光學(xué)信息技術(shù)原理及技術(shù)陳家壁第二版課后習(xí)題答案

第一章習(xí)題解答

1.1已知不變線性系統(tǒng)的輸入為

g(x)=comb(x)

系統(tǒng)的傳遞函數(shù)若b取(1)8=0.5(2)b=1.5,求系統(tǒng)的輸出g'(x)。并畫出

輸出函數(shù)及其頻譜的圖形。

答(1)g(x)=F^x)}=l圖形從略，

(2)g(x)=F/(仆$(人—吟(/,+1)}=1+|的⑵x)圖形從略。

1.2若限帶函數(shù)f(x,y)的傅里葉變換在長(zhǎng)度L為寬度W的矩形之外恒為零,

(1)如果同＜：,例＜：,試證明

向si電卜喉卜(內(nèi)):心)

<-'F{/Uy)}=F{f(x,y)}rect(^-,^\=F[f{x,y^rect(afx所)

⑵如果|《〉B，網(wǎng)〉，，還能得出以上結(jié)論嗎？

答:不能。因?yàn)檫@時(shí)F{/(xj加心令卜笠涉而

1.3對(duì)一個(gè)空間不變線性系統(tǒng)，脈沖響應(yīng)為

h(x,y)=7sinc(7x,(y)

試用頻域方法對(duì)下面每?一個(gè)輸入力(x,y),求其輸出g,(x,y)。(必要時(shí)，可取合理近似)

(1)f](x,y)=cos4K

g]("”F-{F{力(x,y))F{F{co傾x}F{7si〃(7x?(y)}}

答:

=F，F(xiàn){cos4兀x}rec/—j>=F-l{F{cos4兀X}]=COS4J

YJlX

y

(2)f2(x,y)=cos(4ii\rect\

75

答:

g(x，y”FT{Fb(XJ)}F{/?(x,y)}卜FT{F{cos陶x)rect\x

2\rect\F{75m(7x)5(y)},

,75

<(F{cos47rx}*75-75sinc(75f)sinc(75f))rec/|A,=cos(4兀x)rect\^

二Lxy\rect\

(3)“xjHl+ca?x)]reb底

g3(xj)=F'<F][l+cos(87rx)/ecf屆)j-F{7si〃(7x?(y)},

=F<(F{l+co.v(8rtx)}*75sinc(75fxW(fv加。(^),

答：y、/1

=F(x)+$9一吟(A+4))*75si〃c(7凱附v)卜《今)>

-1

=FT<15sinc{75fx》(/vyect>=F\j5sinc^5fx》(f、.)卜ecf停

(4)/4(x,y)=c<?mZ?(x)*(recr(2x)rec/(2y))

答：

-1

g2(x,y)=F{F{comb(x)*(recZ(2x)recr(2y))}F{7sin(7x^(y)}}

=F如伍，仆0.637#—"10.637也+1,/)0.212也—3,)…)卜c憐)

=Ft{0.255(/；,/>0.1595(/x-l,/>0.1595(/v+l/v)-0.0538(/.(-3,/v)-0.05364+3力)}

=0.25+0.318cos(2乃x)-0?106cos(6萬(wàn)x)

1.4給定?個(gè)不變線性系統(tǒng)，輸入函數(shù)為有限延伸的三角波

g,(x)=*A(x)

3⑴150/

對(duì)下述傳遞函數(shù)利用圖解方法確定系統(tǒng)的輸出o

⑴”(/)=rect]￡|

⑵“⑺

答：圖解方法是在頻域里進(jìn)行的，首先要計(jì)算輸入函數(shù)的頻譜，并繪成圖形

G(f)=F{g.(x)}=-F的%)*尸>ecf(赤卜八⑴}>

50

[comb(3/)*50sinc(50/)]sinc2/

方括號(hào)內(nèi)函數(shù)頻譜圖形為:

*7

圖1.4(1)

sine?/圖形為:

圖1.4(2)

因?yàn)閟ine2/的分辨力太低，上面兩個(gè)圖縱坐標(biāo)的單位相差50倍。兩者相乘時(shí)忽略中心五個(gè)

分量以外的其他分量，因?yàn)榇藭r(shí)sin/的最大值小于0.04%。故圖解G(7)頻譜結(jié)果為：

G(f)

50

50*0.685

50*0.171

2112

~3-3-~3

圖1.4(3)

傳遞函數(shù)(1)形為:

圖1.4（4）

因?yàn)榻坪蟮妮斎牒瘮?shù)頻譜與該傳遞函數(shù)相乘后，保持不變，得到輸出函數(shù)頻譜表達(dá)式為:

卜⑺+。噸（"扣燈一撲.叩（"|）+S司｝

其反變換，即輸出函數(shù)為：

-x2］x

1+1.37cos2萬(wàn)一+0.342cos2/r—xrect（一）

L33J50

該函數(shù)為限制在［-25,25］區(qū)間內(nèi)，平均值為1,周期為3,振幅為1.37的一個(gè)余弦函數(shù)與周

期為1.5,振幅為0.342的另一個(gè)余弦函數(shù)的疊加。

傳遞函數(shù)（2）形為：

圖1.4(5)

此時(shí)，輸出函數(shù)僅剩下在［-2,-1］及［1,2］兩個(gè)區(qū)間內(nèi)分量，盡管在這兩個(gè)區(qū)間內(nèi)輸入函數(shù)的

頻譜很小，相對(duì)于傳遞函數(shù)(2)在［-1,1］的零值也是不能忽略的，由于

sinc2(1)=0.043sinc2(-)=0.027

可以解得，通過傳遞函數(shù)(2)得到的輸出函數(shù)為：

-451x

0.043cos2)一x+0.027cos2/r—xrect{—)

L33J50

該函數(shù)依然限制在［-25,25］區(qū)間內(nèi)，但其平均值為零，是振幅為0.043,周期為0.75,的一

個(gè)余弦函數(shù)與振幅為0.027,周期為0.6的另一個(gè)余弦函數(shù)的疊加。

1.5若對(duì)二維函數(shù)

/2(x,y)=asinc2(ax)

抽樣，求允許的最大抽樣間隔并對(duì)具體抽樣方法進(jìn)行說明。

???x我總

也就是說，在X方向允許的最大抽樣間隔小于l/2a,在y方向抽樣間隔無限制。

1.6若只能用axb表示的有限區(qū)域上的脈沖點(diǎn)陣對(duì)函數(shù)進(jìn)行抽樣，即

gs(x，y)=g(x,y)comb

試說明，即使采用奈魁斯特間隔抽樣，也不能用一個(gè)理想低通濾波器精確恢復(fù)g(x,y)。

答：因?yàn)閍xb表示的有限區(qū)域以外的函數(shù)抽樣對(duì)精確恢復(fù)g(x,y)也有貢獻(xiàn)，不可省略。

1.7若二維不變線性系統(tǒng)的輸入是“線脈沖”/(x,y)=S(x),系統(tǒng)對(duì)線脈沖的輸出響應(yīng)稱

為線響應(yīng)L(x)。如果系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為〃(￡,了,),證明：線響應(yīng)的一維傅里葉變換等于

系統(tǒng)傳遞函數(shù)沿八軸的截面分布,0)。

證明：F{L(x)}=F做y)*/i(x,億/)=H(/V,o)

1.8如果一個(gè)空間不變線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)在頻率域的區(qū)間\fx\<Bx,|/v|<J之外恒為

零，系統(tǒng)輸入為非限帶函數(shù)g0(x,y),輸出為g(x,y)。證明，存在一個(gè)由脈沖的方形陣列

構(gòu)成的抽樣函數(shù)go(x,y),它作為等效輸入，可產(chǎn)生相同的輸出g(x,y),并請(qǐng)確定g0(x,)，)。

答：為了便于從頻率域分析，分別設(shè)：

物的空間頻譜為(￡，《)=F{g0(x,y)}；

像的空間頻譜4(￡，4)=F{g,(x,y)}；

等效物體的空間頻譜A'o(/；,/v)=F{g'0(x,y)}；

等效物體的像的空間頻譜An，/.)=F{g'o(x,y)}.

由于成像系統(tǒng)是一個(gè)線性的空間不變低通濾波器，傳遞函數(shù)在歸Bv,|/v|<B,之外

恒為零，故可將其記為:

fy

H（X/）redrect

2BJ

利用系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，表示物像之間在頻域中的關(guān)系為

[2紇.）

4（，/）H（fx,fyyrect

在頻域中我們構(gòu)造一個(gè)連續(xù)的、二維周期性分布的頻域函數(shù)，預(yù)期作為等效物的譜，辦

法是把4（<J）reef卜.成矩形格點(diǎn)分布的每一個(gè)

V28J安置在f/,平面

(2瓦〃,2紇制)點(diǎn)周圍，選擇矩形格點(diǎn)在，、fv方向上的間隔分別為2紇和2紇，以免頻譜

混疊，于是、

25J

rect*Z^8（fx-2Bxn,fy-2Byn

ZB

X/〃=-<?/n=-oo

(f}

rectcomb—―comb(1)

4c度J4B、B口

對(duì)于同?個(gè)成像系統(tǒng)，由于傳遞函數(shù)的通頻帶有限，只能允許A'o（￡,/,）的中央一個(gè)

周期成份（〃=〃?=0）通過，所以成像的譜并不發(fā)生變化，即

f/v]

A'o(f")H(fx,fy)rectrect

4（，/）

圖1.8用一維形式表示出系統(tǒng)在頻域分別對(duì)4和A'。的作用，為簡(jiǎn)單計(jì)，系統(tǒng)傳遞函數(shù)在

圖中表示為rect

A'°(/x)=4(/x)%。

11

fx

Bx

既然，成像的頻譜相同，從空間域來看,所成的像場(chǎng)分布也是相同的，即

U】(x,y)=q(x,y)

因此，只要求出A'o(/x，/y)的逆傅立葉變換式，就可得到所需的等效物場(chǎng)，即

l

U'0(x,y)=F-{A'0(fx,fY)}

帶入(1)式，并利用卷積定理得到

U‘0(x,y)=尸t{4(力，力)憶(7xL—i—combcomb

28y,4BxBy

xcombQBxx)comb(2By)(2)

28yjy

上式也可以從抽樣定理來解釋。

4(/x，/y)recf

是一個(gè)限帶的頻譜函數(shù)，它所對(duì)應(yīng)的空間域的函數(shù)可以通過抽樣，用一個(gè)點(diǎn)源的方形陣列來

表示，若抽樣的矩形格點(diǎn)的間隔，在x方向是」一，在)，方向是一L,就得到等效物場(chǎng)

2BX2BY

U'0(x,y)

=(70(x,y)*4BXBysinc(2Bxx)sinc(2BYy)

co

x；(3)

4BXBYjj7)sinc[2Bx(x-^)]sinc[2By(y-r/)]d^dri

-00

comb(2Bxx)comh(2BYy)

0000\

1nm

——yy3x-------,y-------(4)

ADD

Dy〃=YO/n=-oo2B2B}

AXyI/

把(3)、(4)式代入(2)式,得到

OP00nm、

u’0(X,y)=<JJUoq,7)sinc[2B(x-^]xsinc[2B(y->xx-------,y-------

xYE25J

-00n=—oom=—oo<2Bx

利用5函數(shù)性質(zhì)(1.8)式，上式可寫為

U'°(x,y)=

(\

nm

^U(^r/)sinc[n-2B^)]xsinc[m-2Br/)]d^dr]3x-------,y-------

￡￡J0xY[2B2B}

〃=-ooni=-<o-co\AXYI/

這一點(diǎn)源的方形陣列構(gòu)成的等效物場(chǎng)可以和真實(shí)物體。0產(chǎn)生完全一樣的像Uj.

本題利用系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，從頻率域分析物象關(guān)系，先找出等效物的頻譜，再通過傅立

葉逆變換，求出等效物場(chǎng)的空間分布，這種頻域分析方法是傅立葉光學(xué)問題的基本分析方法。

第二章習(xí)題解答

2.1-列波長(zhǎng)為4的單位振幅平面光波，波矢量左與x軸的夾角為45°,與），軸夾角為

60°,試寫出其空間頻率及z=Z］平面上的復(fù)振幅表達(dá)式。

答：力=q，4=y|,U（x,y,zJ=exp（jkz*xpj2兀倬x+坐。/（0,0,0）

2.2尺寸為aXb的不透明矩形屏被單位振幅的單色平面波垂直照明，求出緊靠屏后的平面

上的透射光場(chǎng)的角譜。

答：。（“白陪卜心卜4（手,爭(zhēng)下而小詈,卜

2.3波長(zhǎng)為4的單位振幅平面波垂直入射到一孔徑平面上，在孔徑平面上有?個(gè)足夠大的

模板，其振幅透過率為求緊靠孔徑透射場(chǎng)的角譜。

答::

A（詈等）=0.58［詈等卜0.25,《叢

cosacos0、八J」cosa1)0cosa

=0.55----,--+0.255--------+b

九%)~T~

2.4參看圖2.13,邊長(zhǎng)為2a的正方形孔徑內(nèi)再放置一個(gè)邊長(zhǎng)為。的正方形掩模，其中心落

在仁7）點(diǎn)。采用單位振幅的單色平面波垂直照明，求出與它相距為z的觀察平面上夫

瑯和費(fèi)衍射圖樣的光場(chǎng)分布。畫出自=〃=0時(shí)，孔徑頻譜在無方向上的截面圖。

圖2.4題

22

F.y0))=4asinc(2afx)sinc(2afy\asinc{afx)sinc(afy>xp(-，2兀a(/.v+/v))

)}

U(x,y)^^—exp(jkz)exp2+y2

〃z

/("片工

NZ

2.5圖2-14所示的孔徑由兩個(gè)相同的矩形組成，它們的寬度為a,長(zhǎng)度為匕，中心相距為

d.采用單位振幅的單色平面波垂直照明，求與它相距為z的觀察平面上關(guān)瑯和費(fèi)衍

射圖樣的強(qiáng)度分布。假定6=4。及d=1.5a,畫出沿x和y方向上強(qiáng)度分布的截面圖。

如果對(duì)其中一個(gè)矩形引入位相差乃，上述結(jié)果有何變化?

圖題2.5(1)

答：如圖所示，雙縫的振幅透射率是兩個(gè)中心在(0,4)及(0,-色)的矩形孔徑振幅透射

22

率之和:

f(x,y)=rect(—)rect(------)+rect(—)rect(--------)(1)

00abab

由于是單位振幅平面波垂直照明，孔徑平面上入射光場(chǎng)

00(%,%)=1，

透射光場(chǎng)

d

%+彳

U(/，%)=%(%,為)收，為)=rect(—)rect(—產(chǎn))+rect(—)rect(—一)(2)

abab

由夫瑯和費(fèi)衍射方程，在夫瑯和費(fèi)區(qū)中離孔徑距離z的觀察平面上得到夫瑯和費(fèi)衍射圖樣

U(x,y),它正比于孔徑上場(chǎng)分布的傅立葉變換式(頻率坐標(biāo)￡=工,<=2-),即

AzAz

exp(欣z)expj-^-(x2+y2)

U(x,y)=------------------------------------=!-xF{t/(x0,y0)}(3)

1Mz

利用傅立葉變換的相移定理，得到

d

F{U(x0,%)}=F<rect(^-)rect()>+F<rect(—)rect(-----

ab

="sinc(afx)sinc(bfy)x[exp(-》&d)+exp(，乃fv,d)]

..ax.bydy

-2oabsinc(--)sinc(---)xcos(----)

AzAz

把它帶入(3)式，則有

exp(欣)expj^(x2+y2)

U(x,y)=------------——---------xlabsinc(^^)sinc(2_)xcos(左)一)

j^zZz

強(qiáng)度分布

不難看出，這一強(qiáng)度分布是矩孔徑衍射圖樣和雙光束干涉圖樣相互調(diào)制的結(jié)果。

雙縫的振幅透射率也可以寫成下述形式：

收，＞0）=%以（十卜以0*卜卜0，%-￡|+?%,%+倒（4）

它和（1）式本質(zhì)上是相同的。由（4）式可以利用卷積定理直接求出其傅立葉變換式，導(dǎo)出

與上述同樣的結(jié)果。代入所給條件b=4a,d=1.5a

,,、(8/1.2(axy.2(4ay)2(1.57ray)

I(x,y)=—sinc—sine—cos-

、4zj\\y\%z/

沿X軸,此時(shí)fv=0

/(L/)=8/sinc2(的J

中心光強(qiáng)：I（0,0）=8a2

n

極小值位置為：f、=—5=±L±2,…）

a

圖題2.5(2)

沿y軸：

此時(shí)＜=0,故

22

/（￡，/；）=8/sinc（4q/v）cos（1.5不祇）

中心光強(qiáng)：I（0,0）=8a2

n1+9/7

極小值位置：fv=—及—（〃=±1,±2,…）

y方向上強(qiáng)度分布的截面圖示意如下：

圖題2.5(3)

exp[-j^]+t>fx0,y0+1

t(xn,y0)=rect

工0>0*?Xo，yo-1^exp[—7]+《Xo，yo

redreel

<b

d}d\

y.+—

y'-2x力2

redredexp[-J^]+recZ\reel

bb

/7

由于是單位振幅平面波垂直照明，孔徑平面上入射光場(chǎng)

U（）（%，M）=1，

透射光場(chǎng),b=4a,d=l.5a時(shí)

U（Xi，M）=Uo（X］，M）心|,必）

(d\d}

y'-2y'+2

rectI—Iredexp[-jzr]+recrred(2)

b(7)b

77

y-0.15a(,+0.75。

redreel}exp[-J4]+reefred

a4。（7<4。

由夫瑯和費(fèi)衍射方程，在夫瑯和費(fèi)區(qū)中離孔徑距離Z的觀察平面上得到夫瑯和費(fèi)衍射圖樣

U（x,），），它正比于孔徑上場(chǎng)分布的傅立葉變換式（頻率坐標(biāo)fx=—,fv=匕）,即

exp(人)exp上身XT)

U(x,y)-xF{U(x,y)}(3)

j^Z0Q

利用傅立葉變換的相移定理，得到

:，75abxp[-j7r]>+F<recf(z)recfy+0.75。

F{U(x0,y0')}=F<rec/(()

4a

2兀于

=[8]sin以或)sinc(4afy)exp(-1.5)exp(-)]+8t?sinc(afA)sinc(4o/v)exp(1.5jJ

兀)+

=8a2sinc(afx)sinc(4afy)x(exp(-L5力-jexp(L5/萬(wàn)力))

把它帶入（3）式，則有

exP(欣)exp*

U(x,y)—x8a2sinc(af)sinc(4of)

&xv

x(exp(-1.5萬(wàn)/、.一》)+exp(l.5mfj)

exp(欣z)expJ—(x2+y2)

2z-x8a2sinc(-^-)sinc(4%

〃zAz

-1.5jnyj兀、.1.5,乃y?j兀

xexpexp(一夕)+exp(

/tz2

exp(八z)exp/，+丁)

2zf-inc(菱)sine(翳)

j^z

1.54y7i

xexpcos

強(qiáng)度分布

7t

+—

2

2.6圖2-14所示半無窮不透明屏的復(fù)振幅透過率可用階躍函數(shù)表示為f(x0)=step(xo)。采

用單位振幅的單色平面波垂直照明，求相距為z的觀察平面上夫瑯和費(fèi)衍射圖樣的復(fù)

振幅分布。畫出在x方向上的振幅分布曲線。

,九)"{sfep(x0)卜仔(￡.>

答：F

u(“修exp{jkz)exp

振幅分布曲線圖從略。

2.7在夫瑯和費(fèi)衍射中，只要孔徑上的場(chǎng)沒有相位變化，試證明：(1)不論孔徑的形狀如

何，夫瑯利費(fèi)衍射圖樣都有一個(gè)對(duì)稱中心。(2)若孔徑對(duì)于某一條直線是對(duì)稱的，則

衍射圖樣將對(duì)于通過原點(diǎn)與該直線平行和垂直的兩條直線對(duì)稱。

證明：(1)在孔徑上的場(chǎng)沒有相位變化時(shí)，衍射孔徑上的光分布g(x,y)是一個(gè)實(shí)函數(shù)，其

傅里葉變換是厄米型函數(shù)，即：

G(7"G*(—HM)

22

因此1億人＞|G(7,V,fyj=|G*(-/X,-fy)=/(-/v,-fy),所以夫瑯和費(fèi)衍射圖樣有一個(gè)對(duì)

稱中心。

(2)孔徑對(duì)于某一條直線是對(duì)稱時(shí)，以該直線為y軸建立坐標(biāo)系。有：

g(x,y"g(-x,y)

因此G(/"上G(-/",)

同時(shí)G(f"k*(-九一九)

的“"(九一八拓(一/".".億￡)

Gk仆G(jJ

可見衍射圖樣將對(duì)于通過原點(diǎn)與該直線平行和垂直的兩條直線對(duì)稱。

2.8試證明如下列陣定理：假設(shè)在衍射屏上有N個(gè)形狀和方位都相同的全等形開孔，在每

一個(gè)開孔內(nèi)取一個(gè)相對(duì)開孔來講方位一樣的點(diǎn)代表孔的位置，那末該衍射屏生成的夫

瑯和費(fèi)衍射場(chǎng)是下列兩個(gè)因子的乘積：(1)置于原點(diǎn)的一個(gè)孔徑的夫瑯和費(fèi)衍射(該

衍射屏的原點(diǎn)處不一定有開孔)；(2)N個(gè)處于代表孔位置的點(diǎn)上的點(diǎn)光源在觀察面

上的干涉。

證明：假設(shè)置于原點(diǎn)的一個(gè)孔徑表示為f0(乙,九)，N個(gè)處于代表孔位置的點(diǎn)上的點(diǎn)光源表

示為》(x-x.,y-y,),則衍射屏的透過率可表示為

N

&%X。(與,兒后&-七，y-x)-

N

其傅里葉變換可表示為

F{@，幾)[Fj0))-F》.)，

INJ

該式右邊第一項(xiàng)對(duì)應(yīng)于置于原點(diǎn)的一個(gè)孔徑的夫瑯和費(fèi)衍射，第二項(xiàng)對(duì)應(yīng)于N個(gè)處于代表

孔位置的點(diǎn)上的點(diǎn)光源在觀察面上的干涉，因此該衍射屏生成的夫瑯和費(fèi)衍射場(chǎng)是這兩個(gè)因

子的乘積。

2.9一個(gè)衍射屏具有下述圓對(duì)稱振幅透過率函數(shù)

=I—+—cosar2|circ|—I

<22)UJ

(1)這個(gè)屏的作用在什么方面像一個(gè)透鏡？

(2)給出此屏的焦距表達(dá)式。

(3)什么特性會(huì)嚴(yán)重的限制這種屏用做成像裝置(特別是對(duì)于彩色物體)？

答：(1)解

衍射屏的復(fù)振幅投射率如圖所示，也可以把它表示為直角坐標(biāo)的形式:

1122

心,y)=j]+]cos[a(x+y)]>circ

(1)

(1)式大括號(hào)中第一項(xiàng)僅僅是使直接透射光振幅衰減，其他兩項(xiàng)指數(shù)項(xiàng)與透鏡位相變換因

子exp-j—(x2+y2)比較，可見形式相同。當(dāng)平面波垂直照射時(shí)，這兩項(xiàng)的作用是分

_2f_

別產(chǎn)生會(huì)聚球面波和發(fā)散球面波。因此在成像性質(zhì)和傅立葉變換性質(zhì)上該衍射屏都有些類似

與透鏡，因子表明該屏具有半徑為i的圓形孔徑。

(2)解

把衍射屏復(fù)振幅透射率中的復(fù)指數(shù)項(xiàng)與透鏡位相變換因子相比較，得到相應(yīng)的焦距，對(duì)于

-exp|-/a(/+丁)]項(xiàng)，令a=——，則有

42fl

k7i

力r二丁=丁

2。Aa

焦距力為正，其作用相當(dāng)于會(huì)聚透鏡，對(duì)于」expUa，+y2)］項(xiàng)，令&=二1,則有

42人

_k_7i

12aXa

焦距人為負(fù)，其作用相當(dāng)于發(fā)散透鏡，對(duì)于“;”這一項(xiàng)來說，平行光波直接透過，僅振

幅衰減，可看作是

于3=9

（3）解

由于該衍射屏有三重焦距，用作成像裝置時(shí)，對(duì)同一物體它可以形成三個(gè)像，例如對(duì)于無窮

遠(yuǎn)的點(diǎn)光源，分別在屏兩側(cè)對(duì)稱位置形成實(shí)像和虛像，另一個(gè)像在無窮遠(yuǎn)（直接透射光）（參

看圖4.12）。當(dāng)觀察者觀察其中一個(gè)像時(shí)，同時(shí)會(huì)看到另外的離焦像，無法分離開。如用接

收屏接收，在任何一個(gè)像面上都會(huì)有其它的離焦像形成的背景干擾。除此以外，對(duì)于多色物

體來說，嚴(yán)重的色差也是一個(gè)重要的限制。因?yàn)榻咕喽寂c波長(zhǎng)4成反比。例如取

4d=6900A,4ble=4000A,則有

二4000

-6900'blue

=057篇e

這樣大的色差是無法用作成像裝置的，若采用白光作光源，在像面上可以看到嚴(yán)重的色散現(xiàn)

象。

這種衍射屏實(shí)際就是同軸形式的點(diǎn)源全息圖，即伽柏全息圖。

2.10用波長(zhǎng)為4=6328A的平面光波垂直照明半徑為2根機(jī)的衍射孔，若觀察范圍是與衍

射孔共軸，半徑為30mm的圓域，試求菲涅耳衍射和夫瑯和費(fèi)衍射的范圍。

答：由式⑵55）耳+片）2及式（2-57）+/）有菲涅耳衍射和夫瑯和費(fèi)

衍射分別要求

"中4+串2即z〉〉5Wi6而=398.7〃"〃

1-----....rl2=4964.6mm

〃2、0°廠0.6328x10-3

2.11單位振幅的單色平面波垂直入射到一半徑為a的圓形孔徑上，試求菲涅耳衍射圖樣在

軸上的強(qiáng)度分布。

答：圓形孔徑的透過率可表示為

：.U

根據(jù)式(2.53)有

軸上的強(qiáng)度分布為

2

U（0,0,z）=exp{jk￡）A-expj~a2=21-cos\-a2

=4sin（—a2

（4z

2.12余弦型振幅光柵的復(fù)振幅透過率為

/Qo）=a-i-hcos2ji-j-

式中，d為光柵周期，a>b>0,。>方>0。觀察平面與光柵相距z。當(dāng)z分別取下列各數(shù)

值（1）Z=Z=——;（2）Z=—=;（3）Z=—=（式中ZT稱作泰伯距離）

TA2/I42/1

時(shí),確定單色平面波垂直照明光柵，在觀察平面上產(chǎn)生的強(qiáng)度分布。

答:根據(jù)式⑵31)單色平面波垂直照明下余弦型振幅光柵的復(fù)振幅分布為

。(無。J。§

強(qiáng)度分布為

角譜為

J

A)(/"v)=J^+bcos2jt(一心(x0/v+y0/v)K>0

=而(".啖GM卜5+"))

傳播距離Z后，根據(jù)式(2.40)得到角譜

A0.小4g/阪p恤阿力而H

=而億人沖(人力卜,+%加p履

=焉(fx,fy]exp[jkz]+^,.，/,內(nèi)(2J>“""zj—(3)

5

4/"v，z)=exp[jkz^(Zv,/vKf(八一JJ('+*/')卜“爺])

(1)z=Z時(shí)

T2

A(f.J,z)=expj竽(而g，力哽

與A,(人,力.)僅相差一個(gè)常數(shù)位相因子，因而觀察平面上產(chǎn)生的強(qiáng)度分布與單色平面波垂直

照明下剛剛透過余弦型振幅光柵產(chǎn)生的強(qiáng)度分布完全相同。

zd2

(2)z=-二——時(shí)

2X

A(fx,fy,z)=expj等(虎億￡啰0、.卜,+%)、

對(duì)應(yīng)復(fù)振幅分布為

Q

圖2.16(題2.13)

答：在如圖的透射式鋸齒型位相光柵中，單位振幅的單色平面波由光柵的背后平面入射垂直

照明，則在齒頂平面形成的光波復(fù)振幅分布可表示為

U(%卜exp(jkxfga(n-7))recrf—j*—

其角譜為

A。(AJ.V卜JJu(X。,y)xp(一心(x。/,+y°fv)"od)'o

rgq(/?-1)

Vasinc(afxycomb(afx)5(/v\l}sincLfxsincLfy

k7

/

—[comb(af)b(/)*L2sincLfsincLf

asinca\fxxvxy

rgq(/?-l)、

asinca\f1-^5(嘰一加)5(/yi}sincLfxsincLfy

xXv

若讓衍射圖樣中的機(jī)級(jí)譜幅值最大，應(yīng)選擇a使得

tga(n-l)_m

Aa

因而有

1mX

a

2.14設(shè)〃(x)為矩形函數(shù)，試編寫程序求p=1/4,1/2,3/4時(shí)，其分?jǐn)?shù)階傅里葉變換,

并繪制出相應(yīng)打⑺倒的曲線。

答：根據(jù)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換定義式(2.62)

ra

0=2—(2.79)

71

即可編程計(jì)算p=1/4,1/2,3/4時(shí)的分?jǐn)?shù)階傅里葉變換（此處略）。

第三章習(xí)題解答

3.1參看圖3.5,在推導(dǎo)相干成像系統(tǒng)點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)（3.35）式時(shí)，對(duì)于積分號(hào)前的相位因子

「&IFk（x2+v2\

expj——?expj------!~~r2-

2d0°°JM-J

試問

（1）物平面上半徑多大時(shí)，相位因子

exp國(guó)+y：）

L2doJ

相對(duì)于它在原點(diǎn)之值正好改變加弧度？

（2）設(shè)光瞳函數(shù)是一個(gè)半徑為a的圓，那么在物平面上相應(yīng)h的第一個(gè)零點(diǎn)的半徑是

多少？

（3）由這些結(jié)果，設(shè)觀察是在透鏡光軸附近進(jìn)行，那么a,人和山之間存在什么關(guān)系

時(shí)可以棄去相位因子

exp自《+端

解：（1）由于原點(diǎn)的相位為零，于是與原點(diǎn)位相位差為萬(wàn)的條件是

上（片+4）=生

ro=d大d。

2d。2d。

（2）根據(jù)（3.L5）式，相干成像系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)是透鏡光瞳函數(shù)的夫瑯禾費(fèi)衍射圖

樣，其中心位于理想像點(diǎn)（蒞,區(qū)）

22

力（%,%；冷%）=力2：“JJP（x,y）exp-^o）+（y1--y0）Jdxdy

=ME=J"J。"）

4dodB\JQd（）djp

式中r=/,而

Xj-Xo）2?沸一先

。=百+4皿皿

在點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的第一個(gè)零點(diǎn)處，4（2而夕）=0,此時(shí)應(yīng)有23夕=3.83,即

將（2）式代入（1）式，并注意觀察點(diǎn)在原點(diǎn)（X,=K=O）,于是得

0.61加

（3）根據(jù)線性系統(tǒng)理論，像面上原點(diǎn)處的場(chǎng)分布，必須是物面上所有點(diǎn)在像面上的點(diǎn)

擴(kuò)散函數(shù)對(duì)于原點(diǎn)的貢獻(xiàn)/2（%,打；0,0）。按照上面的分析，如果略去h第一個(gè)零點(diǎn)以

外的影響，即只考慮h的中央亮斑對(duì)原點(diǎn)的貢獻(xiàn)，那么這個(gè)貢獻(xiàn)僅僅來自于物平面原點(diǎn)

附近ro<O.6lAdo/a范圍內(nèi)的小區(qū)域。當(dāng)這個(gè)小區(qū)域內(nèi)各點(diǎn)的相位因子

exp[J婢/2d0]變化不大，就可認(rèn)為（3.1.3）式的近似成立，而將它棄去，假設(shè)小區(qū)

-JT

域內(nèi)相位變化不大于幾分之一弧度（例如萬(wàn)/16）就滿足以上要求，則依"2分（一，

^<2t/0/16,也即

a>2.4“Mi°

例如2=600〃/”,d。=600nm,則光瞳半徑a>1A6mm,顯然這一條件是極易滿足

3.2一個(gè)余弦型振幅光柵，復(fù)振幅透過率為

fGo，No）=；+gcos2班X。

放在圖3.5所示的成像系統(tǒng)的物面上，用單色平面波傾斜照明，平面波的傳播方向在x°z平

面內(nèi)，與z釉?shī)A角為6。透鏡焦距為f,孔徑為Do

（1）求物體透射光場(chǎng)的頻譜；

（2）使像平面出現(xiàn)條紋的最大9角等于多少？求此時(shí)像面強(qiáng)度分布：

（3）若0采用上述極大值，使像面上出現(xiàn)條紋的最大光柵頻率是多少？與0=0時(shí)的截

止頻率比較，結(jié)論如何？

解(1)斜入射的單色平面波在物平面上產(chǎn)生的場(chǎng)為Aexp(jfcc0sin6),為確定起見設(shè)

。＞0,則物平面上的透射光場(chǎng)為

4(X()，為)=Aexp(/ksin0)t(xQ,y0)

A(_sin。、1「cz.sin。、11「<sin。、[]

]jexpy2;rxo-^—J+ypj2^x0(70+^—)+-exp-j2^x0(/,--—)>

其頻譜為

AG，〃)=尸{%(二,%)}

A-\J-s丁in。卜)萬(wàn)1J帶匕f-田z.s才in。力)]洌1父f-(十十s丁in。)

由此可見，相對(duì)于垂直入射照明，物頻譜沿4軸整體平移了sin9/2距離。

(2)欲使像面有強(qiáng)度變化，至少要有兩個(gè)頻譜分量通過系統(tǒng)，系統(tǒng)的截止頻率

pc=D/^f,于是要求

sin0DDsinD

------------->--------4-A-I---------------

242/42/°24A/

由此得

2fo———4sin。W——(1)

。角的最大值為

(0)

(9miv=arcsin——(2.

MRI

此時(shí)像面上的復(fù)振幅分布和強(qiáng)度分布為

U,(4，丫)=4expj2g[1+:exp(-/2)x/)]

2\44/JL

A2「5_

<U,O,,)=--+cos2兀/x

（3）照明光束的傾角取最大值時(shí)，由（1）式和（2）式可得

Af0--<—

4/4/

即

fo《導(dǎo)或/omax4白（3）

ZXJZ/tJ

。=0時(shí)，系統(tǒng)的截止頻率為4=0/44/,因此光柵的最大頻率

/omax=Pe=777⑷

4/1/

比較（3）和（4）式可知，當(dāng)采用e=qn”傾角的平面波照明時(shí)系統(tǒng)的截止頻率提高了

一倍，也就提高了系統(tǒng)的極限分辨率，但系統(tǒng)的通帶寬度不變。

3.3光學(xué)傳遞函數(shù)在f?=f,=0處都等于1,這是為什么？光學(xué)傳遞函數(shù)的值可能大于1

嗎？如果光學(xué)系統(tǒng)真的實(shí)現(xiàn)了點(diǎn)物成點(diǎn)像，這時(shí)的光學(xué)傳遞函數(shù)怎樣？

（1）在（3.4.5）式中，令

,,、匕（如丫）

J/似茗,刃）向血

—30

為歸一化強(qiáng)度點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)，因此（3.4.5）式可寫成

00

-00

而

00

〃（0,0）=1=JJh（xi,yi）dxidyi

-00

即不考慮系統(tǒng)光能損失時(shí)，認(rèn)定物面上單位強(qiáng)度點(diǎn)源的總光通量將全部彌漫在像面上,

這便是歸一化點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的意義