《彈塑性力學(xué)》第九章 空間軸對(duì)稱問題

第九章空間軸對(duì)稱問題

本章討論空間軸對(duì)稱問題的基本方程和一些軸對(duì)稱問題的基本解。對(duì)于一般空間問題的解法我們?cè)诘谖逭乱延杏懻?，但一般空間問題一般解（具體求解）通解討論在杜慶華等編著的“彈性理論”中有較多的論述。我們不刻意從數(shù)學(xué)上論述一般空間問題一般解的表達(dá)式，而對(duì)于空間軸對(duì)稱問題作一些討論和舉例。4/16/20231編輯ppt

1.1空間軸對(duì)稱問題特點(diǎn)：1.域內(nèi)所有物理量（體力、面力、位移、應(yīng)力、應(yīng)變）均為r、z的函數(shù)。與平面軸對(duì)稱問題類似，空間軸對(duì)稱問題的求解域、荷載和約束繞某一軸（z軸）對(duì)稱，導(dǎo)致如下簡(jiǎn)化，2．荷載：體力f=0，面力

，位移u=0，應(yīng)力r=z=0，應(yīng)變r(jià)=z=0。第一節(jié)空間軸對(duì)稱問題的基本方程4/16/20232編輯ppt第一節(jié)空間軸對(duì)稱問題的基本方程3．待求的物理量（10個(gè)）：ur、w、r、、z、rz=zr、r、、z、rz=zr1.2基本方程1.平衡微分方程（兩個(gè)）：4/16/20233編輯ppt2.幾何方程（四個(gè)）：第一節(jié)空間軸對(duì)稱問題的基本方程3.變形協(xié)調(diào)方程（四個(gè)）4/16/20234編輯ppt4.物理方程（四個(gè)）：第一節(jié)空間軸對(duì)稱問題的基本方程4/16/20235編輯ppt

r=e2Gr、=e2G、

z=e2Gz、rz=Grz

第一節(jié)空間軸對(duì)稱問題的基本方程其中——體積應(yīng)變或

4/16/20236編輯ppt5.邊界條件第一節(jié)空間軸對(duì)稱問題的基本方程位移邊界：在Su上6.按應(yīng)力解法

力的邊界：在r=r0

在z=z0四個(gè)應(yīng)力分量r、、z、rz為基本未知量。4/16/20237編輯ppt基本方程（六個(gè)）：兩個(gè)平衡微分方程與四個(gè)用應(yīng)力表示的變形協(xié)調(diào)方程；再加上力的邊界條件。第一節(jié)空間軸對(duì)稱問題的基本方程如果體力為零時(shí)，基本方程為齊次方程，則可采用應(yīng)力函數(shù)解法，引入應(yīng)力函數(shù)(r,z)，使得應(yīng)力用(r,z)表示:4/16/20238編輯ppt第一節(jié)空間軸對(duì)稱問題的基本方程(r,z)滿足第一個(gè)平衡微分方程，而第二個(gè)平衡方程及四個(gè)相容方程，共同要求

22=4=0

——(r,z)應(yīng)滿足的基本微分方程。4/16/20239編輯ppt

7．按位移法解第一節(jié)空間軸對(duì)稱問題的基本方程其中

a．基本未知函數(shù)：ur和w基本方程兩個(gè)：

并考慮適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件。4/16/202310編輯pptb.引入Love（拉甫、勒夫）位移函數(shù)（當(dāng)無體力作用時(shí)）第一節(jié)空間軸對(duì)稱問題的基本方程對(duì)于位移法的基本方程的解可由考慮體力的一個(gè)特解加上齊次方程的通解。軸對(duì)稱問題齊次拉梅方程的通解可以引入一個(gè)Love位移函數(shù)(r,z),使得位移由(r,z)表示：4/16/202311編輯ppt代入齊次拉梅方程，第一式自然滿足，而第二式為基本方程：

4=0

(r,z)——為雙調(diào)和方程。第一節(jié)空間軸對(duì)稱問題的基本方程同時(shí)應(yīng)力分量由(r,z)表示為：4/16/202312編輯ppt軸對(duì)稱問題按位移求解，歸結(jié)為尋找一個(gè)恰當(dāng)?shù)闹卣{(diào)和函數(shù)(r,z)，使按其導(dǎo)出位移和應(yīng)力能滿足給定的邊界條件。第一節(jié)空間軸對(duì)稱問題的基本方程比較應(yīng)力函數(shù)解法和love位移法知：(r,z)=

(r,z)4/16/202313編輯ppt第二節(jié)半空間體在邊界上受法向集中力

（Boussinesq問題）半空間體，體力不計(jì)，邊界受法向集中力P作用.軸對(duì)稱問題，P作用在坐標(biāo)原點(diǎn)上。zRrPx

yz已知，當(dāng)z=0且r0時(shí),z=0,zr=0；當(dāng)R0時(shí)，應(yīng)力奇異。當(dāng)R

時(shí)，R=(r2+z2)1/2，

應(yīng)力、位移

0；4/16/202314編輯ppt選(r,z)為r和z的正一次冪式:(r,z)=A1R+A2[R-zln(R+z)]——為雙調(diào)和函數(shù)第二節(jié)半空間體在邊界上受法向集中力

（Boussinesq問題）Boussinesq采取Love函數(shù)求解，(r,z)為重調(diào)和函數(shù)，由(r,z)的三次微分導(dǎo)出應(yīng)力。zRrPx

yz4/16/202315編輯ppt(r,z)=A1R+A2[R-zln(R+z)]則(r,z)自然滿足

4=0。代入位移、應(yīng)力計(jì)算式.第二節(jié)半空間體在邊界上受法向集中力

（Boussinesq問題）zRrPx

yz位移：4/16/202316編輯ppt應(yīng)力：

第二節(jié)半空間體在邊界上受法向集中力

（Boussinesq問題）4/16/202317編輯ppt根據(jù)邊界條件來確定A1和A2：第二節(jié)半空間體在邊界上受法向集中力

（Boussinesq問題）zRrPx

yz在z=0且r0邊界上,z=0自然滿足。在z=0且r0邊界上,zr=0（1-2）A1+A2=0—(a)4/16/202318編輯ppt在z=z0

0平面上，要求z的合力與P平衡。還需一個(gè)條件（包括P的）。第二節(jié)半空間體在邊界上受法向集中力

（Boussinesq問題）將z表達(dá)式代入，得zPrrdrz0z4/16/202319編輯pptP-4A1(1-）-2

A2=0——(b)第二節(jié)半空間體在邊界上受法向集中力

（Boussinesq問題）而4/16/202320編輯ppt由式(a)、(b)解得A1=P/(2)、A2=-（1-2）P/（2）第二節(jié)半空間體在邊界上受法向集中力

（Boussinesq問題）

代回位移、應(yīng)力表達(dá)式，見徐芝綸（上冊(cè)）P.297（9－17）、（9－18）式，稱為Boussinesq問題解。由P.297（9－17）、（9－18）式見：位移和應(yīng)力隨R的增加而減小。4/16/202321編輯pptPrz第二節(jié)半空間體在邊界上受法向集中力

（Boussinesq問題）在z=0平面上4/16/202322編輯ppt第三節(jié)半空間體在邊界上受法向分布力q已知條件：半空間體在邊界上受均布法向荷載q作用，在半徑為a的圓面積。zaqar尋求解答：1.

z=0邊界上的沉陷wz=0

=?2.r=0（對(duì)稱軸）上的應(yīng)力和位移。求解方法：采用疊加法和半空間體邊界受法向集中力P的計(jì)算結(jié)果求解。4/16/202323編輯ppt3.1邊界上一點(diǎn)M的豎向位移w：第三節(jié)半空間體在邊界上受法向分布力q1.設(shè)M點(diǎn)為圓面積之外：M點(diǎn)可以在荷載圓面積之外也可在之內(nèi)。zaqar當(dāng)半空間體邊界上受法向集中力P時(shí)，邊界上距P點(diǎn)為r的點(diǎn)豎向位移為：4/16/202324編輯ppt圓面積均布荷載q對(duì)圓外M點(diǎn)豎向位移影響可取一個(gè)微面元，距M點(diǎn)為s，角度為處，dA=sdds，dA上q對(duì)M點(diǎn)影響：

第三節(jié)半空間體在邊界上受法向分布力qrraMs1s2sdsdzaqar4/16/202325編輯pptrraMs1s2sdsd第三節(jié)半空間體在邊界上受法向分布力q4/16/202326編輯ppt整體圓面積荷載對(duì)M點(diǎn)影響為第三節(jié)半空間體在邊界上受法向分布力q而rraMs1s2sdsd4/16/202327編輯ppt1為M點(diǎn)作為圓相切線OM線的夾角第三節(jié)半空間體在邊界上受法向分布力qrraMs1s2sdsd為了簡(jiǎn)化積分將積分變量

轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

4/16/202328編輯ppt由圖形可見asin=rsin,兩邊微分

acosd=rcosd第三節(jié)半空間體在邊界上受法向分布力qrraMs1s2sdsd4/16/202329編輯ppt第三節(jié)半空間體在邊界上受法向分布力q的取值范圍：由0

1

rraMs1s2sdsd的取值范圍：0

4/16/202330編輯ppt第三節(jié)半空間體在邊界上受法向分布力q4/16/202331編輯ppt第二類橢圓積分第一類橢圓積分第三節(jié)半空間體在邊界上受法向分布力q對(duì)于不同a/r可由橢圓積分表得到。4/16/202332編輯ppt2．M點(diǎn)載荷在圓之內(nèi)：Masdsdrmn第三節(jié)半空間體在邊界上受法向分布力q圓內(nèi)距M點(diǎn)s處微面積q對(duì)M點(diǎn)沉陷的影響仍為4/16/202333編輯ppt整個(gè)圓面積荷載引起M點(diǎn)沉陷為：第三節(jié)半空間體在邊界上受法向分布力q第二類橢圓積分利用asin=rsin

4/16/202334編輯ppt當(dāng)r=0為圓心處沉陷：當(dāng)r=a時(shí)圓周上沉陷：

3.2在z軸r=0上的應(yīng)力和位移在z軸上的應(yīng)力和位移比同一水平面上其它點(diǎn)的應(yīng)力和位移要大。第三節(jié)半空間體在邊界上受法向分布力q4/16/202335編輯ppt1.應(yīng)力：由于z軸對(duì)稱軸，所以在z軸上的應(yīng)力無剪應(yīng)力，均為主應(yīng)力：

r=、z第三節(jié)半空間體在邊界上受法向分布力q4/16/202336編輯ppt2．位移：z軸上的ur=0，僅存在w第三節(jié)半空間體在邊界上受法向分布力q4/16/202337編輯ppt第三節(jié)半空間體在邊界上受法向分布力q4/16/202338編輯ppt第四節(jié)兩球體之間的接觸壓力接觸壓力問題是在機(jī)械工程、土木工程中經(jīng)常碰到的問題，接觸問題在1881年由德國赫茲（HeinrichHerty）首先用數(shù)學(xué)彈性力學(xué)導(dǎo)出了計(jì)算公式。4.1接觸問題的特點(diǎn)：

1．兩個(gè)彈性體互相接觸，當(dāng)無壓力作用時(shí)，為點(diǎn)接觸或線接觸。當(dāng)有壓力作用時(shí)，彈性體發(fā)生變形，點(diǎn)接觸（或線接觸）變?yōu)槊娼佑|。4/16/202339編輯ppt2．彈性體變形后的接觸面為非常小的局部區(qū)域（相對(duì)于彈性體幾何尺寸）所以可看成半空間（半無限平面）體法向受局部分布力作用問題，但這里分布力q不是均勻的，同時(shí)q也未知，接觸面的局部區(qū)域也是未知的。第四節(jié)兩球體之間的接觸壓力3．不計(jì)接觸面摩擦力。

4/16/202340編輯ppt

4.2

兩球體之間的接觸壓力：已知兩球體變形前在o點(diǎn)接觸，兩個(gè)坐標(biāo)系roz1、roz2第四節(jié)兩球體之間的接觸壓力rOz1z2O2O1R2R1球1：E1、1、R1球2：E2、2、R2

M1M2r距接觸點(diǎn)z軸為r的兩球表面上M1和M2點(diǎn)的z坐標(biāo)分別為（M1和M2與點(diǎn)o很近）4/16/202341編輯ppt第四節(jié)兩球體之間的接觸壓力rOz1z2O2O1R2R1M1M2r則4/16/202342編輯ppt第四節(jié)兩球體之間的接觸壓力在已知P壓力作用下，兩球在接觸點(diǎn)附近發(fā)生變形有一個(gè)接觸面，根據(jù)對(duì)稱性接觸面為以a為半徑的圓。rOz1z2O2O1R2R1M1M2rM1rPPoz1z2O1M2ar4/16/202343編輯ppt第四節(jié)兩球體之間的接觸壓力1．a(chǎn)為待求量，同時(shí)接觸面上有接觸壓力q（待求）。2．由于接觸問題是局部變形，在球體遠(yuǎn)離o點(diǎn)的任意點(diǎn)位移為剛體位移。兩球內(nèi)距o點(diǎn)很遠(yuǎn)處的相對(duì)位移（剛體位移）為？下面要建立（找出）三個(gè)條件（幾何、物理、平衡方程）尋求a、q和。4/16/202344編輯ppt第四節(jié)兩球體之間的接觸壓力求解：首先根據(jù)接觸面變形（位移）來建立一個(gè)關(guān)系球1：觸面上o點(diǎn)、M1點(diǎn)沿z1軸位移為w1(o)、w1而w1(o)=w1+z1

M1rPPoz1z2O1M2ar4/16/202345編輯ppt第四節(jié)兩球體之間的接觸壓力球2：觸面上o點(diǎn)、M2點(diǎn)沿z2軸位移為w2(o)、w2w2(o)=w2+z2

而w1(o)+w2(o)=w1+z1+w2+z2w1(o)+w2(o)=w1+w2+r2或M1rPPoz1z2O1M2ar4/16/202346編輯ppt而w1(o)+w2(o)=第四節(jié)兩球體之間的接觸壓力——兩球體距o點(diǎn)較遠(yuǎn)處兩點(diǎn)的趨近距離。=w1+w2+r2——變性協(xié)調(diào)關(guān)系w1(o)+w2(o)=w1+w2+r2由于接觸問題可看成半無限體受局部垂直分布力問題，w1和w2可以利用上一節(jié)的結(jié)果。M1rPPoz1z2O1M2ar4/16/202347編輯ppt第四節(jié)兩球體之間的接觸