華東師范大學(xué)考研必看高等代數(shù)考研真題及解答完整版

本文格式為Word版，下載可任意編輯——華東師范大學(xué)考研必看高等代數(shù)考研真題及解答完整版

華東師大考研試題

華東師大2023高代解答

GuLong于2023年1月22日星期日完成

一、計(jì)算行列式

解：記原行列式為D，將第一列

x1

0D0

0444x222x222xn444x22=2x222xn

x22222

2x2x200（x-1）+0x2022xn100x1n

=(x-1)[x+2(n-2)](x-2)n2+[1-2(n1)](x-2)n1

x2

以上是在x2時(shí)求得的

而當(dāng)x2時(shí)，很明顯D0，滿足求得的解析式。

綜上所述，D(x2n2)(x2)n1.1

1

1

1=(1)=(1)(1)=02二、解：D2nEAnnn

12n1,n1n22n1

10當(dāng)1時(shí)，(EA)X0即為

x1(1,0,,0,1)x1x2n0xx012nxx22n10x2(0,1,0,,0,1,0)得x2x2n10xnxn10xn(0,,0,1,1,0,,0)xnxn10

02當(dāng)1時(shí)，(EA)X0即為

xn1(1,0,,0,1)xx012nx(0,1,0,,0,1,0)n2xx0得22n1x2n(0,,0,1,1,0,,0)xx0nn1

AA,以上向量?jī)蓛烧?，只須單位化即可?/p>

華東師大考研試題

,0,1,0,,0,1,0,,0),i1,2,,nxi,0,1,0,,0,1,0,,0),in1,n2,,2nxi

記T(x1,x2,,x2n)則TTE,即T為正交矩陣，且

ETATT1ATn

三、B。En1.證明：（1）取空間V的一組基1,2,,n，使得線性變換A在1,2,,n下的矩陣

A，根據(jù)線性變換與矩陣的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，知A2=A故A2A，

A2A2E2E(AE)(A2E)2E

|AE||A2E||2E|(2)n0|AE|0AE可逆

即A+E可逆

2（2）記g(x)xx，則g(A)0，即g(x)為A的零化多項(xiàng)式且無重根，故A可對(duì)角化，

g(x)0的根為x10,x21，另外rankAr，

若r0A0A的全部元素為0，從而rankA=0=TrA

若r0A0x不是A的最小多項(xiàng)式，從而rn時(shí)，A=E，故A的最小多項(xiàng)式為x1此時(shí)仍有rankA=n=TrE=TrA

若0rn，此時(shí)A的最小多項(xiàng)式為g(x)x(x1)可逆

1矩陣T，s.tTATEr

00Er，A000ErTrATr00

0

2En-r0rrankA02．由上，TAT1Er

00Er1T(2EA)T，00|2EA|Er

002Enr2n,r0|Er||2Enr|2nr,0rn1,rn

|2EA|2nr

四、證明：由分塊矩陣的初等變換，有以下事實(shí)。

EnCB10BCEnEmC000B1CBBEm0CB1C1，其中DCBCD

下證D負(fù)定X0,s.tXDX0

華東師大考研試題

記YCX,C為列滿秩，當(dāng)X0時(shí)YCX0

XDXYB1YB正定，從而B1正定。

DX0,又DDY0有YB1Y0從而，X

D負(fù)定

記Ｂ的特征值為i0,i1,2,,n

Ｄ的特征值為j0,i1,2,,n

正交矩陣P1,P2，s.t11PBPPDP，1122nm

1nPDm記PP1BP，則P2

B1CP，Em1E記Tn

0

BCTTC01n11n，即TATm

負(fù)慣性指數(shù)為m.1mf(X)XAX中，正慣性指數(shù)為n,

即Ａ的特征值為n個(gè)為正，m個(gè)為負(fù).

五、將f(x)在實(shí)數(shù)域上因式分解得，

lf(x)A(xx1)k1(xx2)k2(xxm)km(x2a1xb1)l1(x2anxbn)n

其中iai4bi,i1,2,,n.

由已知條件cR,f(c)0,知2k1km;l1lnN

A0且每個(gè)ki均為偶數(shù)。

(xx1)(xxm)kmp(x)，其中p(x)(xx1)

(xxm)2k1

2km

2

2對(duì)于每個(gè)xaixbi(xai2)

2

2

a(x1)22

2(x2a1xb1)l1(x2anxbn)ln

l1a(xn)222ln

華東師大考研試題

(a2b2)(c2d2)(acbd)2(adbc)2(*)

事實(shí)上，我們由復(fù)數(shù)乘法知

(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i

兩邊取模并平方得

(a2b2)(c2d2)(acbd)2(adbc)2

將此恒等式運(yùn)用到多項(xiàng)式中，重復(fù)(*)式有限次后，最終可得

2(x2a1xb1)l1(x2anxbn)lnq12(x)q2(x)

令g(x)(x)q1(x),h(x)(x)q2(x)，則

f(x)g2(x)h2(x)

六、證明：AB0,rankArankBn，結(jié)合rankAn1知rankB1，下面分兩種情

況探討：

（1）rankB0B0，取g(x)|xEA|，則由Hamilton-caylay定理知g(A)0

B0g(A)

（2）rankB1，在復(fù)數(shù)域上考慮方陣A,B

J1

1T為可逆，使得TATJ2Js

111111，又ABBA,(TAT)(TBT)(TBT)(TAT)，故TAT與TBT可交換，從而

B1

1TBTB2Bs

rankB1，不妨就取B1，B2，，Bs1均為0，從而Bs只能為一非零數(shù)，設(shè)為b0即

001bETBTnnb

其中Enn表示第n行第n列的交織處元素為1，其余元素為0的矩陣。

J1

11J2

華東師大考研試題

由分塊標(biāo)準(zhǔn)知，Js為一階陣，從而為一數(shù)，記為a

(T1AT)(T1BT)abEnn0ab0，又b0，a0

J1TATJ1，其中JJ0Js

rankAn1,rankJn1,J可逆，則

J的特征多項(xiàng)式f(x)|xEn1J|的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為f(0)|J|0

取g(x)g(J)0bf(x)，則，故f(0)g(0)b

g(J)T1BTbEnng(J)g(T1AT)T1g(A)Tg(0)

由于T可逆，Bg(A)

注：若有不妥之處還請(qǐng)指正，歡迎大家指出其中的錯(cuò)誤，提出更好的解法??！

華東師大考研試題

華東東師大

20002

高等等代數(shù)

華東師大考研試題

華東師范大學(xué)

2023年功讀碩士研究生入學(xué)考試試題

考試科目：高等代數(shù)

一填空,是非,選擇題(共小題,總分值分,每題分)

1假使排列j1j2j3j4j5的逆序數(shù)為4,則排列j5j4j3j2j1的逆序數(shù)等于___

2設(shè)A是3階方陣,假使2A56,則A___

233x

499x2

3多項(xiàng)式fx全部根為____82727x3

8181x4

4設(shè)ABC,其中B為對(duì)稱矩陣,C為反對(duì)稱矩陣,那么B=_________

5設(shè)r與s分別是某線性方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩.若該方程組無解,則

(A)s=r-1

(B)s=r

(C)s=r+1

(D)r與s之間的關(guān)系不確定。

6以下諸命題中錯(cuò)誤的命題是

(A)包含零向量的向量組必線性相關(guān).

(B)假使向量組1,2,...,r線性無關(guān),而1,2,...,r，線性相關(guān),則可表為1,2,...,r的線性組合.

(C)假使向量組1,2,...,r，r1線性無關(guān),則1,2,...,r也線性無關(guān)

(D)假使向量組1,2,...,r線性相關(guān),則每個(gè)i均可表為其余向量的線性組合.

7缺

8以下向量組中線性無關(guān)的是

（A）11,2,3,4,24,3,2,1,31,1,1,1,

（B）12,2,0,0,20,1,1,0,30,0,3,3,

（C）11,2,4,21,3,9,31,4,16,41,5,25

（D）11,1,1,1,20,0,0,0,31,2,3,4,

9假使U和W是線性空間V的維數(shù)相等的子空間,且子空間U+W和UW的維數(shù)分別為8和2,則U的維數(shù)等于____

華東師大考研試題

210T110已知A121則A

0221_____

11已知3階方陣A的三個(gè)特征值為4，5，6,則A=_____

12實(shí)數(shù)域上3階復(fù)反對(duì)稱矩陣關(guān)于矩陣尋常的加法和數(shù)乘構(gòu)成線性空間,則此線性空間的維

數(shù)等于____

13設(shè)A,B,C,D是同階的方陣,且A與B相像,C與D相像,則A+C與B+D相像.

14假使歐幾里得空間上的線性變換,A將每個(gè)正交基映為正交基,則A是正交變換.

15設(shè)A是n實(shí)階方陣,則A與AA有一致得秩.

二計(jì)算題(共4小題)T

123...n

x12...n1

16(12分)計(jì)算階行列式Dnxx1...n2

xxx1

17(12分)已知矩陣A的特征多項(xiàng)式f7136,求矩陣A得特征多項(xiàng)式323

g

08318(12分)設(shè)矩陣A316求：

205

(1)A的不變因子(2)A的初等因子(3)A的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形

13333133T,求正交矩陣T,使TAT為對(duì)角矩陣19(14分)已知矩陣A33133331

三證明題(共3小題)

20(15分)設(shè)fx,gx為數(shù)域K上互素的多項(xiàng)式,C為K上的n階方陣,AfC,BgC.

證明:方程ABX=0的每一解X均可唯一地表為X=Y+Z的形式,其中Y,Z分別為方程BY=0

與AZ=0的解.

21(15分)設(shè)A為實(shí)對(duì)稱矩陣.證明:

(1)當(dāng)實(shí)數(shù)充分大之后,EA是正定的

(2)A是半正定當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任何實(shí)數(shù)0,EA都正定.

22(10分)證明:特征根全為實(shí)數(shù)的正交矩陣是對(duì)稱矩陣.

華東師大考研試題

華東師大考研試題

華東師大考研試題

華東師范大學(xué)

2023年功讀碩士研究生入學(xué)考試試題

考試科目：高等代數(shù)

一填空，選擇，是非題（共15小題，總分值60分，每題4分）

1.設(shè)3階方陣A的特征值為2，3，5，則2AE________

2.假使是fx的2重根，則一定是多項(xiàng)式fx的5重根。

3.設(shè)向量組1,2,...,ss2線性相關(guān)，且其中任意s-1個(gè)向量線性無關(guān)，則存在全不為零的數(shù)k1,k2,...,ks，使得k11k22...kss0

4.設(shè)W1與W2分別是數(shù)域K上8元齊次線性方程組AX=0與BX=0的解空間，假使rankA=3，rankB=2,W1W2K那么dimW1W2__________8

5.實(shí)反對(duì)稱矩陣的非零特征值必為：

（A）正實(shí)數(shù)（B）負(fù)實(shí)數(shù)（C）1或0（D）純虛數(shù)

6.若三次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式fx恰有一個(gè)實(shí)根，為fx的判別式，則

A。0B。=0C。0D。R

7.3階整系數(shù)的行列式等于-1的正交矩陣共有________個(gè)

8.設(shè)A是行列式等于-1的正交變換，則________一定是A的特征值。

9.排列j1j2...jn1jn與排列jnjn1...j2j1具有一致的奇偶性的充要條件是n=____(mod4)

10.設(shè)r0是數(shù)域K上非齊次線性方程組AX=B的特解，1,2,...,s是該方程組的導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系，則以下命題中錯(cuò)誤的是：

A．r0,r01,r02,...,r0s是AX=B的一組線性無關(guān)解向量

B．AX=B的每個(gè)解均可表為r0,1,22,...,ss的線性組合。

C．2r01...s是AX=B的解。

D．AX=B的每個(gè)解均可表為0,01,02,0s的線性組合。

11.以下各向量組中線性無關(guān)的向量組為：

A.(2,3,4,1),(5,2,7,1),(1,3,5,5);

B.(1,2,0,2),(1,1,1),(3,2,1),(4,78,16);

華東師大考研試題

C.(2,3,1,4),(3,1,2,4),(0,0,0,0);

D.(1,2,3,1),(3,6,9,3),(3,0,7,7).

12.由標(biāo)準(zhǔn)歐幾里得空間R4中的向量組1(1,0,1,1)，

2(1,1,1,0),3(2,0,1,1)張成子空間W的一組規(guī)范正交基為_____

13.設(shè)V是n維歐幾里得空間，W是V的子空間，則(W)W

A.B.C.D.

1114.A002121111的逆矩陣A________012011

15.設(shè)A是有限維線性空間V上的線性變換，假使VKerAImA，則

KerAImA{0}

二計(jì)算題

16.（12分）求實(shí)二次型f(x1,x2,,xn)2x

i1n2i2(x1x3x2x3xn1xnxnx1)的

正慣性指數(shù)，負(fù)慣性指數(shù)，符號(hào)差以及秩

17.（18分）探討b1,b2,,bn(n2)滿足什么條件時(shí)以下方程有解，并求解

x1x2b1xxb232xxbn1n1n

xnx1bn

18.（12分）試在有理數(shù)域，實(shí)數(shù)域以及復(fù)數(shù)域上將f(x)xxxx1分解

為不可約因式的乘積（結(jié)果用根式表示），并簡(jiǎn)述理由。

19.（18分）已知g()(22)(1)是六階方陣A的微小多項(xiàng)式，且Tr(A)6，

試求（1）A的特征多項(xiàng)式f()及若爾當(dāng)?shù)浞缎?。?）A的伴隨矩陣A的若爾當(dāng)?shù)浞?/p>

型。

三證明題

20.（10分）設(shè)f()a1nn1*22987證明：an1an是實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征多項(xiàng)式，

華東師大考研試題

A是負(fù)定矩陣的充要條件是a1,a2,,an1,an均大于0。

21.(10分)證明：假使n階行列式Dn中多有元素都為1或-1，則當(dāng)n3時(shí)，

Dn(n1)(n1)!。

22.（10分）證明：每個(gè)秩為r的n階rn實(shí)對(duì)稱矩陣均可表為n-r個(gè)秩為n-1的實(shí)對(duì)稱

矩陣的乘積。

華東師大考研試題

華東師范大學(xué)2023年攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)試題

高等代數(shù)

一、填空、選擇、是非題（共15小題，總分值60分，每題4分）

ab1.設(shè)Madbc。，則M的伴隨矩陣M的行列式的值等于cd

2.向量組1(1,1,2,3),2(1,0,7,2),3(2,2,4,6),4(0,1,5,5)的極大線性無關(guān)組為

1,2（若有多組，只需填寫一組）

61053.設(shè)A33。，則Tr(A)23

4.四元多項(xiàng)式環(huán)[x1,x2,x3.x4]中有所有6次齊次多項(xiàng)式生成的復(fù)空間的維數(shù)等于213

。

21225.已知A的逆矩陣等于132。則A的逆矩陣為114571076165816。

6.假使1,2,,m是n維歐幾里德空間中的一組非零向量，且滿足：(i,j)0,ij,則m的

最大值是n1。

7.設(shè)A是線性空間的線性變換，使得A(1,1)(1,1),A(3,2)(2,1),則A(4,2)等于（A）(A)(2,4);(B)(4,2);(C)(2,3);(D)(2,3).

8.若5個(gè)方程7個(gè)未知量的齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3，則其線性無關(guān)解向量的最大個(gè)數(shù)

等于（B）

(A)5；(B)4；(C)3；(D)2。

9.特征多項(xiàng)式等于(1)(5)的兩兩不相像的矩陣共有（B）

(A)10個(gè);(B)8個(gè)；(C)6個(gè)；(D)4個(gè)。

10.

已知3,2,1i是非零有理系數(shù)多項(xiàng)式f(x)的根，則f(x)的次數(shù)（D）

(A)小于等于3；(B)等于4；(C)等于5；(D)大于5。

11.已知對(duì)任何可逆矩陣B有分解BTBPB，其中TB是由B所確定的正交陣，PB是由B所確定的

上三角陣，則對(duì)任意實(shí)可逆陣A必有分解：ASQ，這里S是正交陣，Q是下三角陣。那么422

華東師大考研試題

S可?。―）

(A)TAT；(B)TA1；(C)TAT；(D)T(A1)T。

（）12.假使n個(gè)未知量n個(gè)方程的線性方程組AXB有唯一解，則其系數(shù)行列式det(A)0。

13.若TTj1j2jn是偶排列，則a1a2an是奇排列，其中

a1j2,a2jn,akjk,k3,,n1,anj1.（）

14.若A是實(shí)對(duì)稱矩陣，且A0，則A0。（）

15.有理數(shù)域上線性空間V的變換A是線性變換當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的u,vV,有

A(uv)A(u)A(v)（）

二、計(jì)算題（共5小題，總分值60分，每題12分）3

x12x2ax31,

16.a取何值時(shí)，以下方程組有解，并求解{x13x2(2a1)x31,

x1(a3)x2ax32a1.

21023456717.設(shè)A021,f(x)1xxxxxxx,求f(A).002

18.用正交線性替換化實(shí)n元二次型

q(x1,,xn)

為典范形，并求其符號(hào)差。

19.已知三階方陣A的特征值是1，-1，2。設(shè)矩陣BA5A。計(jì)算：

（1）B的初等因子及若爾當(dāng)?shù)浞缎危?/p>

（2）行列式A5E,32nxxi1ini11B的值。2

20.求所有滿足條件：f(0)4,f(1)2,f(1)10,f(2)2的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式f(x)。

三、證明題（共3小題，總分值30分，每題10分）

21.設(shè)A是實(shí)對(duì)稱矩陣。證明：對(duì)任意正整數(shù)m，存在實(shí)對(duì)稱矩陣B，使得AB的充分必要條件是m

A是半正定矩陣。

22.證明：任意復(fù)方陣都可寫成兩個(gè)復(fù)對(duì)稱矩陣的乘積。

23.設(shè)A是數(shù)域上n維線性空間V的線性變換。證明：存在V的A不變子空間W1,W2,,Wm,使得

華東師大考研試題

VW1W2Wm，其中每個(gè)Wi的微小多項(xiàng)式為pi(x)ki，而p1(x),p2(x),pm(x)為互不一致的首一不可約多項(xiàng)式。

華東師大考研試題

華東師范大學(xué)

2023年攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)試題

考試科目代碼及名稱：高等代數(shù)417

招生專業(yè)：

考生注意：

無論以下試題中是否有答題位置，均應(yīng)將答案做在考場(chǎng)另發(fā)的答題紙上（寫明題號(hào)）以下，E表示單位矩陣，A表示A的轉(zhuǎn)置，A表示A的伴隨矩陣。

第一部分選擇題、是非題、填空題：（15*4=60分）

1．設(shè)12,1,1,21,1,2,31,4,7,14,1,3,27,a,43a,2,3假使向量組1,2,3與向量組1,2,3的秩相等，則a2．設(shè)V是由數(shù)域F上全體四次三元對(duì)稱多項(xiàng)式所生成的F上的線性空間，則dimF

3．設(shè)A是一個(gè)n階方陣，滿足AA，則rankArank(AE)（）

(A)大于n(B)等于n(C)小于n(D)無法確定

4．設(shè)A是由數(shù)域F上n維線性空間V的一個(gè)線性變換，則VAVA(0)的充分必要條件是dimAVdimA(0)n.

5．設(shè)A是由復(fù)數(shù)域F上一個(gè)n階方陣，假使與A相像的矩陣只有A本身，則A一定是一個(gè)矩陣。

6．已知A,B,C都是n階方陣，假使ABCE，則以下等式112*

BCAE,CBAE,CABE,BACE,ACBE中一定成立的有（）個(gè)。

(A)1；(B)2；(C)3；(D)4。

7．設(shè)向量組1,2,,s1(s3)線性無關(guān)，向量組2,3,,s線性相關(guān)，則（）

(A)1可被2,3,,s線性表示，s可被1,2,,s1線性表示；

(B)1可被2,3,,s線性表示，s不可被1,2,,s1線性表示；

(C)1不可被2,3,,s線性表示，s可被1,2,,s1線性表示；

(D)1不可被2,3,,s線性表示，s不可被1,2,,s1線性表示。

8．n階方陣A可對(duì)角化的充分