第2課時基本不等式一輪復(fù)習(xí)講義

第四知識塊不等式第2課時（2）基本不等式考試內(nèi)容基本不等式考向定位基本不等式是每年高考的熱點，主要考查命題的判定、不等式的證明以及最值問題。特別是求最值問題往往和實際問題相聯(lián)系。基本不等式的和與積的轉(zhuǎn)化作用在高考中也經(jīng)常有所體現(xiàn)。考查的方式靈活，可以出選擇題、填空題，也可以出解答題?？季V解讀1、掌握兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的的定理，并會簡單運用；2、利用不等式求最值時要注意到“一正”“二定”“三相等”．重難點重點：掌握兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)這個重要定理難點：利用基本不等式求最值核心知識突破基本不等式：如果是正數(shù)，那么說明：eq\o\ac(○,1)我們稱的算術(shù)平均數(shù)，稱的幾何平均數(shù)，因而，此定理又可敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)eq\o\ac(○,2)成立的條件是不同的：前者只要求都是實數(shù)，而后者要求都是正數(shù)eq\o\ac(○,3)“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義是等價eq\o\ac(○,4)“和定積最大，積定和最小”，可用來求最值。2、利用基本不等式求最值時，一定要注意“一正二定三相等”，同時還要注意一些變形技巧（如配湊、整體代換、換元、取平方等），積極創(chuàng)造條件利用均值不等式。3、當(dāng)為正數(shù)時基本不等式的變形：（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號）；；；。典例解讀例1、已知都是正數(shù)，求證：證明：∵都是正數(shù)，∴得由不等式的性質(zhì)得即點評：證明不等式時，可依據(jù)求證式兩端的式子結(jié)構(gòu)，合理選擇基本不等式及其變形不等式來證，此題要求學(xué)生注意與均值不等式定理的“形”上發(fā)生聯(lián)系，從而正確運用，同時加強(qiáng)對均值不等式定理的條件的認(rèn)識變式拓展1、若，則例2、已知，求的最小值。解法1：不妨將乘以1，而1用代換。當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，由即時，的最小值為。解法2：將分子中的1用代換。評注：本題巧妙運用“1”的代換，得到，而與的積為定值，即可用均值不等式求得的最小值。變式拓展2、（1）已知是正常數(shù)，,求證：,并指出等號成立的條件.(2)求函數(shù),∈(0,)的最小值,指出取最小值時的值.(1)證明:∵都是正數(shù),∴()＝≥當(dāng)且僅當(dāng),即時取“＝”.∴,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.(2)解：∵∴由(1),知,當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“＝”.∴時,的最小值為25.例3、甲、乙兩地相距（千米），汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度最大不得超過（千米/小時）．已知汽車每小時的運輸成本（元）由可變部分與固定部分組成．可變部分與速度（千米/小時）的平方成正比，且比例系數(shù)為正常數(shù)；固定部分為元．(1)試將全程運輸成本(元)表示成速度(千米/小時)的函數(shù).(2)為使全程運輸成本最省，汽車應(yīng)以多大速度行駛？解:(1)依題意得，汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時間為,全程運輸成本為，故所求函數(shù)及其定義域為(2)∵，故當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時若即時，全程運輸成本最?。?，則當(dāng)時，∵，且，故有∴，且僅當(dāng)時取等號，即時全程運輸成本最?。u注：解應(yīng)用題時，一定要注意變量的實際意義，亦即其取值范圍，在求函數(shù)最值時，除應(yīng)用基本不等式外，有時會出現(xiàn)基本不等式取不到“=”號，此時要考慮函數(shù)的單調(diào)性。變式拓展3、某單位建造一間地面面積為的背面靠墻的矩形小房，由于地理位置的限制,房子側(cè)面的長度不得超過米,房屋正面的造價為400元/m2,房屋側(cè)面的造價為150元/m2,屋頂和地面的造價費用合計為5800元,如果墻高為,且不計房屋背面的費用.(1)把房屋總造價表示成的函數(shù),并寫出該函數(shù)的定義域.(2)當(dāng)側(cè)面的長度為多少時,房屋的總造價最低?最低總造價是多少?解:(1)由題意，可得y＝3()+5800＝900()+5800(0＜x≤a).(2)y＝900()+5800≥900×+5800＝13000,當(dāng)且僅當(dāng)x＝,即x＝4時取等號.若a≥4,則當(dāng)x＝4時,y有最小值13000;當(dāng)0＜a＜4,任取x1,x2∈(0,a］且x1＜x2,y1-y2＝900()+5800-900()-5800＝900［(x1-x2)+16()］＝,∵x1＜x2≤,∴x1-x2＜0,x1x2＜＜16.∴y1-y2＞0.∴y＝900()+5800在(0,］上是減函數(shù).∴當(dāng)x＝時,y有最小值900()+5800.綜上,①若≥4,當(dāng)側(cè)面的長度為4米時,總造價最低,最低總造價是13000元;當(dāng)0＜＜4時,當(dāng)側(cè)面長度為a米時,總造價最低,最低總造價是900()+5800元.真題體驗1、（2022重慶理7）已知，則的最小值是A.3B.4C.D.1、B解析：考察均值不等式，整理得即，又，2、（2022四川理12）設(shè)，則的最小值是（）（A）2（B）4（C）（D）52、B解析：＝＝≥0＋2＋2＝4當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立如取滿足條件.3、（2022四川文11）設(shè)，則的最小值是（A）1（B）2（C）3（D）43、D4、（2022安徽文15）若，則下列不等式對一切滿足條件的恒成立的是(寫出所有正確命題的編號)．①；②；③；④；⑤【答案】①，③，⑤【解析】令，排除②②；由，命題①正確；，命題③正確；，命題⑤正確。5、（2022浙江文15）若正實數(shù)滿足，則的最小值是。5、186、（2022山東文14）已知，且滿足，則的最大值為.6、37、（2022安徽理13）設(shè)滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)的最大值為8，則的最小值為________?！敬鸢浮?【解析】不等式表示的區(qū)域是一個四邊形，4個頂點是，易見目標(biāo)函數(shù)在取最大值8，所以，所以，在時是等號成立。所以的最小值為4.思維方法1、在應(yīng)用