一類高考數(shù)學新題型的解題策略初探

一類高考數(shù)學新題型的解題策略初探零陵電大鄧益陽【摘要】：隨著教育改革的不斷深化,高考要求也在發(fā)生著深刻變化.近幾年全國各地高考數(shù)學模擬試題和高考中出現(xiàn)的一種新題型——數(shù)學閱讀理解題。本文分析了這類題的本質(zhì)特點，從四個方面對求解這種題型的解題策略進行了初步探索：一、緊扣信息，發(fā)掘本質(zhì)；二、緊扣信息，歸納類比；三、緊扣信息，探索加工；四、緊扣信息，創(chuàng)新思維。（是文章的主干，也就是是中心。）【關(guān)鍵詞】：新題型信息策略探索創(chuàng)新（要求為名詞）隨著教育改革的不斷深化，高考要求也在發(fā)生著深刻的變化。高考數(shù)學《考試說明》中明確要求學生能閱讀、理解對問題進行陳述的材料；能綜合運用所學的數(shù)學知識、思想和方法解決問題，并能用數(shù)學語言正確地加以表述。對應(yīng)于這一要求，近年來，不論是全國各地高考數(shù)學模擬試題，還是高考數(shù)學全國卷、上海卷等，均推出了一類高考數(shù)學新題型——數(shù)學閱讀理解題，這種題型要求考生在短時間內(nèi)讀懂并理解一個陌生的數(shù)學問題的情景（如定義一種概念，約定一種運算，給出某個圖形等），然后運用所學的知識和已掌握的解題技能靈活地進行解題。這類題目往往設(shè)計運算量不大，但思維量較大，同時它對學生提出了較高的要求，不但要求學生掌握知識，更要求學生掌握研究問題的方法，從而從根本上體現(xiàn)了高考命題“遵循中學教學大綱，但又不拘泥于教學大綱”的原則，并更好地為現(xiàn)行的研究性學習服務(wù)。下面通過具體的例題來探究這類題型的解題策略。一、緊扣信息，發(fā)掘本質(zhì)有些問題給出了我們未曾見過的新的定義或新的運算，這需要我們緊扣信息，深刻理解，發(fā)掘其信息的本質(zhì)。例1、（2003年重慶市高考模擬試題）設(shè)M、P是兩個非空集合，若規(guī)定：M－P={x|x∈M且xP}，則M－（M－P）=圖1圖2分析：此題給出了一種新的集合之間的關(guān)系，因此首先要緊扣信息，深刻理解，圖1圖2例2、（2003年昆明市高考模擬試題）已知凸函數(shù)的性質(zhì)定理：“若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是凸函數(shù)，則對于區(qū)間D內(nèi)的任意X1,X2,…,Xn，均有：例5、（2003年全國高考題）在平面幾何里，有勾股定理：“設(shè)ΔABC的兩邊AB、AC互相垂直，則AB2+AC2=BC2”，拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側(cè)面積和底面積的關(guān)系，可以得到的正確結(jié)論是：“設(shè)三棱錐A-BCD的三個側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩相互垂直，則DCAB分析：題干中明確提示：把“平面勾股定理”推廣為“空間勾股定理”，“研究三棱錐的側(cè)面面積與底面面積的關(guān)系”，而在平面幾何中學生對勾股定理非常熟悉,拓展到空間對學生來講較為困難,這時可以用特殊的圖形來進行探索,如圖,三棱錐A-BCD,已知面ABC,ACD,ADB兩兩垂直.設(shè)AB=AC=AD=1,則SΔABC=SΔABD=SDCABSΔBCD=sin60°=，結(jié)合勾股定理中的平方關(guān)系,立即類比得出：SΔABC2+SΔACD2+SΔADB2=SΔBCD2的結(jié)論。例6(2003年昆明市高考模擬試題)設(shè)都是自然數(shù)，稱為無窮連分數(shù)，例如：這里a1=1,an=2(n∈N+,n≥2).請類似地把也寫成無窮連分數(shù)的形式，并寫出an.分析：此題給出了一個“無窮連分數(shù)”的定義，這里我們不曾知道概念的意義，但是按照題中對的運算，我們可以類似地把計算方法遷移到所求的問題中來。從上面的變形中，可知a1=a2n=1,a2n+1=2.(n∈N+,n≥1)三、緊扣信息，探索加工有些問題給出了大量的信息，需要我們在解題前仔細閱讀材料，從中探索出本質(zhì)的內(nèi)容，并進行數(shù)學加工，再用相關(guān)的知識加以解決。例7、（2004年上海春季高考試卷）在等差數(shù)列{an}中，當ar=as(r≠s)時，數(shù)列{an}必定是常數(shù)數(shù)列。然而在等比數(shù)列{an}中，對某些正整數(shù)r、s(r≠s),當ar=as時，非常數(shù)數(shù)列{an}的一個例子是分析：本題由等差數(shù)列給出滿足其性質(zhì)的得出是常數(shù)數(shù)列的信息(因為ar=as，則d=0),但等比數(shù)列與等差數(shù)列不同,因為公比q,當r≠s時,有可能得出ar=as,例如：a,-a,a,-a,...(a≠0),r與s同為奇數(shù)或偶數(shù)。例8、（2003年福州市高考模擬試題）如圖，這是一個計算機裝置示意圖，J1，J2是數(shù)據(jù)入口處，C是計算結(jié)果出口，計算過程是由J1，J2分別輸入正整數(shù)m和n，經(jīng)過計算得正整數(shù)k后由C輸出。此種計算裝置完成的計算滿足以下3個性質(zhì)：J1J2KCJ1J2KCmn2）J1若輸入1，J2輸入正整數(shù)增大1，則輸出結(jié)果比原來增大2；3）J2若輸入1，J1輸入正整數(shù)增大1，則輸出結(jié)果為原來的2倍.試問：1）若J1輸入1，J2輸入正整數(shù)n，則輸出結(jié)果為多少？2）若J2輸入1，J1輸入正整數(shù)m，輸出結(jié)果為多少？3）若J1輸入正整數(shù)m，J2輸入正整數(shù)n，輸出結(jié)果為多少？分析：本題的信息量大，粗看不知如何入手，若仔細觀察裝置完成的計算所滿足的條件，就可以發(fā)現(xiàn)把條件寫成二元函數(shù)式，并把它看作某一變量的函數(shù)，抽象出等比數(shù)列或等差數(shù)列的模型。設(shè)f(m,n)=k，由題意得：f(1,1)=1,f(m,n+1)=f(m,n)+2f(m+1,1)=2f(m,1)1）在f(m,n+1)=f(m,n)+2中，令m=1，則f(1,n+1)=f(1,n)+2，由此可知：f(1,1),f(1,2),...,f(1,n),...組成以f(1,1)為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以有：f(1,n)=f(1,1)+2(n-1)=2n-12)∵f(m+1，1)=2f(m,1),∴f(1,1),f(2,1),...,f(n,1),...組成以f(1,1)為首項,2為公比的等比數(shù)列，故有：f(m,1)=f(1,1)×2m-1=23）∵f(m,n+1)=f(m,n)+2，∴f(m,1),f(m,2),...,f(m,n),...組成以f(m,1)為首項，以2為公差的等差數(shù)列，所以有f(m,n)=f(m,1)+2(n-1)=2m-1四、緊扣信息，創(chuàng)新思維ECECABF4651212DH67G638例9、（2001年全國高考題）如圖小圓圈表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點，結(jié)點之間的連線表示它們有網(wǎng)線相聯(lián)，連線標注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時間內(nèi)可以通過的最大信息量，現(xiàn)從結(jié)點A向結(jié)點B傳遞信息，信息可以分開沿不同的路線同時傳遞，則單位時間內(nèi)傳遞的最大信息量為（）A、26B、24C、20D、19分析：本題對考生來講，讀題困難，不知所云。它沒有涉及到某種具體的數(shù)學方法，主要是考察閱讀理解能力。為了解決方便，不妨進行創(chuàng)新思維：把結(jié)點看成水庫，網(wǎng)線看成水道，則由A到B有4條水道，在沿ACEB水道排水時,最多只能通過3個流量,沿ACFB水道排水時,最多只能通過4個流量,其它同理,則由A到B流經(jīng)的最大流量為3+4+6+6=19。故選（D）。例10、(2003年全國高考(理)試題）設(shè)x，y滿足約束條件：則Z=3x+2y的最大值是A1D1ADCBB1A1D1ADCBB1C1例11、（1998年全國高考試題）如圖在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，當?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件時，有A1C⊥B1D分析：這是一道開放性試題，其答案不是唯一的，因而學生要有發(fā)散性思維。事實上，若將四邊形A1B1C1D1適當提升到A2B2C2D2，使A2C結(jié)束語：數(shù)學閱讀理解題是近年來高考試題中的一種新題型.求解此類問題的關(guān)鍵要通過認真閱讀，深刻理解題意，從中找到數(shù)學信息。緊扣信息，或發(fā)掘問題的本質(zhì)，或類比推廣，或探索加工，或創(chuàng)新思維等策略，以期達到正確回答問題的目的。對數(shù)學閱讀理解題的解題策略進行探索，在數(shù)學教學實踐中是有重要意義的。參考文獻：1、鄧益陽《探究一類高考新題型的解題策略》《高中數(shù)學教與學》2004年第2期2、《2003年全國各地高考數(shù)學模擬試題集錦》學苑出版社2003年5月3、《十年高考分類解析與應(yīng)試策略（數(shù)學）》南方出版社2002年7月4、張必華《考查能力的幾種新題