第二講可靠性模型

第二講可靠性模型第1頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一內容背景知識可靠性模型概述單一失效模型可靠性增長模型第2頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一1.背景知識

隨機性和概率磨刀不誤砍材工本部分材料來源于第3頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一樣本空間1、樣本空間：實驗的所有可能結果所組成的集合稱為樣本空間，記為S={e}；2、樣本點:試驗的每一個結果或樣本空間的元素稱為一個樣本點,記為e.

3、由一個樣本點組成的單點集稱為一個基本事件,也記為e.

第4頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一隨機事件試驗中可能出現或可能不出現的情況叫“隨機事件”,簡稱“事件”.記作A、B、C等任何事件均可表示為樣本空間的某個子集.稱事件A發(fā)生當且僅當試驗的結果是子集A中的元素兩個特殊事件:必然事件S

、不可能事件例如對于試驗硬幣拋3次

，以下A、

B、C即為三個隨機事件:A＝“至少出一個正面”＝{HHH,HHT,HTH,THH，HTT，THT，TTH}；B=“兩次出現同一面”={HHH,TTT}C=“恰好出現一次正面”={HTT，THT，TTH}

再如，試驗E6中D＝“燈泡壽命超過1000小時”＝{x:1000<x<T(小時）}。第5頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一概率的定義及其運算從直觀上來看，事件A的概率是指事件A發(fā)生的可能性?P（A）應具有何種性質？?拋一枚硬幣，幣值面向上的概率為多少？擲一顆骰子，出現6點的概率為多少？出現單數點的概率為多少？向目標射擊，命中目標的概率有多大？第6頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一若某實驗E滿足1.有限性：樣本空間S＝{e1,e2,…,en};2.等可能性：（公認）P(e1)=P(e2)=…=P(en).則稱E為古典概型也叫等可能概型。古典概型與概率第7頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一設事件A中所含樣本點個數為N(A)，以N(S)記樣本空間S中樣本點總數，則有P(A)具有如下性質(1)0

P(A)1；(2)P()＝1；P()=0(3)AB＝，則P(AB

)＝P(A)＋P(B)古典概型中的概率:第8頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一例:有三個子女的家庭,設每個孩子是男是女的概率相等,則至少有一個男孩的概率是多少?設A--至少有一個男孩,以H表示某個孩子是男孩N(S)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT}N(A)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT}第9頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一某人向目標射擊，以A表示事件“命中目標”，P（A）=？?定義:事件A在n次重復試驗中出現nA次，則比值nA/n稱為事件A在n次重復試驗中出現的頻率，記為fn(A).

即

fn(A)＝nA/n.頻率與概率第10頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一歷史上曾有人做過試驗,試圖證明拋擲勻質硬幣時，出現正反面的機會均等。實驗者nnHfn(H)DeMorgan204810610.5181Buffon404020480.5069K.Pearson1200060190.5016K.Pearson24000120120.5005第11頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一頻率的性質(1)0

fn(A)1；(2)fn(S)＝1；fn()=0(3)可加性：若AB＝

，則

fn(AB)＝fn(A)＋fn(B).實踐證明：當試驗次數n增大時，fn(A)逐漸趨向一個穩(wěn)定值?？蓪⒋朔€(wěn)定值記作P(A)，作為事件A的概率第12頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一1.定義若對隨機試驗E所對應的樣本空間中的每一事件A，均賦予一實數P(A)，集合函數P(A)滿足條件：(1)P(A)≥0；(2)P(S)＝1； (3)可列可加性：設A1，A2，…,是一列兩兩互不相容的事件，即AiAj＝，(ij),i,j＝1,2,…,有

P(A1A2…)＝P(A1)＋P(A2)+….(1.1)則稱P(A)為事件A的概率。第13頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一2.概率的性質(1)有限可加性：設A1，A2，…An,是n個兩兩互不相容的事件，即AiAj＝

，(ij),i,j＝1,2,…,n,則有

P(A1

A2

…

An)＝P(A1)＋P(A2)+…P(An);(3)事件差

A、B是兩個事件，則P(A-B)=P(A)-P(AB)

(2)單調不減性：若事件AB，則P(A)≥P(B)第14頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一(4)加法公式：對任意兩事件A、B，有

P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(AB)該公式可推廣到任意n個事件A1，A2，…，An的情形；(3)互補性：P(A)＝1－P(A);(5)可分性：對任意兩事件A、B，有

P(A)＝P(AB)＋P(AB).

第15頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一隨機變量的概念定義.

設S={e}是試驗的樣本空間，如果量X是定義在S上的一個單值實值函數即對于每一個eS，有一實數X=X(e)與之對應，則稱X為隨機變量。隨機變量常用X、Y、Z或、、等表示隨機變量的特點:

1X的全部可能取值是互斥且完備的2X的部分可能取值描述隨機事件第16頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一顧名思義，隨機變量就是“其值隨機會而定”的變量，正如隨機事件是“其發(fā)生與否隨機會而定”的事件．機會表現為的試驗結果，一個隨機試驗有許多可能的結果，到底出現哪一個要看機會，即有一定的概率．最簡單的例子如擲骰子，擲出的點數X是一個隨機變量，它可以取1，…，6等6個值．到底是哪一個，要等擲了骰子以后才知道．因此又可以說，隨機變量就是試驗結果函數．從這一點看，它與通常的函數概念又沒有什么不同．把握這個概念的關鍵之點在于試驗前后之分：在試驗前我們不能預知它將取何值，這要憑機會，“隨機”的意思就在這里，一旦試驗后，取值就確定了．比如你在星期一買了—張獎券，到星期五開獎．在開獎之前，你這張獎券中獎的金額X是一個隨機變量，其值耍到星期五的“抽獎試驗”做過以后才能知道．第17頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一

明白了這一點就不難舉出一大堆隨機變量的例子．比如，你在某廠大批產品中隨機地抽出100個，其中所含廢品數X；一月內某交通路口的事故數X；用天平秤量某物體的重量的誤差X；隨意在市場上買來一架電視機，其使用壽命X等等，都是隨機變量．若把隨機變量X取所有可能值的概率計算出來，列成一個表格，則很容易算出任何一個由X取值落在某一區(qū)域表示的事件，如擲骰子，至少擲出1點的概率。第18頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一關于隨機變量(及向量)的研究，是概率論的中心內容．這是因為，對于一個隨機試驗，我們所關心的往往是與所研究的特定問題有關的某個或某些量，而這些量就是隨機變量．當然，有時我們所關心的是某個或某些特定的隨機事件．例如，在特定一群人中，年收入十萬元以上的高收入者，及年收入在8000元以下的低收入者，各自的比率如何，這看上去像是兩個孤立的事件．可是，若我們引進一個隨機變量的X：X＝隨機抽出一個人其年收入，則X是我們關心的隨機變量．上述兩個事件可分別表為X＞10萬和X＜0.8萬．這就看出：隨機事件這個概念實際上是包容在隨機變量這個更廣的概念之內．也可以說：隨機事件是從靜態(tài)的觀點來研究隨機現象，而隨機變量則是一種動態(tài)的觀點，一如數學分析中的常量與變量的區(qū)分那樣．變量概念是高等數學有別于初等數學的基礎概念．同樣，概率論能從計算一些孤立事件的概念發(fā)展為一個更高的理論體系，其基礎概念是隨機變量．第19頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一離散型隨機變量定義:若隨機變量X取值x1,x2,…,xn,…且取這些值的概率依次為p1,p2,…,pn,…,則稱X為離散型隨機變量，而稱P{X=xk}=pk,(k=1,2,…)

為X的分布律或概率分布。可表為

X～P{X=xk}=pk,(k=1,2,…)，或…X

x1 x2

…

xK …

Pk p1 p2 … pk …第20頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一(1)pk0,k＝1,2,…;(2)

例1設袋中有5只球，其中有2只白3只黑?，F從中任取3只球(不放回)，求抽得的白球數X為k的概率。解k可取值0，1，2分布律的性質第21頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一幾個常用的離散型分布

（一）貝努里(Bernoulli)概型與二項分布1.(0-1)分布若以X表示進行一次試驗事件A發(fā)生的次數，則稱X服從(0－1)分布(兩點分布)

X～P{X＝k}＝pk(1－p)1－k,(0<p<1)k＝0，1或第22頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一若以X表示n重貝努里試驗事件A發(fā)生的次數，則稱X服從參數為n,p的二項分布。

記作X~B（n,p)

,其分布律為：2.

定義設將試驗獨立重復進行n次，每次試驗中，事件A發(fā)生的概率均為p，則稱這n次試驗為n重貝努里試驗.第23頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一例.從某大學到火車站途中有6個交通崗,假設在各個交通崗是否遇到紅燈相互獨立,并且遇到紅燈的概率都是1/3.(1)設X為汽車行駛途中遇到的紅燈數,求X的分布律.(2)求汽車行駛途中至少遇到5次紅燈的概率.(1)X~B(6,1/3),于是,X的分布律為:第24頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一泊松定理設隨機變量Xn~B(n,p),(n＝0,1,2,…),且n很大，p很小，記=np，則

第25頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一（二.）泊松(Poisson)分布P()X～P{X＝k}＝,k＝0,1,2,…(0)第26頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一泊松定理表明，泊松分布是二項分布的極限分布，當n很大，p很小時，二項分布就可近似地看成是參數=np的泊松分布第27頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一隨機變量的分布函數

一、分布函數的概念

定義設X是隨機變量，對任意實數x，事件{Xx}的概率P{Xx}稱為隨機變量X的分布函數。記為F(x)，即

F(x)＝P{Xx}.

易知，對任意實數a,b(a<b),P{a<Xb}＝P{Xb}－P{Xa}＝F(b)－F(a).第28頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一分布函數的性質

1、單調不減性：若x1<x2,則F(x1)F(x2);2、歸一性：對任意實數x，0F(x)1，且

3、右連續(xù)性：對任意實數x，反之，具有上述三個性質的實函數，必是某個隨機變量的分布函數。故該三個性質是分布函數的充分必要性質。第29頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一一般地，對離散型隨機變量

X～P{X=xk}＝pk,k＝1,2,…其分布函數為

例

設隨機變量X具分布律如右表解

X012P0.10.60.3試求出X的分布函數。第30頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一連續(xù)型隨機變量:一、概率密度

1.定義:

對于隨機變量X，若存在非負函數f(x)，(-<x<+)，使對任意實數x，都有則稱X為連續(xù)型隨機變量，f(x)為X的概率密度函數，簡稱概率密度或密度函數.常記為X～f(x),(-<x<+)第31頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一密度函數的幾何意義為第32頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一二、幾個常用的連續(xù)型分布1.均勻分布若X～f(x)＝則稱X在(a,b)內服從均勻分布。記作X~U(a,b)對任意實數c,d(a<c<d<b)，都有第33頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一2.指數分布若X～則稱X服從參數為>0的指數分布。其分布函數為第34頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一正態(tài)分布是實踐中應用最為廣泛，在理論上研究最多的分布之一，故它在概率統(tǒng)計中占有特別重要的地位。3.正態(tài)分布第35頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一其中為實數，

>0，則稱X服從參數為,2的正態(tài)分布,記為N(,2)，可表為X～N(,2).若隨機變量第36頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一

(1)單峰對稱

密度曲線關于直線x=對稱；

f()＝maxf(x)＝.正態(tài)分布有兩個特性：第37頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一(2)的大小直接影響概率的分布越大，曲線越平坦，越小，曲線越陡峻，。正態(tài)分布也稱為高斯(Gauss)分布第38頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一4.標準正態(tài)分布

參數＝0，2＝1的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布，記作X~N(0,1)。第39頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一一般的概率統(tǒng)計教科書均附有標準正態(tài)分布表供讀者查閱(x)的值。如，若Z~N（0，1）,（0.5)=0.6915,P{1.32<Z<2.43}=(2.43)-(1.32)=0.9925-0.9066注：(1)(x)＝1－(－x)；

(2)若X～N(,2)，則正態(tài)分布表第40頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一2.可靠性模型概述第41頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一目標在開發(fā)過程中，如果我們能夠對組件或者系統(tǒng)預測失效的概率估計下一次失效的平均時間預測（遺留）失效的個數

將大大有助于我們提高軟件的質量.這樣的任務是可靠性模型的目標.第42頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一可靠性模型可靠性模型引入缺陷:產品的特點(e.g.,程序大小)開發(fā)過程(e.g.,軟件工具和技術，人員的經驗等.)去除缺陷:失效的發(fā)現

(e.g.,extentofexecution,operationalprofile)修復活動的質量環(huán)境第43頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一兩類可靠性問題單一失效描述:系統(tǒng)（組件）中失效的概率是多少?多重失效描述:如果系統(tǒng)（組件）在時刻t1,t2,…,ti-1,失效，那么它在時刻ti

失效的概率是多少?第44頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一失效描述（1）失效的時間失效之間間隔的時間到給定的時間累計的失效在一個時間間隔內經歷的失效Failureno.Failuretimes(hours)Failureinterval(hours)1101021993321344311558156701278818810315912522101502511169191219930132313214256251529640Timebasedfailurespecification第45頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一失效描述（2）失效的時間失效之間間隔的時間到給定的時間累計的失效在一個時間間隔內經歷的失效Time(s)CumulativeFailuresFailuresininterval30226053907212081150102180111210121240131270141Failurebasedfailurespecification第46頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一模型分類Timedomain

:

日歷時間還是執(zhí)行時間Category

:

失效的數目是有限的還是無限的.Type

:

依據時間，經歷的失效數目的分布情況.Class(onlyfinitecategory):

失效強度依據時間的函數形式.Family(onlyinfinitecategory):

依據經歷的失效的期待數目，失效強度的函數形式.第47頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一各種可靠性模型（1）指數失效類模型(ExponentialFailureClassModels)Jelinski-Morandamodel(JM)NonhomogeneousPoissonProcessmodel(NHPP)SchneidewindmodelMusa’sBasicExecutionTimemodel(BET,基本指數模型)Hyperexponentialmodel(HE)Others第48頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一各種可靠性模型（2）WeibullandGammaFailureClassModelsWeibullmodel(WM)S-shapedReliabilityGrowthmodel(SRG)BayesianModelsLittlewood-VerrallModelInfiniteFailureCategoryModelsDuane’smodelGeometricmodelMusa-OkumotoLogarithmicPoissonmodel（對數泊松模型）第49頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一另一種分類（1）失效間隔時間模型Jelinski-Moranda(ExponentialFailureModel)Musa-Basic(ExponentialFailure

Model)NHPP(ExponentialFailure

Model)Geometric(InfiniteFailure

Model)Musa-Okumoto(InfiniteFailure

Model)Littlewood-Verrall(BayesianModel)第50頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一另一種分類（2）失效統(tǒng)計模型GeneralizedPoissonShick-WolvertonYamadaS-shapedNHPP(ExponentialFailure

Model)Schneidewind(ExponentialFailure

Model)第51頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一模型的選擇投影有效性（ProjectiveValidity）：從過去和當前的失效行為預測將來失效行為的能力假設的質量（QualityofAssumption）：能否有效的檢測假設的正確性可應用性（Applicability）：針對不同的軟件，不同的開發(fā)階段，不同的操作環(huán)境的有效性簡單性（Simplicity）：易于理解，易于估計參數，易于收集所需的數據第52頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一3.單一失效模型SingleFailureModel第53頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一硬件可靠性模型均勻模型:失效的概率是固定的.指數模型:失效的概率隨時間按照指數規(guī)律發(fā)生變化ftTftT第54頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一單一失效模型（1）概率密度函數ProbabilityDensityFunction(PDF):

顯示到給定時刻t為止，失效的概率PDF的一個一般形式為指數分布我們經常需要知道在失效前，組件正常工作的時間，也就是說，從時間0到t，失效的概率.第55頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一單一失效模型（2）累積密度函數(CDF):

顯示直到給定的時刻t，累計的失效概率.對于指數分布,CDF為:第56頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一單一失效模型（3）可靠性函數(R):

顯示一個組件的功能直到時刻t依舊不失效的的概率.對于指數分布,R為:第57頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一單一失效模型（4）什么是失效時間T的期待值?它是概率密度函數(PDF)的平均值,被稱為失效平均時間meantimetofailure(MTTF)對于指數分布,MTTF為:第58頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一單一失效模型（5）失效時間中值Mediantimetofailure(tm):

一個特定的時間點tm

，在該點前的失效概率和在其后的失效概率是一樣的.失效率FailureRatez(t):

概率密度函數除以可靠性函數.

對于指數分布,z(t)

為:λ第59頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一失效率的含義系統(tǒng)在時間間隔[t1,t2]中失效的概率為失效率為如果t1前沒有發(fā)生失效，在[t1,t2]中每單位時間發(fā)生失效的概率從極限的角度第60頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一它表示了在元件的生命周期中失效概率的變化盡管在某時刻兩個設計的可靠性可能一樣，但是在該點的失效率可能不一樣第61頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一單一失效模型（6）系統(tǒng)可靠性:

為各個組件的可靠性的乘積.對于指數分布:第62頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一單一失效模型（7）系統(tǒng)累計失效率（SystemCumulativeFailureRate）:

所有的組件的失效率之和.對于指數分布:第63頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一4.可靠性增長模型ReliabilityGrowthModel第64頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一可靠性增長模型（1）我們可以假定所有的失效（例如用類似的硬件組件替換原來的，失效密度函數(probabilitydensityfunction,PDF)都是相同的.軟件中，我們需要“修復”問題，通過修復，系統(tǒng)應該有更低的失效概率(orlongerΔti=ti-ti-1).因此，我們需要一個可靠性增長模型

(i.e.,可靠性隨時間的變化).第65頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一可靠性增長模型（2）一般的可靠性增長模型為:基本的指數模型（BasicModel,Musa)對數泊松模型(LogarithmicPoisson,Musa-Okumoto)基本的指數模型假定在無限的時間內存在有限個失效(ν0).對數泊松模型假定無限個失效.第66頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一模型的有效性在軟件生命周期中，軟件系統(tǒng)一般經過多次變化（升級）.這些模型符合一次修改的情形而不是整個生命周期RevisionPeriod1RevisionPeriod4第67頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一可靠性增長模型（3）可靠性增長模型中的參數:失效強度Failureintensity(λ):

每自然或者時間單位的失效個數.執(zhí)行時間Executiontime(τ):

程序運行的時間.執(zhí)行時間可能與日歷時間不一樣.經歷的平均失效的個數(μ):

在一個時間區(qū)間中，經歷的平均失效個數.第68頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一可靠性增長模型（5）失效強度(λ)versus

執(zhí)行時間(τ)第69頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一例子（基本模型）假定初始的失效強度為10失效/執(zhí)行小時，總的失效為100，10個小時的失效強度為（對數泊松模型），初始失效強度同上，失效強度衰減系數為0.02/失效第70頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一可靠性增長模型（6）失效強度(λ)versus經歷的平均失效個數(μ)

第71頁，共81頁，2023年，2月20日，星期一例子假定一個程序在無限的時間范圍內將經歷100個失效，初始的失效強度為10個失效/執(zhí)行小時，目前已經經歷了50個失效，那么目前的失效強度為假定初始的失效強度為10