第三講抽樣誤差與區(qū)間估計(jì)

第三講抽樣誤差與區(qū)間估計(jì)第1頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第一節(jié)均數(shù)的抽樣誤差與標(biāo)準(zhǔn)誤抽樣誤差(samplingerror

)：由個(gè)體變異產(chǎn)生的、抽樣造成的樣本統(tǒng)計(jì)量與樣本統(tǒng)計(jì)量之間、樣本統(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)的差異。

無(wú)傾向性、不可避免第2頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期一100份樣本的均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差第3頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

將這100份樣本的均數(shù)看成新變量值，按第二章的頻數(shù)分布方法，得到這100個(gè)樣本均數(shù)得直方圖見(jiàn)圖3-1。圖3-1隨機(jī)抽樣所得100個(gè)樣本均數(shù)的分布第4頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

100個(gè)樣本均數(shù)的抽樣分布特點(diǎn)：①μ=4.83≠

②100個(gè)樣本均數(shù)中，各樣本均數(shù)間存在差異，但各樣本均數(shù)在總體均數(shù)周圍波動(dòng)。③樣本均數(shù)的分布曲線為中間高，兩邊低，左右對(duì)稱，近似服從正態(tài)分布。

④樣本均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差明顯變小：第5頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期一即樣本均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差，可用于衡量抽樣誤差的大小。因通常σ未知，計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)誤采用下式：標(biāo)準(zhǔn)誤(standarderror,SE)

通過(guò)增加樣本含量n來(lái)降低抽樣誤差。第6頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3個(gè)抽樣實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖示第7頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期一抽樣實(shí)驗(yàn)小結(jié)均數(shù)的均數(shù)圍繞總體均數(shù)上下波動(dòng)。

均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差即標(biāo)準(zhǔn)誤與總體標(biāo)準(zhǔn)差相差一個(gè)常數(shù)的倍數(shù)，即

從正態(tài)總體N(m,s2)中抽取樣本，獲得均數(shù)的分布仍近似呈正態(tài)分布N(m,s2/n)

。第8頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期一標(biāo)準(zhǔn)差與標(biāo)準(zhǔn)誤的區(qū)別與聯(lián)系1、概念不同：標(biāo)準(zhǔn)差是描述樣本中個(gè)體值的變異程度的指標(biāo)，其值越小，表示變量值圍繞均數(shù)的波動(dòng)越小；標(biāo)準(zhǔn)誤是描述樣本均數(shù)間變異度的指標(biāo)，其值越小，表示樣本均數(shù)圍繞總體均數(shù)波動(dòng)越小。2、用途不同：標(biāo)準(zhǔn)差用于表示變量值對(duì)均數(shù)波動(dòng)的大小，當(dāng)資料呈正態(tài)分布時(shí)，與均數(shù)結(jié)合可估計(jì)正常值范圍，計(jì)算變異系數(shù)等；標(biāo)準(zhǔn)誤用于表示樣本統(tǒng)計(jì)量（樣本均數(shù)、樣本率）對(duì)總體參數(shù)（總體均數(shù)、總體率）的波動(dòng)情況，可估計(jì)參數(shù)的可信區(qū)間，進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。第9頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3、與樣本例數(shù)關(guān)系不同：樣本量足夠大時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差趨向穩(wěn)定，標(biāo)準(zhǔn)誤隨例數(shù)增加而減小，甚至趨近于0，若樣本量趨向總例數(shù)，則標(biāo)準(zhǔn)誤接近0；4、二者聯(lián)系：均為變異指標(biāo)，若把總體中各樣本均數(shù)看作一個(gè)變量，則標(biāo)準(zhǔn)誤可稱為樣本均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差，當(dāng)樣本量不變時(shí)，均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤與標(biāo)準(zhǔn)差成正比。二者均可與均數(shù)結(jié)合運(yùn)用，但描述的內(nèi)容各不相同。第10頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第二節(jié)

t分布(t-distribution)隨機(jī)變量XN（m，s2）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，12）Z變換均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，12）Studentt分布自由度：n-1第11頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期一t分布的特征

①以0為中心，左右對(duì)稱的單峰分布；②t分布曲線是一簇曲線，其形態(tài)變化與自由度的大小有關(guān)。自由度越小，則t值越分散，曲線越低平；自由度逐漸增大時(shí)，t分布逐漸逼近Z分布(標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布)；當(dāng)趨于∞時(shí)，t分布趨近Z分布，Z分布是t分布的特例。第12頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期一圖4-2不同自由度下的t分布圖第13頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期一t界值表1.8122.228-2.228tf(t)ν=10的t分布圖t0.05/2,10=t0.025,10=2.228第14頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期一t界值表中的變化規(guī)律

相同自由度時(shí)，∣t∣值越大，概率P越?。辉谙嗤Ot∣值時(shí)，同一自由度的雙側(cè)概率是單側(cè)概率的兩倍，t0.05/2,10=t0.025,10

。第15頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期一參數(shù)估計(jì)：用樣本指標(biāo)值（統(tǒng)計(jì)量）推斷總體指標(biāo)值（參數(shù)）。包括點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)第三節(jié)總體均數(shù)的可信區(qū)間估計(jì)第16頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

總體均數(shù)的點(diǎn)估計(jì)（pointestimation）與區(qū)間估計(jì)（intervalestimation）參數(shù)的估計(jì)點(diǎn)估計(jì)：由樣本統(tǒng)計(jì)量直接估計(jì)總體參數(shù)區(qū)間估計(jì)：在一定可信度（Confidencelevel）下，同時(shí)考慮抽樣誤差按預(yù)先給定的概率(1)，確定一個(gè)包含未知總體參數(shù)的范圍。這一范圍稱為參數(shù)的可信區(qū)間或置信區(qū)間(confidenceinterval,CI)第17頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

(1)稱為可信度或置信度（confidencelevel），常取95％。置信區(qū)間通常兩個(gè)數(shù)值即置信限(confidencelimit，CL)構(gòu)成，較小的稱為置信下限（lowerlimit，L），較大的稱為置信上限（upperlimit，U），一、置信區(qū)間的有關(guān)概念第18頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期一二、總體均數(shù)置信區(qū)間的計(jì)算s未知，且n較小，按t分布s已知，或s未知但n足夠大，按Z分布第19頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期一中心極限定理設(shè)從均值為μ，方差為的一個(gè)任意總體中抽取容量為n的樣本，當(dāng)n充分大（通常n≥50），樣本均值的抽樣分布服從均數(shù)為μ，方差為/n

的正態(tài)分布。第20頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期一單一總體均數(shù)的置信區(qū)間第21頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例3-2已知某地27名健康成年男子血紅蛋白含量=125g/L，S=15g/L，試估計(jì)該地健康成年男子血紅蛋白平均含量的95%和99%置信區(qū)間。

n=27，ν=27-1=26，查t界表,α=0.05，t0.05/2,26=2.056，α=0.01，t0.01/2,26=2.779，按公式計(jì)算第22頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期一Z0.05/2=1.96Z0.05=1.645總體均數(shù)μ的單側(cè)（1-α）置信區(qū)間為：μ>-Zαμ

<+Zα第23頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第24頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期一Z0.05/2=1.96Z0.05=1.645總體均數(shù)μ的單側(cè)（1-α）置信區(qū)間為：μ>-Zασμ<+Zασ第25頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期一三、置信區(qū)間的確切含義如果能夠進(jìn)行重復(fù)抽樣試驗(yàn)，平均有（1-α）的可信區(qū)間包含了總體參數(shù)，而不是總體參數(shù)落在該范圍的可能性為（1-α）。在實(shí)際工作中，只能根據(jù)一次試驗(yàn)結(jié)果計(jì)算一個(gè)可信區(qū)間，就認(rèn)為該區(qū)間包括了相應(yīng)的總體參數(shù)，該結(jié)論錯(cuò)誤的概率為α?？尚艆^(qū)間一旦形成，它要么包含總體參數(shù)，要么不包含總體參數(shù)，二者必居其一，無(wú)概率可言，可信度是事前規(guī)定的。第26頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期一四、可信區(qū)間估計(jì)的優(yōu)劣

一是可信度1（準(zhǔn)確度），