概統(tǒng)老師課件

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)鄧振淼廈門大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院通信工程系2014-9-107.3區(qū)間估計(jì)

引言參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)是用樣本算得的一個(gè)值去估計(jì)未知參數(shù)的一個(gè)近似值，它沒有反映出這個(gè)近似值的誤差范圍，使用起來把握不大。在估計(jì)中，若能確定一個(gè)區(qū)間，使我們能以比較高的可靠程度相信該區(qū)間包含參數(shù)真值，這樣的估計(jì)就是區(qū)間估計(jì)。1、定義（置信區(qū)間）滿足設(shè)是一個(gè)待估參數(shù)，給定，若由樣本X1,X2,…,Xn確定的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量則稱區(qū)間為置信水平（置信度）為的置信區(qū)間。

和分別稱為置信下限和置信上限。

7.3.1置信水平與置信區(qū)間可見，對(duì)參數(shù)作區(qū)間估計(jì)，就是要設(shè)法找出兩個(gè)只依賴于樣本的界限（構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量）：滿足

一旦有了樣本，就把估計(jì)在區(qū)間內(nèi)。（2）精度：要求估計(jì)的精度要盡可能地高。如區(qū)間長度盡可能地短，或能體現(xiàn)高精度的其它準(zhǔn)則。2、對(duì)區(qū)間估計(jì)的基本要求（1）可靠性：要求以很大的可能被包含在區(qū)間內(nèi)，也就是說，概率要盡可能大。即要求要盡量可靠。可靠性與精度是一對(duì)矛盾，一般是在保證可靠性的條件下盡可能提高精度。3、置信區(qū)間的求法在求置信區(qū)間時(shí)，要查表求概率分布的上分位點(diǎn)。顯然另外，由于若X為連續(xù)型隨機(jī)變量，則可取所求置信區(qū)間為。所求置信區(qū)間為。同理，由于可取之前的置信區(qū)間為。置信區(qū)間不唯一！標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位點(diǎn)如2U~N(,)μσ

分布的上分位數(shù)自由度為n的V.上α分位點(diǎn)

對(duì)給定的α（0<α<1），滿足條件

的點(diǎn)zα，稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上α分位點(diǎn)。顯然f(x)Zαx0面積為α

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：X~N(0,1)密度函數(shù)分布函數(shù)I.正態(tài)分布的上α分位點(diǎn)對(duì)于給定的正數(shù)，稱滿足條件對(duì)于給定的正數(shù)，稱滿足條件選的點(diǎn)估計(jì)為

【例1】設(shè)X1,X2,…,Xn是取自

的樣本，已知。求參數(shù)的置信度為的置信區(qū)間?！窘狻?/p>

尋找一個(gè)待估參數(shù)和統(tǒng)計(jì)量的函數(shù)，要求其分布為已知。有了分布，就可以求出U取值于任意區(qū)間的概率。尋找未知參數(shù)的一個(gè)良好估計(jì)。明確問題：是求什么參數(shù)的置信區(qū)間?置信水平是多少？對(duì)于給定的置信水平,根據(jù)U的分布，確定一個(gè)區(qū)間,使得U取值于該區(qū)間的概率為置信水平。對(duì)給定的置信水平查正態(tài)分布表得使從中解得也可簡記為于是所求的置信區(qū)間為closealln=16; %樣本數(shù)delta=1/sqrt(n)*1.96;LoopNum=100; %MATLAB的Monte-Carlo仿真次數(shù)fori=1:LoopNumGaussianNoise=randn(1,n);XMean(i)=mean(GaussianNoise);%計(jì)算樣本均值enda=ones(1,LoopNum)*delta; %置信區(qū)間plot(a,‘r’) %上置信區(qū)間holdonplot(-a,‘r’) %下置信區(qū)間plot(XMean,'*')holdoffsum(XMean>a)+sum(XMean<-a) %統(tǒng)計(jì)置信區(qū)間之外的樣本數(shù)置信區(qū)間之MATLAB演示歸納：求置信區(qū)間的一般步驟（1）明確問題：是求什么參數(shù)的置信區(qū)間?置信水平是多少？（2）尋找參數(shù)的一個(gè)良好的點(diǎn)估計(jì)T(X1,X2,…,Xn)。

（3）尋找一個(gè)待估參數(shù)和估計(jì)量T的函數(shù)U(T,)，且其分布為已知。

（4）對(duì)于給定的置信水平

，根據(jù)U(T,)的分布，確定常數(shù)a,b，使得P(a<U(T,)<b)=（5）對(duì)“a<S(T,)<b”作等價(jià)變形，得到形即。于是就是的100(

)％的置信區(qū)間。關(guān)鍵條件：能導(dǎo)出U的分布的總體分布形式需要指出的是，給定樣本，給定置信水平，置信區(qū)間也不是唯一的。我們總是希望置信區(qū)間盡可能地短。在概率密度為單峰且對(duì)稱的情形，當(dāng)a=?b時(shí)求得的置信區(qū)間的長度為最短（實(shí)際應(yīng)用中，不對(duì)稱時(shí)也常取a=?b）。如：對(duì)置信水平0.95,任意兩個(gè)數(shù)a和b，只要它們的縱標(biāo)包含f(u)下95%的面積，就確定一個(gè)95%的置信區(qū)間?！纠?】設(shè)某種清漆的9個(gè)樣品，其干燥時(shí)間（以h計(jì)）分別為6.05.75.86.57.06.35.66.15.0設(shè)干燥時(shí)間總體服從正態(tài)分布.求的置信水平為0.95的置信區(qū)間。若由以往經(jīng)驗(yàn)知。7.3.2單側(cè)置信區(qū)間對(duì)于有些實(shí)際問題，人們只關(guān)心參數(shù)在一個(gè)方向的界限。1、定義：設(shè)是一個(gè)待估參數(shù)，給定若由樣本X1,X2,…,Xn確定的統(tǒng)計(jì)量稱為的置信水平為的單側(cè)置信下限。是的置信水平為的單側(cè)置信區(qū)間。對(duì)于任意，滿足。則稱區(qū)間如設(shè)備壽命，可將置信上限取為+∞，而只著眼于置信下限，這樣求得的置信區(qū)間叫單側(cè)置信區(qū)間。若由樣本X1,X2,…,Xn確定的統(tǒng)計(jì)量則稱區(qū)間是

的置信水平為的單側(cè)置信區(qū)間。稱為的置信水平為的單側(cè)置信上限。滿足對(duì)于任意,【例3】從一批燈泡中隨機(jī)抽取5只作壽命試驗(yàn)，測得壽命X（單位：小時(shí)）如下：1050，1100，1120，1250，1280設(shè)燈泡壽命服從正態(tài)分布。求燈泡壽命均值的置信水平為0.95的單側(cè)置信下限。方差未知，所以【解】

的點(diǎn)估計(jì)取為樣本均值,

對(duì)給定的置信水平

，確定分位點(diǎn)使即于是得到的置信水平為的單側(cè)置信區(qū)間為

將樣本值代入得的置信水平為0.95的單側(cè)置信下限是1065小時(shí)的置信水平為的單側(cè)置信下限為即課堂練習(xí)

隨機(jī)地取炮彈10發(fā)做試驗(yàn)，得炮口速度的標(biāo)準(zhǔn)差,炮口速度服從正態(tài)分布。求