第四章直梁彎曲

第四章直梁的彎曲4§4-1平面彎曲概念梁的類型1、梁彎曲 常見彎曲變形構件,如房屋支承梁，工廠中起重機橫梁及化工中的臥式容器等。結構如圖：第四章直梁彎曲臥式化工容器：彎曲梁受力特點——在通過梁某一縱向平面 內，受到垂直于軸線的 外力或力偶作用。受力如圖：第四章直梁彎曲變形特點——任兩個截面繞垂直于梁軸線軸 相對轉動，梁軸線由直線變曲線。平面彎曲——所有外力或力偶作用在縱向對稱 面內，梁軸線在對稱面內彎曲成 平面曲線?？v向對稱面——在縱向可將梁分成對稱兩半。第四章直梁彎曲2、梁簡化對實際梁受力分析和強度計算，對梁進行簡化，以軸線表示梁。

梁簡化成三種力學模型：（1）簡支梁如圖：一端固定簡支，另一端可動鉸支。（2）外伸梁如圖：梁一端或兩端伸出支座外。（3）懸臂梁如圖：梁一端固定約束，另一端自由。第四章直梁彎曲各支座處力與位移邊界條件：①固定鉸支

支座處梁左、右，上、下均不可移動，但可繞約束點轉動。解除約束受力圖力的邊界條件位移邊界條件m=0Rx≠0Ry≠0x=0y=0第四章直梁彎曲②可動鉸支支座點左、右可移動，上、下不可動。解除約束受力圖力的邊界條件位移邊界條件Ry≠0Rx=0m=0x≠0y=0③固定端約束限制固定端既不能轉動，也不可移動。解除約束受力圖第四章直梁彎曲力的邊界條件位移邊界條件Rx≠0Ry≠0m≠0x=0y=0各支座反力可根據平衡條件求出。

如果未知力數與所列出的獨立方程數相同，則可求出未知力——稱為靜定問題，屬于靜定梁；

反之為靜不定，稱為不靜定梁或超靜定問題。第四章直梁彎曲①集中力：作用力作用在很小面積上，可近似一點。如圖：②集中力偶：力偶兩力分布在很短一段梁上，可簡化為作用在梁的某一截面上。如圖：③分布載荷：載荷分布在較長范圍內，以單位長度受力q表示。q單位N/m如圖：作用于梁上載荷有三種形式：第四章直梁彎曲§4-2梁彎曲時的內力一、內力計算內力計算方法如下：第一步——解除支座約束，計算約束反力。第二步——用截面法將梁分成兩部分。第三步——由平衡條件計算截面處內力。第四章直梁彎曲如圖：簡支梁，試計算m—n截面內力。解:(1)解除約束，求約束反力列平衡方程RxA=0RyA+RyB=PRyB·(a+b)–Pa=0第四章直梁彎曲(2)用截面法求內力截面處存在的內力：①阻止RyA

作用下繞O轉動，截面必存在附加內力矩M，阻止轉動。②平衡RyA力，截面上必有向下力Q附加內力矩M——稱為截面彎矩。 截面內力Q——稱為剪力，與外力平行，有使 梁沿m—n截面剪斷趨勢。分離體處于平衡，由平衡條件得：∑y=0RAy–Q=0∑M=0M–RAy·x=0第四章直梁彎曲結論：①受彎曲梁任一截面內力有彎矩與剪力。②剪力等于截面之左（或右）所有外力代數和。③彎矩等于截面之左（或右）所有外力（力偶）對截面形心之矩代數和。剪力與彎矩對梁強度影響：由經典力學分析彎矩對梁強度影響遠大于剪力對梁強度。

工程計算一般只考慮彎矩，忽略剪力。第四章直梁彎曲二、彎矩符號規(guī)定規(guī)定如下：

所求彎矩的截面附近能形成上凹下凸的彎曲變形，該截面彎矩為正；反之為負。m—n截面附近彎曲形狀，如圖，彎矩M為正。反之發(fā)生如下圖彎曲形狀，彎矩為負。第四章直梁彎曲由此得“左順右逆”彎矩為正規(guī)定：截面左側——所有對截面形心之矩為順時針 的外力及順時針的力偶，它們 在截面處產生彎矩為正，反之 為負。截面右側——所有對截面形心之矩為逆時針 的外力及逆時針的力偶，它們 在截面處產生彎矩為正，反之 為負。第四章直梁彎曲§4-3彎矩圖由截面法計算出橫截面彎矩隨軸線x變化規(guī)律M=M(x)→稱為梁彎矩方程將彎矩大小與正負表示在圖上——彎矩圖畫彎矩圖的基本方法：(1)對雙支點梁解除約束，求支座反力，懸臂 梁不必求支座反力,從懸臂端開始計算。(2)在有集中力或集中力偶處分段，求出每一段彎矩方程。(3)選適當比例，以橫截面位置x為橫坐標，彎矩M為縱坐標作彎矩圖。第四章直梁彎曲例一，如圖：受集中載荷簡支梁。試畫出彎矩圖。解：①解除約束，求約束反力RAy·3a–P·2a+m=0RAy+RBy–P=0第四章直梁彎曲②分段求各段彎矩AC段，在AC段任取一截面0≤x≤aDC段，在DC段任取一截面a≤x＜2a第四章直梁彎曲BD段，在BD段任取一截面0≤x＜a③畫彎矩圖第四章直梁彎曲例二、有一懸臂梁長l，其上分布載荷q和集中力偶矩m.

試畫出彎矩圖。解：懸臂梁可不必求約束反力直接分段AB與BC段①AB段在AB之間任取一截面彎矩B截面右側MB右=0≤x≤第四章直梁彎曲②BC段在BC之間任取一截面B截面左側，MB左C點x=l，MC=0第四章直梁彎曲例三、有一梁受力如圖，試畫出彎矩圖。解:(1)解除約束，求約束反力RBx=0RBy+RAy–qa–qa=0RAy=1.75qaRBy=0.25qa第四章直梁彎曲(2)分段求各段彎矩，分DA,AC,CB三段。0≤x≤aDA段，在之間任取一截面AC段，在之間任取一截面

a≤x≤2a第四章直梁彎曲BC段，在之間任取一截面(3)畫彎矩圖0≤x≤a第四章直梁彎曲§4-4純彎曲時梁橫截面上的正應力純彎曲——忽略掉剪應力，梁變?yōu)橹挥袕澗? 而無剪力梁，此時彎曲為純彎曲。純彎曲梁——梁橫截面上只有彎矩而無剪力。兩端受到一對外力偶作用——典型純彎曲梁梁上既有彎矩又有剪力作用時的彎曲稱為剪切彎曲

第四章直梁彎曲分析純彎曲梁橫截面正應力方法分四步：一、實驗觀察與假設推論如圖一矩形截面梁，在側面分別畫上與梁軸線相垂直的線1—1，2—2，及與梁軸線平行線ab，cd1—1，2—2代表橫向截面ab，cd代表縱向截面第四章直梁彎曲兩端施加外力偶，使梁產生純彎曲

變形如圖觀察現象如下：1、變形后，1—1，2—2仍為直線，但轉一定角度，仍與梁軸相垂直。2、縱向線ab，cd及軸線由直線變?yōu)閳A弧，ab縮短，cd伸長。3、梁橫截面高度不變，寬度變化，凹入頂部略增大，凸出底部略變小。第四章直梁彎曲由觀察現象作兩點假設：1、平面假設——梁橫截面彎曲變形后均為 平面，仍垂直于軸線。橫 截面只繞某軸轉個角度。2、互不擠壓假設——假設梁由很多層纖維 組成，變形時各層纖 維只受軸向拉伸或壓 縮，各層纖維互不 擠壓。第四章直梁彎曲由假設作如下推論：由觀察得知，橫截面只相對偏轉了一個角度，縱向纖維受到軸向拉伸或壓縮。1、純彎曲梁變形本質是拉伸或壓縮變形，不是剪切變形。2、橫截面只有正應力，無剪應力。凹側受壓，有壓縮應力，凸側受拉，存在拉應力。3、中間存在一層既不受拉也不受壓的中性層，其上應力為0。注意：中性層含義第四章直梁彎曲二、應變與幾何尺寸之間關系從受純彎曲梁取一段dx長。dx微段的兩橫截面變形后夾角dθ,中性層曲率半徑為ρ

OO1=OO2=ρ

O1O2=dx=ρdθ中性層變形前后長度不變。變形后c1d1=(ρ+y)dθc1d1的應變⌒第四章直梁彎曲三、物理關系——虎克定律由假設可得梁彎曲本質是拉伸與壓縮

hook定律：上式顯示：梁截面上任一點應力與該點到中性軸距離成正比，y=0的中性面上應力σ為0，上、下邊緣正應力最大。第四章直梁彎曲四、靜力學關系尋找正應力σ與彎矩M之間關系如圖：純彎曲梁橫截面應力分布中性軸兩側一邊受拉一邊受壓可構成力偶如圖在梁橫截面上取微面dA，距中性軸距離ydA上內力dF

dF=σdA第四章直梁彎曲dF對中性軸之矩dM，dM=σ·y·dAM=∫AdM=∫AσydA,M=∫Ay2dA令IZ=∫Ay2dA，IZ—橫截面對中性軸的軸慣性矩

y——為橫截面任一點到中性層的距離

EIZ——抗彎剛度第四章直梁彎曲此式為純彎矩梁橫截面上任一點正應力公式。y→橫截面上任一點距中性軸距離。①曲率與M成正比，M越大，梁彎曲越厲害。②曲率與EIZ成反比。第四章直梁彎曲注意：①彎曲正應力σ與M成正比，與距離y成反比，最大應力存在于梁邊緣處

②當截面對稱于中性面，最大拉、壓應力相等。③當中性面與上下邊緣距離不等時，要分別計算拉應力與壓應力。令WZ——橫截面對中性軸Z的抗彎截面模量。第四章直梁彎曲五：彎曲正應力公式適用范圍彎曲正應力計算公式是在純彎曲下導出——梁截面只有彎距沒有剪力。實際梁受到橫向力作用——梁截面既有彎矩又有剪力。橫截面存在剪力互不擠壓假設不成立，梁發(fā)生翹曲。根據精確理論和實驗分析：當梁跨度L與橫截面高度h之比L/h＞5時，存在剪應力梁的正應力分布與純彎曲很接近。公式適用范圍：①梁跨度l與橫截面高度h之比l/h＞5，可使用梁正應力計算公式。第四章直梁彎曲②梁正應力計算公式由矩形截面梁導出，但未使用矩形的幾何特性。所以公式適用于有縱向對稱面的其它截面梁。如工字鋼、槽鋼及梯形截面梁等。③梁材料必須服從虎克定律，在彈性范圍內，且材料的拉伸與壓縮彈性模量相同，公式才適用。第四章直梁彎曲§4-5截面的軸慣性矩和抗彎截面模量1、矩形截面（中性軸與截面形心重合）梁上受載荷如圖(h＞b立放)軸慣性矩IZ抗彎截面模量WZIZ=∫

y2bdy=h/2-h/2IZ=∫Ay2dAdA=b﹒dy第四章直梁彎曲Iy=∫

y2hdy=-b/2b/2將上圖矩形截面梁，如圖放置時（平放）Iy=∫Ay2dAdA=h﹒dy對相同的矩形截面梁不同放置方法,會有不同的軸慣性矩和不同的抗彎模量。工程上承受彎曲作用時,要選擇I與W大的放法,要立放第四章直梁彎曲對中性軸與截面形心不重合如圖梯形截面

IZ=∫y2dA=∫y2dAy1-y2WZ1與WZ2不相等，正應力計算時采用較小抗彎模量進行計算。對中性軸與截面形心不重合的梁，IZ只有一個值，但抗彎模量有兩個，在設計與計算時必須注意。A第四章直梁彎曲2、圓形及圓環(huán)形截面①對實心圓截面對圓截面，通過形心任一軸的慣性矩相等。即Iz=Iy=∫y2dA=∫(Rsina)2

·dAdA=2Rcosa·dy,y=Rsinady=Rcosa·daAIz=Iy=2∫2R4sin2a·cos2a·da=截面抗彎模量Wz=Wy=π0第四章直梁彎曲②對圓環(huán)截面令d/D=α

Iy=Iz=Wz=Wy=對于口徑較大，壁厚較薄管

D-d=2SIz=Iy≈作業(yè):4-1(c、g、h），2，3第四章直梁彎曲§4-6彎曲正應力的強度條件保證梁工作時最大應力在許用應力范圍內，即滿足強度條件：可能存在最大應力的位置：①彎矩最大截面②慣性矩IZ

最小截面第四章直梁彎曲注：①彎矩有正負。計算時以絕對值代入， 計算應力σmax總為正，是拉應力。

②許用應力[σ]由實驗確定。

③截面不對稱于中性軸時，存在兩個抗 彎截面模量WZ1，WZ2，計算取較小截 面模量代入。

④材料抗拉、抗壓強度不同時，分別求出梁的最大拉、壓應力，保證：σmax拉=σmax壓=≤[σ]拉≤[σ]壓第四章直梁彎曲例一、有一階梯圓柱截面梁，許用應力[σ]=200MPa,結構尺寸如圖d1=50mm，d2=80mm，d3=60mmP1=10kN，P2=5kN第四章直梁彎曲解：①解除約束，求約束反力N1

·1500－P1

·750－P2

·250=0N1=5.83(kN)N2=9.17(kN)②畫彎矩圖分段求各段彎矩方程MAB=5.83x，0≤x≤0.75mMCD=9.17x，0≤x≤0.25m第四章直梁彎曲③可能的危險截面

E，F，B截面可能成為危險截面。E截面彎矩ME=5.83×0.5=2.92kN·mB截面彎矩MB=5.83×0.75=4.37kN·mF截面彎矩MF=F在B、C中點④對B，E，F截面強度校核對B截面≈87MPa<[σ]=200MPa安全第四章直梁彎曲對F截面=157MPa<[σ]安全對E截面=238.9MPa>[σ]危險第四章直梁彎曲例二、有一梯形截面支承架，結構尺寸如圖截面慣性矩IZ=100cm4，y1=100mm，y2=50mm材料許用拉應力[σ]拉=200Mpa材料許用壓應力[σ]壓=250Mpa試校核該梁強度。第四章直梁彎曲解：①解除約束，求約束反力N1

·5－1×5×2.5=0N1=2.5kNN2=2.5kN②求彎矩0≤x≤5③畫彎矩圖第四章直梁彎曲④強度校核σmax拉=σmax拉==156MPa<[σ]拉σmax壓=σmax壓==312.5MPa>[σ]壓梁不安全第四章直梁彎曲§4-7梁截面合理形狀選擇工程常用的矩形截面梁如圖：h>b,

立放平放立放WZ1>平放WZ2

上、下表面應力小，安全或可以承受更大載荷。第四章直梁彎曲§4-8梁彎曲變形一、梁的彈性曲線，撓度和轉角如圖梁受力，中心軸線變形AB`的曲線為撓曲線撓度：梁任一截面形心位移量為該截面撓度，用y表示。用f表示最大撓度。y與坐標軸y正方向相同為正，反之為負。第四章直梁彎曲將梁彎曲形狀用曲線方程表示，該方程稱為撓曲線方程。位移量y隨截面位置變化，y=f(x)為撓曲線方程。截面轉角：梁截面繞自身中性軸轉角θ表示。θ逆時針為正，反之為負。由微分學得：θ很小時，tgθ≈θ,即