維納濾波和卡爾曼濾波

維納濾波和卡爾曼濾波第1頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二2.1引言在生產(chǎn)實(shí)踐中，我們所觀測(cè)到的信號(hào)都是受到噪聲干擾的。如何最大限度地抑制噪聲，并將有用信號(hào)分離出來，是信號(hào)處理中經(jīng)常遇到的問題。換句話說，信號(hào)處理的目的就是要得到不受干擾影響的真正信號(hào)。相應(yīng)的處理系統(tǒng)稱為濾波器。這里，我們只考慮加性噪聲的影響，即觀測(cè)數(shù)據(jù)x(n)是信號(hào)s(n)與噪聲v(n)之和（如圖2.1.1所示）,即x(n)=s(n)+v(n)（2.1.1）第2頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二

我們的目的是為了得到不含噪聲的信號(hào)s(n)，也稱為期望信號(hào)，若濾波系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為h(n)（如圖2.1.2所示），系統(tǒng)的期望輸出用yd(n)表示，yd(n)應(yīng)等于信號(hào)的真值s(n)；系統(tǒng)的實(shí)際輸出用y(n)表示，y(n)是s(n)的逼近或估計(jì)，用公式表示為yd(n)=s(n)，y(n)=。因此對(duì)信號(hào)x(n)進(jìn)行處理，可以看成是對(duì)期望信號(hào)的估計(jì)，這樣可以將h(n)看作是一個(gè)估計(jì)器，也就是說,信號(hào)處理的目的是要得到信號(hào)的一個(gè)最佳估計(jì)。那么，采用不同的最佳準(zhǔn)則，估計(jì)得到的結(jié)果可能不同。所得到的估計(jì)，在通信中稱為波形估計(jì);在自動(dòng)控制中，稱為動(dòng)態(tài)估計(jì)。第3頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二圖2.1.1觀測(cè)信號(hào)的組成第4頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二圖2.1.2信號(hào)處理的一般模型第5頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二假若已知x(n-1),x(n-2),…,x(n-m)，要估計(jì)當(dāng)前及以后時(shí)刻的信號(hào)值s(n+N),N≥0，這樣的估計(jì)問題稱為預(yù)測(cè)問題；若已知x(n-1),x(n-2),…,x(n-m)，要估計(jì)當(dāng)前的信號(hào)值s(n)，稱為過濾或?yàn)V波；根據(jù)過去的觀測(cè)值x(n-1),x(n-2),…,x(n-m)，估計(jì)過去的信號(hào)值s(n-N),N≥1，稱為平滑或內(nèi)插。維納(Wiener)濾波與卡爾曼(Kalman)濾波就是用來解決這樣一類從噪聲中提取信號(hào)的過濾或預(yù)測(cè)問題,并以估計(jì)的結(jié)果與信號(hào)真值之間的誤差的均方值最小作為最佳準(zhǔn)則。^^第6頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二

維納濾波是在第二次世界大戰(zhàn)期間，由于軍事的需要由維納提出的。1950年，伯特和香農(nóng)給出了當(dāng)信號(hào)的功率譜為有理譜時(shí)，由功率譜直接求取維納濾波器傳輸函數(shù)的設(shè)計(jì)方法。維納濾波器的求解，要求知道隨機(jī)信號(hào)的統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律（自相關(guān)函數(shù)或功率譜密度），得到的結(jié)果是封閉公式。采用譜分解的方法求解，簡(jiǎn)單易行，具有一定的工程實(shí)用價(jià)值，并且物理概念清楚，但不能實(shí)時(shí)處理；維納濾波的最大缺點(diǎn)是僅適用于一維平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)。這是由于采用頻域設(shè)計(jì)法所造成的，因此人們逐漸轉(zhuǎn)向在時(shí)域內(nèi)直接設(shè)計(jì)最佳濾波器的方法。第7頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二2.2維納濾波器的離散形式——時(shí)域解2.2.1維納濾波器時(shí)域求解的方法根據(jù)線性系統(tǒng)的基本理論，并考慮到系統(tǒng)的因果性，可以得到濾波器的輸出y(n),n=0,1,2,…（2.2.2）設(shè)期望信號(hào)為d(n)，誤差信號(hào)e(n)及其均方值E［|e(n)|2］分別為e(n)=d(n)-y(n)=s(n)-y(n)（2.2.３）（2.2.４）第8頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二要使均方誤差為最小，須滿足（2.2.5）這里，hj表示h(j);同理，可以用aj，bj分別表示a(j)，b(j)。由于誤差的均方值是一標(biāo)量，因此（2.2.5）式是一個(gè)標(biāo)量對(duì)復(fù)函數(shù)的求導(dǎo)問題，它等價(jià)于j=0,1,2,…（2.2.6）記j=0,1,2,…（2.2.７）第9頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二則（2.2.6）式可以寫為（2.2.8）將（2.2.8）式展開（2.2.9）又根據(jù)（2.2.1）~(2.2.3)式第10頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二將（2.2.10）～（2.2.13）式代入（2.2.9）式，得（2.2.14)第11頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二因此E［x*(n-j)e(n)］=0

j=0,1,2,…（2.2.15）上式說明，均方誤差達(dá)到最小值的充要條件是誤差信號(hào)與任一進(jìn)入估計(jì)的輸入信號(hào)正交，這就是通常所說的正交性原理。它的重要意義在于提供了一個(gè)數(shù)學(xué)方法，用以判斷線性濾波系統(tǒng)是否工作于最佳狀態(tài)。第12頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二下面計(jì)算輸出信號(hào)與誤差信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)(2.2.16)假定濾波器工作于最佳狀態(tài)，濾波器的輸出yopt(n)與期望信號(hào)d(n)的誤差為eopt(n)，把（2.2.15）式代入上式，得到(2.2.17)第13頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二圖2.2.1期望信號(hào)、估計(jì)值與誤差信號(hào)的幾何關(guān)系第14頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二圖2.2.1表明在濾波器處于最佳工作狀態(tài)時(shí)，估計(jì)值加上估計(jì)偏差等于期望信號(hào)，即注意我們所研究的是隨機(jī)信號(hào)，圖2.2.1中各矢量的幾何表示應(yīng)理解為相應(yīng)量的統(tǒng)計(jì)平均或者是數(shù)學(xué)期望。再?gòu)哪芰康慕嵌葋砜?，假定輸入信?hào)和期望信號(hào)都是零均值,應(yīng)用正交性原理,則 ,因此在濾波器處于最佳狀態(tài)時(shí)，估計(jì)值的能量總是小于等于期望信號(hào)的能量。第15頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二2.2.2維納—霍夫方程將（2.2.15）式展開，可以得到將輸入信號(hào)分配進(jìn)去，得到k=0,1,2,…對(duì)上式兩邊取共軛，利用相關(guān)函數(shù)的性質(zhì):ryx(-k)=r*xy(k),得到k=0,1,2,…(2.2.20)第16頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二

(2.2.20)式稱為維納-霍夫（Wiener－Hopf）方程。當(dāng)h(n)是一個(gè)長(zhǎng)度為M的因果序列(即h(n)是一個(gè)長(zhǎng)度為M的FIR濾波器)時(shí)，維納-霍夫方程表述為k=0,1,2,…(2.2.21)把k的取值代入(2.2.21)式，得到當(dāng)k=0時(shí)，h1rxx(0)+h2rxx(1)+…+hMrxx(M-1)=rxd(0)當(dāng)k=1時(shí)，h1rxx(1)+h2rxx(0)+…+hMrxx(M-2)=rxd(+1)當(dāng)k=M-1時(shí)，h1rxx(M-1)+h2rxx(M-2)+…+hMrxx(0)=rxd(M-1)…(2.2.22)第17頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二定義第18頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二（2.2.22）式可以寫成矩陣的形式，即(2.2.23)

對(duì)上式求逆，得到(2.2.24)第19頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二

上式表明已知期望信號(hào)與觀測(cè)數(shù)據(jù)的互相關(guān)函數(shù)及觀測(cè)數(shù)據(jù)的自相關(guān)函數(shù)時(shí)，可以通過矩陣求逆運(yùn)算，得到維納濾波器的最佳解。同時(shí)可以看到，直接從時(shí)域求解因果的維納濾波器，當(dāng)選擇的濾波器的長(zhǎng)度M較大時(shí)，計(jì)算工作量很大，并且需要計(jì)算Rxx的逆矩陣，從而要求的存貯量也很大。此外，在具體實(shí)現(xiàn)時(shí)，濾波器的長(zhǎng)度是由實(shí)驗(yàn)來確定的，如果想通過增加長(zhǎng)度提高逼近的精度，就需要在新M基礎(chǔ)上重新進(jìn)行計(jì)算。因此，從時(shí)域求解維納濾波器，并不是一個(gè)有效的方法。第20頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二2.2.3估計(jì)誤差的均方值假定所研究的信號(hào)都是零均值的，濾波器為FIR型，長(zhǎng)度等于M，將(2.2.2)式和(2.2.3)式代入(2.2.4)式，可以得到(2.2.25)第21頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二上式可以進(jìn)一步化簡(jiǎn)得到

可以看出，均方誤差與濾波器的單位脈沖響應(yīng)是一個(gè)二次函數(shù)關(guān)系。由于單位脈沖響應(yīng)h(n)為M維向量，因此均方誤差是一個(gè)超橢圓拋物形曲面，該曲面有極小點(diǎn)存在。當(dāng)濾波器工作于最佳狀態(tài)時(shí)，均方誤差取得最小值。第22頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二將（2.2.24）式代入(2.2.26)式，得到最小均方誤差(2.2.27)

例2.2.1設(shè)y(n)=x(n)+v2(n)，v2(n)是一白噪聲，方差σ22=0.1。期望信號(hào)x1(n)的信號(hào)模型如圖2.2.2（a）所示，其中白噪聲v1(n)的方差σ21=0.27，且b0=0.8458。x(n)的信號(hào)模型如圖2.2.2（b）所示，b1=0.9458。假定v1(n)與v2(n)、x1(n)與y(n)不相關(guān)，并都是實(shí)信號(hào)。設(shè)計(jì)一個(gè)維納濾波器，得到該信號(hào)的最佳估計(jì)，要求濾波器是一長(zhǎng)度為2的FIR濾波器。第23頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二圖2.2.2輸入信號(hào)與觀測(cè)數(shù)據(jù)的模型第24頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二

解這個(gè)問題屬于直接應(yīng)用維納-霍夫方程的典型問題，其關(guān)鍵在于求出觀測(cè)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)和觀測(cè)信號(hào)與期望信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)。圖2.2.3維納濾波器的框圖第25頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二根據(jù)題意，畫出這個(gè)維納濾波器的框圖，如圖2.2.3所示。用H1(z)和H2(z)分別表示x1(n)和x(n)的信號(hào)模型，那么濾波器的輸入信號(hào)x(n)可以看作是v1(n)通過H1(z)和H２(z)級(jí)聯(lián)后的輸出，H1(z)和H２(z)級(jí)聯(lián)后的等效系統(tǒng)用H(z)表示，輸出信號(hào)y(n)就等于x(n)和v2(n)之和。因此求出輸出信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)矩陣Ryy和輸出信號(hào)與期望信號(hào)的互相關(guān)矩陣Ryd是解決問題的關(guān)鍵。相關(guān)函數(shù)矩陣由相關(guān)函數(shù)值組成，已知x(n)與v2(n)不相關(guān)，那么第26頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二

(1)求出期望信號(hào)的方差。根據(jù)圖2.2.2(a)，期望信號(hào)的時(shí)間序列模型所對(duì)應(yīng)的差分方程為x1(n)=v1(n)-b0x1(n-1)這里，b0=0.8458,由于x1(n)的均值為零，其方差與自相關(guān)函數(shù)在零點(diǎn)的值相等。第27頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二

(2)計(jì)算輸入信號(hào)和輸出信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)矩陣。根據(jù)自相關(guān)函數(shù)、功率譜密度和時(shí)間序列信號(hào)模型的等價(jià)關(guān)系，已知時(shí)間序列信號(hào)模型，就可以求出自相關(guān)函數(shù)。這里，信號(hào)的模型H(z)可以通過計(jì)算得到。這是一個(gè)二階系統(tǒng)，所對(duì)應(yīng)的差分方程為x(n)+a1x(n-1)+a2x(n-2)=v1(n)式中，a1=-0.1，a2=-0.8。由于v1(n)、v2(n)的均值為零，因此，x(n)的均值為0。給方程兩邊同乘以x*(n-m)，并取數(shù)學(xué)期望，得到rxx(m)+a1rxx(m-1)+a2rxx(m-2)=0m＞0

(1)rxx(0)+a1rxx(1)+a2rxx(2)=σ21

m=0

(2)第28頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二對(duì)方程（1）取m=1,2，得到rxx(1)+a1rxx(0)+a2rxx(1)=0 (3)rxx(2)+a1rxx(1)+a2rxx(0)=0

(4)

方程（2）、（3）、（4）聯(lián)立求解，得至此，輸入信號(hào)的自相關(guān)矩陣Rxx可以寫出：第29頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二

v2(n)是一個(gè)零均值的白噪聲，它的自相關(guān)函數(shù)矩陣呈對(duì)角形，且 ，因此，輸出信號(hào)的自相關(guān)Ryy為第30頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二

(3)計(jì)算輸出信號(hào)與期望信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)矩陣。由于兩個(gè)信號(hào)都是實(shí)信號(hào)，故ryd(m)=E［y(n)d(n-m)］=E［y(n)x1(n-m)］

=E［(x(n)+v2(n))x1(n-m)］=E［x(n)x1(n-m)］m=0,1

根據(jù)圖2.2.2系統(tǒng)H2(z)的輸入與輸出的關(guān)系,有x1(n)-b1x(n-1)=x(n)推出x1(n)=x(n)+b1x(n-1)這樣ryd(m)=E［x(n)x1(n-m)］=E［x(n)(x(n-m)+b1x(n-1-m))］

=rxx(m)+b1rxx(m-1)第31頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二將m=0,m=1代入上式,得ryd(0)=rxx(0)+b1rxx(-1)=1-0.9458×0.5=0.5272ryd(1)=rxx(1)+b1rxx(0)=0.5-0.9458×1=-0.4458因此，輸出信號(hào)與期望信號(hào)的互相關(guān)Ryd為求出輸出信號(hào)自相關(guān)的逆矩陣,并乘以Ryd,就可以得到維納濾波器的最佳解Wopt:第32頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二把Wopt代入（2.2.27）式，可以計(jì)算出該維納濾波達(dá)到最佳狀態(tài)時(shí)均方誤差，即取得了最小值E［|e(n)|2］min，第33頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二2.3離散維納濾波器的z域解若不考慮濾波器的因果性，（2.2.20）式可以寫為設(shè)定d(n)=s(n)，對(duì)上式兩邊做Z變換，得到Sxs(z)=Hopt(z)Sxx(z)第34頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二假設(shè)信號(hào)和噪聲不相關(guān)，即rsv(m)=0，則Sxs(z)=Sss(z)Sxx(z)=Sss(z)+Svv(z)（2.3.2）式可以寫成（2.3.5）式表示，當(dāng)噪聲為0時(shí)，信號(hào)全部通過；當(dāng)信號(hào)為0時(shí)，噪聲全部被抑制掉，因此維納濾波確有濾除噪聲的能力。把信號(hào)的頻譜用Pss(ejω)表示，噪聲的頻譜用Pvv(ejω)表示，那么非因果的維納濾波器的傳輸函數(shù)Hopt(ejω)的幅頻特性如圖2.3.1所示。第35頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二Pss(ejω)≠0,Pvv(ejω)=0Pss(ejω)≠0,Pvv(ejω)≠0Pss(ejω)=0,Pvv(ejω)≠0

然而實(shí)際的系統(tǒng)都是因果的。對(duì)于一個(gè)因果系統(tǒng)，不能直接轉(zhuǎn)入頻域求解的原因是由于輸入信號(hào)與期望信號(hào)的互相關(guān)序列是一個(gè)因果序列，如果能夠把因果維納濾波器的求解問題轉(zhuǎn)化為非因果問題，求解方法將大大簡(jiǎn)化。那么怎樣把一個(gè)因果序列轉(zhuǎn)化為一個(gè)非因果序列呢？第36頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二圖2.3.1非因果維納濾波器的傳輸函數(shù)的幅頻特性第37頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二

回顧前面講到的時(shí)間序列信號(hào)模型，假設(shè)x(n)的信號(hào)模型B(z)已知（如圖2.3.2(a)所示），求出信號(hào)模型的逆系統(tǒng)B-1(z)，并將x(n)作為輸入，那么逆系統(tǒng)B-1(z)的輸出ω(n)為白噪聲。一般把信號(hào)轉(zhuǎn)化為白噪聲的過程稱為白化，對(duì)應(yīng)的濾波器稱為白化濾波器（如圖2.3.2(b)所示）。圖2.3.2x(n)的時(shí)間序列信號(hào)模型及其白化濾波器第38頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二

具體思路如圖2.3.3所示。用白噪聲作為待求的維納濾波器的輸入，設(shè)定1/B(z)為信號(hào)x(n)的白化濾波器的傳輸函數(shù)，那么維納濾波器的傳輸函數(shù)G(z)的關(guān)系為(2.3.7)

因此，維納濾波器的傳輸函數(shù)H(z)的求解轉(zhuǎn)化為G(z)的求解。圖2.3.3維納濾波解題思路第39頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二2.3.1非因果維納濾波器的求解假設(shè)待求維納濾波器的單位脈沖響應(yīng)為ω(n)，期望信號(hào)d(n)=s(n)，系統(tǒng)的輸出信號(hào)y(n)=s(n)，g(n)是G(z)的逆Z變換，如圖2.3.3所示。第40頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二(2.3.9)第41頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二

可以看出，均方誤差的第一項(xiàng)和第三項(xiàng)都是非負(fù)數(shù),要使均方誤差為最小，當(dāng)且僅當(dāng)

-∞＜k＜∞(2.3.10)因此g(n)的最佳值為-∞＜k＜∞(2.3.11)對(duì)上式兩邊同時(shí)做Z變換，得到(2.3.12)第42頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二這樣，非因果維納濾波器的最佳解為(2.3.13)

因?yàn)閟(n)=s(n)*δ(n)，且x(n)=ω(n)*b(n)，根據(jù)相關(guān)卷積定理(1.4.15)式,得到rxs(m)=rωs(m)*b(-m)(2.3.14)

對(duì)上式兩邊做Z變換，得到Sxs(z)=Sωs(z)B(z-1)因此(2.3.15)第43頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二

將上式代入(2.3.13)式，并根據(jù)x(n)的信號(hào)模型，得到非因果的維納濾波器的復(fù)頻域最佳解的一般表達(dá)式(2.3.16)假定信號(hào)與噪聲不相關(guān)，即當(dāng)E［s(n)v(n)］=0時(shí)，有rxs(m)=E［(s(n)+v(n))*s(n+m)］=rss(m)rxx(m)=E［(s(n)+v(n))*(s(n+m)+v(n+m))］=rss(m)+rvv(m)對(duì)上邊兩式做Z變換,得到Sxs(z)=Sss(z)Sxx(z)=Sss(z)+Svv(z)(2.3.17)(2.3.18)第44頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二把(2.3.17)式代入(2.3.15)式,得到（2.3.19)

將（2.3.18）式和（2.3.19）式代入（2.3.16）式,得到信號(hào)和噪聲不相關(guān)時(shí)，非因果維納濾波器的復(fù)頻域最佳解和頻率響應(yīng)分別為（2.3.20)（2.3.21)第45頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二

下面我們推出該濾波器的最小均方誤差E［|e(n)|2］min的計(jì)算,重新寫出(2.3.9)式的最佳解根據(jù)圍線積分法求逆Z變換的公式,rss(m)用下式表示:(2.3.22)得出

(2.3.23)第46頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二由復(fù)卷積定理

(2.3.24)取y(n)=x(n),有

(2.3.25)因此

(2.3.26)把(2.3.23)式和(2.3.26)式代入(2.3.9)式，

得到

(2.3.27)第47頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二將（2.3.19）式代入上式，

得到

(2.3.28)

因?yàn)閷?shí)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù)，即rss(m)=rss(-m)，因此

Sss(z)=Sss(z-1)假定信號(hào)與噪聲不相關(guān)，E［s(n)v(n)］=0，

則

(2.3.30)第48頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二2.3.2因果維納濾波器的求解若維納濾波器是一個(gè)因果濾波器，

要求

g(n)=0 n＜0則濾波器的輸出信號(hào)

估計(jì)誤差的均方值

E［|e(n)|2］=E［|s(n)-y(n)|2］

(2.3.32)(2.3.31)類似于（2.3.9）式的推導(dǎo)，得到

(2.3.33)第49頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二要使均方誤差取得最小值，

當(dāng)且僅當(dāng)

(2.3.34)令

(2.3.35)(2.3.36)第50頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二又由（2.3.15）式得到

(2.3.37)所以因果維納濾波器的復(fù)頻域最佳解為

(2.3.38)第51頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二維納濾波的最小均方誤差為

(2.3.39)第52頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二

比較（2.3.28）式和（2.3.39）式，可以看出因果維納濾波器的最小均方誤差與非因果維納濾波器的最小均方誤差的形式相同，但公式中的Hopt(z)的表達(dá)式不同,分別參見(2.3.16)

式和(2.3.38)式。

前面已經(jīng)導(dǎo)出，

對(duì)于非因果情況，對(duì)于因果情況，

比較兩式，它們的第二項(xiàng)求和域不同，因?yàn)橐蚬闆r下,k=0~+∞，因此可以說明非因果情況的E［|e(n)|2］min一定小于等于因果情況E［|e(n)|2］min。在具體計(jì)算時(shí),可以選擇單位圓作為積分曲線，

應(yīng)用留數(shù)定理，

計(jì)算積分函數(shù)在單位圓內(nèi)的極點(diǎn)的留數(shù)來得到。

第53頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二

通過前面的分析,因果維納濾波器設(shè)計(jì)的一般方法可以按下面的步驟進(jìn)行：

(1)根據(jù)觀測(cè)信號(hào)x(n)的功率譜求出它所對(duì)應(yīng)的信號(hào)模型的傳輸函數(shù)，即采用譜分解的方法得到B(z)。具體方法為Sxx(z)=σ2ωB(z)B(z-1)，把單位圓內(nèi)的零極點(diǎn)分配給B(z)，單位圓外的零極點(diǎn)分配給B(z-1)，系數(shù)分配給σ2ω。

(2)求 的Z反變換，取其因果部分再做Z變換，即舍掉單位圓外的極點(diǎn)，得

(3)積分曲線取單位圓，應(yīng)用（2.3.38）式和（2.3.39）式，計(jì)算Hopt(z),E［|e(n)|2］min。

。

第54頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二例

2.3.1

已知

信號(hào)和噪聲不相關(guān)，即rsv(m)=0，噪聲v(n)是零均值、單位功率的白噪聲（σ2v=1,mv=0)，求Hopt(z)和E［|e(n)|2］min。

解根據(jù)白噪聲的特點(diǎn)得出Svv(z)=1,由噪聲和信號(hào)不相關(guān)，得到rxx(m)=rss(m)+rvv(m)。對(duì)上式兩邊做Z變換，并代入已知條件，對(duì)x(n)進(jìn)行功率譜分解:第55頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二考慮到B(z)必須是因果穩(wěn)定的系統(tǒng)，得到

(1)首先分析物理可實(shí)現(xiàn)情況，應(yīng)用公式（2.3.38）:令

F(z)的極點(diǎn)為0.8和2，考慮到因果性、穩(wěn)定性，僅取單位圓內(nèi)的極點(diǎn)zi=0.8,f(n)為F(z)的Z反變換。用Res表示留數(shù)，應(yīng)用留數(shù)定理，有

第56頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二取因果部分，

f+(n)=0.6×0.8n×u(n)第57頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二令

第58頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二單位圓內(nèi)只有極點(diǎn)Zi=0.5,未經(jīng)濾波器的均方誤差

第59頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二(2)對(duì)于非物理可實(shí)現(xiàn)情況,應(yīng)用公式(2.3.20)和(2.3.28),有

第60頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二令

單位圓內(nèi)有兩個(gè)極點(diǎn)0.8和0.5,應(yīng)用留數(shù)定理，有

比較兩種情況下的最小均方誤差,可以看出非物理可實(shí)現(xiàn)情況的最小均方誤差小于物理可實(shí)現(xiàn)情況的均方誤差。

第61頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二2.4維

納

預(yù)

測(cè)

2.4.1維納預(yù)測(cè)的計(jì)算在維納濾波中，期望的輸出信號(hào)yd(n)=s(n)，實(shí)際的輸出為y(n)=s(n)。在維納預(yù)測(cè)中，期望的輸出信號(hào)yd(n)=s(n+N)，實(shí)際的輸出y(n)=s(n+N)。前面已經(jīng)推導(dǎo)得到維納濾波的最佳解為

^^（2.4.1）

其中,Sxx(z)是觀測(cè)數(shù)據(jù)的功率譜;Sxyd(z)是觀測(cè)數(shù)據(jù)與期望信號(hào)的互功率譜，即互相關(guān)函數(shù)rxyd(k)的傅里葉變換

（2.4.2）

第62頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二

對(duì)應(yīng)于維納預(yù)測(cè)器，

其輸出信號(hào)y(n)和預(yù)測(cè)誤差信號(hào)e(n+N)分別為

（2.4.3）

（2.4.4）

同理，要使預(yù)測(cè)誤差的均方值為最小，須滿足

（2.4.5）

其中，hk表示h(k)。

第63頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二

觀測(cè)數(shù)據(jù)與期望的輸出的互相關(guān)函數(shù)rxyd(k)和互譜密度Sxyd(z)分別為

（2.4.6）

（2.4.7）

這樣，非因果維納預(yù)測(cè)器的最佳解為

（2.4.8）

因果維納預(yù)測(cè)器的最佳解為

（2.4.9）

第64頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二維納預(yù)測(cè)的最小均方誤差為

從上面分析可以看出，

維納預(yù)測(cè)的求解和維納濾波器的求解方法是一致的。

第65頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二2.4.2純預(yù)測(cè)假設(shè)x(n)=s(n)+v(n)，式中v(n)是噪聲，且v(n)=0，期望信號(hào)為s(n+N),N＞0，此種情況稱為純預(yù)測(cè)。假定維納預(yù)測(cè)器是因果的，仍設(shè)s(n)與v(n)不相關(guān)，純預(yù)測(cè)情況下的輸入信號(hào)的功率譜及維納預(yù)測(cè)器的最佳解分別為

（2.4.11）

（2.4.12）

第66頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二純預(yù)測(cè)器的最小均方誤差為

（2.4.13）

應(yīng)用復(fù)卷積定理

（2.4.14）

第67頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二取y(n)=x(n)（2.4.15）

將上式代入(2.4.13)式,并考慮到b(n)是因果系統(tǒng)，得到

可以看到，隨著N增加，E［|e(n+N)|2］min也增加。這一點(diǎn)也容易理解，當(dāng)預(yù)測(cè)的距離越遠(yuǎn)，預(yù)測(cè)的效果越差，偏差越大，因而E［|e(n+N)|2］min越大。

第68頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二例2.4.1

已知

其中-1＜a＜1，求:(1)最小均方誤差下的s(n+N)；

(2)E［|e(n+N)|2］min。

^解

首先對(duì)Sxx(z)進(jìn)行功率譜分解。因?yàn)?/p>

所以

第69頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二其次，求出B(z)的Z反變換

然后，應(yīng)用Z變換的性質(zhì)，得到

（2.4.17）

第70頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二圖

2.4.1純預(yù)測(cè)維納濾波器

第71頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二

由Hopt(z)=aN，此時(shí)可以把純預(yù)測(cè)的維納濾波器看作是一個(gè)線性比例放大器（如圖2.4.1所示）。

根據(jù)x(n)的信號(hào)模型

可以寫出x(n)的時(shí)間序列模型所對(duì)應(yīng)的輸入輸出方程

x(n)=ω(n)+ax(n-1)將信號(hào)x(n)通過純預(yù)測(cè)維納濾波器，隨著時(shí)間的遞增，可以得到

當(dāng)N=1時(shí)，x(n+1)=ax(n)=as(n)當(dāng)N=2時(shí)，x(n+2)=ax(n+1)=a2s(n)當(dāng)N=N時(shí)，x(n+N)=ax(N+n-1)=aNs(n)…（2.4.19）

第72頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二

以上推導(dǎo)結(jié)果相當(dāng)于在n+N時(shí)刻，ω(n+N)=0，即去掉噪聲時(shí)的結(jié)果。設(shè)N＞0時(shí)，ω(n+N)=0，則

x(n+N)=ax(n+N-1)此時(shí)，從統(tǒng)計(jì)意義上講，當(dāng)N＞0時(shí)，白噪聲信號(hào)ω(n+N)對(duì)x(n)無影響。這一結(jié)論還可以推廣，對(duì)于任何均值為零的x(n)，要估計(jì)s(n+N)時(shí)，只需要考慮B(z)的慣性，即可認(rèn)為ω(n+N)=0,N＞0，這樣估計(jì)出來的結(jié)果將有最小均方誤差。終值定理

^第73頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二

表明一個(gè)信號(hào)的功率譜在單位圓上沒有極點(diǎn)與信號(hào)均值等于0等價(jià)，因此對(duì)于功率譜在單位圓上沒有極點(diǎn)的信號(hào)，要估計(jì)s(n+N)時(shí)，可認(rèn)為ω(n+N)=0,N＞0，即僅需要考慮B(z)的慣性，這樣估計(jì)出來的結(jié)果將有最小均方誤差。

^第74頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二2.4.3一步線性預(yù)測(cè)的時(shí)域解已知x(n-1),x(n-2)，…,x(n-p),預(yù)測(cè)x(n)，假設(shè)噪聲v(n)=0，這樣的預(yù)測(cè)稱為一步線性預(yù)測(cè)。設(shè)定系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為h(n)，根據(jù)線性系統(tǒng)的基本理論，輸出信號(hào)

令apk=-h(k)，則

（2.4.21）

預(yù)測(cè)誤差

（2.4.22）

第75頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二其中,ap0=1,（2.4.23）

要使均方誤差為最小值，要求

同維納濾波的推導(dǎo)過程一樣,可以得到

E［e*(n)x(n-l)］=0l=1,2,…,p

（2.4.24）

把(2.4.22)式代入(2.4.24)式,得到

l=1,2,…,p

（2.4.25）

第76頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二

由于預(yù)測(cè)器的輸出是輸入信號(hào)的線性組合，參見（2.4.21)式,得到

（2.4.26）

(2.4.24)式說明誤差信號(hào)與輸入信號(hào)滿足正交性原理，(2.4.26)式說明預(yù)測(cè)誤差與預(yù)測(cè)的信號(hào)值同樣滿足正交性原理。

預(yù)測(cè)誤差的最小均方值

(2.4.27）

第77頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二將(2.4.25)式和(2.4.27)式聯(lián)立，

得到下面的方程組：

（2.4.28）

將方程組寫成矩陣形式

（2.4.29）

第78頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二

這就是有名的Yule-Walker方程，可以看出Yule-Walker方程具有以下特點(diǎn)：

(1)除了第一個(gè)方程外，其余都是齊次方程;(2)與維納-霍夫方程相比，不需要知道觀測(cè)數(shù)據(jù)x(n)與期望信號(hào)s(n)的互相關(guān)函數(shù)。該方程組有p+1個(gè)方程，對(duì)應(yīng)地，可以確定apk,k=1,2,…,p和E［e2(n)］min，共計(jì)p+1個(gè)未知數(shù)，因此可用來求解AR模型參數(shù)。這就是后面要介紹的AR模型法進(jìn)行功率譜估計(jì)的原理，它再一次揭示了時(shí)間序列信號(hào)模型、功率譜和自相關(guān)函數(shù)描述一個(gè)隨機(jī)信號(hào)的等價(jià)性。

第79頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二例2.4.2

已知

x(n)為AR模型，求AR模型參數(shù)。

解求解AR模型參數(shù)包括確定AR模型的階數(shù)p及系數(shù)ap1,ap2,…,app。首先對(duì)Sxx(z)做傅里葉反變換，得到x(n)的自相關(guān)函數(shù)rxx(m),rxx(m)=0.8|m|

采用試驗(yàn)的方法確定模型階數(shù)p。首先取p=2，各相關(guān)函數(shù)值由上式計(jì)算，并代入(2.4.29)式

第80頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二計(jì)算得到

a1=-0.8，

a2=0,σ2ω=0.36

如果取p=3，可計(jì)算出a1=-0.8,a2=a3=0,σ2ω=0.36，說明AR模型的階數(shù)只能是一階的。采用譜分解的方法，即對(duì)Sxx(z)進(jìn)行譜分解，得到的模型也是一階的，其時(shí)間序列模型和差分方程為

第81頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二2.5卡爾曼(Kalman)濾波

卡爾曼濾波是用狀態(tài)空間法描述系統(tǒng)的，由狀態(tài)方程和量測(cè)方程所組成。卡爾曼濾波用前一個(gè)狀態(tài)的估計(jì)值和最近一個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)來估計(jì)狀態(tài)變量的當(dāng)前值，并以狀態(tài)變量的估計(jì)值的形式給出?？柭鼮V波具有以下的特點(diǎn)：

(1)算法是遞推的，且狀態(tài)空間法采用在時(shí)域內(nèi)設(shè)計(jì)濾波器的方法，因而適用于多維隨機(jī)過程的估計(jì)；離散型卡爾曼算法適用于計(jì)算機(jī)處理。

(2)用遞推法計(jì)算，不需要知道全部過去的值，用狀態(tài)方程描述狀態(tài)變量的動(dòng)態(tài)變化規(guī)律，因此信號(hào)可以是平穩(wěn)的，也可以是非平穩(wěn)的，

即卡爾曼濾波適用于非平穩(wěn)過程。

(3)卡爾曼濾波采取的誤差準(zhǔn)則仍為估計(jì)誤差的均方值最小。

第82頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二2.5.1卡爾曼濾波的狀態(tài)方程和量測(cè)方程假設(shè)某系統(tǒng)k時(shí)刻的狀態(tài)變量為xk，狀態(tài)方程和量測(cè)方程（也稱為輸出方程）表示為

(2.5.1a)(2.5.1b)其中，k表示時(shí)間，這里指第k步迭代時(shí)，相應(yīng)信號(hào)的取值；輸入信號(hào)ωk是一白噪聲，輸出信號(hào)的觀測(cè)噪聲vk也是一個(gè)白噪聲,輸入信號(hào)到狀態(tài)變量的支路增益等于1，即B=1；A表示狀態(tài)變量之間的增益矩陣，可以隨時(shí)間發(fā)生變化，用Ak表示第k步迭代時(shí)，

增益矩陣A的取值；

第83頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二C表示狀態(tài)變量與輸出信號(hào)之間的增益矩陣，可以隨時(shí)間變化，第k步迭代時(shí)，取值用Ck表示，其信號(hào)模型如圖2.5.1所示。將狀態(tài)方程中時(shí)間變量k用k-1代替，得到的狀態(tài)方程和量測(cè)方程如下所示：

xk=Ak-1xk-1+ωk-1

yk=Ckxk+vk

其中，xk是狀態(tài)變量;ωk-1表示輸入信號(hào)是白噪聲;vk是觀測(cè)噪聲;yk是觀測(cè)數(shù)據(jù)。

第84頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二圖

2.5.1卡爾曼濾波器的信號(hào)模型

第85頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二

為了后面的推導(dǎo)簡(jiǎn)單起見，假設(shè)狀態(tài)變量的增益矩陣A不隨時(shí)間發(fā)生變化，ωk,vk都是均值為零的正態(tài)白噪聲，方差分別是Qk和Rk，并且初始狀態(tài)與ωk,vk都不相關(guān)，γ表示相關(guān)系數(shù)。即其中

第86頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二2.5.2卡爾曼濾波的遞推算法

卡爾曼濾波是采用遞推的算法實(shí)現(xiàn)的，其基本思想是先不考慮輸入信號(hào)ωk和觀測(cè)噪聲vk的影響，得到狀態(tài)變量和輸出信號(hào)（即觀測(cè)數(shù)據(jù)）的估計(jì)值，再用輸出信號(hào)的估計(jì)誤差加權(quán)后校正狀態(tài)變量的估計(jì)值，使?fàn)顟B(tài)變量估計(jì)誤差的均方值最小。因此,卡爾曼濾波的關(guān)鍵是計(jì)算出加權(quán)矩陣的最佳值。當(dāng)不考慮觀測(cè)噪聲和輸入信號(hào)時(shí)，狀態(tài)方程和量測(cè)方程為

(2.5.4)(2.5.5)第87頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二顯然，由于不考慮觀測(cè)噪聲的影響，輸出信號(hào)的估計(jì)值與實(shí)際值是有誤差的，用表示

(2.5.6)

為了提高狀態(tài)估計(jì)的質(zhì)量，用輸出信號(hào)的估計(jì)誤差來校正狀態(tài)變量

(2.5.7)其中，Hk為增益矩陣，實(shí)質(zhì)是一加權(quán)矩陣。經(jīng)過校正后的狀態(tài)變量的估計(jì)誤差及其均方值分別用和Pk表示，把未經(jīng)校正的狀態(tài)變量的估計(jì)誤差的均方值用表示

第88頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二(2.5.8)(2.5.9)(2.5.10)

卡爾曼濾波要求狀態(tài)變量的估計(jì)誤差的均方值Pk為最小，因此卡爾曼濾波的關(guān)鍵就是要得到Pk與Hk的關(guān)系式，即通過選擇合適的Hk,使Pk取得最小值。首先推導(dǎo)狀態(tài)變量的估計(jì)值和狀態(tài)變量的估計(jì)誤差，然后計(jì)算的均方值Pk

，并通過化簡(jiǎn)Pk

，得到一組卡爾曼濾波的遞推公式。

第89頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二將（2.5.3）、

(2.5.5)式代入（2.5.7）式

(2.5.11)同理，狀態(tài)變量的估計(jì)誤差為

(2.5.12)第90頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二由上式可以看出，狀態(tài)變量的估計(jì)誤差由三部分組成，

可記為

其中

(2.5.13b)(2.5.13c)(2.5.13d)那么，狀態(tài)變量的估計(jì)誤差的均方值Pk就由9項(xiàng)組成:(2.5.14a)第91頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二其中

(2.5.14b)(2.5.14d)(2.5.14c)

下面化簡(jiǎn)Pk的表達(dá)式，根據(jù)假設(shè)的條件，狀態(tài)變量的增益矩陣A不隨時(shí)間發(fā)生變化，起始時(shí)刻為k0，則（2.5.2）式經(jīng)過迭代，

得到

令l=k-k0-j，得到

第92頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二取k0=0，k=k-1，得到

(2.5.15)所以xk-1僅依賴于x0,ω0,ω1,…,ωk-2,與ωk-1不相關(guān)，即

(2.5.16)又據(jù)(2.5.7)式和(2.5.3)式，

得

(2.5.17)第93頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二所以僅依賴于xk-1,vk-1，而與vk不相關(guān)，即

(2.5.18)(2.5.19)

把（2.5.15）～（2.5.19）式代入(2.5.14)式,Pk中的9項(xiàng)可以分別化簡(jiǎn)為

(2.5.20a)(2.5.20b)第94頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二(2.5.20c)(2.5.20d)(2.5.20e)(2.5.20f)(2.5.20g)(2.5.20h)(2.5.20j)第95頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二也就是說，Pk僅有其中的三項(xiàng)不為零，

化簡(jiǎn)成

(2.5.21)第96頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二

為了進(jìn)一步化簡(jiǎn)Pk，推導(dǎo)未經(jīng)誤差校正的狀態(tài)估計(jì)誤差的均方值Pk′，由下面推導(dǎo)結(jié)果可以看出，Pk′是一對(duì)稱矩陣，滿足Pk′=(Pk′)T。

(2.5.22)第97頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二將(2.5.22)式代入(2.5.21)式，即把Pk′代入Pk,(2.5.23)其中, 是正定陣，記

(2.5.24)令

(2.5.25)第98頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二將上式代入（2.5.23）式，得

(2.5.26)將(2.5.26)式后三項(xiàng)配對(duì)

(2.5.27)第二項(xiàng)和第三項(xiàng)均與Hk無關(guān)，第一項(xiàng)為一半正定陣，因此使Pk最小的Hk應(yīng)滿足

(2.5.28)(2.5.29)第99頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二將Hopt代入Pk，得到最小均方誤差陣

將(2.5.7)、

(2.5.22)、

(2.5.29)式和(2.5.30)式聯(lián)立，

得到一組卡爾曼遞推公式

(2.5.30)(2.5.31a)(2.5.31b)(2.5.31c)(2.5.31d)第100頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二假設(shè)初始條件Ak,Ck,Qk,Rk,yk,xk-1,Pk-1已知，其中x0=E［x0］,P0=var［x0］,那么，遞推流程見圖2.5.2。

^^圖

2.5.2卡爾曼濾波遞推流程

第101頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二例2.5.1

已知

信號(hào)與噪聲不相關(guān)，yk=xk+vk,求卡爾曼信號(hào)模型中的Ak和Ck。

解由yk=xk+vk知道，Ck=1。對(duì)Sxx(z)進(jìn)行譜分解，確定x(n)的信號(hào)模型B(z)，從而確定Ak。根據(jù)Sxx(z)=σ2ωB(z)B(z-1)，得出

第102頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二

上式與卡爾曼狀態(tài)方程相比，不同之處在于輸入信號(hào)ω(n)的時(shí)間不同，因此將Sxx(z)改寫為

再對(duì)Sxx(z)進(jìn)行譜分解，得到

(解畢)第103頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二

卡爾曼濾波和維納濾波都是采用均方誤差最小的準(zhǔn)則來實(shí)現(xiàn)信號(hào)濾波的，但維納濾波是在信號(hào)進(jìn)入了穩(wěn)態(tài)后的分析，卡爾曼濾波是從初始狀態(tài)采用遞推的方法進(jìn)行濾波。對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，當(dāng)過渡過程結(jié)束以后，卡爾曼濾波與維納濾波的結(jié)果間存在什么關(guān)系呢?下面舉一例說明。

第104頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二例2.5.2

已知在k=0時(shí)開始觀察yk,yk=xk+vk，用卡爾曼過濾的計(jì)算公式求xk，并與維納過濾的方法進(jìn)行比較。

解

(1)由x(n)功率譜及量測(cè)方程，確定卡爾曼遞推算法。首先對(duì)Sxx(z)進(jìn)行功率譜分解，由例2.5.1的結(jié)果，得到卡爾曼濾波的狀態(tài)方程為

xk=0.8xk-1+ωk-1,確定Ak=0.8第105頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二由量測(cè)方程yk=xk+vk,確定Ck=1，

將參數(shù)矩陣Ak,Ck,Rk代入卡爾曼遞推公式（2.5.30），得到

(2.5.32a)(2.5.32b)(2.5.32c)(2.5.32d)第106頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二(2)求出卡爾曼濾波的輸出。由卡爾曼遞推公式，以及 ,P0=var［x0］=1,可得到Pk′,Hk,Pk及xk（k表示迭代次數(shù)），迭代流程為： 由具體迭代結(jié)果可以看出，原先的增益矩陣Ak,由于只選擇了一個(gè)狀態(tài)變量，變成了加權(quán)系數(shù)。

見表2.5.1。

第107頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二表2.5.1Kalman濾波迭代結(jié)果

第108頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二(3)求出卡爾曼濾波的穩(wěn)態(tài)解。將(2.5.32b)式代入方程(2.5.32d),得到第5個(gè)方程

(2.5.32e)

將方程(2.5.32c)、(2.5.32e)代入方程(2.5.32d),消去Pk′，可以得到Pk的遞推關(guān)系:Pk=(1-Pk)［0.64Pk-1+0.36］=0.64Pk-1-0.64Pk

-1

Pk+0.36-0.36Pk

第109頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二化簡(jiǎn)上式，得到

1.36Pk+0.64Pk-1Pk=0.64Pk-1+0.36要求的是穩(wěn)態(tài)解，因此將Pk,Pk-1都用P∞代替,得到

第110頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二根據(jù)P∞，可以確定達(dá)到穩(wěn)態(tài)后的卡爾曼濾波的狀態(tài)方程:(2.5.33)第111頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二(4)用維納濾波的方法分析。采用功率譜分解的方法，得到x(n)的時(shí)間序列信號(hào)模型的傳輸函數(shù)H(z):第112頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二上式說明x是一階AR模型，對(duì)H(z)做Z反變換得到

第113頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二(2.5.34)比較（2.5.33）式和（2.5.34）式，可以看出卡爾曼濾波的穩(wěn)態(tài)解與維納解是相等的。(解畢)第114頁，共128頁，2023年，2月20日，星期二

通過上面的例題，可以看出維納濾波是已知前p個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)及信號(hào)與噪聲的相關(guān)函數(shù)，通過建立模型的方法分析的。卡爾曼濾波要求已知前一個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)值x(k-1)和當(dāng)前的觀測(cè)值yk，由狀態(tài)方程和量測(cè)方程遞推得到結(jié)果。維納濾波的解以H(z)的形式給出，