湖南省重點(diǎn)中學(xué)知識(shí)點(diǎn)交匯題型分析及解題策略5

湖南省重點(diǎn)中學(xué)知識(shí)點(diǎn)交匯題型分析及解題策略5概率與統(tǒng)計(jì)綜合性題型分析及解題策略【命題趨向】概率與統(tǒng)計(jì)以其獨(dú)特的研究對(duì)象和研究方法，在中學(xué)數(shù)學(xué)中是相對(duì)獨(dú)立的，但是，概率與統(tǒng)計(jì)試題的背景與日常生活最貼近，聯(lián)系最為緊密，不管是從內(nèi)容上，還是從思想方法上，都體現(xiàn)著應(yīng)用的觀念與意識(shí)，在展現(xiàn)分類討論、化歸思想與同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力.在高考的考查中，基本上都是1道小題以及1道解答題，其中小題較容易，解答題逐漸取代了90年代興起的應(yīng)用題，其難度不大，但有一定的靈活性，對(duì)題目的背景和題意理解要求較高，如08年重慶理5題(5分)為容易題，考查正態(tài)分布的計(jì)算及密度曲線性質(zhì)、08年湖南文12題(12分)為中檔題，考查樣本的識(shí)別與抽樣、08年安徽高考理科第19題(12分)是中檔題，考查幾種事件的交匯、08年福建理20題(12分)中等難度，考查概率的計(jì)算與離散隨機(jī)變量的分布列及期望，等等.預(yù)計(jì)在09年高考中解答題仍可能是文科題重點(diǎn)考查古典概率，互斥事件的概率，獨(dú)立事件的概率，獨(dú)立重復(fù)事件的概率等，考查應(yīng)用意識(shí)和實(shí)踐能力；理科重點(diǎn)考查隨機(jī)變量的分布列與期望，互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率，相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，獨(dú)立重復(fù)事件的概率等，穿插考查合情推理能力和有關(guān)優(yōu)化決策能力，難度可能有所提升，考生應(yīng)有心理準(zhǔn)備.文科一般兩個(gè)問(wèn)題都考查概率問(wèn)題，而理科一般第1問(wèn)考概率的計(jì)算，第2問(wèn)考分布列、期望的計(jì)算.【考試要求】1．了解等可能性事件的概念的意義，會(huì)用排列組合的基本公式計(jì)算一些等可能性事件的概率．2．了解互斥事件、相互獨(dú)立事件的意義，會(huì)用互斥事件的概率加法公式與相互獨(dú)立事件的概率乘法公式計(jì)算一些事件的概率．會(huì)計(jì)算事件在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率．3．了解離散型隨機(jī)變量的意義，會(huì)求出某些簡(jiǎn)單的離散型隨機(jī)變量的分布列．4．了解離散型隨機(jī)變量的期望值、方差的意義，會(huì)根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出期望值、方差．5．會(huì)用隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣等常用的抽樣方法從總體中抽取樣本．6．會(huì)用樣本頻率分布去估計(jì)總體分布，了解正態(tài)分布的意義與主要性質(zhì)及線性回歸的方法和簡(jiǎn)單應(yīng)用．【考點(diǎn)透視】主要考點(diǎn)：（1）等可能事件、互斥事件(對(duì)立事件)、相互獨(dú)立事件及獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)的基本知識(shí)及四 種概率計(jì)算公式的應(yīng)用，考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本計(jì)算能力.（2）求簡(jiǎn)單隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差，特別是二項(xiàng)分布，常以現(xiàn)實(shí)生活、社 會(huì)熱點(diǎn)為載體.（3）抽樣方法的確定與計(jì)算、總體分布的估計(jì).【典例分析】題型一幾類基本概型之間的綜合在高考解答題中，常常是將等可能事件、互斥事件、相互獨(dú)立事件等多種事件交匯在一起進(jìn)行考查，主要考查綜合計(jì)算方法和能力.此類問(wèn)題一般都同時(shí)涉及幾類事件，它們相互交織在一起，難度較大，因此在解答此類題時(shí)，在透徹理解各類事件的基礎(chǔ)上，準(zhǔn)確把題中所涉及的事件進(jìn)行分解，明確所求問(wèn)題所包含的所屬的事件類型.特別是要注意挖掘題目中的隱含條件.【例1】（08·安徽高考）在某次普通話測(cè)試中，為測(cè)試漢字發(fā)音水平，設(shè)置了10張卡片，每張卡片印有一個(gè)漢字的拼音，其中恰有3張卡片上的拼音帶有后鼻音“g”.（Ⅰ）現(xiàn)對(duì)三位被測(cè)試者先后進(jìn)行測(cè)試，第一位被測(cè)試者從這10張卡片總隨機(jī)抽取1張，測(cè)試后放回，余下2位的測(cè)試，也按同樣的方法進(jìn)行。求這三位被測(cè)試者抽取的卡片上，拼音都帶有后鼻音“g”的概率。（Ⅱ）若某位被測(cè)試者從10張卡片中一次隨機(jī)抽取3張，求這三張卡片上，拼音帶有后鼻音“g”的卡片不少于2張的概率.【分析】第（Ⅰ）小題首先確定每位測(cè)試者抽到一張帶“g”卡片的概率，再利用相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算；第（Ⅱ）利用等可能事件與互斥事件的概論公式計(jì)算.【解】（Ⅰ）每次測(cè)試中，被測(cè)試者從10張卡片中隨機(jī)抽取1張卡片上，拼音帶有后鼻音“g”的概率為eq\f(3,10)，因?yàn)槿槐粶y(cè)試者分別隨機(jī)抽取一張卡片的事件是相互獨(dú)立的，因而所求的概率為eq\f(3,10)×eq\f(3,10)×eq\f(3,10)＝eq\f(27,1000).（Ⅱ）設(shè)Ai(i＝1，2，3)表示所抽取的三張卡片中，恰有i張卡片帶有后鼻音“g”的事件，且其相應(yīng)的概率為P(Ai)，則P(A2)＝eq\f(Ceq\o(1,7)Ceq\o(2,3),Ceq\o(3,10))＝eq\f(7,40)，P(A3)＝eq\f(Ceq\o(3,3),Ceq\o(3,10))＝eq\f(1,120)，因而所求概率為P(A2＋A3)＝P(A2)＋P(A3)＝eq\f(7,40)＋eq\f(1,120)＝eq\f(11,60).【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等可能事件、互斥事件、相互獨(dú)立事件的概率.解答題注意不要混淆了互斥事件與相互獨(dú)立事件，第（Ⅱ）的解答根據(jù)是“不少于”將事件分成了兩個(gè)等可能事件，同時(shí)也可以利用事件的對(duì)立事件進(jìn)行計(jì)算. 【例2】（08·福建高考）三人獨(dú)立破譯同一份密碼，已知三人各自破譯出密碼的概率分 別為eq\f(1,5)，eq\f(1,4)，eq\f(1,3)，且他們是否破譯出密碼互不影響。(Ⅰ)求恰有二人破譯出密碼的概率；(Ⅱ)“密 碼被破譯”與“密碼未被破譯”的概率哪個(gè)大？說(shuō)明理由.【分析】第（Ⅰ）小題可根據(jù)“恰有二人”將事件分為三個(gè)互斥的事件進(jìn)行計(jì)算；第（Ⅱ）小題利用對(duì)立事件及相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算“密碼未被破譯”的概率，然后再利用對(duì)立事件可計(jì)算“密碼被破譯”的概率，進(jìn)而比較大小.【解】記“第i個(gè)人破譯出密碼”為事件Ai(i＝1，2，3)，依題意有P(A1)＝eq\f(1,5)，P(A2)＝eq\f(1,4)，P(A3)＝eq\f(1,3)，且A1，A2，A3相互獨(dú)立.(Ⅰ)設(shè)“恰好二人破譯出密碼”為事件B，則有B＝A1A2eq\o(￣,A3)＋A1eq\o(￣,A2)A3＋eq\o(￣,A1)A2A3，且A1A2eq\o(￣,A3)、A1eq\o(￣,A2)A3、eq\o(￣,A1)A2A3彼此互斥于是P(B)＝P(A1A2eq\o(￣,A3))＋P(A1eq\o(￣,A2)A3)＋P(eq\o(￣,A1)A2A3)＝eq\f(1,5)×eq\f(1,4)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,5)×eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＋eq\f(4,5)×eq\f(1,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(3,20).答：恰好二人破譯出密碼的概率為eq\f(3,20).(Ⅱ)設(shè)“密碼被破譯”為事件C，“密碼未被破譯”為事件D.D＝eq\o(￣,A1)·eq\o(￣,A2)·eq\o(￣,A3)，且eq\o(￣,A1)、eq\o(￣,A2)、eq\o(￣,A3)相互獨(dú)立，則P(D)＝P(eq\o(￣,A1))·P(eq\o(￣,A2))·P(eq\o(￣,A3))＝eq\f(4,5)×eq\f(3,4)×eq\f(2,3)＝eq\f(2,5).而P(C)＝1－P(D)＝eq\f(3,5)，故P(C)＞P(D).答：密碼被破譯的概率比密碼未被破譯的概率大.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查互斥事件、對(duì)立事件、相互獨(dú)立的概率的計(jì)算.第（Ⅰ）小題正確解答的關(guān)鍵是將所求事件分解為三個(gè)互斥的事件，而第（Ⅱ）的解答則充分利用對(duì)立事件進(jìn)行的計(jì)算.一般情況下，如果正面計(jì)算概率情況比較復(fù)雜或過(guò)程較繁，則可以考慮計(jì)算對(duì)立事件的概率來(lái)解答.【例3】（08·重慶高考）在每道單項(xiàng)選擇題給出的4個(gè)備選答案中，只有一個(gè)是正確的.若對(duì)4道選擇題中的每一道都任意選定一個(gè)答案，求這4道題中：(Ⅰ)恰有兩道題答對(duì)的概率；(Ⅱ)至少答對(duì)一道題的概率.【分析】第(Ⅰ)小題事件為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，因此可直接計(jì)算；第(Ⅱ)小題可以考慮利用正確解答，也可以考慮其對(duì)立事件進(jìn)行解答.【解】“選擇每道題的答案”為一次試驗(yàn)，則這是4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，且每次試驗(yàn)中“選擇正確”這一事件發(fā)生的概率為eq\f(1,4).由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率計(jì)算公式得：（Ⅰ）恰有兩道題答對(duì)的概率為P4(2)＝Ceq\o(2,4)(eq\f(1,4))2(eq\f(3,4))2＝eq\f(27,128).（Ⅱ）解法一：至少有一道題答對(duì)的概率為1－P4(0)＝1－Ceq\o(0,4)(eq\f(1,4))0(eq\f(3,4))4＝1－eq\f(81,256)＝eq\f(175,256).解法二：至少有一道題答對(duì)的概率為分為4類情形：P4(1)＝Ceq\o(1,4)(eq\f(1,4))1(eq\f(3,4))3＝eq\f(108,256)，P4(2)＝Ceq\o(2,4)(eq\f(1,4))2(eq\f(3,4))2＝eq\f(27,128)，P4(3)＝Ceq\o(3,4)(eq\f(1,4))3(eq\f(3,4))1＝eq\f(12,256)，P4(4)＝Ceq\o(4,4)(eq\f(1,4))4(eq\f(3,4))0＝eq\f(1,256).所以至少答對(duì)一道的概率為P4(1)＋P4(2)＋P4(3)＋P4(4)＝eq\f(108,256)＋eq\f(54,256)＋eq\f(12,256)＋eq\f(1,256)＝eq\f(175,256).【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)及對(duì)立事件、互斥事件的綜合運(yùn)算.從第(Ⅱ)小題的兩種解法可以看到，當(dāng)正確解答分類情況較多時(shí)，還是計(jì)算其對(duì)立事件的概率來(lái)的快.題型二求離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差此考點(diǎn)主要考查觀察問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的實(shí)際綜合應(yīng)用能力以及考生收集處理信息的能力.主要題型：（1）離散型隨機(jī)變量分布列的判斷；（2）求離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差應(yīng)用；（3）根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求概率；（4）根離散型隨機(jī)變量分布列、期望與方差性質(zhì)的求參數(shù).【例4】(08·湖北理)袋中有20個(gè)大小相同的球，其中記上0號(hào)的有10個(gè)，記上n號(hào)的有n個(gè)(n＝1，2，3，4).現(xiàn)從袋中任取一球.ξ表示所取球的標(biāo)號(hào).(Ⅰ)求ξ的分布列，期望和方差；(Ⅱ)若η＝aξ＋b，Eη＝1，Dη＝11，試求a，b的值.【分析】第(Ⅰ)小題根據(jù)等可能事件的概率計(jì)算公式可求ξ取0、1、2、3、4時(shí)的概率，從而得分布列；第(Ⅱ)小題根據(jù)離散型隨機(jī)變量的期望與方差建立方程組可解決.【解】（Ⅰ）ξ的分布列為：ξ01234Peq\f(1,2)eq\f(1,20)eq\f(1,10)eq\f(3,20)eq\f(1,5)∴Eξ＝0×eq\f(1,2)＋1×eq\f(1,20)＋2×eq\f(1,10)＋3×eq\f(3,20)＋4×eq\f(1,5)＝.Dξ＝(0－2×eq\f(1,2)＋(1－2×eq\f(1,20)＋(2－2×eq\f(1,10)＋(3－2×eq\f(3,20)＋(4－2×eq\f(1,5)＝.（Ⅱ）由Dη＝a2Dξ，Eη＝aEξ＋b，得eq\b\lc\{(\s(,))eq\s(a2×＝11,＋b＝1)，解得eq\b\lc\{(\s(,))eq\s(a＝2,b＝－2)或eq\b\lc\{(\s(,))eq\s(a＝－2,b＝4).【點(diǎn)評(píng)】（1）求離散型隨機(jī)變量的分布列有三個(gè)步驟：①明確隨機(jī)變量X取哪些值；②計(jì)算隨機(jī)變量X取每一個(gè)值時(shí)的概率；③將結(jié)果用二維表格形式給出.計(jì)算概率時(shí)注意結(jié)合排列與結(jié)合知識(shí).（2）而解決與分布列、期望與方差及應(yīng)用等問(wèn)題，一般利用它們相關(guān)的性質(zhì)就可以求解 或通過(guò)建立方程來(lái)解決來(lái)解決.【例5】（08全國(guó)Ⅱ高考）購(gòu)買某種保險(xiǎn)，每個(gè)投保人每年度向保險(xiǎn)公司交納保費(fèi)a元，若投保人在購(gòu)買保險(xiǎn)的一年度內(nèi)出險(xiǎn)，則可以獲得10000元的賠償金．假定在一年度內(nèi)有10000人購(gòu)買了這種保險(xiǎn)，且各投保人是否出險(xiǎn)相互獨(dú)立．已知保險(xiǎn)公司在一年度內(nèi)至少支付賠償金10000元的概率為1－\s(104,).(Ⅰ)求一投保人在一年度內(nèi)出險(xiǎn)的概率p；(Ⅱ)設(shè)保險(xiǎn)公司開(kāi)辦該項(xiàng)險(xiǎn)種業(yè)務(wù)除賠償金外的成本為50000元，為保證盈利的期望不小于0，求每位投保人應(yīng)交納的最低保費(fèi)（單位：元）．【分析】第（Ⅰ）小題利用對(duì)立事件，并通過(guò)比較系數(shù)即可求得投保人在一年度內(nèi)出險(xiǎn)的概率p；第（Ⅱ）小題首先求投保的10000人中出險(xiǎn)的人數(shù)ξ的期望，再利用期望的線性關(guān)系的性質(zhì)求取盈利期望Eη的值.【解】各投保人是否出險(xiǎn)互相獨(dú)立，且出險(xiǎn)的概率都是p，記投保的10000人中出險(xiǎn)的人數(shù)為ξ，則ξ～B(104，p)．（Ⅰ）記A表示事件：保險(xiǎn)公司為該險(xiǎn)種至少支付10000元賠償金，則eq\o(￣,A)發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)ξ＝0，P(A)＝1－P(eq\o(￣,A))＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－p)eq\s(104,)又P(A)＝1－\s(104,)，故p＝．（Ⅱ）該險(xiǎn)種總收入為10000a元，支出是賠償金總額與成本的和．支出10000ξ＋50000，盈利η＝10000a－(10000ξ＋50000)，20220318盈利的期望為Eη＝10000a20220318由ξ～B(104，103)知，Eξ＝104×103，Eη＝104a－104Eξ－5×104＝104a－104×104×10Eη≥0104a－104×104×103－5×104≥故每位投保人應(yīng)交納的最低保費(fèi)為15元．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)分布的期望計(jì)算及性質(zhì)的應(yīng)用.二項(xiàng)分布的期望與方差的計(jì)算一般不利用求解離散型隨機(jī)變量X的期望與方差的方法求解，因計(jì)算較為繁瑣，而是根據(jù)其自身的期望與方差的計(jì)算公式，?？墒箚?wèn)題得到快速的解決.【例6】（08·江西高考）因冰雪災(zāi)害，某柑桔基地果林嚴(yán)重受損，為此有關(guān)專家提出兩種拯救果林的方案，每種方案都需分兩年實(shí)施；若實(shí)施方案一，預(yù)計(jì)當(dāng)年可以使柑桔產(chǎn)量恢復(fù)到災(zāi)前的倍、倍、倍的概率分別是、、；第二年可以使柑桔產(chǎn)量為上一年產(chǎn)量的倍、倍的概率分別是、.若實(shí)施方案二，預(yù)計(jì)當(dāng)年可以使柑桔產(chǎn)量達(dá)到災(zāi)前的倍、倍、倍的概率分別是、、；第二年可以使柑桔產(chǎn)量為上一年產(chǎn)量的倍、倍的概率分別是、.實(shí)施每種方案，第二年與第一年相互獨(dú)立。令ξi(i＝1，2)表示方案實(shí)施兩年后柑桔產(chǎn)量達(dá)到災(zāi)前產(chǎn)量的倍數(shù)．（Ⅰ）寫出ξ1、ξ2的分布列；（Ⅱ）實(shí)施哪種方案，兩年后柑桔產(chǎn)量超過(guò)災(zāi)前產(chǎn)量的概率更大？（Ⅲ）不管哪種方案，如果實(shí)施兩年后柑桔產(chǎn)量達(dá)不到災(zāi)前產(chǎn)量，預(yù)計(jì)可帶來(lái)效益10萬(wàn)元；兩年后柑桔產(chǎn)量恰好達(dá)到災(zāi)前產(chǎn)量，預(yù)計(jì)可帶來(lái)效益15萬(wàn)元；柑桔產(chǎn)量超過(guò)災(zāi)前產(chǎn)量，預(yù)計(jì)可帶來(lái)效益20萬(wàn)元；問(wèn)實(shí)施哪種方案所帶來(lái)的平均效益更大？【分析】第(Ⅰ)小題將首先根據(jù)兩年后增長(zhǎng)倍數(shù)確定ξ1、ξ2的取值，同時(shí)由相應(yīng)的概率積可即可得分布列；第(Ⅱ)小題根據(jù)分布列將滿足條件的數(shù)據(jù)相加即可比較得結(jié)果；第(Ⅲ)小題根據(jù)第(Ⅰ)小題的分布列確定關(guān)于兩個(gè)方案帶來(lái)的效益ηi(i＝1、2)的分布列，再通過(guò)計(jì)算期望進(jìn)行比較.【解】（Ⅰ）ξ1的所有取值為、、、、，ξ2的所有取值為、、、、.∴ξ1、ξ2的分布列分別為：ξ1Pξ2P（Ⅱ）令A(yù)、B分別表示方案一、方案二兩年后柑桔產(chǎn)量超過(guò)災(zāi)前產(chǎn)量這一事件，P(A)＝＋＝，P(B)＝＋＝,可見(jiàn)，方案二兩年后柑桔產(chǎn)量超過(guò)災(zāi)前產(chǎn)量的概率更大.（Ⅲ）令η1表示方案所帶來(lái)的效益，則η1101520Pη2101520P所以Eη1＝10×＋15×＋20×＝，Eη2＝10×＋15×＋20×＝，可見(jiàn)，方案一所帶來(lái)的平均效益更大.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列及期望，以及根據(jù)期望進(jìn)行比較方案優(yōu)劣.此題比較有新意，表現(xiàn)在一個(gè)分布列的建立須根據(jù)前一個(gè)分布列的數(shù)據(jù)，解答此題的易錯(cuò)之處：由于本題涉及到的數(shù)據(jù)較多，交叉性也較強(qiáng)，因此容易把對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)搞錯(cuò).題型三抽樣方法的識(shí)別與計(jì)算此考點(diǎn)在高考中常常結(jié)合應(yīng)用問(wèn)題考查構(gòu)照抽樣模型，搜集數(shù)據(jù)，處理材料等研究性學(xué)習(xí)的能力，主要考查題型：(1)根據(jù)所要解決的問(wèn)題確定需要采用的何種抽樣方法；(2)根據(jù)各類抽象方法的具體特點(diǎn)求相關(guān)的數(shù)據(jù).【例7】(08·陜西)某林場(chǎng)有樹(shù)苗30000棵，其中松樹(shù)苗4000棵．為調(diào)查樹(shù)苗的生長(zhǎng)情況，采用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為150的樣本，則樣本中松樹(shù)苗的數(shù)量為()A．30 B．25 C．20 D．15【分析】利用分層抽樣的特點(diǎn)，按比較進(jìn)行計(jì)算即可.【解】設(shè)樣本中松樹(shù)苗的數(shù)量為，則eq\f(150,30000)＝eq\f(x,4000)，解得x＝20.點(diǎn)評(píng)：確定抽樣方法必須根據(jù)各種抽樣方法的特點(diǎn)來(lái)判斷：總體中的個(gè)體數(shù)較少時(shí)，宜用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣；總體由差異明顯的幾部分組成時(shí)，宜用分層抽樣.而關(guān)于抽樣方法的計(jì)算主要集中在分層抽樣上，一般按比例進(jìn)行計(jì)算.題型四總體分布的估計(jì)此考點(diǎn)在高考中常常是結(jié)合一些實(shí)際問(wèn)題考查頻率分布表與頻率分布直方圖，同時(shí)考查識(shí)圖、用圖的能力.主要題型：（1）根據(jù)表或圖中數(shù)據(jù)求解限制條件下的個(gè)體頻數(shù)與頻率、參數(shù)等相關(guān)的數(shù)據(jù)；（2）頻率分布表與頻率分布表或直方圖的完善.【例8】(08·廣東)為了調(diào)查某廠工人生產(chǎn)某種產(chǎn)品的能力，隨機(jī)抽查了20位工人某天生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量.產(chǎn)品數(shù)量的分組區(qū)間為[45，55]，[55，65]，[65，75]，[75，85]，85，95)，由此得到頻率分布直方圖如圖3，則這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量在55，75)，的人數(shù)是________.【分析】利用頻率分布直方圖的表示的概率意義及相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可.【解】20××10＋×10)＝13.點(diǎn)評(píng)：解答此類問(wèn)題主要有三條途徑：①利用所有分組對(duì)應(yīng)的頻率之和為1；②利用公式：頻率＝條形圖的面積＝縱坐標(biāo)×橫坐標(biāo)，或利用公式頻數(shù)＝樣本容量×頻率；③利用頻率分布圖中相關(guān)數(shù)據(jù)；④利用頻率分布表繪制頻率分布直方圖.【專題訓(xùn)練】一、選擇題1．在抽查某產(chǎn)品的尺寸過(guò)程中，將其中尺寸分成若干組，[a，b]是其中一組，抽查出的個(gè)體數(shù)在該組上的頻率為，該組上的直方圖的高為，則|a－b|等于（）A．hm B．eq\f(h,m) C．eq\f(m,h) D．與m，n無(wú)關(guān)2．把一顆骰子投擲兩次，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，并記第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為a，第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為b，向量eq\o(→,m)＝(a，b)，eq\o(→,n)＝（1，－2），則向量eq\o(→,m)與向量eq\o(→,n)垂直的概率是（）A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,12) C．eq\f(1,9) D．eq\f(1,18)3．中有40個(gè)小球，其中紅色球16個(gè)、藍(lán)色球12個(gè)，白色球8個(gè)，黃色球4個(gè)，從中隨機(jī)抽取10個(gè)球作成一個(gè)樣本，則這個(gè)樣本恰好是按分層抽樣方法得到的概率為Ａ．eq\f(Ceq\o(1,4)Ceq\o(2,8)Ceq\o(3,12)Ceq\o(4,16),Ceq\o(10,40)) Ｂ．eq\f(Ceq\o(2,4)Ceq\o(1,8)Ceq\o(3,12)Ceq\o(4,16),Ceq\o(10,40)) Ｃ．eq\f(Ceq\o(2,4)Ceq\o(1,8)Ceq\o(1,12)Ceq\o(4,16),Ceq\o(10,40)) Ｄ．eq\f(Ceq\o(1,4)Ceq\o(3,8)Ceq\o(4,12)Ceq\o(2,16),Ceq\o(10,40))4．某校有高級(jí)教師26人，中級(jí)教師104人，其他教師若干人．為了了解該校教師的工資收入情況，若按分層抽樣從該校的所有教師中抽取56人進(jìn)行調(diào)查，已知從其他教師中共抽取了16人，則該校共有教師人為()A．81 B．152 C．182 D．2025．設(shè)某種動(dòng)物由出生算起活到10歲的概率為，活到15歲的概率為，現(xiàn)有一個(gè)10歲的這種動(dòng)物，它能活到15歲的概率是()A．eq\f(3,5) B．eq\f(3,10) C．eq\f(2,3) D．eq\f(27,50)6．從5張100元，3張200元，2張300元的奧運(yùn)預(yù)賽門票中任取3張，則所取3張中至少有2張價(jià)格相同的概率為()A．eq\f(1,4) B．eq\f(79,120) C．eq\f(3,4) D．eq\f(23,24)6．2022年的2月有28天，1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月均有31天，其余月均有30天，若從12個(gè)月中隨機(jī)抽取3個(gè)月，恰有一個(gè)月有30天的概率是（）A．B． C．D．7．在某地的奧運(yùn)火炬?zhèn)鬟f活動(dòng)中，有編號(hào)為1、2、3、…、18的18名火炬手．若從中任選3人，則選出的火炬手的編號(hào)能組成以3為公差的等差數(shù)列的概率為（）A．eq\f(1,51) B．eq\f(1,68) C．eq\f(1,306) D．eq\f(1,408)8．某人5次上班途中所花的時(shí)間（單位：分鐘）分別為x，y，10，11，9.已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為2，則｜x－y｜的值為()A．1 B．2 C．3 D．49．一個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為c（a，b。，c∈(0，1)），已知他投籃一次得分的期望為2，則eq\f(2,a)＋eq\f(1,3b)的最小值為()信號(hào)源A．eq\f(32,3) B．eq\f(28,3) C．eq\f(14,3) D．eq\f(16,3)信號(hào)源10．右圖中有一個(gè)信號(hào)源和五個(gè)接收器。接收器與信號(hào)源在 同一個(gè)串聯(lián)線路中時(shí)，就能接收到信號(hào)，否則就不能接收 到信號(hào)。若將圖中左端的六個(gè)接線點(diǎn)隨機(jī)地平均分成三 組，將右端的六個(gè)接線點(diǎn)也隨機(jī)地平均分成三組，再把 所有六組中每組的兩個(gè)接線點(diǎn)用導(dǎo)線連接，則這五個(gè)接 收器能同時(shí)接收到信號(hào)的概率是A．eq\f(4,45) B．eq\f(1,36)C．eq\f(4,15) D．eq\f(8,15)11．已知隨機(jī)變量X分布列如下表(n∈N*)：X12…n－1nPeq\f(1,1·2)eq\f(1,2·3)…eq\f(1,(n－1)n)x則表中x為()A．eq\f(1,n(n＋1)) B．eq\f(1,(n－1)(n－2)) C．eq\f(1,n) D．eq\f(1,n＋1)12．已經(jīng)一組函數(shù)y＝2sin(ωx＋)(ω＞0，0＜≤2π)，其中在集合中任取一個(gè)數(shù)，在集合{eq\f(,3)，eq\f(,2)，eq\f(2,3)，π，eq\f(4,3)，eq\f(5,3)，2π}中任取一個(gè)數(shù).從這些函數(shù)中任意抽取兩個(gè)，其圖象能經(jīng)過(guò)相同的平移后得到函數(shù)y＝2sinωx的圖象的概率是 ()A．eq\f(8,21) B．eq\f(1,3) C．eq\f(4,105) D．eq\f(1,30)二、填空題13．已知數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)為a，則數(shù)據(jù)3x1＋2，3x2＋2，3x3＋2，…，3xn＋2的平均數(shù)是_____.14．某校高中研究性學(xué)習(xí)小組對(duì)本地區(qū)2022年至2022年快餐公司發(fā)展情況進(jìn)行了調(diào)查，制成了該地區(qū)快餐公司個(gè)數(shù)情況的條形圖和快餐公司盒飯年銷售量的平均數(shù)情況條形圖（如圖），根據(jù)圖中提供的信息可以得出這三年中該地區(qū)每年平均銷售盒飯________萬(wàn)盒．15．一個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為c（a、b、c∈(0，1)），已知他投籃一次得分的數(shù)學(xué)期望為2（不計(jì)其它得分情況），則ab的最大值為_(kāi)_______．16．在樣本的頻率分布直方圖中，共有4個(gè)小長(zhǎng)方形，這4個(gè)小長(zhǎng)方形的面積由小到大構(gòu)成等差數(shù)列{an}，已知，且樣本容量為400，則小長(zhǎng)方形面積最大的一組的頻數(shù)為_(kāi)_______．三、解答題17．某次有獎(jiǎng)競(jìng)猜活動(dòng)中，主持人準(zhǔn)備了A`、B兩個(gè)相互獨(dú)立問(wèn)題，并且宣布：觀眾答對(duì)問(wèn)題A可獲獎(jiǎng)金a元，答對(duì)問(wèn)題B可獲獎(jiǎng)金2a元，先答哪個(gè)問(wèn)題由觀眾選擇，只有第一個(gè)問(wèn)題答對(duì)才能再答第2個(gè)問(wèn)題，否則終止答題。若你被選為幸運(yùn)觀眾，且假設(shè)你答對(duì)問(wèn)題A、B的概率分別為eq\f(1,2)，eq\f(1,3).問(wèn)你覺(jué)得應(yīng)先回答哪個(gè)問(wèn)題才能使你獲得獎(jiǎng)金的期望最大？說(shuō)明理由。18．將兩顆骰子先后各拋一次，a，b表示拋甲、乙兩顆骰子所得的點(diǎn)數(shù).(Ⅰ)若點(diǎn)(a，b)落在不等式組eq\b\lc\{(\s(,,))eq\s(x＞0,y＞0,x＋y≤4)表示的平面區(qū)域內(nèi)的事件記為A，求事件A的概率；(Ⅱ)若點(diǎn)(a，b)落在直線x＋y＝m上，且使此事件的概率最大，求m的值.19．學(xué)校文娛隊(duì)的每位隊(duì)員唱歌、跳舞至少會(huì)一項(xiàng)，已知會(huì)唱歌的有2人，會(huì)跳舞的有5人，現(xiàn)從中選2人．設(shè)ξ為選出的人中既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的人數(shù)，且P(ξ＞0)＝eq\f(7,10)．(Ⅰ)求文娛隊(duì)的人數(shù)；(Ⅱ)寫出ξ的概率分布列并計(jì)算Eξ．20．某工廠在試驗(yàn)階段大量生產(chǎn)一種零件.這種零件有A、B兩項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)需要檢測(cè)，設(shè)各項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)與否互不影響。若有且僅有一項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率為eq\f(5,12)，至少一項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率為eq\f(11,12)．按質(zhì)量檢驗(yàn)規(guī)定：兩項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)都達(dá)標(biāo)的零件為合格品.（Ⅰ）求一個(gè)零件經(jīng)過(guò)檢測(cè)為合格品的概率是多少？（Ⅱ）任意依次抽出5個(gè)零件進(jìn)行檢測(cè)，求其中至多3個(gè)零件是合格品的概率是多少？（Ⅲ）任意依次抽取該種零件4個(gè)，設(shè)ξ表示其中合格品的個(gè)數(shù)，求Eξ與Dξ.21．某工廠為了保障安全生產(chǎn)，每月初組織工人參加一次技能測(cè)試.甲、乙兩名工人通過(guò)每次測(cè)試的概率分別是eq\f(4,5)和eq\f(3,4).假設(shè)兩人參加測(cè)試是否通過(guò)相互之間沒(méi)有影響.(Ⅰ)求甲工人連續(xù)3個(gè)月參加技能測(cè)試至少1次未通過(guò)的概率；(Ⅱ)求甲、乙兩人各連續(xù)3個(gè)月參加技能測(cè)試，甲工人恰好通過(guò)2次且乙工人恰好通過(guò)1次的概率；(Ⅲ)工廠規(guī)定：工人連續(xù)2次沒(méi)通過(guò)測(cè)試，則被撤銷上崗資格.求乙工人恰好參加4次測(cè)試后被撤銷上崗資格的概率.22．甲、乙、丙三人參加了一家公司的招聘面試，面試合格者可正式簽約，甲表示只要面試合格就簽約.乙、丙則約定：兩人面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約.設(shè)每人面試合格的概率都是eq\f(1,2)，且面試是否合格互不影響.求：（Ⅰ）至少有1人面試合格的概率；（Ⅱ）簽約人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.【針對(duì)訓(xùn)練】參考答案一、選擇題1．C【解析】頻率分布的直方圖中eq\f(頻率,組距)＝高度，∴|a－b|＝eq\f(m,h).2．B【解析】擲骰子是獨(dú)立事件，∵eq\o(→,m)·eq\o(→,n)＝a－2b＝0，所以a＝2b，a＝2，4，6，b=1，2，3，所求概率為eq\f(1,12).3．A【解析】依題意，各層次數(shù)量之比為4︰3︰2︰1，即紅球抽4個(gè)，藍(lán)球抽3個(gè)，白球抽2個(gè)，黃球抽一個(gè).4．C【解析】設(shè)總共有x人教師，由于抽樣采用的是系統(tǒng)抽樣，所以每一層次抽到的概率是相等的，所以可得eq\f(x－26－104,x)＝eq\f(16,56)，解得x＝182.5．C【解析】設(shè)事件A：從0到10歲，事件B：10歲到15歲，A與B互斥，C：0到15歲，所以P(C)＝P(A)·P(B)，∴P（B）＝eq\f,＝eq\f(2,3).6．C【解析】可從對(duì)立面考慮，即三張價(jià)格均不相同，則所取3張中至少有2張價(jià)格相同的概率為P＝1－eq\f(Ceq\o(1,5)Ceq\o(1,3)Ceq\o(1,2),Ceq\o(3,10))＝eq\f(3,4).6．B【解析】3個(gè)月中恰有1個(gè)月有30天的情況有兩種：①兩個(gè)月31天，1個(gè)月30天；②31天，30天，28天，各有1個(gè)月，故所求概率.7．B【解析】古典概型問(wèn)題，基本事件總數(shù)為Ceq\o(3,18)＝eq\f(18×17×16,3×2×1)＝17×16×3，能組成以3為公差的等差數(shù)列有(1，4，7)、（2，5，8）、…、（12，15，18）共12組，因此概率P＝eq\f(12,17×16×3)＝eq\f(1,68).8．D【解析】由題意可得：x＋y＝20，(x－10)2＋(y－10)2＝8，解這個(gè)方程組需要用一些技巧，因?yàn)椴灰苯忧蟪鰔、y，只要求出｜x－y｜，設(shè)x＝10＋t，y＝10－t，｜x－y｜＝2|t|＝4.9．D解析：由題3a＋2b＝2，其中0＜a＜eq\f(2,3)，0＜b＜1，所以eq\f(2,a)＋eq\f(1,3b)＝eq\f(3a＋2b,2)·(eq\f(2,a)＋eq\f(1,3b))＝3＋eq\f(1,3)＋eq\f(2b,a)＋eq\f(a,2b)≥eq\f(10,3)＋2＝eq\f(16,3).(當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b＝eq\f(1,2)時(shí)取等)．10．D【解析】將六個(gè)接線點(diǎn)隨機(jī)地平均分成三組，共有eq\f(Ceq\o(2,6)Ceq\o(2,4)Ceq\o(2,2),Aeq\o(3,3))＝15種結(jié)果，五個(gè)接收器能同時(shí)接收到信號(hào)必須全部在同一個(gè)串聯(lián)線路中，有Ceq\o(1,4)·Ceq\o(1,2)·Ceq\o(1,1)＝8種結(jié)果，這五個(gè)接收器能同時(shí)接收到信號(hào)的概率是eq\f(8,15).11．C【解析】根據(jù)分布列的性質(zhì)：x＝1－[P(X＝1)＋P(X＝2)＋…＋P(X＝n－1)]＝1－[eq\f(1,1·2)＋eq\f(1,2·3)＋…＋eq\f(1,(n－1)n)]＝＝1－[(1－eq\f(1,2))＋(eq\f(1,2)－eq\f(1,3))＋…＋(eq\f(1,n－1)－eq\f(1,n))]＝eq\f(1,n).∵n∈N*，∴表格中概率P(X)均為非負(fù)，滿足分布列的第一條性質(zhì)：Pi≥0，i＝1，2,…,n.12．C【解析】這一組函數(shù)共有3×9＝21個(gè)，從中任意抽取個(gè)共有種不同的方法，其中從這些函數(shù)中任意抽取兩個(gè)，向右平移eq\f(,6)個(gè)單位得到函數(shù)y＝2sinωx的圖象有三種情形，則有Ceq\o(2,3)＝3種取法；向右平移eq\f(,3)個(gè)單位得到函數(shù)y＝2sinωx的圖象也有三種情形，則有Ceq\o(2,3)＝3種取法；向右平移eq\f(,2)個(gè)單位得到函數(shù)y＝2sinωx的圖象有兩種情形，則有Ceq\o(2,2)＝1種取法；向右平移eq\f(2,3)個(gè)單位得到函數(shù)y＝2sinωx的圖象也有兩種情形，則有Ceq\o(2,2)＝1種取法；故所求概率是eq\f(3＋3＋1＋1,210)＝eq\f(4,105).二、填空題13．3a＋2【解析】∵eq\f(1,n)eq\o(,\s\up5(n),\s\do5(i=1))xi＝a，∴eq\f(1,n)eq\o(,\s\up5(n),\s\do5(i=1))(3xi＋2)＝eq\f(1,n)[eq\o(,\s\up5(n),\s\do5(i=1))(3xi)＋eq\o(,\s\up5(n),\s\do5(i=1))2]＝eq\f(1,n)[3eq\o(,\s\up5(n),\s\do5(i=1))xi＋2n＝3·eq\f(1,n)eq\o(,\s\up5(n),\s\do5(i=1))xi＋2＝3a＋2.14．85【解析】每年平均銷售盒飯為eq\f(1,3)(30×1＋45×2＋90×＝85(萬(wàn)盒).15．eq\f(1,6)【解析】由已知得3a＋2b＋0×c＝0，即3a＋2b＝2，∴ab＝eq\f(1,6)·3a·2b≤eq\f(1,6)(eq\f(3a＋2b,2))＝eq\f(1,6).16．160【解析】：直方圖中，所有矩形面積之和為1，等差數(shù)列公差為a1，等差數(shù)列各項(xiàng)和為10a1＝1，所以a1＝，最大的矩形為，頻數(shù)為400*＝160三、解答題17．【解】設(shè)先答A、B所得獎(jiǎng)金分別為ξ和η，則P(ξ＝0)＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，P(ξ＝a)＝eq\f(1,2)(1－eq\f(1,3))＝eq\f(1,3)，P(ξ＝3a)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)，∴Eξ＝eq\f(5,6)a.P(η＝0)＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)，P(ξ＝2a)＝eq\f(1,3)(1－eq\f(1,2))＝eq\f(1,6)，P(ξ＝3a)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6)，∴Eη＝eq\f(5,6)a.由此知，先答哪題獲獎(jiǎng)金的期望一樣大.18．【解】(Ⅰ)x＋y＝4上有3個(gè)點(diǎn)，x＋y＝3上有2個(gè)點(diǎn)，x＋y＝2上有1個(gè)點(diǎn)，事件總數(shù)為36，故事件A的概率為eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).(Ⅱ)當(dāng)點(diǎn)P(a，b)落在直線x＋y＝m上，所以a＋b＝m，當(dāng)a＋b＝2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12時(shí)，點(diǎn)P(a，b)的個(gè)數(shù)分別為1、2、3、4、5、6、5、4、3、2、1，所以當(dāng)a＋b＝7時(shí)事件的概率最大為eq\f(1,6)，所以m＝7.19．【解】設(shè)既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的有x人，則文娛隊(duì)中共有(7－x)人，那么只會(huì)一項(xiàng)的人數(shù)是(7－2x)人．(Ⅰ)∵P(ξ＞0)＝P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝eq\f(7,10)，∴P(ξ＝0)＝e