復變函數(shù)雜亂課件

1第三章復變函數(shù)的積分§3.1復積分定義、性質及計算§3.2柯西-古薩基本定理§3.3原函數(shù)與不定積分2§3.4柯西積分公式分四部分：1.柯西積分公式(重點)2.高階導數(shù)公式(重點)3.應用（幾個定理）4.應用（莫勒拉定理）3復習:1).柯西-古薩定理;2).復合閉路定理;3).閉路變形原理;4).一個重要的結果;5).積分的模不等式.41).柯西-古薩定理:

DC52).復合閉路定理:DC63).閉路變形原理:74).一個重要的結果:z0r.z085).積分的模不等式:91.柯西積分公式(重點)10柯西-古薩定理:CD11.z0若有奇點?柯西-古薩定理:DC12分析:.z013確實,兩者是相等的!即定理3.6(柯西積分公式)設C為一條正向簡單閉曲線,C的內部是單連通域D,z0為C內一點,如果f(z)在D內解析,在上連續(xù),則.z0DC14怎么證？15分析：16分析：在一個積分號下才好估計…171819z0z20

證:在C內部作圓周K:|z-z0|=r.

DCKzz0r21

由于f(z)在z0連續(xù),任給e>0,存在d(e)>0,當|z-z0|<d時,|f(z)-f(z0)|<e.

DCKzz0r22于是,CDzz0K23

這表明不等式左端積分的?？梢匀我庑?只要e足夠小就行了,根據(jù)閉路變形原理,該積分的值與r無關,所以只有在對所有的r積分值為零才有可能,因此,(3.17)式成立.z0z24

(3.17)式稱為柯西積分公式.

.z025

(3.17)式稱為柯西積分公式.

.z0注：(1)內點被邊界值確定（深刻？），且有具體表達式（漂亮？）；

(2)可用于計算積分。26例3.9（有改動）求下列積分:例如:27例3.9求下列積分:解:

由(3.17)得28例3.9求下列積分:解:

由(3.17)得29習題選講：P55，6(2)(3)30313233z0回到公式看一個特例:如果C是圓周34z0z35

則(3.17)式成為推論:一個解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值.z0即36§3.4柯西積分公式分四部分：1.柯西積分公式(重點)2.高階導數(shù)公式(重點)3.應用（幾個定理）4.應用（莫勒拉定理）372.高階導數(shù)公式(重點)38.z03940定理3.7解析函數(shù)f(z)的導數(shù)仍為解析函數(shù),它的n階導數(shù)為:其中C為一條正向簡單閉曲線,C的內部是單連通域D,z0為C內一點,f(z)在D內解析,在上連續(xù)..z0DC41.z0DC(3.20)稱為解析函數(shù)的高階導數(shù)公式42證：設z0為D內任意一點,先證n=1的情形,即.z0DC43因此就是要證(在一個積分號下才好估計…)44按柯西積分公式有45因此46現(xiàn)要證當Dz0時I0,而z0dC47f(z)在C上連續(xù),則有界,設界為M,則在C上

|f(z)|M.

d為z0到C上各點的最短距離,取|Dz|滿足

|Dz|<d/2,Dz0dC48Dz0dC則L是C的長度.49這就證得了當Dz0時,I0,也就證得了再利用同樣的方法去求極限:

這里已經證明了一個解析函數(shù)的導數(shù)仍然是解析函數(shù).(!)50依此類推,用數(shù)學歸納法可以證明:51.z0DC注：

(1)解析函數(shù)的無窮可微性（重要特性）；

(2)雙刃劍——研究解析函數(shù)的工具和計算積分.52用于計算積分的例子…53例3.10求積分,其中C:|z|=r>1.54解:1)z=1在C內,cospz在C上和C內解析.由高階導數(shù)公式得55OC1C2Ci-ixy56由復合閉路定理,OC1C2Ci-ixy57由高階導數(shù)公式有58更一般地,思考與研究:59用于研究解析函數(shù)的重要例子…60§3.4柯西積分公式分四部分：1.柯西積分公式(重點)2.高階導數(shù)公式(重點)3.應用（幾個定理）4.應用（莫勒拉定理）613.應用（柯西不等式、劉維爾定理、代數(shù)基本定理）結論、意義與證明思路?62定理3.8（柯西不等式）設在區(qū)域D內解析，C為圓周，并且C及其內部都含于D,

則

（3.21）

z0CD63z0C取模得D64定理3.9（劉維爾定理）若在復平面上解析且有界，則是常數(shù).65n=166定理3.10（代數(shù)基本定理）在復平面上，n次多項式至少有一個零點（即在復平面上至少有一個根）.

67（注：1.意義；2.高斯博士論文;2.證明的簡潔性）68§3.4柯西積分公式分四部分：1.柯西積分公式(重點)2.高階導數(shù)公式(重點)3.應用（幾個定理）4.應用（莫勒拉定理）694.應用（莫勒拉定理，解析函數(shù)的等價定義）結論、意義與證明思路?70定理3.11（莫勒拉定理）設函數(shù)在單連通區(qū)域D內連續(xù)，如果對D內任意閉曲線C，

則在D內解析.DC71z0z＊＊72CD73定理3.12

設D是復平面上的單連通區(qū)域，函數(shù)在D內連續(xù)，則在D內解析的充要條件是:對于D內任意一條閉曲線，都有.74*§3.5調和函數(shù)

(自學)75要求掌握:

1.定理3.13

（1）解析函數(shù)的實部和虛部調和;

（2）調和函數(shù)必定是解析函數(shù)的實部或虛部.

(證法思路?)762.會由實部或虛部求解析函數(shù).

有三種方法:

①偏積分法;

②不定積分法;

③線積分法.

77小結,本次課重點:柯西積分公式與高階導數(shù)公式CD.z078練習:p55,8(1)提示:用柯西積分公式和高階導數(shù)公式.79Key:80本章提要：學習本章的核心是掌握復積分的計算.后面第四章用級數(shù)求積分，第五章用留數(shù)計算積分，均是復積分計算問題的發(fā)展.本章介紹的計算復積分的方法有:

其一，與《高等數(shù)學》中曲線積分的計算公式類似，將曲線的參數(shù)方程代入，化為定積分計算;

其二，求不定積分，用牛頓-萊布尼茲公式計算;(前提條件?)

其三，用柯西積分公式以及高階導數(shù)公式計算.

另外,