山東省某中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)6月模擬考試試題含解析

山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)6月模擬考試試題（含解析）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.

1.已知集合A={x|x=2'keZ},B={xeN|x<4},那么集合AB=（）

A.{1,4}B.{2}C.{1,2}D.

{124}

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)交集的概念和運(yùn)算，求得兩個集合的交集.

【詳解】依題意8={0,1,2,3},其中l(wèi)eA,2eA,所以A3={1,2}.

故選：C

【點(diǎn)睛】本小題主要考查集合交集的概念和運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.若z（2—i）2=—i（i是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的模為（〉

1111

A.-B.—C.—D.一

2345

【答案】D

【解析】

【分析】

利用復(fù)數(shù)的乘法、除法法則將復(fù)數(shù)表示為一般形式，然后利用復(fù)數(shù)的求模公式計算出復(fù)數(shù)z

的模.

詳解】因?yàn)閦（2—）2i所以

—i—i—i—z（3+4z）43.

（27）2-4-4i+i2-3-4z-（3-4z）（3+4z）一石一石‘

【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法、除法法則以及復(fù)數(shù)模的計算，對于復(fù)數(shù)相關(guān)問題，常利用復(fù)

數(shù)的四則運(yùn)算法則將復(fù)數(shù)表示為一般形式進(jìn)行求解，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

、、

TC

3.己知sin|^+。=cos|~~a，則cos2a()

377

叵

A0B.1ru.------

2

【答案】A

【解析】

【分析】

利用和差角公式可求得tan&的值，再利用二倍角的余弦公式結(jié)合弦化切的思想可求得

cos2a的值.

sin臼a

【詳解】=cos--oc,.?.——cosa+—sina=—cosa+sine，可

13UJ2222

得tana=1,

c.2cos2a-sin2a1-tan2a八

/.cos2a-cos-2a—sirra=----；--------；—=-------；—=0.

cos-a+sin_a1+tan-a

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查三角求值，考查和差角公式、二倍角公式以及弦化切思想的應(yīng)用，考查計

算能力，屬于中等題.

4.已知平面向量a，6滿足(a+b)./?=2,且"=1,1|=2,則,+0=()

A.V3B.V2C.1D.2A/3

【答案】C

【解析】

【分析】

由(a+與?"=2及W=2可得a.0=一2,代入向量模的計算公式可得\a+t\的值.

【詳解】解：由(。+。)m=2及"=2,可得。/+1(=2,可得〃.0=—2，

,+目=小(a+b)2=\a'+2a-b+b~=JF+2x(-2)+2?=1，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的數(shù)量積，向量模的性質(zhì)，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)

題型.

5.己知〃x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，若/（x+5）為偶函數(shù)，/⑴=1,則

/（2019）+/（2020）=（）

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】B

【解析】

【分析】

由〃x+5）奇偶性和函數(shù)平移的知識可得/（%）對稱軸，由/（X）奇偶性可確定〃0）,結(jié)

合對稱軸可得周期，由此可將所求式子變?yōu)?/（1）+/（0）,進(jìn)而求得結(jié)果.

【詳解】/（x+5）為偶函數(shù)，且/（x+5）可由“X）向左平移5個單位得到，

."（X）關(guān)于X=5軸對稱，即y（x+5）=/（5-x）,

又〃x）為R上的奇函數(shù)，二/（%+5）=―/（x—5）,且/（0）=0,

/（》+20）=-+10）=-[-/（x）]=/（%）,

.?./（X）是一個周期為20的周期函數(shù)，

.?./（2019）=/（20xl01_1）=/（-1）=一/⑴=—1,

/（2020）=/（20xl01）=/（0）=0,/（2019）+/（2020）=-1.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性、周期性和對稱性求解函數(shù)值的問題；解題關(guān)鍵是能夠

靈活應(yīng)用函數(shù)的對稱性和周期性之間的關(guān)系，通過對稱軸和對稱中心確定函數(shù)的周期.

22

6.已知點(diǎn)￡（一3,0）,6（3,0）分別是雙曲線G二―3=1（"0,6〉0）的左、右焦點(diǎn),

a'b"

"是C右支上的一點(diǎn)，兒莊與y軸交于點(diǎn)只瑪?shù)膬?nèi)切圓在邊p層上的切點(diǎn)為。，若

|PQ|=2,則C的離心率為（）

【答案】C

【解析】

【分析】

由雙曲線的定義、對稱性和內(nèi)切圓的切線性質(zhì)，結(jié)合離心率公式即可得到所求值.

【詳解】設(shè)的內(nèi)切圓在邊M馬上的切點(diǎn)為K,在上的切點(diǎn)為N,如圖所示:

則怛耳|=|叫|,|叫=|叫=2根國=|即

由雙曲線的對稱性可得|「制=|桃|=|尸0|+|0巴|=2+|。用，

由雙曲線的定義可得|咋|一|叫|=歸閘+戶用一|MK|Tg|

=2+\QF2\+\MP\-\MK\-\KF2\=2+\MP\-\MN\=4=2a,解得a=2,

3

又|6月|=6,即有c=3,離心率e=—c=—.

a2

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率的求法，考查內(nèi)切圓的切線性質(zhì)，注意運(yùn)用雙曲線的定義

是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

7.在二項(xiàng)式(x+—')”的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)的和為128,把展開式中各項(xiàng)重新排列，則有

yJX

理項(xiàng)都互不相鄰的概率為()

4331

A.—B.-C.—D.—

3541414

【答案】D

【解析】

【分析】

由系數(shù)和為128可得2"=128即可求出〃=7,由二項(xiàng)式定理寫出展開式的通項(xiàng)，即可求出

有理項(xiàng)、無理項(xiàng)數(shù)，結(jié)合排列中的插空法可求出有理項(xiàng)都互不相鄰的的概率.

【詳解】解：二項(xiàng)式(x+七)”的展開式中第％+1項(xiàng)為=C)"等，

則OC：+...+C：；=2"=128,則〃=7,則展開式中有8項(xiàng)，

7-1zrU^,即有理項(xiàng)有4項(xiàng)，無理項(xiàng)有4項(xiàng),

當(dāng)％=0,攵=2,2=4,攵=6時,

8項(xiàng)重新排列共用種排列數(shù)，先排列無理項(xiàng)共A：種排列數(shù)，要使得有理項(xiàng)不相鄰,

則4項(xiàng)有理項(xiàng)的排列數(shù)為川，所以有理項(xiàng)都互不相鄰的概率為噂

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理，考查了排列數(shù)的計算，考查了插空法.本題的關(guān)鍵是求出〃

的值.

8.已知函數(shù)/(幻=這2一%一皿刀有兩個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

1,1

A.B.（0,1）

1+e

C.一8,1一D.

e。與

【答案】B

【解析】

【分析】

函數(shù)/(x)=a、-Hln(x有兩個零點(diǎn)，即方程。=則/?有兩個根，設(shè)

InX-4-Y

g(x)=一^一，求出g'(x),研究出函數(shù)g(x)的單調(diào)性，由g(x)的圖象與有兩

個交點(diǎn)，得出a參數(shù)的范圍，得到答案.

【詳解】函數(shù)/0)=儂2一%一山工(%>0)有兩個零點(diǎn)

In_r4-r

由題意得方程a=——有兩個根.

x

、「/、lnx+x-

設(shè)g(x)=k'則g，(x)(1+l)x-(lnx+x)(2x)_]2inxx

x4X3

2

設(shè)/z(x)=l-21nx-x,則〃(九)=----1<0

所以〃(x)=l—21nx—x在(0,+。)上單調(diào)遞減，又力(1)=0

當(dāng)XG(0,l),〃(x)>0,g'(x)>0,所以g(尤)(0,1)上單調(diào)遞增,

當(dāng)Xe(L*?),〃(x)<0,g'(x)<0,所以g(x)在(L+8)上單調(diào)遞減,

J--1

又g⑴=1,g(/=Av=e-e2<0當(dāng)xe(l,+oo)時，lnx+x>0,則g(x)>0

所以存在/e(0,l),g(/)=0,即在(0,跖)上g(x)<0,

又當(dāng)x—>+ao時，基函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的增加速度的快慢，可知x->+8時，g(x)f()

作出函數(shù)g(x)的大致圖象如下.

所以方程〃=彳2有兩個根，即g(x)的圖象與有兩個交點(diǎn)，

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是(0,1)，

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查已知函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)取值范圍的問題，考查分離參數(shù)的方法，考查

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于難題題.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

9.是居民消費(fèi)價格指數(shù)的簡稱，是一個反映居民家庭一般所購買的消費(fèi)品和服務(wù)項(xiàng)目價

格水平變動情況的宏觀經(jīng)濟(jì)指標(biāo).同比一般情況下是今年第〃月與去年第〃月比；環(huán)比，表

示連續(xù)2個統(tǒng)計周期（比如連續(xù)兩月）內(nèi)的量的變化比.如圖是根據(jù)國家統(tǒng)計局發(fā)布的2019

年4月一2020年4月我國0V漲跌幅數(shù)據(jù)繪制的折線圖，根據(jù)該折線圖，則下列說法正確

的是（）

A.2020年1月同比漲幅最大

B.2019年4月與同年12月相比較，4月＜77環(huán)比更大

C.2019年7月至12月，?！币恢痹鲩L

D.2020年1月至4月?！敝坏粷q

【答案】AB

【解析】

分析】

根據(jù)折線圖數(shù)形結(jié)合，逐一分析即可；

【詳解】解：對于A,由同比折線可發(fā)現(xiàn)2020年1月舊同比漲幅最大，故4正確；

對于B,由圖可知2019年4月環(huán)比漲幅為0.1%,2019年12月為0%,故B正確；

對于C，由環(huán)比定義可知，2019年10月至12月間，下跌，故。錯誤；

對于。，由環(huán)比定義可知，2020年1月至4月間，3月到4月增漲，故。錯誤；

故選:AB.

【點(diǎn)睛】本題考查折線統(tǒng)計圖的識別，考查學(xué)生合情推理的能力以及閱讀理解能力，屬于中

檔題.

10.記數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S,,,若存在實(shí)數(shù)凡使得對任意的“CN+，都有

則稱數(shù)列｛q｝為“和有界數(shù)列”.下列說法正確的是（）

A.若｛凡｝是等差數(shù)列，且公差4=0,則｛q｝是“和有界數(shù)列”

B.若｛6,｝是等差數(shù)列，且｛4｝是“和有界數(shù)列”，則公差d=0

C.若｛q｝是等比數(shù)列，且公比＜1,則｛4｝是“和有界數(shù)列”

D.若｛《,｝是等比數(shù)列，且｛4｝是“和有界數(shù)列"，則｛4｝的公比際＜1

【答案】BC

【解析】

【分析】

根據(jù)等差數(shù)列前幾項(xiàng)和公式以及“和有界數(shù)列”的定義，判斷AB選項(xiàng)的正確性；根據(jù)等比

數(shù)列前〃項(xiàng)和公式以及“和有界數(shù)列”的定義，判斷CD選項(xiàng)的正確性.

【詳解】對于AB選項(xiàng)分析如下：若｛an｝是等差數(shù)列，則

n(n-\)dd(d\

s“=叫+---=-?2+y

對于A選項(xiàng)，當(dāng)d=0時，5.=叫，若4。0,根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可知，此時不存在符

合題意的〃.所以A選項(xiàng)錯誤.

對于B選項(xiàng)，｛4｝是“和有界數(shù)列"，而若4*0,根據(jù)二次函

2\27

數(shù)的性質(zhì)可知，此時不存在符合題意的“，故4=0.所以B選項(xiàng)正確.

對于CD選項(xiàng)分析如下：若｛?！埃堑缺葦?shù)列，則S“=也二11=

\-qT-q\-q

對于c選項(xiàng)，若［4＜i,則當(dāng)〃-?依時，\〉4一,故存在實(shí)數(shù)〃，使得對任意的“GN+,

i-q

都有即｛q｝是“和有界數(shù)列”.所以C選項(xiàng)正確.

對于D選項(xiàng)，若｛可｝是等比數(shù)列，且｛《,｝是”和有界數(shù)列”，q的取值可能為-1,此時

|S,區(qū)同,所以存在實(shí)數(shù)〃，使得對任意的〃eN+，都有聞＜”.所以D選項(xiàng)錯誤.

故選:BC

【點(diǎn)睛】本小題主要考查新定義數(shù)列的理解，考查等差數(shù)列、等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式的運(yùn)用,

屬于中檔題.

11.《九章算術(shù)》中將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為“塹堵”；底面為

矩形，一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱之為“陽馬”；四個面均為直角三角形的四面體稱為

“鱉膈”.如圖在塹堵力6046《中，ACVBC,且44刃6=2.下列說法正確的是（）

A.四棱錐於44X；為“陽馬”

B.四面體4G"為“鱉膈”

2

C.四棱錐644%；體積最大為］

D.過4點(diǎn)分別作于點(diǎn)￡,4c于點(diǎn)凡則硝

【答案】ABD

【解析】

【分析】

根據(jù)新定義結(jié)合線面垂直的證明，對選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷，可得出答案.

【詳解】底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為“塹堵”.

所以在塹堵ABC-AyByG中，ACLBC,側(cè)棱A4,1平面ABC.

在選項(xiàng)A中.所以A4,_L3C,又/。L8C,且A4,AC=A，則BCL平面A41GC.

所以四棱錐比40為“陽馬”，故A正確.

在選項(xiàng)B中.由4入8G即4G_L8C,又AG且G。BC=C，所以4G，平

面典GC

所以4G±BC「則VA^G為直角三角形.

又由BCJ.平面4AG。，得ABC為直角三角形.

由“塹堵”的定義可得AGC為直角三角形，CGB為直角三角形.

所以四面體4G應(yīng)為“鱉膈”，故B正確.

在選項(xiàng)C中.在底面有4=AC2+BC2>2AC-BC,即AC?8C42當(dāng)且僅當(dāng)AC=時

取等號.

ii24

%.AACC二-5號《x/?C=-ACxBCK—,所以C不正確.

在選項(xiàng)D中.由上面有BC,平面A4￡C,則3。_14/，加工4。且4。8C=C,則

AFL平面ABC

所以AF_LA3"反L/歸且AFcAE=A,則4B_L平面4EF,則ABLE?,所以D正

確.

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中的新定義問題，考查線線垂直，線面垂直的證明，考查四棱錐

的體積的最值，屬于中檔題.

12.己知/*）=1-2852（5+三）3>0）,下面結(jié)論正確的是（）

A.若“與）=1,/（±）=—1,且上一%|的最小值為萬，則°=2

B.存在3c（1,3）,使得F（x）的圖象向右平移?個單位長度后得到的圖象關(guān)于y軸對稱

0

C.若/U）在［0,2句上恰有7個零點(diǎn)，則3的取值范圍是

D.若/U）在［-￡,芻上單調(diào)遞增，則。的取值范圍是（0,芍

643

【答案】BCD

【解析】

【分析】

化簡/（X）解析式.結(jié)合周期判斷A選項(xiàng)的正確性，結(jié)合圖象變換判斷B選項(xiàng)的正確性，結(jié)

合/（X）的零點(diǎn)判斷C選項(xiàng)的正確性，結(jié)合/（X）的單調(diào)性判斷D選項(xiàng)的正確性.

【詳解】依題意〃x）=—cos（20x+g［0>0,-1</（X）<1.

對于A選項(xiàng),若〃為）=1,/（w）=T，

且|5一％2|的最小值為萬，

717C1

則一=ZT=>?：——:=---=冗=(0=—

人J212d2co2

故A選項(xiàng)錯誤.

對于B選項(xiàng)，當(dāng)（y=2時，/（x）=-cos4x+

T

向右平移7個單位長度后得到丁=—cos[4(x-^+夸=-cos4%,

其為偶函數(shù)，圖象關(guān)于)'軸對稱.故B選項(xiàng)正確.

2^^2/^2^^

對于C選項(xiàng)，0<x<2〃，則——<2a)x+——44。萬+——,

333

15jrOyr,17,IT

若/(x)在[0,2句上有恰有7個零點(diǎn)，則三K4wr+T(虧，

4147

解得一WGV—,故C選項(xiàng)正確.

2424

I十、"=71,,718汽21，八2),(0712?

對于D選項(xiàng)，---<X<一,則-----d----<269X4-——<---H----,

6433323

87124、八，

----+——>2k7T

若“X）在一轉(zhuǎn)上遞增，則<33

(DTC24C,

H<2k兀+71

.2----3

co4一6k+2

2

即42.由于左eZ,a>>0,故人=0,0</<一.

a><4k+—3

I3

所以D選項(xiàng)正確.

故選：BCD

【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角恒等變換，考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.以拋物線V=2x的焦點(diǎn)為圓心，且與拋物線的準(zhǔn)線相切的圓的方程為.

【答案】（x—；+y2=1

【解析】

【分析】

求得拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，得到圓的圓心和半徑，由此求得圓的方程.

【詳解】拋物線V=2x的焦點(diǎn)為準(zhǔn)線為x=-g,焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1,

所以圓的圓心為半徑為1,故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為［x—g)+y2=l.

(1Y

故答案為：—+y2=1

【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線性質(zhì)，考查圓的方程的求法，屬于中檔題.

14.我國有“三山五岳”之說，其中五岳是指：東岳泰山，南岳衡山，西岳華山，北岳恒山，

中岳嵩山.某位老師在課堂中拿出這五岳的圖片，打亂順序后在圖片上標(biāo)出數(shù)字1—5,他讓

甲、乙、丙、丁、戊這五位學(xué)生來辨別，每人說出兩個，學(xué)生回答如下：

甲：2是泰山，3是華山；

乙：4是衡山，2是高山；

丙：1是衡山，5是恒山；

T：4是恒山，3是嵩山；

戊：2是華山，5是泰山.

老師提示這五個學(xué)生都只說對了一半，那么五岳之尊泰山圖片上標(biāo)數(shù)字是.

【答案】5

【解析】

【分析】

先分析甲、戊兩個學(xué)生，可知甲回答的3是華山是正確的，然后依次判斷丙、丁、乙即可.

【詳解】若甲：2是泰山是正確的，則戊：2是華山，5是泰山都是錯的，故甲：3是華山是

正確的；戊：5是泰山是正確的；丙：1是衡山是正確的；?。?是恒山是正確的；乙：2

是巖山是正確的，故五岳之尊泰山圖片上標(biāo)的數(shù)字是5.

故答案為：5

【點(diǎn)睛】本題主要考查邏輯推理能力，屬于能力提升題.

15.己知函數(shù)/tv)=|ln%|,若Q<a<b,且Ha)=f(6),則a輯b的取值范圍是.

【答案】(5,+8)

【解析】

【分析】

結(jié)合函數(shù)f(x)=|lnx|的圖象可判斷。力的位置，即可得到。力的關(guān)系，將雙變量a幽6轉(zhuǎn)化

為單變量，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性即可求解.

【詳解】如圖，作出函數(shù)F(x)=|lnx|的圖象，由f(a)寸⑶得,

/(a)=—1ni=f(/?=)IZn.,*nl*Tna我nc^bO,<所以

44

a+4b=,由對勾函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)y=x+—在(0,1)上單調(diào)遞減，故

CIX

故答案為：(5,+8)

【點(diǎn)睛】本題主要考查對數(shù)函數(shù)的圖象翻折、對數(shù)運(yùn)算及利用函數(shù)單調(diào)性求值域，屬于基礎(chǔ)

題.

16.已知水平地面上有一半徑為4的球，球心為0',在平行光線的照射下，其投影的邊緣軌

跡為橢圓C如圖橢圓中心為〃，球與地面的接觸點(diǎn)為反應(yīng)W.若光線與地面所成角為9,

則sin6=_____________,橢圓的離心率e=.

【解析】

【分析】

O'E4

連接O。'，由銳角三角函數(shù)可得sine=33=w，在平行光線照射過程中，橢圓的短半軸

長是圓的半徑，如圖，橢圓的長半軸長是AC,過A向8C做垂線，垂足是8,得到一個

直角三角形，得到AC的長，從而得出要求的結(jié)果.

【詳解】解：連接OO',則N。'。隹，，因?yàn)镺'E=4,0E=3,所以

O(7=y](yE1+OE2=V32+42=5

所以sin6==—

00,5

在照射過程中，橢圓的短半軸長｝是圓的半徑R,

=4,如圖.

橢圓的長軸長2。是AC,過A向8c做垂線，垂足是5,

4

由題意得：AB=2R=8,sinZACB=sin,

p?八A34

又sin，=---=—

AC5

所以AC=1()

即2a=10,a—5,

\la2-b2,25-16

.?.橢圓的離心率為3

-a-=-5-5

【點(diǎn)睛】本題考查圓錐曲線的實(shí)際背景及作用，解決本題的關(guān)鍵是看清楚在平行光線的照射

下，投影時球的有關(guān)量中，變與不變的量，屬于中檔題.

四、解答題：本題共6小題，共70分.

17.已知A3c的內(nèi)角A,B,。的對邊分別為。，b,c,a=2.設(shè)/為線段AC上一

點(diǎn)，CF=0BF,有下列條件：

①c=2；②。=26；③原+及一超ab=c2.

請從以上三個條件中任選兩個，求NCBE的大小和A3尸的面積.

兀

【答案】NCBF=ABF的面積為1

4

【解析】

【分析】

24

若選①②，則a=c=2,6=2石，根據(jù)余弦定理即可求出NA8C=7,結(jié)合等腰三角形

RTC

的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和得出A=C=7,再根據(jù)正弦定理求出NCBF=一,通過三角形

內(nèi)角和關(guān)系求得NABRuNARB,則AR=A8=2,最后利用三角形面積公式即可求出

ABF的面積；

若選②③，。=2,6=26，a2+b2-y[3ab=c2＞可求得c=2,根據(jù)余弦定理即可求出

TTTTJL

C=~,三角形的內(nèi)角和得出A=C=二，再根據(jù)正弦定理求出=通過三角形

664

內(nèi)角和關(guān)系求得NABE=NAFB,則A尸=A8=2,最后利用三角形面積公式即可求出

AB尸的面積；

若選①③，則a=c=2,a2+b2--J3ah=c2＞由余弦定理可求出C=g，由a=c,結(jié)

6

TT

合等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和得出A=C=丁，由三角形內(nèi)角和關(guān)系得出

6

2萬71

AABC=7r-A-C=—,再根據(jù)正弦定理求出NC3F=一,通過三角形內(nèi)角和關(guān)系求得

34

NABF=NAFB,則AF=A8=2,最后利用三角形面積公式即可求出ABE的面積.

【詳解】（解法一）選①②，則a=c=2,b=25

2_yi

由余弦定理可得：cosZABC=^—^——=

2ac2

Ojr

又ZABCG（0,乃），NABC=芋，

CFBF

在8cb中，由正弦定理可得

sinNCBFsinC

?：CF=&F，：,sin/CBF=也,

2

又乙CBF<NABC=生,：.ZCBF=-

34

，川尸嚀號喑,9=兀7T_57T

~6~~12

則在AB廠中，ZABF=ZAFB,

AF=AB=2,

?*-S*=gx2x2xsi吟=L

（解法二）選②③，'：a=2,b=2&，a2+b2-yf3ab=c2

/.c=2,

由余弦定理可得：cosC=—+Z?^~c2-=—?

2ab2

又Ce（O,?）,C=￡,

7t2萬

A=C=一,/.Z.ABC=7i—A—C=—,

63

CFBF

在BCT中，由正弦定理可得.,

sinZ.CBFsinC

CF=叵BF，sinNCBF=—

2

又NCBF<NCBA=—,NCBF=-,

34

/▲CL21715萬/▲LC5乃7T_5/T

:.Z.ABF=---------=—,Z.AFB=7t-------

341212

則在AB/中，NABF=NAFB,

：.AF=AB=2,

c1cc.乃1

S^=-x2x2xsin-=l.

ABF26

（解法三）選①③，則a=c=2,a2一&ib=*

則：a1+b2—f=6ab,

由余弦定理可得：cosC=y+"L-=—，

2ab2

JT

又Ce（O,乃），C=%，

2^.ABC=冗—A.—C=—，

3

CFBF

在3CF中，由正弦定理可得〕~■--=—；

sinZCBFsinC

??,CF=>/2BF.AsinZCBF=—?

2

27r7i

又NCB/<NC3A=2,:./CBF=—,

34

7T_5/T

AZA5F=—,ZAFB=TT-—

341212

則在AB/7中，NABF=NAFB,

AF=AB=2，

c1CC.乃1

.-,S_=-x2x2xS1n-=l.

【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理、余弦定理解三角形和三角形的面積公式，還涉及三角形的

內(nèi)角和以及等腰三角形的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力.

18.已知S,是等比數(shù)列｛a,,｝的前〃項(xiàng)和，S”W,S成等差數(shù)列，且§4—0,=—18.

（1）求數(shù)列｛&｝的通項(xiàng)公式;

（2）是否存在正整數(shù)〃，使得5.22020?若存在，求出符合條件的〃的最小值；若不存

在，說明理由.

【答案】（1）a?=3x（-2）n-1.（2）存在,最小值為11

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)條件列關(guān)于首項(xiàng)與公比的方程組，解得首項(xiàng)與公比，代入等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可;

（2）先求和項(xiàng)，再根據(jù)奇偶討論化簡不等式，即得結(jié)果.

【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列｛q｝的公比為°,則qw0,q/0.

S2~~S4=S3—S2,

由題意得《o

%+%+%=—18,

’23，

即廠〃闖一%q

4闖+。聞2+1/__]g

a=3,

解得4}c

q=-2.

故數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式為%=3x(-2)i.

(2)由(1)有s“1-(-2)"?

假設(shè)存在n,使得S“>2020,則1一(一2)”>2020

即(―2)“<-2019

當(dāng)〃為偶數(shù)時，(一2)”〉0,上式不成立;

當(dāng)n為奇數(shù)時，(-2)"=-2"<-2019,BP2">2019

解得〃Nil

綜上，存在符合條件的正整數(shù)〃，最小值為11.

【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式、等比數(shù)列求和公式、解數(shù)列不等式，考查基本分析求

解能力，屬基礎(chǔ)題.

19.四棱錐尸一A8C。中，PCL面4BCD,直角梯形49G9中，NB=NC馮0°,AB工,CD=\,

PC2點(diǎn)M在PB上旦PB4PM,如與平面也?所成角為60°.

(1)求證：。知//面~4。：

(2)求二面角8-MC-A的余弦值.

3

【答案】(1)證明見解析.(2)1

【解析】

【分析】

AP/W1

(1)在線段4?上取一點(diǎn)兒使4V@=1,可證CN//平面PAO,由一=—=一，

用朋4

可得MN//AP,得到MN//平面PA。，從而可證面面平行，再根據(jù)面面平行得結(jié)果；

(2)以C為原點(diǎn)，CB,CD,①所在直線為X軸，了軸，z軸，建立空間坐標(biāo)系,用向量法求解

二面角.

【詳解】(1)在線段46上取一點(diǎn)M使AN=C￡>=1,

因?yàn)镃D//A5,所以CD//AN且C￡>=AN,

所以ANCO為平行四邊形，

所以CN//A。，。^7y平面尸4。，4。(=平面P4/5,則。^7//平面尸/1。

MPAN1

在二角形/跖中，---=----=—,所以MN//AP,

PBAB4

加'2平面24。，4「<=平面尸4。，則犯//平面已4。

MNcCN=N所以平面松〃/平面PAD,又CMu平面MNC,

所以◎///平面PAD

(2)以C為原點(diǎn)，CB,CD,(T所在直線為％軸，y軸，z軸，建立空間坐標(biāo)系.

PC_L面/a所以PCLC3,

又因?yàn)锽CLCD,所以BC，面PCO,

所以PB在面R力的射影為PC,

所以NBPC為PB與平面PCD所成角，

所以NBPC=60,3C=2，§

所以B（2G,0,0）,P（0,0,2）,M（亨,0,|,A（2^,4,0）,D（0,l,0）,

?f7331...（3百/3）

CM--,n0,-,AM=-------,-4,-.

I22JI22J

面BMC法向量〃1=（0,1,0）,

面AMC法向量〃2=（x,y,z）

在所以〃，二26,一3,-2,

/?,-CM=0-'>

3

所以二面角B-MC-A所成角的余弦值為二

【點(diǎn)睛】本題考查證明面面平行和求二面角，求二面角可用定義法和向量法，一般在較復(fù)雜

的二面角選擇向量法求解，屬于中檔題.

20.某公司為研究某種圖書每冊的成本費(fèi)y（單位：元）與印刷數(shù)量x（單位：千冊）的關(guān)系，收

集了一些數(shù)據(jù)并進(jìn)行了初步處理，得到了下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計量的值.

20

15

10

0<'1015'20253035404550,

印刷數(shù)量〃千冊

8_

8.8__

￡（X,-X）2—y）z（%-"）?（%->）

Xyu

i=l1=1j=li=\

15.253.630.2692085.5-230.30.7877.049

表中%」，二岳/

X18&

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷：y=a+"與y=c+4哪一個模型更適合作為該圖書每冊的成本費(fèi)

x

y與印刷數(shù)量x的回歸方程？（只要求給出判斷，不必說明理由）

（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立了關(guān)于x的回歸方程（結(jié)果精確到0.01）：

（3）若該圖書每冊的定價為9.22元，則至少應(yīng)該印刷多少冊才能使銷售利潤不低于80000

元？（假設(shè)能夠全部售出，結(jié)果精確到D

附：對于一組數(shù)據(jù)（0，匕），（以，⑹，…，（?！埃?），其回歸直線u=的斜率和

_

2（用一。）（4一丫）

截距的最小二乘估計分別為p=上匕------=——，?=V—甌.

￡（例-⑼2

/=1

【答案】（1）y=c+@更適合.（2）y=1.22+2史.（3）至少印刷11120冊.

xx

【解析】

【分析】

（1）由散點(diǎn)圖判斷，y=c+@更適合.

X

（2）令"=」，先建立y關(guān)于u的線性回歸方程，根據(jù)公式可得y=L22+8.96“，再得到

X

答案.

（3）假設(shè)印刷x千冊，依題意得9.22%-11.22+空）x280,解出不等式得到答案.

【詳解】（1）由散點(diǎn)圖判斷，y=c+?更適合作為該圖書每冊的成本費(fèi)八單位：元）與印

X

刷數(shù)量x（單位：千冊）的回歸方程.

（2）令〃=’,先建立y關(guān)于u的線性回歸方程，

x

7049

由于d=-^―?8.957?8.96,

0.787

所以c==3.63—8.957x0.269々1.22，

所以/關(guān)于u的線性回歸方程為y=1.22+8.96〃，

所以y關(guān)于x的回歸方程為y=L22+受

X

（3）假設(shè)印刷X千冊，依題意得9.22x—（L22+1）xN80,

解得xNll.12,

所以至少印刷11120冊才能使銷售利潤不低于80000元.

【點(diǎn)睛】本題考查非線性回歸方程及其應(yīng)用，考查將非線性回歸問題轉(zhuǎn)化為線性回歸問題求

解，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題.

X2y2

21.已知橢圓2—+=1(a>6>0)的左右焦點(diǎn)分別為A,K點(diǎn)."為橢圓上的一動點(diǎn),

a~

△，奶為面積的最大值為4.過點(diǎn)K的直線/被橢圓截得的線段為閭，當(dāng)ALx軸時，

同|=20.

(1)求橢圓C的方程；

(2)過點(diǎn)A作與x軸不重合的直線/與橢圓交于48兩點(diǎn)，點(diǎn)4在直線％=-4上的投

影N與點(diǎn)6的連線交x軸于〃點(diǎn)，〃點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是否為定值？若是，求出定值；若不是，

請說明理由.

r2v2

【答案】(1)—+2_=1，(2)是定值，定值為：一3

84

【解析】

【分析】

(1)由題意得S=bc=4,|PQ|=Z=20,可求得。力，得到橢圓的方程；

22

(2)已知直線斜率不為零，設(shè)直線的方程為=-2,代入工+工=1得

84

(〃/+2))，2一4沖-4=0,設(shè)46狀|球2y)>i，2均不為零，得,+>2=，^，

可得8N的方程y-y=上?(*+4),令y=O,可得。點(diǎn)的橫坐標(biāo)

蘇+2X2+4

為定值.

【詳解】⑴由題意：&哨用的最大面積5=兒=4,|尸。|=絲=2后，

又"=尸+。2,聯(lián)立方程可解得a=20,A=2，

22

所以橢圓的方程為二+乙=1;

84

(2)〃的橫坐標(biāo)為定值-3,理由如下:

已知直線斜率不為零，48:》=沖一2,代入會+?=1得(，町，—2『+2y2—8=0,整

理得(，律2+2),2—4my-4=0,

設(shè)A(石,乂),3(工2，%)，X，%均不為零，

An7—4y.+

y+>2=2C①，0%=?Q二②，兩式相除得==_/n③

m~+2m-+2yty2

N(-4，x),，BN的方程y-y=皆/(x+4),令y=0,

...毛=--4y_4=