暑期班第7講 函數的應用 學生版

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第7講函數的應用

高考要求

要求層次重點函數的零點冪函數和零點及函數的應用B①理解函數零點的概念②把握函數零點的性質難點①明確零點是一個“值〞，而非一個點的坐標②會利用函數的零點摸索二次方程根的分布問題了解二分法的原理二分法A了解二分法的原理①能夠應用函數的性質解決有關數學問題，能夠應用函數知識解決一些簡單的實際問題；②培養(yǎng)學生的閱讀能力、文字語言轉化為數學語言的能力及數學建模能力函數模型的應用C把握建立函數模型的數學思想知識精講

板塊一：函數的零點(一)主要知識：

函數的應用是學習函數的主要目的之一.本講內容重點放在函數在數學內部的應用，使函數的學習構成一個完整的有機體，同時本模塊的結構也給我們浮現了研究一個問題完整的思路和方法.本節(jié)內容不但透露函數、方程、不等式等內容的橫向聯系，又表達螺旋上升的學習函數的縱向聯系.在二分法求函數零點近似解的過程中滲透的算法思想，為模塊3學習算法作了必要的準備，另外，也為進入大學學習介值定理、區(qū)間套定理，體會極限的思想等起到基礎性的作用.函數與方程的學習，對學生進一步理解函數的概念和性質，樹立數學應用的意識，形成正確的世界觀起到重要的作用.

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一、零點的概念：

對于函數y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的實數x叫做函數y＝f(x)(x∈D)的零點.

二、函數零點的意義：

函數y＝f(x)的零點就是方程f(x)＝0實數根，亦即函數y＝f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標.即方程f(x)=0有實數根?函數y＝f(x)的圖象與x軸有交點?函數y＝f(x)有零點.

三、零點存在性判定定理：

假使函數y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,且f(a)·f(b)＜0,則函數y=f(x)在區(qū)間(a,b)內有零點，即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,這個c就是方程f(x)=0的根.

這樣得到方程f(x)=0在區(qū)間(a,b)內必有根，由此只能判斷根的存在，既不能判定有多少個實數根，也不能得出根的值.

(二)典例分析：

畫出函數f(x)?2x3?3x?1的圖象，判斷函數在以下區(qū)間(-1.5，-1)，(0，0.5)，(0.8，1.5)內有無

零點，并判斷零點的個數.

求函數y?x3?2x2?x?2的零點，并畫出它的圖象.

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已知m∈R，函數f(x)=m(x2-1)+x-a恒有零點，求實數a的取值范圍，f(x)是奇函數？

若關于x的方程lg(x?20x)?lg(8x?6a?3)?0有唯一的實根，求實數a的取值范圍.

2

用函數的思想看方程的解

函數在方程中的應用主要是構造函數，確定方程的實根的個數、探討方程的實根的存在性和唯一性問題以及探討方程的實根的范圍問題.主要方法是構造各種函數，利用數形結合，觀測函數圖象的交點等等.

試判斷方程2

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?x?x2?2的實數解的個數是多少

試判斷方程|x?9|?a?2實根的個數.

2板塊二：函數性質應用

1．復合函數的奇偶性、單調性和周期性內層函數外層函數復合函數奇函數奇函數奇函數奇偶性奇函數偶函數偶函數偶函數-偶函數增函數增函數增函數增函數減函數減函數單調性減函數增函數減函數減函數減函數增函數有周期T1有周期T1周期性注：⑴“周期性〞中的“周期〞在本表中不一定是最小正周期；

⑵可以用“內偶則偶，內奇則外〞和“一致則增，不同則減〞記憶奇偶性和單調性．

2．函數的四則運算結果的周期性

一般來說，設函數f(x)和函數g(x)的周期分別是T1和T2，假使存在T，使得T?mT1?nT2(m、n為非零整數)，則T是函數f(x)和函數g(x)的和、差、積以及商的周期．

ax2?1設f(x)?(a,b,c?Z)是奇函數，且有f(1)?2，2?f(2)?3成立．

bx?c⑴求a,b,c的值；

⑵用定義證明f(x)在(?1,0)上是減函數．

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?(x?1)3?2023(x?1)??1?已知x，y為實數，且滿足?，求x?y的值．3(y?1)?2023(y?1)?1??

判斷以下函數的奇偶性并說明理由：

1?a2x⑴f(x)?(a?0且a?1)；

1?a2x⑵f(x)?x?1?1?x；

⑶f(x)?x2?5|x|．

已知函數f(x)為R上的奇函數，且當x?0時f(x)?x(1?x)．求函數f(x)的解析式．

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已知函數f(x)，當x,y?R時恒有f(x?y)?f(x)?f(y)．

⑴求證：函數f(x)是奇函數；⑵若f(?3)?a，試用a表示f(24)．

定義在R上的偶函數y?f(x)滿足f(1?x)?f(1?x)，假使這個函數在[1,2]上是增函數，則在

[?1,0]上函數f(x)是()

11A．增函數B．在[?1,?]是減函數，在[?,0]上是增函數

2211C．減函數D．在[?1,?]是增函數，在[?,0]上是減函數

22

已知函數f(x)對于一切實數x都有f(2?x)?f(2?x)，假使方程f(x)?0有且只有兩個不相等的

實數根，那么這兩根之和等于_____

?3?已知定義在R上的函數f(x)的圖象關于點??，0?成中心對稱圖形，且滿足f(x)??f?4?3???x?2?，??f(?1)?1，f(0)??2．那么，f(1)?f(2)???f(2023)的值是()

A．1

B．2C．?1D．?2

板塊三：函數實際應用

本講涉及函數在數學內部的應用.大綱教材講函數應用主要是講函數在解決實際問題中的應用，而未涉及數學內部的應用.課標這樣處理對于學生完整地理解函數的應用，把握分析、研究問題的方法大有好處.函數與方程安排在這個位置也是恰當的，前面學習的函數性質和相關知識，為函數的應用提供了必要的準備，反過來通過本節(jié)的學習可以更好的認識和穩(wěn)定前面的知識，溫故知新.

(一)主要知識：

1.函數定義域、圖象、單調性質等知識；2.函數的值域、最值等知識.

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3.具體函數模型的性質和圖象知識.

(二)主要方法：

一.解允許用問題時，首先應進行嚴密地思考和深刻的分析綜合，再將問題中的數量關系找出來，并聯系實際問題建立相應的數學模型，轉化為數學問題來解決，注意實際問題中對自變量取值范圍的限制.

二.解決應用性問題的一般步驟為：?1?審題；?2?建模；?3?求解；?4?作答．我們可以用示意圖表示為：

(三)典例分析：

1．基本函數模型問題

一個圓柱形容器的底面直徑為dcm，高度為hcm，現以每秒Vcm的速度向容器內注入一種溶液，

3求出容器內溶液高度y與注入時間x(s)的函數關系及其定義域

某地區(qū)上年度電價為0.8元/kW·h，年用電荷量為akW·h，本年度計劃將電價降到0.55元/kW·h

至0.75元/kW·h之間，而用戶期望電價為0.4元/kW·h.經測算，下調電價后新增的用電荷量與實

際電價和用戶期望電價的差成反比(比例系數為k).該地區(qū)電力的成本價為0.3元/kW·h.(1)寫出本年度電價下調后，電力部門的受益y與實際電價x的函數關系式；

(2)設k=0.2a，當電價最低定為多少時仍可保證電力部門的受益比上年至少增長20%(注：受益＝實際用電量×(實際電價－成本價))？

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某農場新開墾50畝土地，計劃用20個勞動力耕種這片土地，所能種植的作物及產值如下表：

問怎樣安排作物的種植數量，才能使總產值最高？

作物每畝所需勞動力(人)每畝產值(元)

某商店將進貨價每個10元的商品按每個18元出售時，每天可賣出60個，商店經理到市場上做

蔬菜棉花水稻1211001375014600了一番調查后發(fā)現，若將這種商品的售價(在每個18元的基礎上)每提高一元，則日銷量就減少5個；若將這種商品的售價(在每個18元的基礎上)每降低1元，則日銷量就增加10個.為了每日獲得最大利潤，此商品的售價應定為每個多少元？

一批發(fā)兼零售的文具商店規(guī)定：凡購買鉛筆51支以上(含51支)按批發(fā)價結算，而少于51支則

按零售價計算，批發(fā)價每購60支比零售價60支少付1元.現有班長小王來購鉛筆，若給全班每人買一支，則必需按零售價結算，需支付m元(m為整數)，但若多買10支，則可按批發(fā)價結算，恰好也是支付m元，問該班有多少學生？

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（第五屆北京高中數學知識應用競賽）中國青年報2023年3月19日報道：中國移動通信將于

3月21日開始在所屬18個省、市移動通信公司不斷推出“全球通〞移動電話資費“套餐〞，這

個：“套餐〞的最大特點是針對不同用戶采取了不同的收費方法.

具體方案如下：方案基本月租（元）免費時間（分鐘）超過免費時間的話費（元/分鐘）130480．602981700．6031683300．5042686000．45538810000．40656817000．35778825880．30原計費方案的基本月租為50元，每通話一分鐘付0.4元，請問：（1）“套餐〞中第4種收費方式的月話費y與月通話量t（月通話量是指一個月內每次通話用時之和，每次通話用時以分為單位取整計算，如某次通話時間為3分20秒，按4分鐘計通話用時）的函數關系式；

（2）取第4種收費方式，通話量多少時比原計費方式的月通話費省錢；

（3）據中國移動2000年公布的中期業(yè)績，每戶通話平均為每月320分鐘，若一個用戶的通話量恰好是這個平均值，那么選擇哪種收費方式更合算，并說明理由.

一海輪航海時所耗燃料費與其航速的平方成正比，已知當航速為每小時a海里時，每小時所耗

燃料費為b元；此外，該海輪航行中每小時的其它費用為c元(與航速無關)，若該海輪勻速航行d海里，問航速應為每小時多少海里才能使航行的總費用最省？此時的總費用為多少？

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板塊四：函數性質綜合

函數的綜合運用(本部分內容對于新生可能較難，可以視狀況而定)

函數綜合問題主要表現在以下幾個方面：1、函數的概念、性質和方法的綜合問題；

2、函數與其它代數知識，主要是方程、不等式、