暑期班第7講 函數(shù)的應(yīng)用 學(xué)生版

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第7講函數(shù)的應(yīng)用

高考要求

要求層次重點(diǎn)函數(shù)的零點(diǎn)冪函數(shù)和零點(diǎn)及函數(shù)的應(yīng)用B①理解函數(shù)零點(diǎn)的概念②把握函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)難點(diǎn)①明確零點(diǎn)是一個(gè)“值〞，而非一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)②會(huì)利用函數(shù)的零點(diǎn)摸索二次方程根的分布問(wèn)題了解二分法的原理二分法A了解二分法的原理①能夠應(yīng)用函數(shù)的性質(zhì)解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題，能夠應(yīng)用函數(shù)知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題；②培養(yǎng)學(xué)生的閱讀能力、文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言的能力及數(shù)學(xué)建模能力函數(shù)模型的應(yīng)用C把握建立函數(shù)模型的數(shù)學(xué)思想知識(shí)精講

板塊一：函數(shù)的零點(diǎn)(一)主要知識(shí)：

函數(shù)的應(yīng)用是學(xué)習(xí)函數(shù)的主要目的之一.本講內(nèi)容重點(diǎn)放在函數(shù)在數(shù)學(xué)內(nèi)部的應(yīng)用，使函數(shù)的學(xué)習(xí)構(gòu)成一個(gè)完整的有機(jī)體，同時(shí)本模塊的結(jié)構(gòu)也給我們浮現(xiàn)了研究一個(gè)問(wèn)題完整的思路和方法.本節(jié)內(nèi)容不但透露函數(shù)、方程、不等式等內(nèi)容的橫向聯(lián)系，又表達(dá)螺旋上升的學(xué)習(xí)函數(shù)的縱向聯(lián)系.在二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似解的過(guò)程中滲透的算法思想，為模塊3學(xué)習(xí)算法作了必要的準(zhǔn)備，另外，也為進(jìn)入大學(xué)學(xué)習(xí)介值定理、區(qū)間套定理，體會(huì)極限的思想等起到基礎(chǔ)性的作用.函數(shù)與方程的學(xué)習(xí)，對(duì)學(xué)生進(jìn)一步理解函數(shù)的概念和性質(zhì)，樹(shù)立數(shù)學(xué)應(yīng)用的意識(shí)，形成正確的世界觀起到重要的作用.

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一、零點(diǎn)的概念：

對(duì)于函數(shù)y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)(x∈D)的零點(diǎn).

二、函數(shù)零點(diǎn)的意義：

函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)＝0實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).即方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn).

三、零點(diǎn)存在性判定定理：

假使函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,且f(a)·f(b)＜0,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,這個(gè)c就是方程f(x)=0的根.

這樣得到方程f(x)=0在區(qū)間(a,b)內(nèi)必有根，由此只能判斷根的存在，既不能判定有多少個(gè)實(shí)數(shù)根，也不能得出根的值.

(二)典例分析：

畫(huà)出函數(shù)f(x)?2x3?3x?1的圖象，判斷函數(shù)在以下區(qū)間(-1.5，-1)，(0，0.5)，(0.8，1.5)內(nèi)有無(wú)

零點(diǎn)，并判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

求函數(shù)y?x3?2x2?x?2的零點(diǎn)，并畫(huà)出它的圖象.

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已知m∈R，函數(shù)f(x)=m(x2-1)+x-a恒有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，f(x)是奇函數(shù)？

若關(guān)于x的方程lg(x?20x)?lg(8x?6a?3)?0有唯一的實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

2

用函數(shù)的思想看方程的解

函數(shù)在方程中的應(yīng)用主要是構(gòu)造函數(shù)，確定方程的實(shí)根的個(gè)數(shù)、探討方程的實(shí)根的存在性和唯一性問(wèn)題以及探討方程的實(shí)根的范圍問(wèn)題.主要方法是構(gòu)造各種函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合，觀測(cè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)等等.

試判斷方程2

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?x?x2?2的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是多少

試判斷方程|x?9|?a?2實(shí)根的個(gè)數(shù).

2板塊二：函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用

1．復(fù)合函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性內(nèi)層函數(shù)外層函數(shù)復(fù)合函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)-偶函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)單調(diào)性減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)有周期T1有周期T1周期性注：⑴“周期性〞中的“周期〞在本表中不一定是最小正周期；

⑵可以用“內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇則外〞和“一致則增，不同則減〞記憶奇偶性和單調(diào)性．

2．函數(shù)的四則運(yùn)算結(jié)果的周期性

一般來(lái)說(shuō)，設(shè)函數(shù)f(x)和函數(shù)g(x)的周期分別是T1和T2，假使存在T，使得T?mT1?nT2(m、n為非零整數(shù))，則T是函數(shù)f(x)和函數(shù)g(x)的和、差、積以及商的周期．

ax2?1設(shè)f(x)?(a,b,c?Z)是奇函數(shù)，且有f(1)?2，2?f(2)?3成立．

bx?c⑴求a,b,c的值；

⑵用定義證明f(x)在(?1,0)上是減函數(shù)．

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?(x?1)3?2023(x?1)??1?已知x，y為實(shí)數(shù)，且滿足?，求x?y的值．3(y?1)?2023(y?1)?1??

判斷以下函數(shù)的奇偶性并說(shuō)明理由：

1?a2x⑴f(x)?(a?0且a?1)；

1?a2x⑵f(x)?x?1?1?x；

⑶f(x)?x2?5|x|．

已知函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x?0時(shí)f(x)?x(1?x)．求函數(shù)f(x)的解析式．

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已知函數(shù)f(x)，當(dāng)x,y?R時(shí)恒有f(x?y)?f(x)?f(y)．

⑴求證：函數(shù)f(x)是奇函數(shù)；⑵若f(?3)?a，試用a表示f(24)．

定義在R上的偶函數(shù)y?f(x)滿足f(1?x)?f(1?x)，假使這個(gè)函數(shù)在[1,2]上是增函數(shù)，則在

[?1,0]上函數(shù)f(x)是()

11A．增函數(shù)B．在[?1,?]是減函數(shù)，在[?,0]上是增函數(shù)

2211C．減函數(shù)D．在[?1,?]是增函數(shù)，在[?,0]上是減函數(shù)

22

已知函數(shù)f(x)對(duì)于一切實(shí)數(shù)x都有f(2?x)?f(2?x)，假使方程f(x)?0有且只有兩個(gè)不相等的

實(shí)數(shù)根，那么這兩根之和等于_____

?3?已知定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)??，0?成中心對(duì)稱(chēng)圖形，且滿足f(x)??f?4?3???x?2?，??f(?1)?1，f(0)??2．那么，f(1)?f(2)???f(2023)的值是()

A．1

B．2C．?1D．?2

板塊三：函數(shù)實(shí)際應(yīng)用

本講涉及函數(shù)在數(shù)學(xué)內(nèi)部的應(yīng)用.大綱教材講函數(shù)應(yīng)用主要是講函數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，而未涉及數(shù)學(xué)內(nèi)部的應(yīng)用.課標(biāo)這樣處理對(duì)于學(xué)生完整地理解函數(shù)的應(yīng)用，把握分析、研究問(wèn)題的方法大有好處.函數(shù)與方程安排在這個(gè)位置也是恰當(dāng)?shù)?，前面學(xué)習(xí)的函數(shù)性質(zhì)和相關(guān)知識(shí)，為函數(shù)的應(yīng)用提供了必要的準(zhǔn)備，反過(guò)來(lái)通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)可以更好的認(rèn)識(shí)和穩(wěn)定前面的知識(shí)，溫故知新.

(一)主要知識(shí)：

1.函數(shù)定義域、圖象、單調(diào)性質(zhì)等知識(shí)；2.函數(shù)的值域、最值等知識(shí).

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3.具體函數(shù)模型的性質(zhì)和圖象知識(shí).

(二)主要方法：

一.解允許用問(wèn)題時(shí)，首先應(yīng)進(jìn)行嚴(yán)密地思考和深刻的分析綜合，再將問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系找出來(lái)，并聯(lián)系實(shí)際問(wèn)題建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)解決，注意實(shí)際問(wèn)題中對(duì)自變量取值范圍的限制.

二.解決應(yīng)用性問(wèn)題的一般步驟為：?1?審題；?2?建模；?3?求解；?4?作答．我們可以用示意圖表示為：

(三)典例分析：

1．基本函數(shù)模型問(wèn)題

一個(gè)圓柱形容器的底面直徑為dcm，高度為hcm，現(xiàn)以每秒Vcm的速度向容器內(nèi)注入一種溶液，

3求出容器內(nèi)溶液高度y與注入時(shí)間x(s)的函數(shù)關(guān)系及其定義域

某地區(qū)上年度電價(jià)為0.8元/kW·h，年用電荷量為akW·h，本年度計(jì)劃將電價(jià)降到0.55元/kW·h

至0.75元/kW·h之間，而用戶期望電價(jià)為0.4元/kW·h.經(jīng)測(cè)算，下調(diào)電價(jià)后新增的用電荷量與實(shí)

際電價(jià)和用戶期望電價(jià)的差成反比(比例系數(shù)為k).該地區(qū)電力的成本價(jià)為0.3元/kW·h.(1)寫(xiě)出本年度電價(jià)下調(diào)后，電力部門(mén)的受益y與實(shí)際電價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)設(shè)k=0.2a，當(dāng)電價(jià)最低定為多少時(shí)仍可保證電力部門(mén)的受益比上年至少增長(zhǎng)20%(注：受益＝實(shí)際用電量×(實(shí)際電價(jià)－成本價(jià)))？

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某農(nóng)場(chǎng)新開(kāi)墾50畝土地，計(jì)劃用20個(gè)勞動(dòng)力耕種這片土地，所能種植的作物及產(chǎn)值如下表：

問(wèn)怎樣安排作物的種植數(shù)量，才能使總產(chǎn)值最高？

作物每畝所需勞動(dòng)力(人)每畝產(chǎn)值(元)

某商店將進(jìn)貨價(jià)每個(gè)10元的商品按每個(gè)18元出售時(shí)，每天可賣(mài)出60個(gè)，商店經(jīng)理到市場(chǎng)上做

蔬菜棉花水稻1211001375014600了一番調(diào)查后發(fā)現(xiàn)，若將這種商品的售價(jià)(在每個(gè)18元的基礎(chǔ)上)每提高一元，則日銷(xiāo)量就減少5個(gè)；若將這種商品的售價(jià)(在每個(gè)18元的基礎(chǔ)上)每降低1元，則日銷(xiāo)量就增加10個(gè).為了每日獲得最大利潤(rùn)，此商品的售價(jià)應(yīng)定為每個(gè)多少元？

一批發(fā)兼零售的文具商店規(guī)定：凡購(gòu)買(mǎi)鉛筆51支以上(含51支)按批發(fā)價(jià)結(jié)算，而少于51支則

按零售價(jià)計(jì)算，批發(fā)價(jià)每購(gòu)60支比零售價(jià)60支少付1元.現(xiàn)有班長(zhǎng)小王來(lái)購(gòu)鉛筆，若給全班每人買(mǎi)一支，則必需按零售價(jià)結(jié)算，需支付m元(m為整數(shù))，但若多買(mǎi)10支，則可按批發(fā)價(jià)結(jié)算，恰好也是支付m元，問(wèn)該班有多少學(xué)生？

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（第五屆北京高中數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽）中國(guó)青年報(bào)2023年3月19日?qǐng)?bào)道：中國(guó)移動(dòng)通信將于

3月21日開(kāi)始在所屬18個(gè)省、市移動(dòng)通信公司不斷推出“全球通〞移動(dòng)電話資費(fèi)“套餐〞，這

個(gè)：“套餐〞的最大特點(diǎn)是針對(duì)不同用戶采取了不同的收費(fèi)方法.

具體方案如下：方案基本月租（元）免費(fèi)時(shí)間（分鐘）超過(guò)免費(fèi)時(shí)間的話費(fèi)（元/分鐘）130480．602981700．6031683300．5042686000．45538810000．40656817000．35778825880．30原計(jì)費(fèi)方案的基本月租為50元，每通話一分鐘付0.4元，請(qǐng)問(wèn)：（1）“套餐〞中第4種收費(fèi)方式的月話費(fèi)y與月通話量t（月通話量是指一個(gè)月內(nèi)每次通話用時(shí)之和，每次通話用時(shí)以分為單位取整計(jì)算，如某次通話時(shí)間為3分20秒，按4分鐘計(jì)通話用時(shí)）的函數(shù)關(guān)系式；

（2）取第4種收費(fèi)方式，通話量多少時(shí)比原計(jì)費(fèi)方式的月通話費(fèi)省錢(qián)；

（3）據(jù)中國(guó)移動(dòng)2000年公布的中期業(yè)績(jī)，每戶通話平均為每月320分鐘，若一個(gè)用戶的通話量恰好是這個(gè)平均值，那么選擇哪種收費(fèi)方式更合算，并說(shuō)明理由.

一海輪航海時(shí)所耗燃料費(fèi)與其航速的平方成正比，已知當(dāng)航速為每小時(shí)a海里時(shí)，每小時(shí)所耗

燃料費(fèi)為b元；此外，該海輪航行中每小時(shí)的其它費(fèi)用為c元(與航速無(wú)關(guān))，若該海輪勻速航行d海里，問(wèn)航速應(yīng)為每小時(shí)多少海里才能使航行的總費(fèi)用最??？此時(shí)的總費(fèi)用為多少？

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板塊四：函數(shù)性質(zhì)綜合

函數(shù)的綜合運(yùn)用(本部分內(nèi)容對(duì)于新生可能較難，可以視狀況而定)

函數(shù)綜合問(wèn)題主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：1、函數(shù)的概念、性質(zhì)和方法的綜合問(wèn)題；

2、函數(shù)與其它代數(shù)知識(shí)，主要是方程、不等式、