慣性矩的計(jì)算方法及常用截面慣性矩計(jì)算公式

./慣性矩的計(jì)算方法及常用截面慣性矩計(jì)算公式截面圖形的幾何性質(zhì)一.重點(diǎn)及難點(diǎn)：<一>.截面靜矩和形心1.靜矩的定義式如圖1所示任意有限平面圖形,取其單元如面積,定義它對任意軸的一次矩為它對該軸的靜矩,即yx整個(gè)圖形對y、z軸的靜矩分別為×Cy〔I-10Ax2.形心與靜矩關(guān)系圖I-1設(shè)平面圖形形心C的坐標(biāo)為則0,〔I-2推論1如果y軸通過形心〔即,則靜矩；同理,如果x軸通過形心〔即,則靜矩；反之也成立。推論2如果x、y軸均為圖形的對稱軸,則其交點(diǎn)即為圖形形心；如果y軸為圖形對稱軸,則圖形形心必在此軸上。3.組合圖形的靜矩和形心設(shè)截面圖形由幾個(gè)面積分別為的簡單圖形組成,且一直各族圖形的形心坐標(biāo)分別為,則圖形對y軸和x軸的靜矩分別為〔I-3截面圖形的形心坐標(biāo)為,〔I-44.靜矩的特征<1>界面圖形的靜矩是對某一坐標(biāo)軸所定義的,故靜矩與坐標(biāo)軸有關(guān)。<2>靜矩有的單位為。<3>靜矩的數(shù)值可正可負(fù),也可為零。圖形對任意形心軸的靜矩必定為零,反之,若圖形對某一軸的靜矩為零,則該軸必通過圖形的形心。<4>若已知圖形的形心坐標(biāo)。則可由式〔I-1求圖形對坐標(biāo)軸的靜矩。若已知圖形對坐標(biāo)軸的靜矩,則可由式〔I-2求圖形的形心坐標(biāo)。組合圖形的形心位置,通常是先由式〔I-3求出圖形對某一坐標(biāo)系的靜矩,然后由式〔I-4求出其形心坐標(biāo)。〔二.慣性矩慣性積慣性半徑慣性矩定義設(shè)任意形狀的截面圖形的面積為A〔圖I-3,則圖形對O點(diǎn)的極慣性矩定義為〔I-5圖形對y軸和x軸的光性矩分別定義為,〔I-6慣性矩的特征界面圖形的極慣性矩是對某一極點(diǎn)定義的；軸慣性矩是對某一坐標(biāo)軸定義的。極慣性矩和軸慣性矩的單位為。極慣性矩和軸慣性矩的數(shù)值均為恒為大于零的正值。圖形對某一點(diǎn)的極慣性矩的數(shù)值,恒等于圖形對以該點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的任意一對坐標(biāo)軸的軸慣性矩之和,即〔I-7組合圖形〔圖I-2對某一點(diǎn)的極慣性矩或某一軸的軸慣性矩,分別等于各族紛紛圖形對同一點(diǎn)的極慣性矩或同一軸慣性矩之和,即,,〔I-8yyxdAy0x0x圖I-2圖I-3慣性積定義設(shè)任意形狀的截面圖形的面積為A〔圖I-3,則圖形對y軸和x軸的慣性積定義為〔I-9慣性積的特征界面圖形的慣性積是對相互垂直的某一對坐標(biāo)軸定義的。慣性積的單位為。慣性積的數(shù)值可正可負(fù),也可能等于零。若一對坐標(biāo)周中有一軸為圖形的對稱軸,則圖形對這一對稱軸的慣性積必等于零。但圖形對某一對坐標(biāo)軸的慣性積為零,這一對坐標(biāo)軸重且不一定有圖形的對稱軸。組合圖形對某一對坐標(biāo)軸的慣性積,等于各組分圖形對同一坐標(biāo)軸的慣性積之和,即〔I-10慣性半徑定義：任意形狀的截面圖形的面積為A〔圖I-3,則圖形對y軸和x軸的慣性半徑分別定義為,〔I-11慣性半徑的特征慣性半徑是對某一坐標(biāo)軸定義的。慣性半徑的單位為m。慣性半徑的數(shù)值恒取證之?！踩?慣性矩和慣性積的平行移軸公式平行移軸公式〔I-12〔I-13平行移軸公式的特征〔1意形狀界面光圖形的面積為A〔圖〔I-4；軸為圖形的形心軸；x,y軸為分別與形心軸相距為a和b的平行軸?！?兩對平行軸之間的距離a和b的正負(fù),可任意選取坐標(biāo)軸x,y或形心為參考軸加以確定?！?在所有相互平行的坐標(biāo)軸中,圖形對形心軸的慣性矩為最小,但圖形對形心軸的慣性積不一定是最小。ydAbCa0x圖I-4<四>、慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式.主慣性軸主慣性矩轉(zhuǎn)軸公式轉(zhuǎn)軸公式的特征角度的正負(fù)號(hào),從原坐標(biāo)軸x,y轉(zhuǎn)至新坐標(biāo)軸,以逆時(shí)針轉(zhuǎn)向者為正〔圖5。原點(diǎn)O為截面圖形平面內(nèi)的任意點(diǎn),轉(zhuǎn)軸公式與圖形的形心無關(guān)。圖形對通過同一坐標(biāo)原點(diǎn)任意一對相互垂直坐標(biāo)軸的兩個(gè)軸慣性矩之和為常量,等于圖形對原點(diǎn)的極慣性矩,即主慣性軸、主慣性矩任意形狀截面圖形對以某一點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)的坐標(biāo)軸、的慣性積為零〔,則坐標(biāo)軸、稱為圖形通過點(diǎn)O的主慣性軸<圖6>。截面圖形對主慣性軸的慣性矩,稱為主慣性矩。主慣性軸、主慣性矩的確定對于某一點(diǎn)O,若能找到通過點(diǎn)O的圖形的對稱軸,則以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),并包含對稱軸的一隊(duì)坐標(biāo)軸,即為圖形通過點(diǎn)O的一對主慣性軸。對于具有對稱軸的圖形〔或組合圖形,往往已知其通過自身形心軸的慣性矩。于是,圖形對通過點(diǎn)o的主慣性軸的主慣性矩,一般即可由平行移軸公式直接計(jì)算。若通過某一點(diǎn)o沒有圖形的對稱軸,則可以點(diǎn)o為坐標(biāo)原點(diǎn),任作一坐標(biāo)軸x,y為參考軸,并求出圖形對參考軸x,y的慣性矩和慣性積。于是,圖形通過點(diǎn)o的一對主慣性軸方位及主慣性矩分別為〔I-16<I-17>主慣性軸、主慣性矩的特征〔1圖形通過某一點(diǎn)O至少具有一對主慣性軸,而主慣性局勢圖形對通過同一點(diǎn)O所有軸的慣性矩中最大和最小?！?主慣性軸的方位角,從參考軸x,y量起,以逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎??！?若圖形對一點(diǎn)o為坐標(biāo)原點(diǎn)的兩主慣性矩相等,則通過點(diǎn)o的所有軸均為主慣性軸,且所有主慣性矩都相同?！?以截面圖形形心為坐標(biāo)原點(diǎn)的主慣性軸,稱為形心主慣性軸。圖形對一對形心主慣性軸的慣性矩,稱為形心主慣性矩。yy0x0xA圖I-5圖I-6二.典型例題分析例I-a試計(jì)算圖示三角形截面對于與其底邊重合的x軸的靜矩。解：計(jì)算此截面對于x軸的靜矩時(shí),可以去平行于x軸的狹長條<見圖>作為面積元素〔因其上各點(diǎn)的y坐標(biāo)相等,即。由相似三角形關(guān)系,可知:,因此有。將其代入公式〔I-1的第二式,即得ydyhb<y>y0xb例題I-a圖解題指導(dǎo)：此題為積分法求圖形對坐標(biāo)軸的靜矩。例I-2試確定圖示截面形心C的位置解：將截面分為?、П兩個(gè)矩形。為計(jì)算方便,取x軸和y軸分別與界面的底邊和左邊緣重合〔見圖。先計(jì)算每一個(gè)矩形的面積和形心坐標(biāo)〔如下：矩形?,矩形П,將其代入公式〔I-4,即得截面形心C的坐標(biāo)為?Ⅱ10解題指導(dǎo)?Ⅱ10y10120··x80圖例I-3試求圖I-c所示截面對于對稱軸x軸的慣性矩解：此截面可以看作有一個(gè)矩形和兩個(gè)半圓形組成。設(shè)矩形對于x軸的慣性矩為,每一個(gè)半圓形對于x軸的慣性矩為,則由公式〔I-11的第一式可知,所給截面的慣性矩：〔1矩形對于x軸的慣性矩為：〔2半圓形對于x軸的慣性矩可以利用平行移軸公式求得。為此,先求出每個(gè)半圓形對于與x軸平行的形心軸〔圖b的慣性矩。已知半圓形對于其底邊的慣性矩為圓形對其直徑軸〔圖b的慣性據(jù)之半,即。而半圓形的面積為,其形心到底邊的距離為〔圖b。故由平行移軸公式〔I-10a,可以求出每個(gè)半圓形對其自身形心軸的慣性矩為：〔3由圖a可知,半圓形形心到x軸距離為,故在由平行移軸公式,求得每個(gè)半圓形對于x軸的慣性矩為：將d=80mm、a=100mm〔圖a代入式〔4,即得mm4將求得的和代入式〔1,便得mm4解題指導(dǎo)：此題是將不規(guī)則圖形劃分為若干個(gè)規(guī)則圖形,利用已有的規(guī)則圖形的面積、形心及對自身形心軸的慣性矩,結(jié)合平行移軸公式計(jì)算組合截面圖形對組合截面形心的慣性矩。圖圖I-c40a=100x圖