實驗6 線性代數(shù)方程組的數(shù)值解法

實驗6線性代數(shù)方程組的數(shù)值解法[實驗目的]1.

學會用MATLAB軟件數(shù)值求解線性代數(shù)方程組，對迭代法的收斂性和解的穩(wěn)定性作初步分析；2.

通過實例學習用線性代數(shù)方程組解決簡化的實際問題。[實驗內(nèi)容]5-5輸電網(wǎng)絡：一種大型輸電網(wǎng)絡可簡化為圖5.5（見書）所示電路，其中R1，R2，…，Rn表示負載電阻，r1，r2，…，rn表示線路內(nèi)阻，I1，I2，…，In表示負載上的電流。設電源電壓為V。(1)列出求各負載電阻R1，R2，…，Rn的方程；(2)設I1=I2=…=In=I，r1=r2=…=rn=r，在r=1，I=0.5，V=18，n=10的情況下求R1，R2，…，Rn及總電阻R0。[問題分析、模型建立及求解](1)設電源負極為電勢為0，電阻R1上對應節(jié)點電壓為V1，對于任意節(jié)點，根據(jù)KCL定律列出方程：而，可得：k=2，3，……，n-1；k=1時，為與上式形式一致，化為k=m（）時k=n時設以上方程組的矩陣形式為：則

(2)代入?yún)?shù)：，，V=18，n=10，

在命令窗口輸入MATLAB程序如下：clearall;n=10;%由題目要求設定A11=sparse(1:n-1,1:n-1,-1,n,n);%定義A的對角元素，除（n,n)A12=sparse(n,n,-0.5,n,n);%定義(n,n)A1=A11+A12;%對角元素A2=sparse(1:n-1,2:n,0.5,n,n);%輸入A的上次對角元素A3=sparse(2:n,1:n-1,0.5,n,n);%輸入A的下次對角元素A=A1+A2+A3;b1=0.5*ones(n,1);%b的除第一項元素b2=sparse(1,1,18,n,1);%b的第一項元素b=b1-b2;R=A\b輸出結果如下：R=

26.000017.00009.00002.0000-4.0000-9.0000-13.0000-16.0000-18.0000-19.0000所以各阻值為(R1，R2，…，R10)=(26，17，9，2，-4，-9，-13，-16，-18，-19)總電阻R0（即輸入等效電阻）為，又得到

5-6有5個反應器連接如圖5.6（見書），各個Q表示外部輸入、輸出及反應器間的流量（m3/min），各個c表示外部輸入及反應器內(nèi)某物質的濃度(mg/m3)。假定反應器內(nèi)的濃度是均勻的，利用質量守恒準則建立模型，求出各反應器內(nèi)的濃度c1~c5，并討論反應器j外部輸入改變１個單位(mg/min)所引起的反應器i濃度的變化。[問題分析、模型建立及求解]當反應容器中反應物濃度穩(wěn)定時，輸入物質質量與輸出物質質量平衡，即輸入物質質量等于輸出物質質量。由此分析，分別對1~5容器列質量平衡方程，以輸入物質為“+”，輸出物質為“－”，代入數(shù)據(jù)整理為由矩陣表示：，

編寫MATLAB程序如下：A=[-6,0,1,0,03,-3,0,0,00,1,-9,0,00,1,8,-11,23,1,0,0,-4];b=[-50,0,-160,0,0]';c=A\b%計算并輸出cpause;dQc01=[1,0,0,0,0]';dQc02=[0,0,1,0,0]';c11=A\(b+dQc01);%01的輸入減少1個單位dc11=c-c2;c12=A\(b-dQc01);%01的輸入增加1個單位dc12=c-c1;c21=A\(b+dQc02);%03的輸入減少1個單位dc21=c-c4;c22=A\(b-dQc02);%03的輸入增加1個單位dc22=c-c3;[c,c11,dc11,c12,dc12,c21,dc21,c22,dc22]%外部輸入改變引起的%反應器濃度變化列表比較MATLAB給出結果如下：c=

11.509411.509419.056616.998311.5094所以改變前各反應器濃度為(c1，c2，c3，c4，c5)=(11.5094，11.5094，19.0566，16.9983，11.5094)改變?nèi)萜?1或容器03的外部輸入，得到各容器平衡時濃度及其增量如下表：

濃度原值C001減少1單位001增加1單位003減少1單位003增加1單位C11C12C21C22C111.509411.33960.169811.6792-0.169811.49060.018911.5283-0.0189C211.509411.33960.169811.6792-0.169811.49060.018911.5283-0.0189C319.056619.03770.018919.0755-0.018918.94340.113219.1698-0.1132C416.998316.93830.060017.0583-0.060016.91080.087517.0858-0.0875C511.509411.33960.169811.6792-0.169811.49060.018911.5283-0.0189

[改進做法]上面這種做法顯得有些麻煩，由可得，表明容器平衡濃度c對外部輸入b是線性的，所以當b增加1個單位（記作）時，c的增量為，若外部輸入增加一個單位，時，為的第一列，時，為的第三列。外部輸入減少1個單位時，取其負值即可。故改用矩陣求逆的方法來計算：A=[-6,0,1,0,03,-3,0,0,00,1,-9,0,00,1,8,-11,23,1,0,0,-4];b=[-50,0,-160,0,0]';dx=inv(A)%求A的逆矩陣輸出結果為：dx=

-0.1698-0.0063-0.018900-0.1698-0.3396-0.018900-0.0189-0.0377-0.113200-0.0600-0.0746-0.0875-0.0909-0.0455-0.1698-0.0896-0.01890-0.2500紅色部分顯示為所求，此結果與前面的方法計算的一致，但工作量明顯少了許多。

5-8種群的繁殖與穩(wěn)定收獲：種群的數(shù)量因繁殖而增加，因自然死亡而減少，對于人工飼養(yǎng)的種群（比如家畜）而言，為了保證穩(wěn)定的收獲，各個年齡的種群數(shù)量應維持不變，種群因雌性個體的繁殖而改變，為方便起見以下種群數(shù)量均指其中的雌性。種群年齡記作k=1，2，…，n，當年年齡k的種群數(shù)量記作xk，繁殖率記作bk（每個雌性個體1年繁殖的數(shù)量），自然存活率記作sk（sk=1-dk，dk為1年的死亡率），收獲量記作hk，則來年年齡k的種群數(shù)量應為，要求各個年齡的種群數(shù)量每年維持不變就是要使。(1)若已知bk，sk，給定收獲量hk，建立求個年齡的穩(wěn)定種群數(shù)量xk的模型（用矩陣、向量表示）。(2)設n=5，b1=b2=b5=0，b3=5，b4=3，s1=s4=0.4，s2=s3=0.6，如果要求h1~h5為500，400，200，200，100，求(3)要使h1~h5均為500，如何達到？[問題分析、模型建立及求解](1)要使各年齡種群數(shù)量每年維持不變即，依題意得用矩陣形式表示原方程組為：，

(2)代入題中數(shù)據(jù)，

編寫MATLAB程序如下：formatbank;A=[0.4,-1,0,0,00,0.6,-1,0,00,0,0.6,-1,00,0,0,0.4,-1-1,0,5,3,0];h=[500,400,200,100,0]';x=A\h

MATLAB輸出結果如下：x=

8481.012892.411335.44601.27140.51

第5年齡段：x5=140.5>100=h5，說明收獲量h5可以達到100。(3)要使h1~h5均為500，則h變?yōu)椋浩渌麉?shù)不變，程序變?yōu)椋篺ormatbank;A=[0.4,-1,0,0,00,0.6,-1,0,00,0,0.6,-1,00,0,0,0.4,-1-1,0,5,3,0];h=[500,500,500,500,0]';x=A\h

MATLAB輸出結果如下：x=

10981.013892.411835.44601.27-259.49

從結果看出，x5為-259.49，但種群數(shù)量不可能為負數(shù)，在本題所給條件下，無法使h1~h5均為500。為達到h1~h5均為500，對題中參數(shù)b1，b2，b3，b4，b5，s1，s2，s3，s4的值作了一些改動。經(jīng)過分析比較發(fā)現(xiàn)，當s1，s2，s3，s4值較大，而b1=b2=b5=0，，b3，b4值較小時，可以達到。例如，設s1=s4=0.6，s2=s3=0.8，b1=b2=b5=0，b3=1，b4=2，輸入：formatbank;A=[0.6,-1,0,0,00,0.8,-1,0,00,0,0.8,-1,00,0,0,0.6,-1-1,0,1,2,0];h=[500,500,500,500,0]';x=A\h

結果為：x=

13467.747580.655564.523951.611870.97x5=1870>500=h5，說明收獲量h5可達到500，從而h1~h5均可達到500。這里所設的參數(shù)只是滿足條件的情況之一，但真正意義上來說參數(shù)的選取還得符合實際情況，如存活率不可能非常大，繁殖率也不可能只有1，所以要實現(xiàn)獲得均為500是有一定困難的。[結果分