線性代數(shù)矩陣的初等變換

線性代數(shù)矩陣的初等變換第1頁，共36頁，2023年，2月20日，星期二課本§2.5矩陣的初等變換一、矩陣的初等變換二、矩陣的等價(jià)關(guān)系三、初等矩陣四、初等變換法求逆矩陣與矩陣方程第2頁，共36頁，2023年，2月20日，星期二

矩陣的初等變換 矩陣的初等變換是矩陣的一種十分重要的運(yùn)算，它起源于解線性方程組的消元法。利用初等變換，可以將矩陣A化為形狀簡單的矩陣B，通過形狀簡單的B來探討A的性質(zhì)。在求逆陣及矩陣?yán)碚摰奶接懙妊芯恐卸计鹬匾淖饔谩５?頁，共36頁，2023年，2月20日，星期二一、矩陣的初等變換下列三種變換稱為矩陣的初等行變換：定義1第4頁，共36頁，2023年，2月20日，星期二下列三種變換稱為矩陣的初等行變換：定義1一、矩陣的初等變換第5頁，共36頁，2023年，2月20日，星期二下列三種變換稱為矩陣的初等行變換：定義1一、矩陣的初等變換第6頁，共36頁，2023年，2月20日，星期二同理可定義矩陣的初等列變換(所用記號是把“r”換成“c”)．矩陣的初等行變換和矩陣的初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換．一、矩陣的初等變換第7頁，共36頁，2023年，2月20日，星期二注意

矩陣的初等變換的逆變換仍是初等變換，且

逆變換和原變換是同一類型的初等變換.第8頁，共36頁，2023年，2月20日，星期二二、矩陣的等價(jià)關(guān)系或A→B第9頁，共36頁，2023年，2月20日，星期二二、矩陣的等價(jià)關(guān)系滿足下列條件的矩陣稱為行階梯形矩陣，例如矩陣B:(1)元素全為零的行

(若有的話)位于矩陣的下方;(2)各非零行的首非零元（從左至右的一個(gè)不為零的元素）的列標(biāo)隨著行標(biāo)的增大而嚴(yán)格增大.第10頁，共36頁，2023年，2月20日，星期二二、矩陣的等價(jià)關(guān)系滿足下列條件的行階梯形矩陣稱為行最簡形矩陣,例如矩陣C

：(1)各非零行的首非零元都是1；(2)每個(gè)首非零元1所在列的其余元素都是零.第11頁，共36頁，2023年，2月20日，星期二二、矩陣的等價(jià)關(guān)系矩陣D稱為原矩陣A的標(biāo)準(zhǔn)形，具有的特點(diǎn)是：D的左上角是一個(gè)單位矩陣，其余元素全是0.第12頁，共36頁，2023年，2月20日，星期二二、矩陣的等價(jià)關(guān)系滿足下列條件的矩陣稱為行階梯形矩陣:(1)元素全為零的行

(若有的話)位于矩陣的下方;(2)各非零行的首非零元（從左至右的一個(gè)不為零的元素）的列標(biāo)隨著行標(biāo)的增大而嚴(yán)格增大.是不是是糾正第13頁，共36頁，2023年，2月20日，星期二二、矩陣的等價(jià)關(guān)系注意：可以存在r=0或m=n=r的情況矩陣D稱為原矩陣A的標(biāo)準(zhǔn)形，具有的特點(diǎn)是：D的左上角是一個(gè)單位矩陣，其余元素全是0.第14頁，共36頁，2023年，2月20日，星期二二、矩陣的等價(jià)關(guān)系第15頁，共36頁，2023年，2月20日，星期二定義3對單位矩陣E

進(jìn)行一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣.三種初等變換對應(yīng)三種初等矩陣.三、初等矩陣1、交換兩行(列)

2、以非零數(shù)k乘某一行(列)中的所有元素

3、把某一行(列)的l

倍加到另一行(列)上去

第16頁，共36頁，2023年，2月20日，星期二三、初等矩陣第17頁，共36頁，2023年，2月20日，星期二三、初等矩陣第18頁，共36頁，2023年，2月20日，星期二三、初等矩陣第19頁，共36頁，2023年，2月20日，星期二初等矩陣的性質(zhì)|A|≠0初等矩陣均可逆，初等矩陣的逆也是初等矩陣。|E|=1,利用行列式的性質(zhì)。第20頁，共36頁，2023年，2月20日，星期二三、初等矩陣第21頁，共36頁，2023年，2月20日，星期二三、初等矩陣第22頁，共36頁，2023年，2月20日，星期二三、初等矩陣第23頁，共36頁，2023年，2月20日，星期二定理2(初等矩陣在矩陣乘法中的作用)

設(shè)A是一個(gè)mn矩陣

對A施行一次初等行變換相當(dāng)于相應(yīng)的m階初等矩陣左乘A

~r1r2補(bǔ)例

設(shè)

則有第24頁，共36頁，2023年，2月20日，星期二定理2(初等矩陣在矩陣乘法中的作用)

設(shè)A是一個(gè)mn矩陣

對A施行一次初等行變換相當(dāng)于相應(yīng)的m階初等矩陣左乘A

對A施行一次初等列變換相當(dāng)于相應(yīng)的n階初等矩陣右乘A~c1c2

補(bǔ)例設(shè)則有第25頁，共36頁，2023年，2月20日，星期二定理2(初等矩陣在矩陣乘法中的作用)

設(shè)A是一個(gè)mn矩陣

對A施行一次初等行變換相當(dāng)于相應(yīng)的m階初等矩陣左乘A

對A施行一次初等列變換相當(dāng)于相應(yīng)的n階初等矩陣右乘A~c1+10c3補(bǔ)例設(shè)，則有第26頁，共36頁，2023年，2月20日，星期二四、初等變換法求逆矩陣與矩陣方程定理3(矩陣可逆的充要條件)n階方陣A可逆的充要條件是A可以表示為若干初等矩陣的乘積。證明：充分性：初等矩陣可逆，如果將A表示為初等矩陣的乘積，則因?yàn)橛邢迋€(gè)同階可逆矩陣的乘積是可逆矩陣（p45），故n階方陣A可逆。必要性：設(shè)矩陣A可逆，則由推論1可知，矩陣A經(jīng)過有限次初等變換可以化為單位矩陣E，再由定理2可知存在初等矩陣P1,P2，……Ps，Q1,Q2，……Qt，使得P1P2……PsAQ1Q2……Qt=E.所以A=Ps-1Ps-1-1……P1-1EQt-1Qt-1-1……Q1-1=Ps-1Ps-1-1……P1-1Qt-1Qt-1-1……Q1-1.定理2(初等矩陣在矩陣乘法中的作用)

設(shè)A是一個(gè)mn矩陣

對A施行一次初等行變換相當(dāng)于相應(yīng)的m階初等矩陣左乘A

對A施行一次初等列變換相當(dāng)于相應(yīng)的n階初等矩陣右乘AA可以表示為若干初等矩陣的乘積。證畢第27頁，共36頁，2023年，2月20日，星期二定理3(矩陣可逆的充要條件)n階方陣A可逆的充要條件是A可以表示為若干初等矩陣的乘積。若A可逆，則A-1也可逆，則由定理3可知，A-1=G1G2

……Gk，（式1），即A-1=G1G2

……GkE

（式2）式1左右兩邊右乘矩陣A,得A-1A=G1G2

……GkA，E=G1G2

……GkA，

（式3）式3表示對A施以若干次初等行變換可化為E；式2表示對E施以與式3相同的若干次初等行變換可化為A-1。兩式合起來為G1G2

……Gk(A

E)2n(E

A1)2n四、初等變換法求逆矩陣與矩陣方程初等行變換n階方陣A可逆第28頁，共36頁，2023年，2月20日，星期二四、初等變換法求逆矩陣與矩陣方程若A可逆，則可以使用初等變換法求A-1第29頁，共36頁，2023年，2月20日，星期二

解例4第30頁，共36頁，2023年，2月20日，星期二第31頁，共36頁，2023年，2月20日，星期二例5*四、初等變換法求逆矩陣與矩陣方程本例為用初等行變換求矩陣多項(xiàng)式的逆陣，只需在求解過程中將矩陣多項(xiàng)式看成一個(gè)整體即可.

第