上海市楊浦區(qū)2022-2023學年數學九年級上冊期末聯考試題含解析

2022-2023學年九上數學期末模擬試卷

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。

一、選擇題（每題4分，共48分）

1.如圖，小明利用測角儀和旗桿的拉繩測量學校旗桿的高度.如圖，旗桿PA的高度與拉繩PB的長度相等.小明將

PB拉到PB'的位置，測得NPB'C=a（B'C為水平線），測角儀B'D的高度為1m,則旗桿PA的高度為（）

2.如圖，以A5為直徑的。。上有一點C,且N8OC=50。，則NA的度數為（）

A.65°B.50°C.30°D.25°

B是反比例函數y=&（x>0）圖象上的兩點，過點A,

3.如圖，點A,B分別作AC_Lx軸于點C,BDLx軸于點D,

x

4.已知反比例函數y=月的圖象經過點P（-1,2）,則這個函數的圖象位于（）

x

A.二、三象限B.一、三象限C.三、四象限D.二、四象限

5.二次函數y=—2/+4x圖像的頂點坐標是（）

A.(-1,2)B.(Tl)C.(1,1)D.(1,2)

k

6.已知點(3,-4)在反比例函數y=—的圖象上，則下列各點也在該反比例函數圖象上的是()

x

A.(3,4)B.(-3,-4)C.(-2,6)D.(2,6)

7.如圖，在平面直角坐標系中拋物線y=(x+1)(x-3)與x軸相交于4、8兩點，若在拋物線上有且只有三個不同

的點。、心、Ci,使得△A5G、4ABe2、AA8C3的面積都等于，"，則，"的值是()

A.6B.8C.12D.16

8.已知兩個相似三角形的相似比為4:9,則這兩個三角形的對應高的比為()

A.2:3B.4:9C.16:81D.9:4

9.二次函數y=℃2+歷;+C(OHO)的部分圖象如圖所示，圖象過點(―3,0),對稱軸為x=—l.下列說法：①而c<0；

②加一Z?=0；③4a+28+c<0；④若(一5,?),(2,%)是拋物線上兩點，則弘〉內，錯誤的是()

A.①B.②C.③D.④

10.如圖，OO的半徑為2,點O到直線1的距離為3,點P是直線1上的一個動點.若PB切。O于點B,則PB的

最小值是()

11.如圖，拋物線y=ax?+bx+c(a>0)的對稱軸是直線x=l,且經過點P(3,0),則a-b+c的值為()

C.1D.2

12.把拋物線y=3(x+iy先向左平移1個單位，再向上平移幾個單位后，得拋物線y=+12尤+14,則〃的值是

()

A.-2B.2C.8D.14

二、填空題(每題4分，共24分)

13.若上,，則山=_________.

x2x

14.若關于1的一元二次方程0?+泣+4=()的一個根是x=—l,則2016—a+h的值是.

15.方程2f-5x=0的解為.

16.拋物線y=x2+2x+3的頂點坐標是.

17.如圖，點E是矩形ABC。的對角線AC上一點，正方形EFG"的頂點G,"在邊AO上，AB=3,5C=4,則

tanZDAF的值為

18.一元二次方程x2-16=0的解是.

三、解答題(共78分)

19.(8分)如圖，在平面直角坐標系中，二次函數丫=必+加+，的圖象與x軸交于A、3兩點，4點在原點的左側，拋

物線的對稱軸x=L與y軸交于C(0,-3)點，點尸是直線5c下方的拋物線上一動點.

(1)求這個二次函數的解析式及4、8點的坐標.

(2)連接P。、PC,并把△尸。C沿C。翻折，得到四邊形POP'C,那么是否存在點P,使四邊形POP'C為菱形；

若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由.

(3)當點P運動到什么位置時，四邊形A8PC的面積最大；求出此時尸點的坐標和四邊形A8PC的最大面積.

20.(8分)給出定義，若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱該四邊形為勾股四邊形.

(1)在你學過的特殊四邊形中，寫出兩種勾股四邊形的名稱；

(2)如圖，將AABC繞頂點B按順時針方向旋轉60。得到ADBE,連接AD,DC,CE,已知NDCB=30。.

①求證：ABCE是等邊三角形；

②求證：DC2+BC2=AC2,即四邊形ABCD是勾股四邊形.

112

21.(8分)我們可以把一個假分數寫成一個整數加上一個真分數的形式，如1=3+§.同樣的，我們也可以把某些分式寫

3x-3+33(x-l)+33?力必位八位小皿并

成類似的形式，如——=-------=-----------=3+—.這種方法我們稱為“分離常數法”.

x-1x-lx-lX-1

(1)如果—=1+—3-,求常數a的值；

x+lX+1

(2)利用分離常數法,解決下面的問題:當m取哪些整數時，分式網的值是整數？

mA

2

(3)我們知道一次函數產E的圖象可以看成是由正比例函數y=x的圖象向下平移1個單位長度得到,函數尸——的圖

x+1

23X-2

象可以看成是由反比例函數尸一的圖象向左平移1個單位長度得到.那么請你分析說明函數尸一7的圖象是由哪個反

xx-2

比例函數的圖象經過怎樣的變換得到？

22.(10分)如圖，在平面直角坐標系中，過點A(2,0)的直線/與y軸交于點8,tanNO48=；,直線/上的點P

位于y軸左側，且到)，軸的距離為1.

(1)求直線/的表達式；

(2)若反比例函數y=—的圖象經過點P,求機的值.

x

23.（10分）4月23日，為迎接“世界讀書日”，某書城開展購書有獎活動.顧客每購書滿100元獲得一次摸獎機會，規(guī)

則為：一個不透明的袋子中裝有4個小球，小球上分別標有數字1,2,3,4,它們除所標數字外完全相同，搖勻后同

時從中隨機摸出兩個小球，則兩球所標數字之和與獎勵的購書券金額的對應關系如下：

兩球所標數字之和34567

獎勵的購書券金額（元）00306090

（1）通過列表或畫樹狀圖的方法計算摸獎一次獲得90元購書券的概率；

（2）書城規(guī)定：如果顧客不愿意參加摸獎，那么可以直接獲得30元的購書券.在“參加摸獎”和“直接獲得購書券”兩種

方式中，你認為哪種方式對顧客更合算？請通過求平均教的方法說明理由.

24.（10分）如圖，已知拋物線經過坐標原點。和x軸上另一點E，頂點M的坐標為（2,4）.矩形ABCD的頂點A與

點O重合，A。、AB分別在x軸、y軸上，且AD=2,AB=1.

（1）求該拋物線所對應的函數關系式；

（2）將矩形ABC。以每秒1個單位長度的速度從圖1所示的位置沿x軸的正方向勻速平行移動，同時一動點P也以相

同的速度從點A出發(fā)向8勻速移動，設它們運動的時間為/秒（04,43）,直線A3與該拋物線的交點為N（如圖2所

示）.

①當r=2,判斷點尸是否在直線MB上，并說明理由；

②設P、N、C、。以為頂點的多邊形面積為S,試問S是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說

明理由.

25.（12分）某商店購進一批單價為16元的日用品，銷售一段時間后，為了獲取更多利潤，商店決定提高銷售價格，經試

驗發(fā)現，若按每件20元的價格銷售時，每月能賣360件；若按每件25元的價格銷售時，每月能賣210件.假定每月銷售件數

y（件）是價格x（元/件）的一次函數.

⑴試求y與x之間的函數關系式；

（2）在商品不積壓，且不考慮其他因素的條件下,問銷售價格為多少時，才能使每月獲得最大利潤?每月的最大利潤是多

少?（總利潤=總收入-總成本）.

26.沙坪壩正在創(chuàng)建全國文明城市，其中垃圾分類是一項重要的舉措.現隨機抽查了沙區(qū)部分小區(qū)住戶12月份某周內

“垃圾分類”的實施情況，并繪制成了以下兩幅不完整的統計圖，圖中A表示實施天數小于5天，8表示實施天數等

于5天，C表示實施天數等于6天，。表示實施天數等于7天.

（1）求被抽查的總戶數；

（2）補全條形統計圖；

（3）求扇形統計圖中8的圓心角的度數.

參考答案

一、選擇題（每題4分，共48分）

1、A

pc

【解析】設PA=PB=PB，=x,在RTMCB，中，根據sina=——，列出方程即可解決問題.

PB'

【詳解】設PA=PB=PB，=x,

PC

在RTAPCB'中，sina=——，

PB'

x-1

=sina,

X

/?x-l=xsina,

:.(1-sina)x=l,

1

x=-----------?

1-sina

故選A.

【點睛】

本題考查解直角三角形、三角函數等知識，解題的關鍵是設未知數列方程，屬于中考?？碱}型.

2、D

【分析】根據圓周角定理計算即可.

【詳解】解：由圓周角定理得，ZA=1ZBOC=25°,

故選：D.

【點睛】

本題考查的是圓周角定理，在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半.

3、D

【分析】先求CD長度，再求點B坐標，再求函數解析式，可求得面積.

【詳解】因為，BD=3,SABCD=-C￡>?B￡>=3,

2

所以，-CD-3=3,

2

解得，CD=2,

因為，C(2,0)

所以，0D=4,

所以，B(4,3)

k

把B(4,3)代入y=—，得k=12,

x

所以，y上

x

所以，SAAoc=^Ay=6

故選D

【點睛】

本題考核知識點：反比例函數.解題關鍵點：熟記反比例函數性質.

4、D

【分析】此題涉及的知識點是反比例函數的圖像與性質，根據點坐標P(-1,2)帶入反比例函數y=(中求出k值就

X

可以判斷圖像的位置.

【詳解】根據y=&的圖像經過點P(-1,2),代入可求的k=-2,因此可知kVO,即圖像經過二四象限.

X

故選D

【點睛】

此題重點考察學生對于反比例函數圖像和性質的掌握，把握其中的規(guī)律是解題的關鍵.

5、D

【分析】先把二次函數進行配方得到拋物線的頂點式，根據二次函數的性質即可得到其頂點坐標.

【詳解】???y=-2f+4x

=-2(X2-2X+1-1)

=—2(x—1)'+2,

.?.二次函數y=-2x2+4x的頂點坐標為(1,2).

故選：D.

【點睛】

本題考查二次函數的頂點坐標，配方是解決問題的關鍵，屬基礎題.

6、C

【解析】試題解析：?.?反比例函數y=A圖象過點(3,-4),

X

-4=一，即h=-12,

3

A.?.?3x4=12w—12,???此點不在反比例函數的圖象上，故本選項錯誤；

B.:(-3)X(-4)=12H-12,.?.此點不在反比例函數的圖象上，故本選項錯誤；

C.v-2x6=-12,二此點在反比例函數的圖象上，故本選項正確.

D.2x6=12。—12,此點不在反比例函數的圖象上，故本選項錯誤；

故選C.

7,B

【分析】根據題目中的函數解析式可以求得該拋物線與x軸的交點坐標和頂點的坐標，再根據在拋物線上有且只有三

個不同的點Ci、C2、C3,使得AABG、AABC2.AABC3的面積都等于m,可知其中一點一定在頂點處，從而可以求

得m的值.

【詳解】???拋物線丫=(x+1)(x-3)與x軸相交于A、B兩點，

...點A(-1,0),點B(3,0),該拋物線的對稱軸是直線x=——=1

2

/.AB=3-(-1)=4,該拋物線頂點的縱坐標是：y=(1+1)x(1-3)=-4,

,在拋物線上有且只有三個不同的點Cl、C2、C3,使得AABG、AABC2、AABC3的面積都等于m,

故選B.

【點睛】

本題考查拋物線與x軸的交點、二次函數圖象上點的坐標特征，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數的性質和

數形結合的思想解答.

8^B

【分析】根據相似三角形的性質即可得出答案.

【詳解】根據“相似三角形對應高的比等于相似比”可得對應高的比為4:9,故答案選擇B.

【點睛】

本題考查相似三角形的性質，相似三角形對應邊、對應高、對應中線以及周長比都等于相似比.

9、C

【分析】根據拋物線的對稱軸和交點問題可以分析出系數的正負.

【詳解】由函數圖象可得：a>0,c<0,x=--=-1

2a

所以b>0,2a-b=0,

所以abc<0,

拋物線與x軸的另一個交點是(1,0),當x=2時，y>0,

所以4a+28+C>0,故③錯誤，

因為(一5,乂)，(2,%)是拋物線上兩點，且(一5,弘)離對稱軸更遠，

所以X>%

故選：c

【點睛】

考核知識點：二次函數圖象.理解二次函數系數和圖象關系是關鍵.

10、B

【分析】由切線的性質可得△。尸8是直角三角形，則尸)=0尸2-04,如圖，又。3為定值，所以當OP最小時，PB

最小，根據垂線段最短，知OP=3時尸8最小，然后根據勾股定理即可求出答案.

【詳解】解：；尸8切。。于點5,.??NOBP=90°,

：.PB2=OP2-OB2,

如圖，?；OB=2,

112

：.PB=OP-4,即PB=A/0P-4，

.?.當OP最小時，PB最小，

?.?點。到直線/的距離為3,

.?.OP的最小值為3,

:.PB的最小值為79-4=亞.

故選：B.

【點睛】

此題主要考查了切線的性質、勾股定理及垂線段最短等知識，屬于常考題型，如何確定尸8最小時點尸的位置是解題

的關鍵.

11、A

【解析】試題分析：因為對稱軸x=l且經過點P(3,1)

所以拋物線與x軸的另一個交點是(-1,1)

代入拋物線解析式y=ax2+bx+c中，得a-b+c=l.

故選A.

考點：二次函數的圖象.

12、B

【分析】將y=3f+12x+14改寫成頂點式，然后按照題意將y=3(x+iy進行平移，寫出其平移后的解析式，從而

求解.

【詳解】解：y=3x?+12x+14=3(*2+4x+4)+2=3(x+2)2+2

由題意可知拋物線y=3(x+葉先向左平移1個單位，再向上平移〃個單位

y=3(x+l)-=3(x+l+lJ+〃=3(x+2)-+〃

:.n=2

故選：B

【點睛】

本題考查了二次函數圖象與幾何變換，利用頂點坐標的變化確定函數圖象的變化可以使求解更加簡便.

二、填空題(每題4分，共24分)

13、2

2

【分析】把所求比例形式進行變形，然后整體代入求值即可.

,y+xy,y1y+x1,3

【詳解】V--=-+1,-=-=-+1=-;

xxx2x22

3

故答案為

2

【點睛】

本題主要考查比例的性質，熟練掌握比例的方法是解題的關鍵.

14、1

【分析】先利用一元二次方程根的定義得到a—b=-4,再把2019-a+b變形為2019-(a-b),然后利用整體代入

的方法計算.

【詳解】把x=T代入一元二次方程62+陵+4=0,得：

a-b+4=0,即：a-b=-4,

.?.2016-a+Z?=2016-(a—Z?)=2016+4=2020,

故答案為：1.

【點睛】

本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解.

八5

15->玉=0,*2=]

【分析】因式分解法即可求解.

【詳解】解：2/—5X=0

x(2x-5)=0,

【點睛】

本題考查了用提公因式法求解一元二次方程的解，屬于簡單題，熟悉解題方法是解題關鍵.

16、(-1,2)

【詳解】

解：將二次函數轉化成頂點式可得：y=(x+l)2+2,則函數的頂點坐標為(-1,2)

故答案為：(-1,2)

【點睛】

本題考查二次函數的頂點坐標.

17、之

7

【分析】先證明△AHEs^CBA,得到HE與AH的倍數關系，則可知GF與AG的倍數關系，從而求解tan/GAF

的值.

【詳解】???四邊形EFG"是正方形，

AHE=HG,

VZAHE=ZABC=90°,NHAE=NBCA,

.'.△AHE^ACBA,

HEAHHEAB3

:.——=——，即an——=—=「

ABBCAHBC4

設HE-3a,則A”=4a,

AAG=AH+HG=7a,GF=3a,

../「AGF_3?_3

??tciri/GAF=-----=—=-.

AGla7

3

故答案為：—.

【點睛】

本題主要考查相似三角形的判定和性質、正方形、矩形的性質、解直角三角形.利用參數求解是解答本題的關鍵.

18、Xl=-1,X2=l

【分析】直接運用直接開平方法進行求解即可.

【詳解】解：方程變形得：產=16,

開方得：X=±l,

解得：XI=-1,X2=l.

故答案為：Xl=-1>X2=l

【點睛】

本題考查了一元二次方程的解法，掌握直接開平方法是解答本題的關鍵.

三、解答題(共78分)

19、(1)y=xz-2x-3,點A、B的坐標分別為：(-1,0)、(3,0)；(2)存在，點P(1+川,--)；(3)故S有

22

最大值為整，此時點尸(—,--y-).

824

b

【分析】(1)根據題意得到函數的對稱軸為：x=--=1,解出b=-2,即可求解；

2

13

(2)四邊形POP'C為菱形，則"=--OC=即可求解；

(3)過點尸作尸”〃y軸交8c于點P,由點3、C的坐標得到直線BC的表達式，設點尸(x,3-2*-3),則點”(x,

x-3),再根據ABPC的面積S=SAABC+SA8CP即可求解.

【詳解】(1)函數的對稱軸為：x=--=1,解得：6=-2,

2

.,.y=x2-2x+c,

再將點C(0,-3)代入得到c=-3,

，，拋物線的表達式為：>=必-2*-3,

令y=0,貝!]x=-1或3,

故點4、8的坐標分別為：(-1,0)、(3,0)；

(2)存在，理由：

圖1

3

即y=x2-2x-3=--,

解得：x=l土叵(舍去負值),

2

故點…坐,-|)；

(3)過點尸作尸//〃y軸交于點P,

由點5、C的坐標得到直線BC的表達式為：j=x-3,

設點P(x,x2-2x-3),則點H(x,x-3),

ABPC的面積S=SAABC+SABCP

11

=-XABXOC+-XPHXOB

22

11,,、

=-X4X3+-X3X(x-3-，+2x+3)

22

39

=-----x2+—x+6,

22

3,3、275

228

3

V-一＜0,

2

...當x=2時，S有最大值為2,此時點尸（』，-?）.

2824

【點睛】

此題是一道二次函數的綜合題，考查待定系數法求函數解析式，圖象與坐標軸的交點，翻折的性質，菱形的性質，利

用函數解析式確定最大值，（3）是此題的難點，利用分割法求四邊形的面積是解題的關鍵.

20、（1）正方形、矩形、直角梯形均可；（1）①證明見解析②證明見解析

【分析】（1）根據定義和特殊四邊形的性質，則有矩形或正方形或直角梯形;

（D①首先證明AABCgaDBE,得出AC=DE,BC=BE,連接CE,進一步得出ABCE為等邊三角形;

②利用等邊三角形的性質，進一步得出ADCE是直角三角形，問題得解.

【詳解】解：（1）正方形、矩形、直角梯形均可;

(1)①?.?△ABCgAkDBE,

；.BC=BE,

VZCBE=60°,

/.△BCE是等邊三角形;

(DVAABC^ADBE,

.*.BE=BC,AC=ED；

.?.△BCE為等邊三角形,

.\BC=CE,ZBCE=60°,

VZDCB=30°,

:.ZDCE=90°,

在RtZkDCE中，

DC^CE^DE1,

.,.DC'+BC^AC1.

考點：四邊形綜合題.

3x-2

21、(1)a=-4；(2)，"=4或，〃=-2或，〃=2或，〃=0；(3)y=

x-2

【解析】(1)依據定義進行判斷即可；(2)首先將原式變形為-3-三3，然后依據m-1能夠被3整數列方程求解即可;

m-3

3x-24

(3)先將函數丫=化為y=+3,再結合平移的性質即可得出結論.

x—2x—2

x-3x+1-4-4

【詳解】(1)I------=1+,.：a=Y.

x+1x+1----x+1

-3m-3m+3-3-3(m-l)-3^_3

⑵Ur3

mAm-]m-\

.：當。-1=3或-3或1或T時,分式的值為整數,解得方4或mr或礦2或m=0.

3x-23x-6+43(x-2)+4型白,

⑶尸

x-2x-2x-2x-2

4443x-2

?:將y=-的圖象向右移動2個單位長度得到尸一；的圖象,再向上移動3個單位長度得到y-3--,即y=^—

xx-2x-2x-2

【點睛】

本題考查了分式的基本性質，熟練掌握分式的基本性質和找出圖象平移的性質是解題的關鍵.

13

22、(1)y=—x+1；(2)---.

22

Z1D|

【分析】⑴已知A(2,0)anZOAB=—=一，可求得OB=1,所以B(0,1),設直線1的表達式為y=丘+匕，用待

OA2

定系數法即可求得直線1的表達式；(2)根據直線1上的點P位于y軸左側，且到y軸的距離為1可得點P的橫坐標為

m

一1,代入一次函數的解析式求得點P的縱坐標，把點P的坐標代入反比例函數丫=一中，即可求得m的值.

x

【詳解】解:(1)VA(2,0),.,.OA=2

OB1

?；tanNOAB=---=—

OA2

/.OB=1

AB(0,1)

設直線1的表達式為.y="+"則

b-\

<2k+b=0

k=——,b=1

2

直線l的表達式為y=-gx+l

⑵?.?點P到y軸的距離為1,且點P在y軸左側,

二點P的橫坐標為一1

又??,點P在直線1上，

13

.?.點P的縱坐標為：一一x（—1）+1=—

22

.??點P的坐標是1―1,1）

???反比例函數y=—的圖象經過點P,

x

.3m

s?———

2-1

.33

..m=-i?x—=——

22

【點睛】

本題考查待定系數法求函數的解析式；一次函數與反比例函數的交點坐標.

23、（1）（2）在“參加摸球”和“直接獲得購書券”兩種方式中，我認為選擇“參加摸球”對顧客更合算，理由見解析.

【分析】（1）根據題意，列出表格，然后利用概率公式求概率即可；

（2）先根據（1）中表格計算出兩球數字之和的各種情況對應的概率，然后計算出摸球一次平均獲得購書券金額，最

后比較大小即可判斷.

【詳解】解：（1）列表如下：

第1球

1234

第2球

10,2)。，3）。，4）

2（2」）。，3）J)

3（3」）(30（3,4）

4（4」）(40（4,3）

由上表可知，共有12種等可能的結果.其中“兩球數字之和等于7”有2種,

21

：.P(獲得90元購書券)

126

(2)由(1)中表格可知，兩球數字之和的各種情況對應的概率如下:

數字之和34567

獲獎金額(元)00306090

22422

相應的概率

1212121212

/.摸球一次平均獲得購書券金額為

22422

0x—+0x—+30x——+60x—+90x—=35元

1212121212

V35>30,

.?.在“參加摸球”和“直接獲得購書券”兩種方式中，我認為選擇“參加摸球”對顧客更合算.

【點睛】

此題考查的是求概率問題，掌握用列表法和概率公式求概率是解決此題的關鍵.

3

2

24、(l)j=-x+4x;(2)點尸不在直線M8上，理由見解析；②當時，以點P,N,C,。為頂點的多邊形面積有

21

最大值，這個最大值為

4

【分析】(1)設拋物線解析式為y="(X-2)2+4,將(0,0)代入求出。即可解決問題；

(2)①由(1)中拋物線的解析式可以求出E點的坐標，從而可以求出ME的解析式，再將P點的坐標代入直線的解

析式就可以判斷P點是否在直線"E上.

②設出點N(f,-(r-2)2+4),可以表示出PN的值，根據梯形的面積公式可以表示出S與/的函數關系式，從而可以

求出結論.

【詳解】解：(1)設拋物線解析式為y=a(x-2)2+4,

把(0,0)代入解析式得a(0-2尸+4=0,

解得，6Z=—1,

函數解析式為y=_(x_2尸+4,即y=_無2+4x.

(2)①?jy=-(x-2)2+4,

.?.當y=0時，_(》_2y+4=0,

%,=0,x2=4,