點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)拓?fù)淇臻g與連續(xù)映射

點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)拓?fù)淇臻g與連續(xù)映射第1頁(yè)/共31頁(yè)

第二章拓?fù)淇臻g與連續(xù)映射第2頁(yè)/共31頁(yè)本章教學(xué)基本要求

掌握度量空間及度量空間的連續(xù)映射的概念掌握拓?fù)渑c拓?fù)淇臻g的概念,并在此空間上建立起來的連續(xù)映射,同胚的概念，熟悉幾個(gè)拓?fù)淇臻g的例子掌握鄰域與鄰域系的概念及性質(zhì)；掌握連續(xù)映射的兩種定義；掌握證明開集與鄰域的證明方法掌握閉集和閉包等相關(guān)概念.重點(diǎn)：拓?fù)淇臻g,同胚映射,拓?fù)涞慕⒑妥C明.

難點(diǎn)：拓?fù)淇臻g,同胚映射第3頁(yè)/共31頁(yè)§2.3拓?fù)淇臻g的其他概念一.導(dǎo)集，閉集，閉包1.導(dǎo)集

定義2.11.

設(shè)為拓?fù)淇臻g,,如果點(diǎn)x∈X的每一個(gè)鄰域U中都有A中異于x的點(diǎn)，則稱點(diǎn)x是集合A的一個(gè)凝聚點(diǎn)或極限點(diǎn)．集合A的所有凝聚點(diǎn)構(gòu)成的集合稱為A的導(dǎo)集，記作d(A)．如果x∈A并且x不是A的凝聚點(diǎn)，則稱x為A的一個(gè)孤立點(diǎn)．說明凝聚點(diǎn)可以屬于A,也可以不屬于A

第4頁(yè)/共31頁(yè)例2.4.

離散空間中集合的凝聚點(diǎn)和導(dǎo)集．d(A)＝例2.5.

平庸空間中集合的凝聚點(diǎn)和導(dǎo)集．第5頁(yè)/共31頁(yè)定理2.12設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，則:(1)

(2)

(3)

(4)

證明(3)必要性:如果綜上所述，可見(3)必要性成立．第6頁(yè)/共31頁(yè)證明(4)設(shè)：(4)

由此(4)成立第7頁(yè)/共31頁(yè)2.閉集

定義2.12.設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，,如果A的每一個(gè)凝聚點(diǎn)都屬于A，即:,則稱A是拓?fù)淇臻gX中的一個(gè)閉集．說明離散空間中的任何一個(gè)子集都是閉集平庸空間中的任何一個(gè)非空的真子集都不是閉集定理2.13設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，則A是一個(gè)閉集，當(dāng)且僅當(dāng)A的補(bǔ)集是開集.第8頁(yè)/共31頁(yè)證明必要性：設(shè)A是一個(gè)閉集充分性：設(shè)：即A是一個(gè)閉集．第9頁(yè)/共31頁(yè)例2.6實(shí)數(shù)空間R中作為閉集的區(qū)間．設(shè)a,b∈R，a＜b．閉區(qū)間[a,b]是實(shí)數(shù)空間R中的一個(gè)閉集.(-∞,a]，[b,∞)都是閉集，(-∞,∞)＝R顯然更是一個(gè)閉集．（a，b]，[a，b）是否閉集?回答:不是第10頁(yè)/共31頁(yè)定理2.14.

設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g．記F為所有閉集構(gòu)成的族．則：(1)

(3)

若.則∈(2)

若A,B∈.則A∪B∈

有限個(gè)開集的交是開集，任意個(gè)開集的并是開集．其余情形不一定．有限個(gè)閉集的并是閉集，任意個(gè)閉集的交是閉集．其余情形不一定．第11頁(yè)/共31頁(yè)3.閉包

定義2.13.設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，,集合A與A的導(dǎo)集d(A)的并A∪d(A)稱為集合A的閉包,記作:

定理2.15

拓?fù)淇臻gX的子集A是閉集的充要條件是證明:集合A為閉集當(dāng)且僅當(dāng)d(A)而這又當(dāng)且僅當(dāng)A=A∪d(A)第12頁(yè)/共31頁(yè)

定理2.16

設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g,則對(duì)于任意

A,B∈X,有：

定理2.17

拓?fù)淇臻gX的任何一個(gè)子集A的閉包都是閉集.

定理2.18

設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，F(xiàn)是由空間X中所有包含A的閉集構(gòu)成的族，則對(duì)于X的每一個(gè)子集A，有第13頁(yè)/共31頁(yè)

定理2.19設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，f:X→Y．則以下條件等價(jià)：(l)f是一個(gè)連續(xù)映射(2)Y中的任何一個(gè)閉集B的原象是閉集(3)對(duì)于X中的任何一個(gè)子集A，A的閉包的象包含于A的象的閉包，即(4)對(duì)于Y中的任何一個(gè)子集B，B的原象的閉包含于B的閉包的原象，即第14頁(yè)/共31頁(yè)則是一個(gè)開集，因此根據(jù)(1)是X中的一個(gè)開集，因此是X中的一個(gè)閉集．證明(1)蘊(yùn)涵(2)．設(shè)是閉集(2)蘊(yùn)涵(3).設(shè),由于f(A)

根據(jù)(2)，成立．第15頁(yè)/共31頁(yè)(3)蘊(yùn)涵(4)設(shè)集合應(yīng)用(3)即得:(4)蘊(yùn)涵(l)．設(shè)U是Y中的一個(gè)開集．則是Y中的一個(gè)閉集．對(duì)此集合應(yīng)用(4)可見:而:第16頁(yè)/共31頁(yè)二.內(nèi)部與邊界

定義2.14.設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，,稱含于A的所有開集的并稱為集合A的內(nèi)部,記為:

是含于A里的最大開集

定理2.19.設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，,則A是開集的充分必要條件是A=.定理2.20.

對(duì)AX,,證明:

任取則,從而.

任取,則,所以,,所以,所以,存在的鄰域V,使得:第17頁(yè)/共31頁(yè)定理2.20

對(duì)A,BX,有(1)X=X;(2)AA;(3)(A∩B)=A∩B;(4)A=A.

定義2.15.設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，,如果任意的中既含有A中的點(diǎn),又含有中的點(diǎn),則稱點(diǎn)為A的邊界點(diǎn),A的邊界點(diǎn)之集稱為邊界,記為A.第18頁(yè)/共31頁(yè)§2.4拓?fù)浠c鄰域基

定義2.16.

設(shè)為拓?fù)淇臻g,B,如果任意的,都存在B1B,使的:

則稱B是拓?fù)涞囊粋€(gè)基，或稱B是拓?fù)淇臻gX的一個(gè)基．離散空間的一個(gè)基由所有的單點(diǎn)子集構(gòu)成．

度量空間中的所有球形鄰域構(gòu)成的集族是這個(gè)度量空間作為拓?fù)淇臻g時(shí)的一個(gè)基．第19頁(yè)/共31頁(yè)則B是拓?fù)淇臻gX的一個(gè)基當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于每一個(gè)x∈X和x的每一個(gè)鄰域,存在使得:

定理2.21

設(shè)B是拓?fù)淇臻g的一個(gè)開集族

證明:必要性,如果B是X的一個(gè)基,則對(duì)于每一個(gè)和每一個(gè),都存在,使得:由于B是基,所以存在,使得所以,存在某個(gè),使得充分性:對(duì)于,和每一個(gè),于是:第20頁(yè)/共31頁(yè)

定理2.22

設(shè)X是一個(gè)集合，B是集合X的一個(gè)子集族,如果B滿足條件：(1)(2)如果則對(duì)任何的,則X的子集族是集合X的惟一的一個(gè)以B為基的拓?fù)涞?1頁(yè)/共31頁(yè)

定義2.17.

設(shè)為拓?fù)淇臻g,,如果的所有有限非空子族之交構(gòu)成的集族,即是拓?fù)涞囊粋€(gè)基，則稱集族是拓?fù)涞囊粋€(gè)子基

定理2.23

設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，f:X→Y．則以下條件等價(jià)：(1)f連續(xù)；

(2)拓?fù)淇臻gY有一個(gè)基B，使得對(duì)于任何一個(gè)

B∈B，是X中的一個(gè)開集；

(3)拓?fù)淇臻gY有一個(gè)子基

，使得對(duì)于任何

,是X中的一個(gè)開集；第22頁(yè)/共31頁(yè)

定義2.18

設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，x∈X．記為x的鄰域系．的子族如果滿足條件：對(duì)于每一個(gè)

,使得,則稱是點(diǎn)的一個(gè)鄰域基.

的子族如果滿足條件：每一個(gè)有限非空子族之交的全體構(gòu)成的集族，即

是x的一個(gè)鄰域基，則稱此是點(diǎn)x的鄰域系的一個(gè)子基，或簡(jiǎn)稱為點(diǎn)x的一個(gè)鄰域子基．第23頁(yè)/共31頁(yè)

定理2.24設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，f:X→Y，x∈X．則以下條件等價(jià)：（1）f在點(diǎn)x處連續(xù)；（2）f(x)有一個(gè)鄰域基,使得對(duì)于任何

V∈,原象是x的一個(gè)鄰域；（3）f(x)有一個(gè)鄰域子基,使得對(duì)于任何

V∈,原象是x的一個(gè)鄰域；第24頁(yè)/共31頁(yè)定理2.25設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，x∈X．則（1）如果B是X的一個(gè)拓?fù)浠?，則是點(diǎn)x的一個(gè)鄰域基；={B∈B|x∈B}（2）如果是X的一個(gè)子基，則是點(diǎn)x的一個(gè)鄰域子基．第25頁(yè)/共31頁(yè)補(bǔ)充：覆蓋：設(shè)B是拓?fù)淇臻gX的子集族，若滿足：B則稱B是X的一個(gè)覆蓋粘接引理：

設(shè)是X的一個(gè)有限閉覆蓋，如果映射：在每個(gè)上的限制都是連續(xù)的，則是X到Y(jié)的連續(xù)映射第26頁(yè)/共31頁(yè)粘接引理：

設(shè)是X的一個(gè)有限閉覆蓋，如果映射：在每個(gè)上的限制都是連續(xù)的，則是X到Y(jié)的連續(xù)映射證明：只需驗(yàn)證Y的每個(gè)閉集的原像是閉集。設(shè)B是Y的閉集，記是在上的限制。則由于每個(gè)都是連續(xù)的，因此是的閉集。所以，有限個(gè)閉集的并仍為閉集又因?yàn)槭荴的閉集，所以也是X的閉集第27頁(yè)/共31頁(yè)§2.5拓?fù)淇臻g中的序列和其它概念

定義2.19.

設(shè)為拓?fù)淇臻g,每個(gè)映射

叫做X中的一個(gè)序列．記為:

定義2.20.

設(shè)是拓?fù)淇臻gX中的一個(gè)序列,x∈X．如果對(duì)于x的每一個(gè)鄰域U，存在,使得當(dāng)i＞M時(shí),有

則稱點(diǎn)x是序列的一個(gè)極限點(diǎn)

,也稱序列