線性代數(shù)矩陣的初等變換

線性代數(shù)矩陣的初等變換第1頁，共36頁，2023年，2月20日，星期二課本§2.5矩陣的初等變換一、矩陣的初等變換二、矩陣的等價關系三、初等矩陣四、初等變換法求逆矩陣與矩陣方程第2頁，共36頁，2023年，2月20日，星期二

矩陣的初等變換 矩陣的初等變換是矩陣的一種十分重要的運算，它起源于解線性方程組的消元法。利用初等變換，可以將矩陣A化為形狀簡單的矩陣B，通過形狀簡單的B來探討A的性質。在求逆陣及矩陣理論的探討等研究中都起重要的作用。第3頁，共36頁，2023年，2月20日，星期二一、矩陣的初等變換下列三種變換稱為矩陣的初等行變換：定義1第4頁，共36頁，2023年，2月20日，星期二下列三種變換稱為矩陣的初等行變換：定義1一、矩陣的初等變換第5頁，共36頁，2023年，2月20日，星期二下列三種變換稱為矩陣的初等行變換：定義1一、矩陣的初等變換第6頁，共36頁，2023年，2月20日，星期二同理可定義矩陣的初等列變換(所用記號是把“r”換成“c”)．矩陣的初等行變換和矩陣的初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換．一、矩陣的初等變換第7頁，共36頁，2023年，2月20日，星期二注意

矩陣的初等變換的逆變換仍是初等變換，且

逆變換和原變換是同一類型的初等變換.第8頁，共36頁，2023年，2月20日，星期二二、矩陣的等價關系或A→B第9頁，共36頁，2023年，2月20日，星期二二、矩陣的等價關系滿足下列條件的矩陣稱為行階梯形矩陣，例如矩陣B:(1)元素全為零的行

(若有的話)位于矩陣的下方;(2)各非零行的首非零元（從左至右的一個不為零的元素）的列標隨著行標的增大而嚴格增大.第10頁，共36頁，2023年，2月20日，星期二二、矩陣的等價關系滿足下列條件的行階梯形矩陣稱為行最簡形矩陣,例如矩陣C

：(1)各非零行的首非零元都是1；(2)每個首非零元1所在列的其余元素都是零.第11頁，共36頁，2023年，2月20日，星期二二、矩陣的等價關系矩陣D稱為原矩陣A的標準形，具有的特點是：D的左上角是一個單位矩陣，其余元素全是0.第12頁，共36頁，2023年，2月20日，星期二二、矩陣的等價關系滿足下列條件的矩陣稱為行階梯形矩陣:(1)元素全為零的行

(若有的話)位于矩陣的下方;(2)各非零行的首非零元（從左至右的一個不為零的元素）的列標隨著行標的增大而嚴格增大.是不是是糾正第13頁，共36頁，2023年，2月20日，星期二二、矩陣的等價關系注意：可以存在r=0或m=n=r的情況矩陣D稱為原矩陣A的標準形，具有的特點是：D的左上角是一個單位矩陣，其余元素全是0.第14頁，共36頁，2023年，2月20日，星期二二、矩陣的等價關系第15頁，共36頁，2023年，2月20日，星期二定義3對單位矩陣E

進行一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣.三種初等變換對應三種初等矩陣.三、初等矩陣1、交換兩行(列)

2、以非零數(shù)k乘某一行(列)中的所有元素

3、把某一行(列)的l

倍加到另一行(列)上去

第16頁，共36頁，2023年，2月20日，星期二三、初等矩陣第17頁，共36頁，2023年，2月20日，星期二三、初等矩陣第18頁，共36頁，2023年，2月20日，星期二三、初等矩陣第19頁，共36頁，2023年，2月20日，星期二初等矩陣的性質|A|≠0初等矩陣均可逆，初等矩陣的逆也是初等矩陣。|E|=1,利用行列式的性質。第20頁，共36頁，2023年，2月20日，星期二三、初等矩陣第21頁，共36頁，2023年，2月20日，星期二三、初等矩陣第22頁，共36頁，2023年，2月20日，星期二三、初等矩陣第23頁，共36頁，2023年，2月20日，星期二定理2(初等矩陣在矩陣乘法中的作用)

設A是一個mn矩陣

對A施行一次初等行變換相當于相應的m階初等矩陣左乘A

~r1r2補例

設

則有第24頁，共36頁，2023年，2月20日，星期二定理2(初等矩陣在矩陣乘法中的作用)

設A是一個mn矩陣

對A施行一次初等行變換相當于相應的m階初等矩陣左乘A

對A施行一次初等列變換相當于相應的n階初等矩陣右乘A~c1c2

補例設則有第25頁，共36頁，2023年，2月20日，星期二定理2(初等矩陣在矩陣乘法中的作用)

設A是一個mn矩陣

對A施行一次初等行變換相當于相應的m階初等矩陣左乘A

對A施行一次初等列變換相當于相應的n階初等矩陣右乘A~c1+10c3補例設，則有第26頁，共36頁，2023年，2月20日，星期二四、初等變換法求逆矩陣與矩陣方程定理3(矩陣可逆的充要條件)n階方陣A可逆的充要條件是A可以表示為若干初等矩陣的乘積。證明：充分性：初等矩陣可逆，如果將A表示為初等矩陣的乘積，則因為有限個同階可逆矩陣的乘積是可逆矩陣（p45），故n階方陣A可逆。必要性：設矩陣A可逆，則由推論1可知，矩陣A經過有限次初等變換可以化為單位矩陣E，再由定理2可知存在初等矩陣P1,P2，……Ps，Q1,Q2，……Qt，使得P1P2……PsAQ1Q2……Qt=E.所以A=Ps-1Ps-1-1……P1-1EQt-1Qt-1-1……Q1-1=Ps-1Ps-1-1……P1-1Qt-1Qt-1-1……Q1-1.定理2(初等矩陣在矩陣乘法中的作用)

設A是一個mn矩陣

對A施行一次初等行變換相當于相應的m階初等矩陣左乘A

對A施行一次初等列變換相當于相應的n階初等矩陣右乘AA可以表示為若干初等矩陣的乘積。證畢第27頁，共36頁，2023年，2月20日，星期二定理3(矩陣可逆的充要條件)n階方陣A可逆的充要條件是A可以表示為若干初等矩陣的乘積。若A可逆，則A-1也可逆，則由定理3可知，A-1=G1G2

……Gk，（式1），即A-1=G1G2

……GkE

（式2）式1左右兩邊右乘矩陣A,得A-1A=G1G2

……GkA，E=G1G2

……GkA，

（式3）式3表示對A施以若干次初等行變換可化為E；式2表示對E施以與式3相同的若干次初等行變換可化為A-1。兩式合起來為G1G2

……Gk(A

E)2n(E

A1)2n四、初等變換法求逆矩陣與矩陣方程初等行變換n階方陣A可逆第28頁，共36頁，2023年，2月20日，星期二四、初等變換法求逆矩陣與矩陣方程若A可逆，則可以使用初等變換法求A-1第29頁，共36頁，2023年，2月20日，星期二

解例4第30頁，共36頁，2023年，2月20日，星期二第31頁，共36頁，2023年，2月20日，星期二例5*四、初等變換法求逆矩陣與矩陣方程本例為用初等行變換求矩陣多項式的逆陣，只需在求解過程中將矩陣多項式看成一個整體即可.

第