熱力學統(tǒng)計物理課后作業(yè)講稿

熱力學統(tǒng)計物理課后作業(yè)講稿第1頁/共32頁證明任何一種具有兩個獨立參量T，p的物質(zhì)，其物態(tài)方程可由實驗測得的體脹系數(shù)a及等溫壓縮系數(shù)kT，根據(jù)下述積分求得：

，如果，試求物態(tài)方程。第2頁/共32頁1.8滿足pVn=C的過程稱為多方過程，其中常數(shù)n名為多方指數(shù)。試證，理想氣體在多方過程中的熱容量Cn為第3頁/共32頁1.12設(shè)理想氣體的Cp和CV之比g是溫度的函數(shù)，試求在準靜態(tài)絕熱過程中T和V的關(guān)系。這個關(guān)系式中要用到一個函數(shù)F(T)，其表達式為

第4頁/共32頁1.14根據(jù)熱力學第二定律證明兩條絕熱線不能相交解：用反證法來證明。

兩條絕熱線交于一點C，一條等溫線T與兩條絕熱線分別交于A和B兩點（這樣的等溫線總能找到，因為等溫線的斜率總是比絕熱線的斜率?。０袮→B→C→A認為是可逆循環(huán)，在循環(huán)中，僅在等溫過程中系統(tǒng)吸收熱量Q，系統(tǒng)對外作功的量值等于面積ABC。因此在循環(huán)過程中，系統(tǒng)從單一熱源吸收熱量完全轉(zhuǎn)化為有用的功而不引起其他變化，這違背了熱二定律的開氏表述。因而，兩條絕熱線不能相交。

此外還有很多種證明的方法。pVABC第5頁/共32頁1.15熱機在循環(huán)中與多個熱源交換熱量。在熱機從其中吸收熱量的熱源中，熱源的最高溫度為T1，在熱機向其放出熱量的熱源中，熱源的最低溫度為T2.試根據(jù)克氏不等式證明，熱機的效率不超過第6頁/共32頁物體的初溫T1高于熱源的溫度T2。有一熱機在此物體與熱源之間工作，直到將物體的溫度降低到T2為止。若熱機從物體吸取的熱量為Q，試根據(jù)熵增加原理證明，此熱機所能輸出的最大功為

其中S1-S2是物體的熵減少量。第7頁/共32頁1.23簡單系統(tǒng)有兩個獨立參量，如果以T，S為獨立參量，可以縱坐標表示溫度T，橫坐標表示熵S，構(gòu)成T-S圖。圖中的一點與系統(tǒng)的一個平衡態(tài)、一條曲線與一個可逆過程相應。試在圖中畫出可逆卡諾循環(huán)過程的曲線，并利用T-S圖求卡諾循環(huán)的效率。解：分析，在T-S圖上，可逆等溫過程是平行于橫縱的曲線，而可逆絕熱過程由于熵不變，因此是平行于縱軸的曲線。T-S圖上的卡諾循環(huán)曲線為

STT1T21234第8頁/共32頁2.3

求證：(a);(b)第9頁/共32頁2.4

已知，求證

第10頁/共32頁2.5試證明一個均勻物體在準靜態(tài)等壓過程中的熵隨體積的增減取決于等壓下溫度隨體積的增減。①②第11頁/共32頁，2.8證明并由此導出根據(jù)上兩式證明，理想氣體的定容熱容量和定壓熱容量只是溫度T的函數(shù)。

第12頁/共32頁第13頁/共32頁第14頁/共32頁

2.12一彈簧在恒溫下的恢復力X與伸長x成正比，即X=-Ax，比例系數(shù)A是溫度的函數(shù)。今忽略彈簧的熱膨脹，試證明彈簧的自由能F，熵S和內(nèi)能U的表達式分別是：

①

②③第15頁/共32頁第16頁/共32頁第17頁/共32頁第18頁/共32頁-第19頁/共32頁第20頁/共32頁第21頁/共32頁7.16已知粒子遵從經(jīng)典波爾茲曼分布，其能量表達式為其中，a,b是常量，求粒子的平均能量。將能量表達式進行配方，共含4個平方項由能量均分定理得，第22頁/共32頁第23頁/共32頁第24頁/共32頁第25頁/共32頁8.8證明:(1)根據(jù)普朗克公式，可知平衡輻射內(nèi)能按圓頻率的分布：①再根據(jù)可得，②③②③代入①，可得平衡輻射內(nèi)能密度按波長的分布：④(2)

令，④式變?yōu)椋孩莸?6頁/共32頁則，使u(l,T)取極大值的波長lm由下式確定：由于上式數(shù)值解為x=4.9651,則，代入，有⑥解得，⑦第27頁/共32頁8.14求絕對零度下金屬自由電子氣體中電子的平均速率解：根據(jù)絕對零度下金屬自由電子氣體的性質(zhì)，可知T=0K時一個量子態(tài)上的平均電子數(shù)：考慮到，可將上式改為用動量表示的形式：其中p(0)為費米動量，是0K下電子具有的最大動量。且p(0)2=2me由于在體積V內(nèi)，T=0K，能量在p~p+dp內(nèi)的量子態(tài)數(shù)為：第28頁/共32頁則，電子的平均動量為：因此，電子的平均速率為：第29頁/共32頁8.18求極端相對論條件下自由電子氣體在0K時的費米能量、內(nèi)能和簡并壓。解：已知極端相對論條件下的能量動量關(guān)系：e=cp由于在體積V內(nèi)，e~e+de的能量范圍內(nèi)的量子態(tài)數(shù)