高等數(shù)學教案

高等數(shù)學教案

第1次課

學科高等數(shù)學(一）

課題函數(shù)

周次5時數(shù)2授課班級1202114

主要教學內(nèi)容：

1、集合與區(qū)間

2、函數(shù)概念

3、函數(shù)的幾種特性

4、反函數(shù)

5、復合函數(shù)·初等函數(shù)

教學目的和要求：

1、理解函數(shù)的概念,掌握函數(shù)的表示方法，并會建立簡單應用問題中的函數(shù)關系

式。

2、理解函數(shù)的性質，掌握函數(shù)的四則運算。

3、了解連續(xù)函數(shù)的性質和初等函數(shù)的連續(xù)性，了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質（有

界性、最大值和最小值定理、介值定理），并會應用這些性質。

教學重點:

1、函數(shù)的概念

2、函數(shù)的特性

3、復合函數(shù)

教學難點：

1、函數(shù)的概念

2、函數(shù)的特性

教學方法與手段:課堂提問、討論、啟發(fā)、自學、講練結合、黑板多媒體結合

使用實驗儀器及教具：傳統(tǒng)教學用具與多媒體

教學內(nèi)容及教學過程

教學過程

§1函數(shù)

一、集合與區(qū)間

1。集合概念

集合(簡稱集)：集合是指具有某種特定性質的事物的總體.用A,B，C…。等表示。

元素:組成集合的事物稱為集合的元素.a是集合M的元素表示為aM.

集合的表示:

列舉法：把集合的全體元素一一列舉出來.

例如A{a,b，c,d，e，f，g｝。

描述法:若集合M是由元素具有某種性質P的元素x的全體所組成,則M可表示為

｛，｝，

Aa1a2,,an

M{x｜x具有性質P}.

例如M{（x,y）|x，y為實數(shù),x2y21｝.

幾個數(shù)集：

N表示所有自然數(shù)構成的集合,稱為自然數(shù)集.

N{0，1，2，,n，}.N{1，2,，n，｝.

R表示所有實數(shù)構成的集合,稱為實數(shù)集.

Z表示所有整數(shù)構成的集合，稱為整數(shù)集。

Z｛，n,,2,1,0,1，2，，n，}。

Q表示所有有理數(shù)構成的集合，稱為有理數(shù)集.

p

Q{|pZ,qN且p與q互質}

q

子集：若xA,則必有xB，則稱A是B的子集，記為AB（讀作A包含于B)或BA。

如果集合A與集合B互為子集，AB且BA,則稱集合A與集合B相等，記作AB。

若AB且AB,則稱A是B的真子集，記作AB。例如,NZQR.

不含任何元素的集合稱為空集,記作.規(guī)定空集是任何集合的子集。

2。集合的運算

設A、B是兩個集合,由所有屬于A或者屬于B的元素組成的集合稱為A與B的并集（簡稱并），記

作AB,即

AB{x｜xA或xB}.

設A、B是兩個集合,由所有既屬于A又屬于B的元素組成的集合稱為A與B的交集（簡稱交）,

記作AB，即

AB{x|xA且xB｝。

設A、B是兩個集合，由所有屬于A而不屬于B的元素組成的集合稱為A與B的差集（簡稱差）,

記作A\B,即

A\B{x|xA且xB｝。

如果我們研究某個問題限定在一個大的集合I中進行,所研究的其他集合A都是I的子集。此時,

我們稱集合I為全集或基本集。稱I\A為A的余集或補集,記作AC.

集合運算的法則:

設A、B、C為任意三個集合,則

(1）交換律ABBA,ABBA;

（2)結合律(AB）CA(BC)，(AB）CA(BC);

(3)分配律(AB)C(AC）(BC）,(AB）C（AC）(BC);

(4）對偶律(AB)CACBC,(AB)CACBC。

（AB）CACBC的證明：

x(AB）CxABxA且xBxAC且xBCxACBC,所以(AB)CACBC.

直積（笛卡兒乘積):

設A、B是任意兩個集合,在集合A中任意取一個元素x，在集合B中任意取一個元素y,組成一

個有序對（x，y），把這樣的有序對作為新元素,它們?nèi)w組成的集合稱為集合A與集合B的直

積，記為AB，即

AB{(x,y)｜xA且yB}.

例如，RR｛(x，y）|xR且yR｝即為xOy面上全體點的集合，RR常記作R2.

3.區(qū)間和鄰域

有限區(qū)間:

設a〈b，稱數(shù)集{x|a<x<b｝為開區(qū)間,記為(a,b）,即

（a,b）{x|a<x<b｝.

類似地有

［a,b]{x｜axb｝稱為閉區(qū)間，

[a，b)｛x｜ax<b｝、(a,b］｛x｜a<xb}稱為半開區(qū)間。

其中a和b稱為區(qū)間（a,b)、[a,b]、[a，b)、（a，b]的端點,ba稱為區(qū)間的長度.

無限區(qū)間：

［a，）｛x｜ax｝,（,b]{x|x<b｝，(，）{x｜|x｜<}。

區(qū)間在數(shù)軸上的表示:

鄰域：以點a為中心的任何開區(qū)間稱為點a的鄰域,記作U（a）。

設是一正數(shù),則稱開區(qū)間(a，a）為點a的鄰域,記作U(a,），即

U（a，)｛x｜a<x〈a｝

{x||xa｜〈}。

其中點a稱為鄰域的中心,稱為鄰域的半徑.

去心鄰域U（a，):

U(a，）｛x｜0<|xa|〈｝

二、函數(shù)概念

1。函數(shù)概念

定義設數(shù)集DR,則稱映射f:DR為定義在D上的函數(shù)，通常簡記為

yf(x)，xD,

其中稱為自變量，稱為因變量，稱為定義域，記作即。

xyDDf,DfD

應注意的問題：

記號f和（fx)的含義是有區(qū)別的,前者表示自變量x和因變量y之間的對應法則,而后者表示與自

變量x對應的函數(shù)值.但為了敘述方便，習慣上常用記號“f(x）,xD"或“y=f（x）,xD”來表

示定義在D上的函數(shù),這時應理解為由它所確定的函數(shù)f.

函數(shù)符號:函數(shù)yf(x）中表示對應關系的記號f也可改用其它字母,例如“F",“"等。此時函數(shù)

就記作y(x)，yF(x）。

函數(shù)的兩要素:

函數(shù)是從實數(shù)集到實數(shù)集的映射，其值域總在內(nèi)，因此構成函數(shù)的要素是定義域及對應法

RDf

則f.如果兩個函數(shù)的定義域相同,對應法則也相同，那么這兩個函數(shù)就是相同的,否則就是不同

的。

函數(shù)的定義域:

函數(shù)的定義域通常按以下兩種情形來確定：一種是對有實際背景的函數(shù)，根據(jù)實際背景中變量

的實際意義確定。

求定義域舉例:

1

求函數(shù)yx24的定義域。

x

要使函數(shù)有意義，必須x0,且x240。

解不等式得｜x｜2.

所以函數(shù)的定義域為D｛x||x|2}，或D（，2]［2,］)。

單值函數(shù)與多值函數(shù)：

在函數(shù)的定義中,對每個xD，對應的函數(shù)值y總是唯一的，這樣定義的函數(shù)稱為單值函數(shù)。如

果給定一個對應法則,按這個法則,對每個xD，總有確定的y值與之對應，但這個y不總是唯

一的,我們稱這種法則確定了一個多值函數(shù).例如，設變量x和y之間的對應法則由方程x2y2r2

給出。顯然,對每個x［r，r]，由方程x2y2r2,可確定出對應的y值，當xr或xr時,對

應y0一個值；當x取(r，r）內(nèi)任一個值時，對應的y有兩個值.所以這方程確定了一個多

值函數(shù)。

對于多值函數(shù),往往只要附加一些條件,就可以將它化為單值函數(shù)，這樣得到的單值函數(shù)稱為多

值函數(shù)的單值分支。例如,在由方程x2y2r2給出的對應法則中，附加“y0”的條件，即以

“x2y2r2且y0”作為對應法則，就可得到一個單值分支yy(x)r2x2;附加“y0"的條

1

件,即以“x2y2r2且y0"作為對應法則,就可得到另一個單值分支yy(x)r2x2。

2

表示函數(shù)的主要方法有三種:表格法、圖形法、解析法（公式法),這在中學里大家已經(jīng)熟悉.其中,

用圖形法表示函數(shù)是基于函數(shù)圖形的概念，即坐標平面上的點集

｛P（x，y）｜yf(x),xD}

稱為函數(shù)）的圖形圖中的表示函數(shù)（）的值域

yf(x,xD.Rfyfx.

函數(shù)的例子：

xx0

例。函數(shù)y|x|。

xx0

稱為絕對值函數(shù)。其定義域為，，值域為［

D()Rf0,).

1x0

例。函數(shù)ysgnx0x0.

1x0

稱為符號函數(shù)其定義域為，），值域為｛，｝。

.D(Rf1,01

例設x為任上實數(shù).不超過x的最大整數(shù)稱為x的整數(shù)部分，記作[x］。

函數(shù)

y［x］

稱為取整函數(shù)。其定義域為），值域為。

D(,RfZ

5

[]0，[2]1,［］3,[1］1，[3。5]4。

7

分段函數(shù):

在自變量的不同變化范圍中，對應法則用不同式子來表示的函數(shù)稱為分段函數(shù).

2x0x1

例.函數(shù)y.

1xx1

這是一個分段函數(shù),其定義域為D［0,1］（0，)［0，).

當0x1時，y2x;當x>1時，y1x.

11

例如f()22;f(1)212；f（3）134.

22

三、函數(shù)的幾種特性

（1）函數(shù)的有界性

設函數(shù)（的定義域為數(shù)集如果存在數(shù)使對任一有，則稱函數(shù)（）

fx)D,XD.K1,xX,f(x)K1fx

在上有上界，而稱為函數(shù)（）在上的一個上界圖形特點是（）的圖形在直線

XK1fxX.yfxyK1

的下方.

如果存在數(shù)，使對任一，有，則稱函數(shù)（在上有下界，而稱為函數(shù)

K2xXf(x)K2fx)XK2f(x)

在上的一個下界。圖形特點是函數(shù)）的圖形在直線的上方

X,yf(xyK2.

如果存在正數(shù)M,使對任一xX,有|f（x）|M,則稱函數(shù)f（x）在X上有界；如果這樣的M不

存在,則稱函數(shù)f（x）在X上無界。圖形特點是,函數(shù)yf(x）的圖形在直線yM和yM的之

間.

函數(shù)（無界就是說對任何，總存在使｜〉。

fx),Mx1X,f(x)|M

例如

（1）f(x)sinx在（，）上是有界的:|sinx|1.

1

(2）函數(shù)f(x)在開區(qū)間(0，1）內(nèi)是無上界的.或者說它在(0，1)內(nèi)有下界,無上界。

x

1

這是因為,對于任一M>1,總有x：0x1，使

11M

f(x)1M，

1x

1

所以函數(shù)無上界。

1

函數(shù)f(x)在(1，2)內(nèi)是有界的.

x

（2）函數(shù)的單調(diào)性

設函數(shù)的定義域為，區(qū)間如果對于區(qū)間上任意兩點及，當〈時恒有

yf(x)DID.Ix1x2x1x2,

）〈）

f(x1f(x2,

則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)增加的.

如果對于區(qū)間上任意兩點及，當〈時，恒有

Ix1x2x1x2

）

f(x1>f(x2),

則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)減少的。

單調(diào)增加和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)。

函數(shù)單調(diào)性舉例：

函數(shù)yx2在區(qū)間（,0]上是單調(diào)增加的，在區(qū)間［0，）上是單調(diào)減少的，在（,）

上不是單調(diào)的.

（3）函數(shù)的奇偶性

設函數(shù)f（x)的定義域D關于原點對稱（即若xD,則xD）。如果對于任一xD，有

f(x)f（x），

則稱f(x)為偶函數(shù)。

如果對于任一xD，有

f(x）f(x),

則稱f(x)為奇函數(shù).

偶函數(shù)的圖形關于y軸對稱,奇函數(shù)的圖形關于原點對稱,

奇偶函數(shù)舉例:

yx2，ycosx都是偶函數(shù)。yx3，ysinx都是奇函數(shù)，ysinxcosx是非奇非偶函數(shù).

(4)函數(shù)的周期性

設函數(shù)f(x)的定義域為D。如果存在一個正數(shù)l,使得對于任一xD有(xl）D，且

f(xl）f(x）

則稱f(x)為周期函數(shù)，l稱為f（x）的周期.

周期函數(shù)的圖形特點：在函數(shù)的定義域內(nèi),每個長度為l的區(qū)間上,函數(shù)的圖形有相同的形狀.

四、反函數(shù)

定義：

設函數(shù)f:Df（D)是單射,則它存在逆映射f1：f（D）D，稱此映射f1為函數(shù)f的反函數(shù)。

按此定義，對每個yf(D），有唯一的xD,使得f（x)y，于是有

f1(y)x。

這就是說，反函數(shù)f1的對應法則是完全由函數(shù)f的對應法則所確定的。

一般地,yf(x），xD的反函數(shù)記成yf1（x），xf（D).

若f是定義在D上的單調(diào)函數(shù)，則f：Df(D）是單射,于是f的反函數(shù)f1必定存在，而且容

易證明f1也是f(D）上的單調(diào)函數(shù).

相對于反函數(shù)yf1（x）來說，原來的函數(shù)yf（x）稱為直接函數(shù).把函數(shù)yf（x)和它的反函數(shù)

yf1(x）的圖形畫在同一坐標平面上，這兩個圖形關于直線yx是對稱的.這是因為如果P(a，b）

是yf（x）圖形上的點,則有bf（a)。按反函數(shù)的定義，有af1(b）,故Q(b,a）是yf1(x）

圖形上的點;反之,若Q(b,a）是yf1（x）圖形上的點，則P(a,b）是yf(x）圖形上的點.而

P(a，b)與Q（b,a）是關于直線yx對稱的。

五、復合函數(shù)·初等函數(shù)

1。復合函數(shù)：

復合函數(shù)是復合映射的一種特例，按照通常函數(shù)的記號,復合函數(shù)的概念可如下表述.

設函數(shù)（）的定義域為，函數(shù)在上有定義且），則由下式確定的函數(shù)

yfuD1ug(x)Dg(DD1

yf［g（x)］，xD

稱為由函數(shù)ug(x)和函數(shù)yf(u)構成的復合函數(shù),它的定義域為D,變量u稱為中間變量.

函數(shù)g與函數(shù)f構成的復合函數(shù)通常記為fg，即

（fg)f［g(x）］。

與復合映射一樣,g與f構成的復合函數(shù)fg的條件是:是函數(shù)g在D上的值域g(D)必須含在f的

定義域內(nèi)，即）否則，不能構成復合函數(shù)。

Dfg(DDf.

33

例如，yf（u）arcsinu,的定義域為［1,1],ug(x)21x2在D[1,][,1]上有定

22

義，且g(D)［1，1］，則g與f可構成復合函數(shù)

yarcsin21x2,xD；

但函數(shù)yarcsinu和函數(shù)u2x2不能構成復合函數(shù),這是因為對任xR，u2x2均不在yarcsinu

的定義域[1，1］內(nèi).

多個函數(shù)的復合:

2。基本初等函數(shù)：

冪函數(shù)：yx（R是常數(shù));

指數(shù)函數(shù)：yax(a〉0且a1）；

對數(shù)函數(shù)且，特別當時，記為）；

:ylogax(a0a1aeylnx

三角函數(shù)：ysinx，ycosx,ytanx，ycotx，ysecx，ycscx;

反三角函數(shù)：yarcsinx，yarccosx，yarctanx,yarccotx。

課后作業(yè)

(是指根據(jù)教學目的及要求布置一定量的思考題和習題等。）

第18頁第15題

課后小結

(課后小結是教案執(zhí)行情況的經(jīng)驗總結，目的在于改進和調(diào)整教案，為下一輪課講授設計更加良

好的教學方案。應全面審視教學過程，特別注意對意外發(fā)現(xiàn)、點滴收獲、以及因個別疏漏而及時

補充的方法等方面的內(nèi)容進行撰寫。）

注：從第二頁開始以課時或單元為單位編制，每節(jié)課或每個單元都要有教案。

第2次課

學科高等數(shù)學（一）

課題函數(shù)的極限

周次5時數(shù)2授課班級1202114

主要教學內(nèi)容:

1、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限

2、自變量趨于無窮大時的函數(shù)的極限

教學目的和要求:

1、會計算自變量趨于有限值時和自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限.

教學重點：

1、極限的概念、極限的性質及四則運算法則。

教學難點：

1、極限的概念

教學方法與手段：課堂提問、討論、啟發(fā)、自學、講練結合、黑板多媒體結合

使用實驗儀器及教具:傳統(tǒng)教學用具與多媒體

教學內(nèi)容及教學過程

教學過程

§3函數(shù)的極限

一、函數(shù)的極限

1．自變量趨于有限值時函數(shù)的極限

定義如果當x無限接近于xo，函數(shù)f(x）的值無限接近于常數(shù)A，則稱當x趨于

lim

xx

x0時f(x）以A為極限。記作0f(x)A或f（x）A（當x）。

定義的簡單表述

limf(x)A

xx00當0｜xx0|時｜f（x)A｜

0

2.單側極限

若當xx0時f（x）無限接近于某常數(shù)A，則常數(shù)A叫做函數(shù)f（x）當xx0時

limf(x)A

的左極限記為xx或f（）=A

0

若當xx0時，f（x）無限接近于某常數(shù)A，則常數(shù)A叫做函數(shù)f(x）當xx0

時的右極限，記為limf(x)A或f()=A。

xx0

y

yx1

1

x

1

yx1

3．自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限

設f(x)當｜x｜大于某一正數(shù)時有定義。如果存在常數(shù)A對于任意給定的正數(shù)

總存在著正數(shù)X，使得當x滿足不等式|x|>X時對應的函數(shù)數(shù)值f（x）都滿足不等

式

|f（x）A|<

則常數(shù)A叫做函數(shù)f(x)當x時的極限，記為

limf(x)A

x或f(x）A(x)。

limf(x)A

x0X0當｜x｜X時有｜f(x)A｜

類似地可定義

limf(x)Alimf(x)A

x和x。

limf(x)Alimf(x)Alimf(x)A

結論xx且x

課后作業(yè)

（是指根據(jù)教學目的及要求布置一定量的思考題和習題等。）

第36頁第2、5題

課后小結

（課后小結是教案執(zhí)行情況的經(jīng)驗總結，目的在于改進和調(diào)整教案,為下一輪課講授設計更加良

好的教學方案。應全面審視教學過程，特別注意對意外發(fā)現(xiàn)、點滴收獲、以及因個別疏漏而及時

補充的方法等方面的內(nèi)容進行撰寫。）

第3次課

學科高等數(shù)學（一)

課題無窮大與無窮小

周次7時數(shù)2授課班級1202114

主要教學內(nèi)容：

無窮大

無窮小

教學目的和要求:

理解無窮小、無窮大的概念

教學重點：

無窮小及無窮小的比較。

教學難點：

無窮大與無窮小

教學方法與手段：課堂提問、討論、啟發(fā)、自學、講練結合、黑板多媒體結合

使用實驗儀器及教具：傳統(tǒng)教學用具與多媒體

教學內(nèi)容及教學過程

教學過程

§4無窮大與無窮小

。無窮大與無窮小

1。無窮小

定義：如果函數(shù)f（x)當xx0(或x)時的極限為零，那么稱函數(shù)f(x）為當

xx0(或x）時的無窮小

特別地以零為極限的數(shù)列{xn｝稱為n時的無窮小

例如

11

lim0

因為xx，所以函數(shù)x為當x時的無窮小。

lim(x1)0

因為x1，所以函數(shù)為x1當x1時的無窮小。

lim101

因為nn1所以數(shù)列｛n1｝為當n時的無窮小。

討論很小很小的數(shù)是否是無窮小?0是否為無窮??？

提示無窮小是這樣的函數(shù)在xx0（或x)的過程中極限為零很小很小的數(shù)

只要它不是零作為常數(shù)函數(shù)在自變量的任何變化過程中其極限就是這個常數(shù)本身

不會為零

無窮小與函數(shù)極限的關系

定理1在自變量的同一變化過程xx0(或x）中，函數(shù)f(x）具有極限A

的充分必要條件是f（x)A其中是無窮小

limf(x)A

證明設xx000使當0|xx0｜〈時，有

|f（x）A｜〈。

令f(x）A，則是xx0時的無窮小且

f（x)A。

這就證明了f（x）等于它的極限A與一個無窮小之和

反之，設f(x)A，其中A是常數(shù)，是xx0時的無窮小，于是

｜f(x)A||｜

因是xx0時的無窮小，00使當0〈|xx0|〈，有

｜|或|f(x）A｜

這就證明了A是f（x）當xx0時的極限

簡要證明令f（x)A則|f(x）A||｜

如果0，0使當0|xx0｜有f（x）A|就有｜|〈

反之如果00使當0〈｜xx0|有｜｜〈就有f(x）A｜

這就證明了如果A是f(x）當xx0時的極限則是xx0時的無窮小如

果是xx0時的無窮小則A是f(x)當xx0時的極限

類似地可證明x時的情形

1x31111x31

lim0lim

例如，因為2x322x3而x2x3所以x2x32

定理2有限個無窮小的和也是無窮小

定理3有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小

2.無窮大

定義：如果當xx0（或x)時對應的函數(shù)值的絕對值｜f（x）｜無限增大，就

稱函數(shù)f(x)為當xx0（或x）時的無窮大記為

limf(x)

xx

0

limf(x)

（或x)。

應注意的問題當xx0（或x）時為無窮大的函數(shù)f（x)按函數(shù)極限定義來說，

極限是不存在的但為了便于敘述函數(shù)的這一性態(tài)我們也說“函數(shù)的極限是無窮大”

并記作

limf(x)limf(x)

xx

0（或x）

定理2(無窮大與無窮小之間的關系)：在自變量的同一變化過程中，如果f(x）為

11

無窮大則f(x)為無窮??；反之如果f（x)為無窮小，且f（x)0則f(x)為無窮大。

簡要證明

1

limf(x)0

如果xx0，且f(x)0那么對于M＄0，當0〈｜x|〈時

1

|f(x)|

有M由于當0〈|x|〈時f（x)0從而

1

||M

f(x)

1

所以f(x)為xx0時的無窮大。

1

limf(x)M

xx

如果0那么對于，0，當0|x|時

11

|f(x)|M||

有，即f(x)所以為xx時的無窮小

簡要證明：

如果f（x）0（xx0）且f(x)0則0＄0

當0｜xx0｜時有｜f（x)|即所以f（x）(xx0)。

如果f（x)（xx0），則M0，＄〉0當0|xx0|〈時

有｜f（x）|M即所以f（x)0（xx0)

課后作業(yè)

（是指根據(jù)教學目的及要求布置一定量的思考題和習題等。）

第43頁第2題

課后小結

（課后小結是教案執(zhí)行情況的經(jīng)驗總結，目的在于改進和調(diào)整教案，為下一輪課講授設計更加良

好的教學方案.應全面審視教學過程，特別注意對意外發(fā)現(xiàn)、點滴收獲、以及因個別疏漏而及時

補充的方法等方面的內(nèi)容進行撰寫。)

第4次課

學科高等數(shù)學（一）

課題函數(shù)運算法則

周次7時數(shù)2授課班級1202114

主要教學內(nèi)容：

極限運算法則

教學目的和要求：

掌握極限運算法則。

教學重點：

極限運算法則

教學難點:

兩個重要極限

教學方法與手段:課堂提問、討論、啟發(fā)、自學、講練結合、黑板多媒體結合

使用實驗儀器及教具：傳統(tǒng)教學用具與多媒體

教學內(nèi)容及教學過程

教學過程

§5極限運算法則

一、極限運算法則

定理1如果limf（x）A，limg（x)B那么

（1）lim[f(x）g（x）]limf(x)limg（x）AB

（2)limf（x)g（x）limf(x）limg（x）AB；

f(x)limf(x)A

lim

(3)g(x)limg(x)B(B0)

證明(1)因為limf（x）Alimg(x)B根據(jù)極限與無窮小的關系，有

f(x)A，g(x)B，

其中及為無窮小。于是

f(x)g（x)(A)(B)(AB)（)

即f（x)g（x）可表示為常數(shù)（AB)與無窮小()之和。因此

lim[f(x)g（x)]limf(x）limg（x）AB。

定理2如果（x)（x)，而lim(x）a，lim(x)b那么ab。

推論1如果limf(x）存在而c為常數(shù)，則

lim[cf(x)］climf（x)。

推論2如果limf（x)存在而n是正整數(shù)，則

lim[f(x）］n［limf(x）］n。

x3

例lim

3求x3x29

lim1

1

x3x31x3

limlimlimlim(x3)6

x29(x3)(x3)x3

解：x3x3x3x3

2x3

例lim

4求x1x25x4。

limx25x4125140

解x12x3213，

lim2x3

根據(jù)無窮大與無窮小的關系得x1x25x4。

3x34x22

例．lim

5求x7x35x23。

解：先用x3去除分子及分母，然后取極限

342

lim3x34x22limxx33

53

x7x35x23x77

xx3

3x22x1

例．lim

6求x2x3x25。

解：先用x3去除分子及分母然后取極限：

321

lim3x22x1limxx2x300

15

x2x3x25x22

xx3。

2x3x25

例。lim

7求x3x22x1

lim3x22x10

解：因為x2x3x25所以

lim2x3x25

x3x22x1。

sinx

例lim

8求xx

解當x時分子及分母的極限都不存在故關于商的極限的運算法則不能應用。

sinx1sinx

因為xx，是無窮小與有界函數(shù)的乘積，

limsinx0

所以xx。

課后作業(yè)

（是指根據(jù)教學目的及要求布置一定量的思考題和習題等。）

第50頁第2題

課后小結

（課后小結是教案執(zhí)行情況的經(jīng)驗總結，目的在于改進和調(diào)整教案，為下一輪課講授設計更加良

好的教學方案。應全面審視教學過程，特別注意對意外發(fā)現(xiàn)、點滴收獲、以及因個別疏漏而及時

補充的方法等方面的內(nèi)容進行撰寫。)

第5次課

學科高等數(shù)學(一）

課題極限存在準則·兩個重要極限

周次8時數(shù)2授課班級1202114

主要教學內(nèi)容：

夾逼準則

單調(diào)有界收斂準則

教學目的和要求：

了解極限存在的兩個準則,并會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的方

法。

教學重點：

兩個重要極限

教學難點:

兩個重要極限

教學方法與手段：課堂提問、討論、啟發(fā)、自學、講練結合、黑板多媒體結合

使用實驗儀器及教具：傳統(tǒng)教學用具與多媒體

教學內(nèi)容及教學過程

BD

1

x

OA

C

教學過程

§6極限存在準則·兩個重要極限

極限存在準則·兩個重要極限

1。夾逼準則

準則I如果數(shù)列{xn}、{yn}及｛zn}滿足下列條件：

(1)ynxnzn（n1，2，3）

limyalimza

nn

（2）nn

limxa

n

那么數(shù)列{xn｝的極限存在且n。

證明因為limyalimza以根據(jù)數(shù)列極限的定義0N0，當n〉N時，有

nn11

nn

；又〉，當時，有｜〈現(xiàn)?。?，則當〉

|yna|N20nN2zna|NmaxN1N2}nN

時有

｜〈，〈

|yna|zna|

同時成立即

〈，〈，

aynaazna

同時成立。又因ynxnzn，所以當n〉N時，有

〈〈，

aynxnzna

即｜｜

xna

limxa

n

這就證明了n。

簡要證明由條件（2)，0，N〉0當n〉N時，有

｜｜及｜

yna|zna

即有，

aynaazna

由條件（1)，有

〈，

aynxnzna

即｜｜〈。

xna

這就證明了limxa。

n

n

準則I

如果函數(shù)f(x)、g(x)及h(x)滿足下列條件：

（1）g(x)f（x）h(x）；

(2)limg(x）Alimh(x)A

那么limf（x）存在且limf(x)A

第一重要極限：

limsinx1

x0x

sinx

證明首先注意到函數(shù)x對于一切x0都有定義參看附圖圖中的圓為單位圓，

BCOADAOA。圓心角AOBx(0x〈2)顯然sinxCBxABtanxAD。

因為

SAOBS扇形AOBSAOD，

所以

111

2sinx2x〈2tanx

即sinx〈xtanx

不等號各邊都除以sinx就有

x1

1

sinxcosx，

sinx

cosx1

或x

limcosx1limsinx1

注意此不等式當2x〈0時也成立。而x0，根據(jù)準則I，x0x。

0x

簡要證明參看附圖，設圓心角AOBx（2)。

顯然BCABAD，因此sinxxtanx，

cosxsinx1

從而x(此不等式當x〈0時也成立)

limcosx1limsinx1

因為根據(jù)準則Ix

x0x0BD

應注意的問題

sin(x)1

lim

在極限(x)中，只要(x）是無窮小就有x

OA

sin(x)C

lim1

(x)。

sin(x)

limlimsinu1

(x)

這是因為令u（x)則u0于是u0u

sin(x)

limsinx1lim1

(x)

x0x(（x）0）

2.單調(diào)有界收斂準則

準則II單調(diào)有界數(shù)列必有極限

如果數(shù)列｛xn｝滿足條件

x1x2x3xnxn1

就稱數(shù)列｛xn｝是單調(diào)增加的如果數(shù)列｛xn}滿足條件

x1x2x3xnxn1

就稱數(shù)列｛xn}是單調(diào)減少的單調(diào)增加和單調(diào)減少數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列。

如果數(shù)列{xn}滿足條件xnxn1nN

在第三節(jié)中曾證明：收斂的數(shù)列一定有界但那時也曾指出有界的數(shù)列不一定收

斂?，F(xiàn)在準則II表明：如果數(shù)列不僅有界，并且是單調(diào)的，那么這數(shù)列的極限必

定存在，也就是這數(shù)列一定收斂

準則II的幾何解釋：

單調(diào)增加數(shù)列的點只可能向右一個方向移動或者無限向右移動或者無限趨近于某

一定點A而對有界數(shù)列只可能后者情況發(fā)生

1

lim(1)n

根據(jù)準則II，可以證明極限nn存在

1

x(1)n

設nn現(xiàn)證明數(shù)列｛xn｝是單調(diào)有界的。

按牛頓二項公式有

1n1n(n1)1n(n1)(n2)1n(n1)(nn1)1

x(1)n1

nn1!n2!n23!n3n!nn

11112112n1

11(1)(1)(1)(1)(1)(1)

2!n3!nnn!nnn

11112112n1

x11(1)(1)(1)(1)(1)(1)

n12!n13!n1n1n!n1n1n1

112n

(1)(1)(1)

(n1)!n1n1n1

比較xnxn1的展開式可以看出除前兩項外xn的每一項都小于xn1的對應項

并且xn1還多了最后一項其值大于0因此

xnxn1

這就是說數(shù)列｛xn｝是單調(diào)有界的。

這個數(shù)列同時還是有界的因為xn的展開式中各項括號內(nèi)的數(shù)用較大的數(shù)1代替

得

1

11111111

x111112n33

n2!3!n!2222n112n1

1

2

第二重要極限:根據(jù)準則II數(shù)列{xn｝必有極限。這個極限我們用e來表示即

1

lim(1)ne

nn。

1

lim(1)xe

我們還可以證明xx。e是個無理數(shù)它的值是

e2718281828459045

指數(shù)函數(shù)yex以及對數(shù)函數(shù)ylnx中的底e就是這個常數(shù)。

1

在極限lim[1(x)](x)中，只要(x)是無窮小就有

1

lim[1(x)](x)e

11

u1lim(1)ue

(x)lim[1(x)](x)

這是因為令，則u于是uu。

1

lim(1)xe1

lim[1(x)](x)e

xx(（x）0）。

1

lim(1)x

例3。求xx

解令tx則x時，t于是

lim11

111e

lim(1)xlim(1)tt(1)t

xxttt

111

lim(1)xlim(1)x(1)[lim(1)x]1e1

或xxxxxx。

課后作業(yè)

（是指根據(jù)教學目的及要求布置一定量的思考題和習題等.）

第60頁第1題

課后小結

（課后小結是教案執(zhí)行情況的經(jīng)驗總結，目的在于改進和調(diào)整教案,為下一輪課講授設計更加良

好的教學方案。應全面審視教學過程，特別注意對意外發(fā)現(xiàn)、點滴收獲、以及因個別疏漏而及時

補充的方法等方面的內(nèi)容進行撰寫。）

第6次課

學科高等數(shù)學（一）

課題無窮小的比較

周次8時數(shù)2授課班級1202114

主要教學內(nèi)容：

無窮小的比較

教學目的和要求：

掌握無窮小的比較方法,會用等價無窮小求極限。

教學重點：

用等價無窮小求極限

教學難點：

用等價無窮小求極限

教學方法與手段:課堂提問、討論、啟發(fā)、自學、講練結合、黑板多媒體結合

使用實驗儀器及教具：傳統(tǒng)教學用具與多媒體

教學內(nèi)容及教學過程

教學過程

§7無窮小的比較

無窮小的比較

1．定義：

lim0

（1)如果，就說是比高階的無窮小,記作();

lim

（2）如果，就說是比低階的無窮小，

limc0

（3）如果，就說是比同階的無窮小，