命題，其中p是夕的充分必要條件的是（）

A.p：/MW—2或機(jī)26；q：y=x2+?zx+zn+3有兩個(gè)不同的零點(diǎn)

B.p：火"：)=1；q：y=/(x)是偶函數(shù)

j\^)

C.p：cosa=cos^；q：tana=tanp

D.p：AQB=A；q：A^U,BJU,［必

答案D

解析對(duì)于A,由y=/+如#〃?+3有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，可得/=〃/-4(〃?+3)>o,從而可

得加v-2或加>6.所以p是q的必要不充分條件；

對(duì)于B,由。1=次-幻=<功今>=於)是偶函數(shù)，但由y=〃)是偶函數(shù)不能推出勺~?=

八x)J\x)

1,例如函數(shù)<x)=0,所以p是夕的充分不必要條件；

對(duì)于C,當(dāng)cosa=cos4=0時(shí)，不存在tana==tan4，反之也不成立，所以p是q的既不充

分也不必要條件；

對(duì)于D,由=知408,所以

反之，由［uEUlM，知AJB,即4n8=4

所以pOq.

綜上所述，p是q的充分必要條件的是D.

9.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(2m+3—〃/,5=)在第四象限的充分必要條件是

.3

答案一1<加</或2<m<3

(2m+3-m2>0,

2//?—3I3

解析點(diǎn)(2m+3-所2,笆/)在第四象限oj2燒-3oT〈m</或2<加<3.

12-加

?r2V2

10.已知命題P：實(shí)數(shù)加滿足加+1242<7劭?(4>0),命題夕：實(shí)數(shù)已滿足方程_］+2_〃?

1表示的焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，且p是9的充分不必要條件，。的取值范圍為.

「13］

。案［3,8.

解析由a>0,#-lam+12Q2<0,得?)a<m<^a>

即命題p:3a<m<4a,a>0.

22

由古+七=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，

,3

可得2-〃?-1>0,解得l<w<2?

3

即命題q：1<w<2-

因?yàn)閜是夕的充分不必要條件,

3a>\>3心1,

13

所以彳或彳3解得Q—W，

而發(fā)4a<2，35

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是[-不1|31.

_Jo_

11.給出下列命題：

①“數(shù)列｛仇｝為等比數(shù)列”是“數(shù)列｛。,向,+1｝為等比數(shù)列”的充分不必要條件；

②“。=2”是“函數(shù)段)=,一3在區(qū)間[2,+8)上為增函數(shù)”的充要條件；

③"〃?=3"是"直線(/w+3)x+zwy—2=0與直線/nx—6y+5=0互相垂直”的充要條件；

④設(shè)a,b,c分別是△N8C三個(gè)內(nèi)角4,B,C所對(duì)的邊，若a=l,6=小，則'7=30。”

是“8=60?！钡谋匾怀浞謼l件.

其中，真命題的序號(hào)是.

答案①④

解析對(duì)于①，當(dāng)數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列時(shí)，易知數(shù)列｛a,Gt｝是等比數(shù)列；但當(dāng)數(shù)列｛?而“.1｝

是等比數(shù)列時(shí)，數(shù)列｛為｝未必是等比數(shù)列，如數(shù)列1,3,2,6,4,12,8顯然不是等比數(shù)列，而相應(yīng)

的數(shù)列3,6,12,24,48,96是等比數(shù)列，因此①正確.對(duì)于②,當(dāng)aW2時(shí),函數(shù)夕x)=|r-a|在

區(qū)間[2,+8)上是增函數(shù)，因此②不正確.對(duì)于③，當(dāng)m=3時(shí)，相應(yīng)的兩條直線垂直；反

過來，當(dāng)這兩條直線垂直時(shí)，不一定能得出，〃=3,也可能得出機(jī)=0,因此③不正確.對(duì)于

④，由題意，得白==小,當(dāng)8=60。時(shí)，有sin/=[,注意到b><7,故Z=30。；但當(dāng)4

ClSlrlA/

=30。時(shí)，有sin8=B-,8=60?；?=120。，因此④正確.

12.下面有四個(gè)關(guān)于充要條件的命題：①“向量b與非零向量a共線”的充要條件是“有且

只有一個(gè)實(shí)數(shù)4使得占=加"；②“函數(shù)、=/+瓜+。為偶函數(shù)”的充要條件是“6=0”；

③“兩個(gè)事件為互斥事件”是“這兩個(gè)事件為對(duì)立事件”的充要條件；④設(shè)“GR,則“0

=0”是“/(x)=cosa+9)(xGR)為偶函數(shù)”的充分不必要條件.其中，真命題的序號(hào)是

答案①②④

解析由共線向量定理，知命題①為真.當(dāng)6=0時(shí)，'=/+必+。=/+。顯然為偶函數(shù)，

反之，y=X?++c是偶函數(shù)，則(-x)2+b(-x)+c=f+6x+c恒成立，就有bx=0恒成立,

得6=0,因此②為真.對(duì)立事件是互斥事件的特殊情形，所以③為假.在④中，若e=0,

則負(fù)X)=cosX是偶函數(shù).但是若危)=cos(x+0)(xGR)是偶函數(shù)，則0=兀也成立，故a(p=0"

是"/(x)=cos(x+0)(xGR)為偶函數(shù)”的充分不必要條件.

知識(shí)?考點(diǎn)?題型篇——練透高考必會(huì)題型

不等式與線性規(guī)劃

第4練再談“三個(gè)二次”的轉(zhuǎn)化策略

［內(nèi)容精要］函數(shù)與不等式是高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn)，其中“二次”又是各不等式的基礎(chǔ).”三

個(gè)二次”經(jīng)常相互轉(zhuǎn)化，相輔相成，可以說是“密不可分”，是?個(gè)有機(jī)的整體，解決好這

部分題目時(shí)要學(xué)會(huì)觸類旁通.

■典例剖析

題型一函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化

|lgx|,x>0),

例1設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)/)=27則關(guān)于X的函數(shù)尸2/(x)—訓(xùn)x)+l

-X~2x,xWO,

的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.

破題切入點(diǎn)將函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)方程根的問題.

答案7

解析由y=2/(x)-3/W+1得/(x)或/(x)=1，

如圖畫出y(x)的圖象，由於)=權(quán)口有4個(gè)根，由於)=1知有3個(gè)根，故函數(shù)y="(x)-3/(x)

+1共有7個(gè)零點(diǎn).

題型二函數(shù)與不等式的轉(zhuǎn)化

例2已知一元二次不等式加)<0的解集為{小1或x>發(fā),則#0')>0的解集為()

A.{x|%v—1或x>lg2}B.{x|—l<x<lg2}

C.{x|x>—1g2}D.{xpr<_1g2}

破題切入點(diǎn)由題意，可得大i(r)>o等價(jià)于-iviozg,由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

答案D

解析方法一由題意可知兀v)>0的解集為

故式io>o等價(jià)于-i<i(r<1,

由指數(shù)函數(shù)的值域?yàn)?0,+8),知一定有10”>-1,

而10*<g可化為10'<101g

即10v<10-182.

由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知X<-Ig2,故選D.

方法二當(dāng)x=1時(shí)，式10)<0,排除A,C選項(xiàng).

當(dāng)x=-1時(shí),舄)>0，排除B.

題型三方程與不等式的轉(zhuǎn)化

例3已知關(guān)于x的二次方程X2+2,〃X+2,〃+1=0.

(1)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(-1,0)內(nèi)，另根在區(qū)間(1,2)內(nèi)，求朋的取值范圍；

(2)若方程兩根均在區(qū)間(0,1)內(nèi)，求m的取值范圍.

破題切入點(diǎn)將二次函數(shù)的特殊點(diǎn)按照題目要求固定到區(qū)間內(nèi)，轉(zhuǎn)化為不等式(組)進(jìn)行求

解.

解(1)由條件，拋物線/)=/+2蛆+2m+1與x軸的交點(diǎn)分別在區(qū)間(-1,0)/

和(1,2)內(nèi)，如右圖所示，-卜、

C1

7(0)=+lvo

WGR，

ylx-l)=2>0I

何今<1

/(I)=4〃？+2<0m<-

7(2)=6m+5>0s

加51

即-4<*一》

故m的取值范圍是(磊-1).

(2)拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均在區(qū)間(0,1)內(nèi)，如右圖所示，列不等式

組

rxo)>o

Xi)>o

心0

<0<一m<\

C1

加>一]，

11

今'm>~y即-f/wWl-也.

加21+6或/wWl-啦，

<-1</?<0.

故/?的取值范圍是1-6].

總結(jié)提高“三個(gè)二次”是一個(gè)整體，不可分割.有關(guān)“三個(gè)二次”問題的解決辦法通常是

利用轉(zhuǎn)化與化歸思想來將其轉(zhuǎn)化，其中用到的方法主要有數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想，其最

基本的理念可以說是嚴(yán)格按照一元二次不等式的解決步驟來處理.

■精題狂練

1.若/=任,2+伽+2我+1=0,XGR},8={珅。0},且NC8=。，則實(shí)數(shù)p的取值范圍是

()

A.p>—4B.—4</?<0

C.p20D.R

答案A

解析當(dāng)4=0時(shí)，J=(p+2)2-4<0,

-4<p<0.

當(dāng)/#0時(shí)，方程￥+(p+2)x+1=0有一個(gè)或兩個(gè)非正根，

心0,

,X|+X2=-(P+2)W0,

綜上所述，p>~4.

2.已知函數(shù)2x+3在閉區(qū)間[0,〃”上的最大值為3,最小值為2,則用的取值范

圍為()

A.[1,+°°)B.[0,2]

C.(一8,-2]D.[1,2]

答案D

解析；/(x)=(x-1)2+2,其對(duì)稱軸為x=1,當(dāng)x=1時(shí)，Xx)min=2,故相》1,又?.次))=3,

義2)=3,二加或2.綜上可知1W/HW2.

3.方程f—/一團(tuán)=0在1/]上有實(shí)根，則加的取值范圍是()

A19n95

A.mW-77B.—77</T?<T

lolo2

c、5c9-15

C.加D--/哈

答案D

解析W=X2-|x=(x-^)2-X^[-1,1].

當(dāng)x=-1時(shí)，m取最大值為9，

3995

當(dāng)x=4時(shí)，"?取最小值為一而，

[x+1,x<0,.

4.已知函數(shù)段)=2c「八若關(guān)于X的方程/。)一如)=0恰有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)

[x~—2x+\fx>0,

解，則。的取值范圍是()

A.(0,1)B.(0,2)C.(1,2)D.(0,3)

答案A

解析設(shè)，=危)，

則方程為t2-at=0,

解得/=0或t=a,

即7(x)=0或4x)=a

如圖，作出函數(shù)/(x)的圖象，

由函數(shù)圖象，可知,/)=0的解有兩個(gè)，

故要使方程/(x)-af