線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

本文格式為Word版，下載可任意編輯——線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析第三章線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

3.1概述

假使在擾動(dòng)作用下系統(tǒng)偏離了原來(lái)的平衡狀態(tài)，當(dāng)擾動(dòng)消失后，系統(tǒng)能夠以足夠

的確鑿度恢復(fù)到原來(lái)的平衡狀態(tài)，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。否則，系統(tǒng)不穩(wěn)定。一個(gè)實(shí)際的系統(tǒng)必需是穩(wěn)定的，不穩(wěn)定的系統(tǒng)是不可能付諸于工程實(shí)施的。因此，穩(wěn)定性問(wèn)題是系統(tǒng)控制理論研究的一個(gè)重要課題。對(duì)于線性系統(tǒng)而言，其響應(yīng)總可以分解為零狀態(tài)響應(yīng)和零輸入響應(yīng)，因而人們習(xí)慣分別探討這兩種響應(yīng)的穩(wěn)定性，從而外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性的概念。

應(yīng)用于線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析方法好多。然而，對(duì)于非線性系統(tǒng)和線性時(shí)變系

統(tǒng)，這些穩(wěn)定性分析方法實(shí)現(xiàn)起來(lái)可能十分困難，甚至是不可能的。李雅普諾夫(A.M.Lyapunov)穩(wěn)定性分析是解決非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性問(wèn)題的一般方法。

本章首先介紹外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性的概念及其相互關(guān)系，然后介紹李雅普諾夫

穩(wěn)定性的概念及其判別方法，最終介紹線性定常系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析。

雖然在非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題中，Lyapunov穩(wěn)定性分析方法具有基礎(chǔ)性的地

位，但在具體確定大量非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性時(shí)，卻并不是直截了當(dāng)?shù)?。技巧和?jīng)驗(yàn)在解決非線性問(wèn)題時(shí)顯得十分重要。在本章中，對(duì)于實(shí)際非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析僅限于幾種簡(jiǎn)單的狀況。

3.2外部穩(wěn)定性與內(nèi)部穩(wěn)定性

3.2.1外部穩(wěn)定：

考慮一個(gè)線性因果系統(tǒng)，假使對(duì)一個(gè)有界輸入u（t），即滿足條件：

u(t)?k1??

的輸入u（t），所產(chǎn)生的輸出y（t）也是有界的，即使得下式成立：

y(t)?k2??

則稱此因果系統(tǒng)是外部穩(wěn)定的，即BIBO（BoundedInputBoundedOutput）穩(wěn)定。注意：在探討外部穩(wěn)定性的時(shí)候，我們必需要假定系統(tǒng)的初始條件為零，只有在這種假定下面，系統(tǒng)的輸入—輸出描述才是唯一的和有意義的。

系統(tǒng)外部穩(wěn)定的判定準(zhǔn)則

系統(tǒng)的BIBO穩(wěn)定性可根據(jù)脈沖響應(yīng)矩陣或者傳遞函數(shù)矩陣來(lái)進(jìn)行判別。

a)時(shí)變狀況的判定準(zhǔn)則

對(duì)于零初始條件的線性時(shí)變系統(tǒng)，設(shè)G(t,?)為脈沖響應(yīng)矩陣，則系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定的充要條件是，存在一個(gè)有限常數(shù)k，使對(duì)于一切

t?[t0,?),G(t,?)的每一個(gè)元

gij(t,?)i(?1,2,qj?;p1有,2,)

?tt0gij(t,?)d??k??即，G(t,?)是絕對(duì)可積的。b)

定常狀況下的判定準(zhǔn)則：

對(duì)于零初始條件的線性定常系統(tǒng)，初始時(shí)刻t0=0,G(t)為脈沖響應(yīng)矩陣，G(s)為傳遞函數(shù)矩陣，則系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定的充要條件是，存在一個(gè)有限常數(shù)k，G(t)的每一個(gè)元

gij(t)(i?1,2,q;j?1,2,p)有?tt0gij(t)d??k??或者等價(jià)的：

當(dāng)G(s)為真的有理分式函數(shù)矩陣時(shí)，G(s)的每一個(gè)傳遞函數(shù)g（s）的所有零極點(diǎn)都具有負(fù)實(shí)部。

對(duì)于一個(gè)定常線性系統(tǒng)

?(t)?Ax(t)?Bu(t)x，其傳遞函數(shù)矩陣為：

y(t)?Cx(t)?Du(t)?(s)?C(sI?A)?1B?D?G1C[Adj(sI?A)]B?D。因此，只要滿足系統(tǒng)的

det(sI?A)全部特征根具有負(fù)實(shí)部根，則系統(tǒng)是BIBO穩(wěn)定的。

3.2.2內(nèi)部穩(wěn)定性

對(duì)于線性定常系統(tǒng)X＝AX＋Bu，y＝CX＋Du假使外部輸入u（t）為0，初始狀態(tài)x0為任意，且由x0引起的零輸入響應(yīng)

.?（t；0；x0;0)滿足：

lim?（t；0；x0;0)?0x??

則稱系統(tǒng)實(shí)內(nèi)部穩(wěn)定的，或稱為是漸進(jìn)穩(wěn)定的。判定準(zhǔn)則：

?(t)?Ax(t)，其解為x(t)?ex(0)。因此，對(duì)于上面所列的狀態(tài)空間表對(duì)于系統(tǒng)x達(dá)，它的漸進(jìn)穩(wěn)定的充分必要條件是矩陣A的所有特征值具有負(fù)實(shí)部。

At3.2.3內(nèi)部穩(wěn)定性和外部穩(wěn)定性之間的關(guān)系

對(duì)線性定常系統(tǒng)的內(nèi)部穩(wěn)定和外部穩(wěn)定的等價(jià)關(guān)系，得出如下結(jié)論：1.線性定常系統(tǒng)是內(nèi)部穩(wěn)定的，則其必為BIBO穩(wěn)定的。2.線性定常系統(tǒng)是BIBO穩(wěn)定的，不一定就是內(nèi)部穩(wěn)定的。

3.線性定常系統(tǒng)是能控制和能觀測(cè)的，則其內(nèi)部穩(wěn)定性和BIBO穩(wěn)定是等價(jià)的。

內(nèi)部穩(wěn)定

圖3.1外部穩(wěn)定與內(nèi)部穩(wěn)定的關(guān)系

外部穩(wěn)定3.3Lyapunov意義下的穩(wěn)定性問(wèn)題

對(duì)于一個(gè)給定的控制系統(tǒng)，穩(wěn)定性分析尋常是最重要的。假使系統(tǒng)是線性定常的，

那么有大量穩(wěn)定性判據(jù)，如Routh-Hurwitz穩(wěn)定性判據(jù)和Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)等可資利用。然而，假使系統(tǒng)是非線性的，或是線性時(shí)變的，則上述穩(wěn)定性判據(jù)就將不再適用。

Lyapunov其次法（也稱Lyapunov直接法）是確定非線性系統(tǒng)和線性時(shí)變系統(tǒng)的最

一般的方法。反過(guò)來(lái)，這種方法也可適用于線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析。李雅普諾夫穩(wěn)定分析法是確定時(shí)變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性更一般的方法，這種方法可以在無(wú)需求解狀態(tài)方程的條件下，確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

3.3.1基本概念

a)平衡狀態(tài)

忽略輸入后，非線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)方程：

??f(x,t)為n維狀態(tài)向量；t為時(shí)間變量；f(x,t)為n維函數(shù)），其展開(kāi)式為：xxi?fi(x1,x2,,xn,t)i?1,?,n

假使對(duì)于所有t，滿足

?e?f(xe,t)?0x的狀態(tài)xe稱為平衡狀態(tài)（又稱為平衡點(diǎn)）。假使系統(tǒng)是線性定常的，也就是說(shuō)

f(x,t)?Ax，則當(dāng)A為非奇異矩陣時(shí)，系統(tǒng)存在一個(gè)唯一的平衡狀態(tài)；當(dāng)A為奇異矩陣

時(shí)，系統(tǒng)將存在無(wú)窮多個(gè)平衡狀態(tài)。對(duì)于非線性系統(tǒng)，可有一個(gè)或多個(gè)平衡狀態(tài)，這些狀態(tài)對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)的常值解（對(duì)所有t，總存在x?xe）。

任意一個(gè)孤立的平衡狀態(tài)（即彼此孤立的平衡狀態(tài)）或給定運(yùn)動(dòng)x?g(t)都可通過(guò)中，除非特別申明，我們將僅探討擾動(dòng)方程關(guān)于原點(diǎn)(xe?0)處之平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性問(wèn)題。這種“原點(diǎn)穩(wěn)定性問(wèn)題〞由于使問(wèn)題得到極大簡(jiǎn)化，而不會(huì)喪失一般性，從而為穩(wěn)定性理論的建立奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，這是Lyapunov的一個(gè)重要貢獻(xiàn)。

??~xf(~x,t)之坐標(biāo)原點(diǎn)，即f(0,t)?0或xe?0。在本章坐標(biāo)變換，統(tǒng)一化為擾動(dòng)方程~控制系統(tǒng)李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性是關(guān)于平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性，反映了系統(tǒng)在平衡狀態(tài)附近的動(dòng)態(tài)行為。鑒于線性系統(tǒng)只有一個(gè)平衡狀態(tài)，平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性能夠表征整個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對(duì)于具有多個(gè)平衡狀態(tài)的非線性系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，由于各平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性一般并不一致，故需逐個(gè)加以考慮，還需結(jié)合具體初始條件下的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)軌跡來(lái)考慮。

b)李雅普諾夫穩(wěn)定性

假使對(duì)于任意小的?>0，均存在一個(gè)?(?,t0)?0，當(dāng)時(shí)始狀態(tài)滿足x0?xe??時(shí)，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)軌跡滿足limx(t;x0,t0)?xe??，則稱該平衡狀態(tài)xe是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的。

設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)x0位于平衡狀態(tài)xe為球心、半徑為δ的閉球域S(?)內(nèi)，假使系統(tǒng)穩(wěn)定，則狀態(tài)方程的解x(t;x0,t0)在t??的過(guò)程中，都位于以xe為球心，半徑為ε的閉球域S(?)內(nèi)。

c)一致穩(wěn)定性

尋常δ與?、t0都有關(guān)。假使δ與t0無(wú)關(guān)，則稱平衡狀態(tài)是一致穩(wěn)定的。定常系統(tǒng)的δ與t0無(wú)關(guān)，因此定常系統(tǒng)假使穩(wěn)定，則一定是一致穩(wěn)定的。

d)漸進(jìn)穩(wěn)定性

系統(tǒng)的平衡狀態(tài)不僅具有李雅普若夫意義下的穩(wěn)定性，且有l(wèi)imx(t;x0,t0)?xe?0

t??稱此平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。這時(shí)，從S(?)出發(fā)的軌跡不僅不會(huì)超出S(?)，且當(dāng)t??時(shí)收劍于xe或其附近。

c)

大范圍穩(wěn)定性

當(dāng)時(shí)始條件擴(kuò)展至整個(gè)狀態(tài)空間，且具有穩(wěn)定性時(shí)，稱此平衡狀態(tài)是大范圍穩(wěn)定的，或全局穩(wěn)定的。此時(shí)，???，S(?)??，x??。對(duì)于線性系統(tǒng)，假使它是漸近穩(wěn)定的，必具有大范圍穩(wěn)定性，由于線性系統(tǒng)穩(wěn)定性與初始條件無(wú)關(guān)。非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性一般與初始條件的大小密切相關(guān)，尋常只能在小范圍內(nèi)穩(wěn)定。

d)不穩(wěn)定性

不管δ取得得多么小，只要在S(?)內(nèi)有一條從x0出發(fā)的軌跡跨出S(?)，則稱此平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。

實(shí)際上，漸近穩(wěn)定性比純穩(wěn)定性更重要?？紤]到非線性系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性是一個(gè)局部概念，所以簡(jiǎn)單地確定漸近穩(wěn)定性并不意味著系統(tǒng)能正常工作。尋常有必要確定漸近穩(wěn)定性的最大范圍或吸引域。它是發(fā)生漸近穩(wěn)定軌跡的那部分狀態(tài)空間。換句話說(shuō)，發(fā)生于吸引域內(nèi)的每一個(gè)軌跡都是漸近穩(wěn)定的。

在控制工程問(wèn)題中，總希望系統(tǒng)具有大范圍漸近穩(wěn)定的特性。假使平衡狀態(tài)不是大范圍漸近穩(wěn)定的，那么問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為確定漸近穩(wěn)定的最大范圍或吸引域，這尋常十分困難。然而，對(duì)所有的實(shí)際問(wèn)題，如能確定一個(gè)足夠大的漸近穩(wěn)定的吸引域，以致擾動(dòng)不會(huì)超過(guò)它就可以了。

圖3.2（a）穩(wěn)定平衡狀態(tài)及一條典型軌跡

（b）漸近穩(wěn)定平衡狀態(tài)及一條典型軌跡（c）不穩(wěn)定平衡狀態(tài)及一條典型軌跡

圖3.2（a）、(b)和(c)分別表示平衡狀態(tài)及對(duì)應(yīng)于穩(wěn)定性、漸近穩(wěn)定性和不穩(wěn)定性的典型軌跡。在圖3.2(a)、(b)和(c)中，域S（?）制約著初始狀態(tài)x0，而域S(?）是起始于x0的軌跡的邊界。

注意，由于上述定義不能詳細(xì)地說(shuō)明可容許初始條件的確切吸引域，因而除非S(?)對(duì)應(yīng)于整個(gè)狀態(tài)平面，否則這些定義只能應(yīng)用于平衡狀態(tài)的鄰域。

此外，在圖5.2（c）中，軌跡離開(kāi)了S(?），這說(shuō)明平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。然而卻不能說(shuō)明軌跡將趨于無(wú)窮遠(yuǎn)處，這是由于軌跡還可能趨于在S(?）外的某個(gè)極限環(huán)（假使線性定常系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，則在不穩(wěn)定平衡狀態(tài)附近出發(fā)的軌跡將趨于無(wú)窮遠(yuǎn)。但在非線性系統(tǒng)中，這一結(jié)論并不一定正確）。

上述各定義的內(nèi)容，對(duì)于理解本章介紹的線性和非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析，是最低限度的要求。注意，這些定義不是確定平衡狀態(tài)穩(wěn)定性概念的唯一方法。實(shí)際上，在其他文獻(xiàn)中還有另外的定義。

對(duì)于線性系統(tǒng)，漸近穩(wěn)定等價(jià)于大范圍漸近穩(wěn)定。但對(duì)于非線性系統(tǒng)，一般只考慮吸引區(qū)為有限的定范圍的漸近穩(wěn)定。

最終指出，在經(jīng)典控制理