暑期班第7講 函數(shù)的應(yīng)用 學(xué)生版

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第7講函數(shù)的應(yīng)用

高考要求

要求層次重點函數(shù)的零點冪函數(shù)和零點及函數(shù)的應(yīng)用B①理解函數(shù)零點的概念②把握函數(shù)零點的性質(zhì)難點①明確零點是一個“值〞，而非一個點的坐標(biāo)②會利用函數(shù)的零點摸索二次方程根的分布問題了解二分法的原理二分法A了解二分法的原理①能夠應(yīng)用函數(shù)的性質(zhì)解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題，能夠應(yīng)用函數(shù)知識解決一些簡單的實際問題；②培養(yǎng)學(xué)生的閱讀能力、文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言的能力及數(shù)學(xué)建模能力函數(shù)模型的應(yīng)用C把握建立函數(shù)模型的數(shù)學(xué)思想知識精講

板塊一：函數(shù)的零點(一)主要知識：

函數(shù)的應(yīng)用是學(xué)習(xí)函數(shù)的主要目的之一.本講內(nèi)容重點放在函數(shù)在數(shù)學(xué)內(nèi)部的應(yīng)用，使函數(shù)的學(xué)習(xí)構(gòu)成一個完整的有機(jī)體，同時本模塊的結(jié)構(gòu)也給我們浮現(xiàn)了研究一個問題完整的思路和方法.本節(jié)內(nèi)容不但透露函數(shù)、方程、不等式等內(nèi)容的橫向聯(lián)系，又表達(dá)螺旋上升的學(xué)習(xí)函數(shù)的縱向聯(lián)系.在二分法求函數(shù)零點近似解的過程中滲透的算法思想，為模塊3學(xué)習(xí)算法作了必要的準(zhǔn)備，另外，也為進(jìn)入大學(xué)學(xué)習(xí)介值定理、區(qū)間套定理，體會極限的思想等起到基礎(chǔ)性的作用.函數(shù)與方程的學(xué)習(xí)，對學(xué)生進(jìn)一步理解函數(shù)的概念和性質(zhì)，樹立數(shù)學(xué)應(yīng)用的意識，形成正確的世界觀起到重要的作用.

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一、零點的概念：

對于函數(shù)y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)(x∈D)的零點.

二、函數(shù)零點的意義：

函數(shù)y＝f(x)的零點就是方程f(x)＝0實數(shù)根，亦即函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo).即方程f(x)=0有實數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點?函數(shù)y＝f(x)有零點.

三、零點存在性判定定理：

假使函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,且f(a)·f(b)＜0,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點，即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,這個c就是方程f(x)=0的根.

這樣得到方程f(x)=0在區(qū)間(a,b)內(nèi)必有根，由此只能判斷根的存在，既不能判定有多少個實數(shù)根，也不能得出根的值.

(二)典例分析：

畫出函數(shù)f(x)?2x3?3x?1的圖象，判斷函數(shù)在以下區(qū)間(-1.5，-1)，(0，0.5)，(0.8，1.5)內(nèi)有無

零點，并判斷零點的個數(shù).

求函數(shù)y?x3?2x2?x?2的零點，并畫出它的圖象.

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已知m∈R，函數(shù)f(x)=m(x2-1)+x-a恒有零點，求實數(shù)a的取值范圍，f(x)是奇函數(shù)？

若關(guān)于x的方程lg(x?20x)?lg(8x?6a?3)?0有唯一的實根，求實數(shù)a的取值范圍.

2

用函數(shù)的思想看方程的解

函數(shù)在方程中的應(yīng)用主要是構(gòu)造函數(shù)，確定方程的實根的個數(shù)、探討方程的實根的存在性和唯一性問題以及探討方程的實根的范圍問題.主要方法是構(gòu)造各種函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合，觀測函數(shù)圖象的交點等等.

試判斷方程2

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?x?x2?2的實數(shù)解的個數(shù)是多少

試判斷方程|x?9|?a?2實根的個數(shù).

2板塊二：函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用

1．復(fù)合函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性內(nèi)層函數(shù)外層函數(shù)復(fù)合函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)-偶函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)單調(diào)性減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)有周期T1有周期T1周期性注：⑴“周期性〞中的“周期〞在本表中不一定是最小正周期；

⑵可以用“內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇則外〞和“一致則增，不同則減〞記憶奇偶性和單調(diào)性．

2．函數(shù)的四則運(yùn)算結(jié)果的周期性

一般來說，設(shè)函數(shù)f(x)和函數(shù)g(x)的周期分別是T1和T2，假使存在T，使得T?mT1?nT2(m、n為非零整數(shù))，則T是函數(shù)f(x)和函數(shù)g(x)的和、差、積以及商的周期．

ax2?1設(shè)f(x)?(a,b,c?Z)是奇函數(shù)，且有f(1)?2，2?f(2)?3成立．

bx?c⑴求a,b,c的值；

⑵用定義證明f(x)在(?1,0)上是減函數(shù)．

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?(x?1)3?2023(x?1)??1?已知x，y為實數(shù)，且滿足?，求x?y的值．3(y?1)?2023(y?1)?1??

判斷以下函數(shù)的奇偶性并說明理由：

1?a2x⑴f(x)?(a?0且a?1)；

1?a2x⑵f(x)?x?1?1?x；

⑶f(x)?x2?5|x|．

已知函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x?0時f(x)?x(1?x)．求函數(shù)f(x)的解析式．

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已知函數(shù)f(x)，當(dāng)x,y?R時恒有f(x?y)?f(x)?f(y)．

⑴求證：函數(shù)f(x)是奇函數(shù)；⑵若f(?3)?a，試用a表示f(24)．

定義在R上的偶函數(shù)y?f(x)滿足f(1?x)?f(1?x)，假使這個函數(shù)在[1,2]上是增函數(shù)，則在

[?1,0]上函數(shù)f(x)是()

11A．增函數(shù)B．在[?1,?]是減函數(shù)，在[?,0]上是增函數(shù)

2211C．減函數(shù)D．在[?1,?]是增函數(shù)，在[?,0]上是減函數(shù)

22

已知函數(shù)f(x)對于一切實數(shù)x都有f(2?x)?f(2?x)，假使方程f(x)?0有且只有兩個不相等的

實數(shù)根，那么這兩根之和等于_____

?3?已知定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點??，0?成中心對稱圖形，且滿足f(x)??f?4?3???x?2?，??f(?1)?1，f(0)??2．那么，f(1)?f(2)???f(2023)的值是()

A．1

B．2C．?1D．?2

板塊三：函數(shù)實際應(yīng)用

本講涉及函數(shù)在數(shù)學(xué)內(nèi)部的應(yīng)用.大綱教材講函數(shù)應(yīng)用主要是講函數(shù)在解決實際問題中的應(yīng)用，而未涉及數(shù)學(xué)內(nèi)部的應(yīng)用.課標(biāo)這樣處理對于學(xué)生完整地理解函數(shù)的應(yīng)用，把握分析、研究問題的方法大有好處.函數(shù)與方程安排在這個位置也是恰當(dāng)?shù)模懊鎸W(xué)習(xí)的函數(shù)性質(zhì)和相關(guān)知識，為函數(shù)的應(yīng)用提供了必要的準(zhǔn)備，反過來通過本節(jié)的學(xué)習(xí)可以更好的認(rèn)識和穩(wěn)定前面的知識，溫故知新.

(一)主要知識：

1.函數(shù)定義域、圖象、單調(diào)性質(zhì)等知識；2.函數(shù)的值域、最值等知識.

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3.具體函數(shù)模型的性質(zhì)和圖象知識.

(二)主要方法：

一.解允許用問題時，首先應(yīng)進(jìn)行嚴(yán)密地思考和深刻的分析綜合，再將問題中的數(shù)量關(guān)系找出來，并聯(lián)系實際問題建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來解決，注意實際問題中對自變量取值范圍的限制.

二.解決應(yīng)用性問題的一般步驟為：?1?審題；?2?建模；?3?求解；?4?作答．我們可以用示意圖表示為：

(三)典例分析：

1．基本函數(shù)模型問題

一個圓柱形容器的底面直徑為dcm，高度為hcm，現(xiàn)以每秒Vcm的速度向容器內(nèi)注入一種溶液，

3求出容器內(nèi)溶液高度y與注入時間x(s)的函數(shù)關(guān)系及其定義域

某地區(qū)上年度電價為0.8元/kW·h，年用電荷量為akW·h，本年度計劃將電價降到0.55元/kW·h

至0.75元/kW·h之間，而用戶期望電價為0.4元/kW·h.經(jīng)測算，下調(diào)電價后新增的用電荷量與實

際電價和用戶期望電價的差成反比(比例系數(shù)為k).該地區(qū)電力的成本價為0.3元/kW·h.(1)寫出本年度電價下調(diào)后，電力部門的受益y與實際電價x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)設(shè)k=0.2a，當(dāng)電價最低定為多少時仍可保證電力部門的受益比上年至少增長20%(注：受益＝實際用電量×(實際電價－成本價))？

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某農(nóng)場新開墾50畝土地，計劃用20個勞動力耕種這片土地，所能種植的作物及產(chǎn)值如下表：

問怎樣安排作物的種植數(shù)量，才能使總產(chǎn)值最高？

作物每畝所需勞動力(人)每畝產(chǎn)值(元)

某商店將進(jìn)貨價每個10元的商品按每個18元出售時，每天可賣出60個，商店經(jīng)理到市場上做

蔬菜棉花水稻1211001375014600了一番調(diào)查后發(fā)現(xiàn)，若將這種商品的售價(在每個18元的基礎(chǔ)上)每提高一元，則日銷量就減少5個；若將這種商品的售價(在每個18元的基礎(chǔ)上)每降低1元，則日銷量就增加10個.為了每日獲得最大利潤，此商品的售價應(yīng)定為每個多少元？

一批發(fā)兼零售的文具商店規(guī)定：凡購買鉛筆51支以上(含51支)按批發(fā)價結(jié)算，而少于51支則

按零售價計算，批發(fā)價每購60支比零售價60支少付1元.現(xiàn)有班長小王來購鉛筆，若給全班每人買一支，則必需按零售價結(jié)算，需支付m元(m為整數(shù))，但若多買10支，則可按批發(fā)價結(jié)算，恰好也是支付m元，問該班有多少學(xué)生？

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（第五屆北京高中數(shù)學(xué)知識應(yīng)用競賽）中國青年報2023年3月19日報道：中國移動通信將于

3月21日開始在所屬18個省、市移動通信公司不斷推出“全球通〞移動電話資費“套餐〞，這

個：“套餐〞的最大特點是針對不同用戶采取了不同的收費方法.

具體方案如下：方案基本月租（元）免費時間（分鐘）超過免費時間的話費（元/分鐘）130480．602981700．6031683300．5042686000．45538810000．40656817000．35778825880．30原計費方案的基本月租為50元，每通話一分鐘付0.4元，請問：（1）“套餐〞中第4種收費方式的月話費y與月通話量t（月通話量是指一個月內(nèi)每次通話用時之和，每次通話用時以分為單位取整計算，如某次通話時間為3分20秒，按4分鐘計通話用時）的函數(shù)關(guān)系式；

（2）取第4種收費方式，通話量多少時比原計費方式的月通話費省錢；

（3）據(jù)中國移動2000年公布的中期業(yè)績，每戶通話平均為每月320分鐘，若一個用戶的通話量恰好是這個平均值，那么選擇哪種收費方式更合算，并說明理由.

一海輪航海時所耗燃料費與其航速的平方成正比，已知當(dāng)航速為每小時a海里時，每小時所耗

燃料費為b元；此外，該海輪航行中每小時的其它費用為c元(與航速無關(guān))，若該海輪勻速航行d海里，問航速應(yīng)為每小時多少海里才能使航行的總費用最?。看藭r的總費用為多少？

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板塊四：函數(shù)性質(zhì)綜合

函數(shù)的綜合運(yùn)用(本部分內(nèi)容對于新生可能較難，可以視狀況而定)

函數(shù)綜合問題主要表現(xiàn)在以下幾個方面：1、函數(shù)的概念、性質(zhì)和方法的綜合問題；

2、函數(shù)與其它代數(shù)知識，主要是方程、不等式、