七年級行程問題經(jīng)典例題-2023修改整理

千里之行，始于足下讓知識帶有溫度。第第2頁/共2頁精品文檔推薦七年級行程問題經(jīng)典例題第十講：行程問題分類例析

主講：何教師

行程問題有相遇問題，追及問題，順流、逆流問題，上坡、下坡問題等.在運(yùn)動形式上分直線運(yùn)動及曲線運(yùn)用(如環(huán)形跑道).相遇問題是相向而行.相遇距離為兩運(yùn)動物體的距離和.追及問題是同向而行,分慢的在快的前面或慢的先行若干時(shí)光,快的再追及,追及距離慢快SSS+=.順逆流、順風(fēng)逆風(fēng)、上下坡應(yīng)注重運(yùn)動方向，去時(shí)順流，

回時(shí)則為逆流.

一、相遇問題

例1：兩地間的路程為360km，甲車從A地動身開往B地，每小時(shí)行72km；甲車動身25分鐘后，乙車從B地動身開往A地，每小時(shí)行使48km，兩車相遇后，各自按本來速度繼續(xù)行使，那么相遇以后，兩車相距100km時(shí)，甲車從動身開頭共行駛了多少小時(shí)？

分析：利用相遇問題的關(guān)系式（相遇距離為兩運(yùn)動物體的距離和）建立方程.

解答：設(shè)

甲車共

行使了

xh，則乙車行使了hx)(60

25-.（如圖1）依題意，有72x+48)(60

25-x=360+100,

解得x=4.

因此，甲車共行使了4h.

說明：本題兩車相向而行，相遇后繼續(xù)行使100km，仍屬相遇問題中的距離，望讀者認(rèn)真體味.

例2:一架戰(zhàn)爭機(jī)的貯油量最多夠它在空中飛翔4.6h,飛機(jī)出航時(shí)順風(fēng)飛翔,在靜風(fēng)中的速度是575km/h,風(fēng)速25km/h,這架飛機(jī)最多能飛出多少千米就應(yīng)返回?分析:列方程求解行程問題中的順風(fēng)逆風(fēng)問題.

順風(fēng)中的速度=靜風(fēng)中速度+風(fēng)速

逆風(fēng)中的速度=靜風(fēng)中速度-風(fēng)速

解答:解法一:設(shè)這架飛機(jī)最遠(yuǎn)飛出xkm就應(yīng)返回.依題意，有6425

57525575.=-++xx解得:x=1320.

答:這架飛機(jī)最遠(yuǎn)飛出1320km就應(yīng)返回.

解法二:設(shè)飛機(jī)順風(fēng)飛翔時(shí)光為th.

依題意,有(575+25)t=(575-25)(4.6-t),

解得:t=2.2.

(575+25)t=600×2.2=1320.

答:這架飛機(jī)最遠(yuǎn)飛出1320km就應(yīng)返回.

說明:飛機(jī)順風(fēng)與逆風(fēng)的平均速度是575km/h,則有

645752.=x,解得x=1322.5.錯誤緣由在于飛機(jī)平均速度不是575km/h,而是)/(hkmvvvvvxvxx

574550600550600222≈+??=+?=+逆

順逆順逆順例3:甲、乙兩人在一環(huán)城馬路上騎自行車，環(huán)形馬路長為42km，甲、乙兩人的速度分離為21km/h、14km/h.

(1)假如兩人從馬路的同一地點(diǎn)同時(shí)反向動身，那么經(jīng)幾小時(shí)后,兩人首次相遇?

(2)假如兩人從馬路的同一地點(diǎn)同時(shí)同向動身，那么動身后經(jīng)幾小時(shí)兩人其次次相遇?

分析:這是環(huán)形跑道的行程問題.

解答:(1)設(shè)經(jīng)過xh兩人首次相遇.

依題意,得(21+14)x=42,

解得:x=1.2.

因此,經(jīng)過1.2小時(shí)兩人首次相遇.

(3)設(shè)經(jīng)過xh兩人其次次相遇.

依題意,得21x-14x=42×2,

解得:x=12.

因此,經(jīng)過12h兩人其次次相遇.

說明:在封閉的環(huán)形跑道上同向運(yùn)動屬追及問題，反向運(yùn)動屬相遇問題.從同一地點(diǎn)動身,相遇時(shí),追及路程或相隔路程就是環(huán)形道的周長,其次次相遇,追及路程為兩圈的周長.

好玩的行程問題

【探索新知】

例1、甲、乙二人分離從相距30千米的兩地同時(shí)動身相向而行，甲每小時(shí)走6千米，乙每小時(shí)走4千米，問：二人幾小時(shí)后相遇？

分析與解：動身時(shí)甲、乙二人相距30千米，以后兩人的距離每小時(shí)都縮短6＋4＝10（千米），即兩人的速度的和（簡稱速度和），所以30千米里有幾個(gè)10千米就是幾小時(shí)相遇.

30÷（6＋4）

＝30÷10

＝3（小時(shí)）

答：3小時(shí)后兩人相遇.

本題是一個(gè)典型的相遇問題.在相遇問題中有這樣一個(gè)基本數(shù)量關(guān)系：路程＝

速度和×?xí)r光.

例2、如右下圖有一條長方形跑道，甲從A點(diǎn)動身，乙從C點(diǎn)同時(shí)動身，都按順時(shí)針方向奔走，甲每秒跑5米，乙每秒跑4.5米。當(dāng)甲第一次追上乙時(shí)，甲跑了多少圈？（其次屆希翼杯試題）

分析與解：這是一道環(huán)形路上追及問題。在追及問題問題中有一個(gè)基本關(guān)系式：追擊路程=速度差×追準(zhǔn)時(shí)間。

追及路程：10＋6=16（米）

速度差：5－4.5=0.5（米）

追擊時(shí)光：16÷0.5=32（秒）

甲跑了5×32÷[（10＋6）×2]=5（圈）

答：甲跑了5圈。

例3、一列貨車清晨6時(shí)從甲地開往乙地，平均每小時(shí)行45千米，一列客車從乙地開往甲地，平均每小時(shí)比貨車快15千米，已知客車比貨車遲發(fā)2小時(shí)，中午12時(shí)兩車同時(shí)經(jīng)過途中某站，然后仍繼續(xù)前進(jìn)，問：當(dāng)客車到達(dá)甲地時(shí)，貨車離乙地還有多少千米？

分析與解：貨車每小時(shí)行45千米，客車每小時(shí)比貨車快15千米，所以，客車速度為每小時(shí)（45＋15）千米；中午12點(diǎn)兩車相遇時(shí)，貨車已行了（12—6）小時(shí)，

而客車已行（12—6－2）小時(shí)，這樣就可求出甲、乙兩地之間的路程.最后，再來求當(dāng)客車行徹低程到達(dá)甲地時(shí)，貨車離乙地的距離.

解：①甲、乙兩地之間的距離是：

45×（12—6）＋（45＋15）×（12—6—2）

＝45×6＋60×4

＝510（千米）.

②客車行徹低程所需的時(shí)光是：

510÷（45＋15）

＝510÷60

＝8.5（小時(shí)）.

③客車到甲地時(shí)，貨車離乙地的距離：

510—45×（8.5＋2）

＝510－472.5

＝37.5（千米）.

答：客車到甲地時(shí)，貨車離乙地還有37.5千米.

例4、兩列火車相向而行，甲車每小時(shí)行36千米，乙車每小時(shí)行54千米.兩

車錯車時(shí)，甲車上一乘客發(fā)覺：從乙車車頭經(jīng)過他的車窗時(shí)開頭到乙車車尾經(jīng)過他的車窗共用了14秒，求乙車的車長？

分析與解：首先應(yīng)統(tǒng)一單位：甲車的速度是每秒鐘36000÷3600＝10（米），乙車的速度是每秒鐘54000÷3600＝15（米）.本題中，甲車的運(yùn)動實(shí)際上可以看作是甲車乘客以每秒鐘10米的速度在運(yùn)動，乙車的運(yùn)動則可以看作是乙車車頭的運(yùn)動，因此，我們只需討論下面這樣一個(gè)運(yùn)動過程即可：從乙車車頭經(jīng)過甲車乘客的車窗這一時(shí)刻起，乙車車頭和甲車乘客開頭作反向運(yùn)動14秒，每一秒鐘，乙車車頭與甲車乘客之間的距離都增大（10＋15）米，因此，14秒結(jié)束時(shí)，車頭與乘客之間的距離為（10＋15）×14＝350（米）.又由于甲車乘客最后看到的是乙車車尾，所以，乙車車頭與甲車乘客在這段時(shí)光內(nèi)所走的路程之和應(yīng)恰等于乙車車身的長度，即：乙車車長就等于甲、乙兩車在14秒內(nèi)所走的路程之和.

解：（10＋15）×14

＝350（米）

答：乙車的車長為350米.

例5、某列車通過250米長的隧道用25秒，通過210米長的隧道用23秒，若該列車與另一列長150米.時(shí)速為72千米的列車相遇，錯車而過需要幾秒鐘？

分析與解：解這類應(yīng)用題，首先應(yīng)明確幾個(gè)概念：列車通過隧道指的是從車頭進(jìn)入隧道算起到車尾離開隧道為止.因此，這個(gè)過程中列車所走的路程等于車長加隧道長；兩車相遇，錯車而過指的是從兩個(gè)列車的車頭相遇算起到他們的車尾分開為止，這個(gè)過程實(shí)際上是一個(gè)以車頭的相遇點(diǎn)為起點(diǎn)的相背運(yùn)動問題，這兩個(gè)列車

在這段時(shí)光里所走的路程之和就等于他們的車長之和.因此，錯車時(shí)光就等于車長之和除以速度之和。

列車通過250米的隧道用25秒，通過210米長的隧道用23秒，所以列車行駛的路程為（250—210）米時(shí)，所用的時(shí)光為（25—23）秒.由此可求得列車的車速為（250—210）÷（25—23）＝20（米/秒）.再按照前面的分析可知：列車在25秒內(nèi)所走的路程等于隧道長加上車長，因此，這個(gè)列車的車長為20×25—250＝250（米），從而可求出錯車時(shí)光。

解：按照另一個(gè)列車每小時(shí)走72千米，所以，它的速度為：

72000÷3600＝20（米/秒），

某列車的速度為：

（250－210）÷（25－23）＝40÷2＝20（米/秒）

某列車的車長為：

20×25-250＝500-250＝250（米）

兩列車的錯車時(shí)光為：

（250＋150）÷（20＋20）＝400÷40＝10（秒）.

答：錯車時(shí)光為10秒.

例6、甲、乙兩人分離從相距260千米的A、B兩地同時(shí)沿筆直的馬路乘車相

向而行，各自前往B地、A地。甲每小時(shí)行32千米，乙每小時(shí)行48千米。甲、乙各有一個(gè)對講機(jī)，當(dāng)他們之間的距離小于20千米時(shí)，兩人可用對講機(jī)聯(lián)絡(luò)。問：

(1)兩人動身后多久可以開頭用對講機(jī)聯(lián)絡(luò)?

(2)他們用對講機(jī)聯(lián)絡(luò)后，經(jīng)過多長時(shí)光相遇?

(3)他們可用對講機(jī)聯(lián)絡(luò)多長時(shí)光?

（第四屆希翼杯試題）

分析與解：

(1)(260-20)÷(32+48)=3(小時(shí))。

(2)20÷(32+48)=0.25(小時(shí))。

(3)從甲、乙相碰到他們其次次相距20千米也用0.25小時(shí)．所以他們一共可用對講機(jī)聯(lián)絡(luò)

0.25+0.25=0.5(小時(shí))。

例7、甲、乙兩車同時(shí)從A、B兩地動身相向而行，兩車在離B地64千米處第一次相遇.相遇后兩車仍以原速繼續(xù)行駛，并且在到達(dá)對方動身點(diǎn)后，立刻沿原路返回，途中兩車在距A地48千米處其次次相遇，問兩次相遇點(diǎn)相距多少千米？

分析與解：甲、乙兩車共同走完一個(gè)AB全程時(shí)，乙車走了64千米，從上圖可以看出：它們到其次次相遇時(shí)共走了3個(gè)AB全程，因此，我們可以理解為乙車共走

了3個(gè)64千米，再由上圖可知：減去一個(gè)48千米后，正巧等于一個(gè)AB全程.

解：①AB間的距離是

64×3－48

＝192－48

＝144（千米）.

②兩次相遇點(diǎn)的距離為

144—48－64

＝32（千米）.

答：兩次相遇點(diǎn)的距離為32千米.

※例8趙伯伯為熬煉身體，天天步行3小時(shí)，他先走平路，然后上山，最后又回沿原路返回，假設(shè)趙伯伯在平路上每小時(shí)行4千米，上山每小時(shí)行3千米，下山每小時(shí)行6千米，在天天熬煉中，他共行走多少米？（第五屆希翼杯試題）分析與解：趙伯伯上山和下山走的路程相同，上山速度為3千米，下山速度為6千米，上山與下山的平均速度是多少？（這是一個(gè)易錯題）可以通過“設(shè)數(shù)”的辦法讓四年級學(xué)生明了。

設(shè)上山路程為6千米，（想一想為什么設(shè)6千米？還可以設(shè)幾千米？）

上山時(shí)光為：6÷3=2（時(shí)）

下山時(shí)光為：6÷6=1（時(shí)）

上下山的平均速度為：（6＋6）÷（2＋1）=4千米

又由于平路的速度也為4千米/小時(shí)，所以趙伯伯天天熬煉走的路程為：4×3=12千米。

【挑戰(zhàn)自我】

1、小明、小華和小新三人家在同一條街道上，小明家在小華家西300米處，小新家在小明家東400米處，則小華家和小新家相距多少米？（第三屆希翼杯試題）答案：畫圖得100米。

2、小明家離小學(xué)2千米，小光家離小學(xué)3千米，小明和小光的家相距多少千米？（第一屆希翼杯試題）

答案：1千米與5千米之間。

分類研究，一題多解。

當(dāng)小明家與小光家在同一側(cè)時(shí)，距離最近為1千米。

當(dāng)小明家與小光家方向相反時(shí)，距離最遠(yuǎn)為5千米。

但是小明和小光家可能不在一條直線上，所以小明與小光家的距離應(yīng)在1千米至5千米之間。

3、甲乙兩個(gè)港口相距400千米，一艘輪船從甲港順流而下，20小時(shí)可到達(dá)乙

港。已知順?biāo)偈悄嫠俚?倍。有一次，這艘船在由甲港駛向乙港途中碰到突發(fā)大事，反向航行一段距離后，再掉頭駛向乙港，結(jié)果晚到9個(gè)小時(shí)。輪船的這次航行比正常狀況多行駛了多少千米？（第四屆希翼杯試題）

答案：順?biāo)俣仁?00÷20=20（千米）

逆水速度是20÷2=10（千米）

反向航行一段距離順?biāo)畷r(shí)用的時(shí)光是9÷（2＋1）=3（小時(shí)）

比正常狀況多行駛的路程是20×3×2=120（千米）

4、兩列相同而行的火車恰好在某站臺相遇。假如甲列車長225米，每秒行駛25米，乙列車每秒行駛20米，甲、乙兩列車錯車時(shí)光是9秒。求：（1）乙列車長多少米？

（2）甲列車通過這個(gè)站臺用多少秒？

（3）坐在甲列車上的小明看到乙列車通過用了多少秒？

（其次屆希翼杯試題）

答案：（1）乙列車長180米（2）甲列車通過這個(gè)站臺用多9秒（3）坐在甲列車上的小明看到乙列車通過用了4秒

5、甲、乙兩車同時(shí)從A、B兩地沿相同的方向行駛，甲車假如每小時(shí)行60千米，則5小時(shí)可追上前方的乙車；假如每小時(shí)行駛70千米，則3小時(shí)可追上前方的

乙車。由上可知，乙車每小時(shí)行駛多少千米？（第三屆希翼杯試題）答案：乙車每小時(shí)行駛45千米。

【綜合練習(xí)】

1、甲、乙兩車分離從相距240千米的A、B兩城同時(shí)動身，相向而行，已知甲車到達(dá)B城需4小時(shí)，乙車到達(dá)A城需6小時(shí)，問：兩車動身后多長時(shí)光相遇？

答案：240÷（240÷4＋240÷6）＝2.4（小時(shí)）.

2、小明家在小學(xué)東400米處，小紅加在小明家的西200米處，那么小紅家距離小學(xué)多少米？（第三屆希翼杯試題）

答案：畫圖解題，小紅家距小學(xué)200米。

3、甲、乙二人以勻稱的速度分離從A、B兩地同時(shí)動身，相向而行，他們第一次相遇地點(diǎn)離A地4千米，相遇后二人繼續(xù)前進(jìn)，走到對方動身點(diǎn)后立刻返回，在距B地3千米處其次次相遇，求兩次相遇地點(diǎn)之間的距離？

答案：①A、B兩地間的距離：4×3—3＝9（千米）.

②兩次相遇點(diǎn)的距離：9－4－3＝2（千米）.

4、周教師和王教師沿著小學(xué)的環(huán)形林蔭道漫步?????，王教師每分鐘走55米，周教師每分鐘走65米。已知林蔭道周長是480米，他們從同一地點(diǎn)同時(shí)背向而行。在他們第10次相遇后，王教師再走多少米就回到動身點(diǎn)？（第四屆希翼杯試題）

答案：幾分鐘相遇一次：480÷（55＋65）=4（分鐘）

10次相遇共用：4×10=40（分鐘）

王教師40分鐘行了：55×40=2200（米）

2200÷480=4（圈）……280（米）

所以正巧走了4圈還多280米，480－280=200（米）

答：再走200米回到動身點(diǎn)。

5、“希翼號”和“奧運(yùn)號”兩列火車相向而行，“希翼號”車的車身長280米，“奧運(yùn)號”車的車身長385米，坐在“希翼號”車上的小明看見“奧運(yùn)號”車駛過的時(shí)光是11秒，求：（1）“希翼號”和“奧運(yùn)號”車的速度和？

（2）坐在“奧運(yùn)號”車上的小強(qiáng)看見“希翼號”車駛過的時(shí)光？

（3）兩列火車的會車的時(shí)光？

答案：（1）速度和35米/秒；（2）8秒；（3）會車時(shí)光19秒。

5．小張與小王分離從甲、乙兩村同時(shí)動身，在兩村之間來回行走（到達(dá)另一村后就馬上返回），他們在離甲村3.5千米處第一次相遇，在離乙村2千米處其次次相遇.

問他們兩人第四次相遇的地點(diǎn)離乙村多遠(yuǎn)（相遇指迎面相遇）？

解：畫暗示圖如下.

其次次相遇兩人已共同走了甲、乙兩村距離的3倍，因此張走了

3.5×3＝10.5（千米）.

從圖上可看出，其次次相遇處離乙村2千米.因此，甲、乙兩村距離是

10.5-2＝8.5（千米）.

每次要再相遇，兩人就要共同再走甲、乙兩村距離2倍的路程.第四次相遇時(shí)，兩人已共同走了兩村距離（3＋2＋2）倍的行程.其中張走了

3.5×7＝2

4.5（千米），

24.5=8.5＋8.5＋7.5（千米）.

就知道第四次相遇處，離乙村

8.5-7.5=1（千米）.

答：第四次相遇地點(diǎn)離乙村1千米.

35甲、乙、丙是一條路上的三個(gè)車站，乙站到甲、丙兩站的距離相等，小強(qiáng)和小明同時(shí)分離從甲、丙兩站動身相向而行，小強(qiáng)經(jīng)過乙站100米時(shí)與小明相遇，然后兩人又繼續(xù)前進(jìn)，小強(qiáng)走到丙站立刻返回，經(jīng)過乙站300米時(shí)又追上小明，問：甲、乙兩站的距離是多少米？

先畫圖如下：

分析與解：結(jié)合上圖，我們可以把上述運(yùn)動分為兩個(gè)階段來考察：

①第一階段——從動身到二人相遇：

小強(qiáng)走的路程=一個(gè)甲、乙距離+100米，

小明走的路程=一個(gè)甲、乙距離-100米。

②其次階段——從他們相碰到小強(qiáng)追上小明，小強(qiáng)走的路程=2個(gè)甲、乙距離-100米+300米=2個(gè)甲、乙距離+200米，小明走的路程=100+300=400（米）。

從小強(qiáng)在兩個(gè)階段所走的路程可以看出：小強(qiáng)在其次階段所走的路是第一階段的2倍，所以，小明其次階段所走的路也是第一階段的2倍，即第一階段應(yīng)走400÷2＝200（米），從而可求出甲、乙之間的距離為200＋100=300（米）。

47、現(xiàn)在是3點(diǎn)，什么時(shí)候時(shí)針與分針第一次重合？

分析與解：3點(diǎn)時(shí)分針指12，時(shí)針指3。分針在時(shí)針后5×3＝15（個(gè)）

格.

48、有一座時(shí)鐘現(xiàn)在顯示10時(shí)整。那么，經(jīng)過多少分鐘，分針與時(shí)針第一次重合；再經(jīng)過多少分鐘，分針與時(shí)針其次次重合？

解：10時(shí)整，分針與時(shí)針距離是10格，需要追擊的距離是（60-10）格，分針走60格，時(shí)針走5格，即分針走1格，時(shí)針走5/60=1/12格。

第一次重合經(jīng)過??（60-10）/（1-1/12）=54（6/11）（分）

其次次重合再經(jīng)過??60/（1-1/12）=65（5/11）（分）

答：經(jīng)過54（6/11）分鐘，分針與時(shí)針第一次重合；再經(jīng)過65（5/11）分鐘，分針與時(shí)針其次次重合。

2點(diǎn)鐘以后，什么時(shí)刻分針與時(shí)針第一次成直角？

分析與解：在2點(diǎn)整時(shí)，分針落后時(shí)針5×2=10（個(gè)）格，當(dāng)分針與時(shí)針第一次成直角時(shí)，分針超過時(shí)針60×（90÷360）=15（個(gè)）格，因此在這段時(shí)光內(nèi)分針要比時(shí)針多走10+15=25（個(gè)）格，所以到達(dá)這一時(shí)刻所用的時(shí)光為：

49、在9點(diǎn)與10點(diǎn)之間的什么時(shí)刻，分針與時(shí)針在一條直線上？

分析與解：分兩種狀況舉行研究。①分針與時(shí)針的夾角為180°角：當(dāng)分針與時(shí)針的夾角為180°角時(shí)，分針落后時(shí)針60×（180÷360）=30（個(gè)）格，而在9點(diǎn)整時(shí)，分針落后時(shí)針5×9=45（個(gè)）格.因此，在這段時(shí)光內(nèi)分針要比時(shí)針多走45-30=15（個(gè)）格，而每分鐘分針比時(shí)針多走

（分鐘）。

②分針與時(shí)針的夾角為0°，即分針與時(shí)針重合：

9點(diǎn)整時(shí)，分針落后時(shí)針5×9=45（個(gè)）格，而當(dāng)分針與時(shí)針重合時(shí)，分針要比時(shí)針多走45個(gè)格，因此到達(dá)這一時(shí)刻所用的時(shí)光為：45÷(1-1/12)＝49又1/11（分鐘）19、甲、乙二人分離從A、B兩地同時(shí)動身，假如兩人同向而行，甲26分鐘趕上乙；假如兩人相向而行，6分鐘可相遇，又已知乙每分鐘行50米，求A、B兩地的距離。

解：先畫圖如下：

【辦法一】若設(shè)甲、乙二人相遇地點(diǎn)為C，甲追及乙的地點(diǎn)為D，則由題意可知甲從A到C用6分鐘.而從A到D則用26分鐘，因此，甲走C到D之間的路程時(shí)，所用時(shí)光應(yīng)為：（26-6）=20（分）。

同時(shí)，由上圖可知，C、D間的路程等于BC加BD.即等于乙在6分鐘內(nèi)所走的路程與在26分鐘內(nèi)所走的路程之和，為50×（26＋6）=1600（米）.所以，甲的速度為1600÷20＝80（米/分），由此可求出A、B間的距離。

50×（26+6）÷（26-6）=50×32÷20＝80（米/分）

（80+50）×6＝130×6=780（米）

答：A、B間的距離為780米。

【辦法二】設(shè)甲的速度是x米/分鐘

那么有(x-50)×26=(x+50)×6

解得x=80

所以兩地距離為(80+50)×6=780米

5．小張與小王分離從甲、乙兩村同時(shí)動身，在兩村之間來回行走（到達(dá)另一村后就馬上返回），他們在離甲村3.5千米處第一次相遇，在離乙村2千米處其次次相遇.

問他們兩人第四次相遇的地點(diǎn)離乙村多遠(yuǎn)（相遇指迎面相遇）？

解：畫暗示圖如下.

其次次相遇兩人已共同走了甲、乙兩村距離的3倍，因此張走了

3.5×3＝10.5（千米）.

從圖上可看出，其次次相遇處離乙村2千米.因此，甲、乙兩村距離是

10.5-2＝8.5（千米）.

每次要再相遇，兩人就要共同再走甲、乙兩村距離2倍的路程.第四次相遇時(shí)，兩人已共同走了兩村距離（3＋2＋2）倍的行程.其中張走了

3.5×7＝2

4.5（千米），

24.5=8.5＋8.5＋7.5（千米）.

就知道第四次相遇處，離乙村

8.5-7.5=1（千米）.

答：第四次相遇地點(diǎn)離乙村1千米.

例20從甲市到乙市有一條馬路，它分成三段.在第一段上，汽車速度是每小時(shí)40千米，在其次段上，汽車速度是每小時(shí)90千米，在第三段上，汽車速度是每小時(shí)50千米.已知第一段馬路的長恰好是第三段的2倍.現(xiàn)有兩輛汽車分離從甲、乙兩市

同時(shí)動身，相向而行.1小時(shí)20分后，在其次段的1/3處（從甲方到乙方向的1/3處）相遇，那么，甲、乙兩市相距多少千米？

解一：畫出如下暗示圖：

當(dāng)從乙城動身的汽車走完第三段到C時(shí)，從甲城動身的汽車走完第一段的

到達(dá)D處，這樣，D把第一段分成兩部分

兩車在其次段的1/3處相遇，水明甲城汽車從D到E走完第一段，與乙城汽車走完其次段的1/3從C到F，所用時(shí)光相同，設(shè)這一時(shí)光為一份，一小時(shí)20分相當(dāng)于因此就知道，汽車在第一段需要

其次段需要30×3＝90（分鐘）；

甲、乙兩市距離是

答：甲、乙兩市相距185千米.

把每輛車從動身到相遇所走的行程都分成三段，而兩車逐段所用時(shí)光都相應(yīng)地一樣.這樣通過“所用時(shí)光”使各段之間建立了換算關(guān)系.這是一種典型的辦法.例8、例13也是類似思路，僅僅是問題容易些.

還可以用“比例分配”辦法求出各段所用時(shí)光.

解二：走第一段的2/5,與走第三段時(shí)光一樣就得出

第一段所用時(shí)光∶第三段所用時(shí)光=5∶2.

D至E與C至F所用時(shí)光一樣，就是走第一段的3/5與走其次段的1/3所用時(shí)光一樣。

第一段所用時(shí)光∶其次段所用時(shí)光=5∶9.

因此，三段路程所用時(shí)光的比是：5∶9∶2.

行程問題（三）

相遇問題是指兩個(gè)物體在行進(jìn)過程中相向而行，然后在途中某點(diǎn)相遇的行程問題。其主要數(shù)量關(guān)系式為：

總路程=速度和×相遇時(shí)光

追及問題是指兩個(gè)物體在行進(jìn)過程中同向而行，快行者從后面追上慢行者的行程問題。其主要數(shù)量關(guān)系式為：

路程差=速度差×追準(zhǔn)時(shí)間

例1姐姐放學(xué)回家，以每分鐘80米的速度步行回家，12分鐘后妹妹騎車以每分鐘240米的速度從小學(xué)往家中騎，經(jīng)過幾分鐘妹妹可以追上姐姐？

分析：經(jīng)過12分鐘，姐姐到達(dá)A地，妹妹騎車回家。如下圖所示：

例2一輛公共汽車和一輛小轎車同時(shí)從相距360千米的兩地相向而行，公共汽車每小時(shí)行35千米，小轎車每小時(shí)行55千米，幾小時(shí)后兩車相距90千米？

分析：兩車從相距360千米的兩地同時(shí)動身相向而行，距離逐漸縮短，在相遇前

某一時(shí)刻兩車相距90千米。如下圖

這時(shí)兩車共行的路程為

360－90=270（千米）

值得注重的是，當(dāng)兩車相遇后繼續(xù)行駛時(shí)，兩車之間的距離又從零逐漸增大，到某一時(shí)刻，兩車再一次相距90千米。如下圖所示

例3兄弟兩人騎自行車同時(shí)從小學(xué)動身回家。哥哥每小時(shí)行15千米，弟弟每小時(shí)行10千米。動身半個(gè)小時(shí)后哥哥因事返回小學(xué)，到小學(xué)后又耽誤了1小時(shí)，然后出發(fā)去追弟弟。當(dāng)哥哥追上弟弟時(shí)，距小學(xué)多少千米？

分析：本題可以分段考慮，從開頭一步步分析。動身半個(gè)小時(shí)后，哥哥因事返回小學(xué)，在這個(gè)過程中哥哥和弟弟各行了1小時(shí)，到小學(xué)后哥哥又耽誤了1小時(shí)，這時(shí)弟弟又行了1小時(shí)。因此可以看作當(dāng)哥哥預(yù)備從小學(xué)追弟弟時(shí)，弟弟共行了2小時(shí)，弟弟2小時(shí)所行的路程就是哥哥與弟弟的路程差，由此可求出追準(zhǔn)時(shí)間。

例4小張、小明兩人同時(shí)從甲、乙兩地動身相向而行，兩人在離甲地40米處第一次相遇，相遇后兩人仍以原速繼續(xù)行駛，并且在各自到達(dá)對方動身點(diǎn)后立刻沿原路返回，途中兩人在距乙地15米處其次次相遇。甲、乙兩地相距多少米？

分析：按照題意畫圖如下

例5在周長為400米的圓形跑道的一條直徑的兩端，甲、乙兩人分離以每秒6米和每秒4米的速度騎自行車同時(shí)同向動身（順時(shí)針）沿圓周行駛，經(jīng)過多長時(shí)光，

甲其次次追上乙？

分析：如圖，在動身的時(shí)候，甲、乙兩人相距半個(gè)周長，按照路程差÷速度差=追準(zhǔn)時(shí)間，就可求出甲第一次追上乙的時(shí)光。當(dāng)甲追上乙后，兩人就可以看作同時(shí)同地動身，同向而行。甲要追上乙，就要比乙多騎一圈400米，從而可求出甲其次次追上乙的時(shí)光。

例6客車、貨車、卡車三輛車，客車每小時(shí)行60千米，貨車每小時(shí)行50千米，卡車每小時(shí)行55千米?？蛙?、貨車從東鎮(zhèn)，卡車從西鎮(zhèn)，同時(shí)相向而行，卡車遇上客車后，10小時(shí)后又遇上了貨車。東西兩鎮(zhèn)相距多少千米？

分析：按照題意畫圖

當(dāng)卡車與客車在A點(diǎn)相遇時(shí)，而貨車行到B點(diǎn)，10小時(shí)后，卡車又碰到貨車，說明在10小時(shí)內(nèi)卡車與貨車合行路程是（卡車與客車相遇時(shí)）客車與貨車所行的路程差?？蛙嚺c貨車相差A(yù)B的路程所用的時(shí)光就是卡車與客車的相遇時(shí)光。

例7商場的自動扶梯以勻速由下往上行駛，兩個(gè)孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行駛的扶梯上，男孩每秒鐘向上走2個(gè)梯級，女孩每2秒向上走3個(gè)梯級。結(jié)果男孩用40秒鐘到達(dá)，女孩用50秒鐘到達(dá)。則當(dāng)該扶梯靜止時(shí)，可看到的扶梯級有：A．80級B．100級C．120級D．140級（2022年中心真題）解析；這是一個(gè)典型的行程問題的變型，總路程為“扶梯靜止時(shí)可看到的扶梯級”，速度為“男孩或女孩每個(gè)單位向上運(yùn)動的級數(shù)”，假如設(shè)電梯勻速時(shí)的速度為X，則可列

方程如下，

（X+2）×40=（X+3/2）×50

解得X=0.5也即扶梯靜止時(shí)可看到的扶梯級數(shù)=（2+0.5）×40=100

所以，答案為B。

例8姐弟倆出游，弟弟先走一步，每分鐘走40米，走了80米后姐姐去追他。姐姐每分鐘走60米，姐姐帶的小狗每分鐘跑150米。小狗追上了弟弟又轉(zhuǎn)去找姐姐，碰上了姐姐又轉(zhuǎn)去追弟弟，這樣跑來跑去，直到姐弟相遇小狗才停下來。問小狗共跑了多少米?

A．600米B．800米C．1200米D．1600米（2022年中心A類）

解析：此題將追及問題和普通路程問題結(jié)合起來，是一道經(jīng)典習(xí)題。

首先求姐姐多少時(shí)光可以追上弟弟，速度差=60米/分-40米/=20米/分，追擊距離=80米，所以，姐姐只要80米÷20米/分=4分種即可追上弟弟，在這4種內(nèi)，小狗向來處于運(yùn)動狀態(tài)，所以小狗跑的路程=150米/分×4分=600米。

所以，正確答案為A。

練習(xí)：甲乙兩人從相距50千米的兩地同時(shí)動身，相向而行。甲每小時(shí)行6千米，乙每小時(shí)行4千米，甲帶著一只狗，狗每小時(shí)跑12千米，這只狗同甲一道動身，；遇到乙的時(shí)候，它就掉頭朝甲這邊跑，遇到甲時(shí)又往乙那邊跑，直到兩人相遇，這

只狗一共跑了多少千米？

例9某校下午2點(diǎn)整派車去某廠接勞模作報(bào)告，來回需1小時(shí)。該勞模在下午1點(diǎn)整就離廠步行向小學(xué)走來，途中碰到接他的車，便坐上車去小學(xué)，于下午2點(diǎn)30分到達(dá)。問汽車的速度是勞模的步行速度的幾倍?

A．5倍B．6倍C．7倍D．8倍（2022年中心B類）

解析，假如接勞模來回需1小時(shí)，而實(shí)際上汽車2點(diǎn)動身，30分鐘便回來，這說明碰到勞模的地點(diǎn)在中點(diǎn)，也即勞模以步行速度（時(shí)光從1點(diǎn)到2點(diǎn)15分）走的距離和汽車所行的距離（2點(diǎn)到2點(diǎn)15分）相等。設(shè)勞模的步行速度為A/小時(shí)，汽車的速度是勞模的步行速度的X倍，則可列方程

5/4A=1/4AX

解得X=5

所以，正確答案為A。

例10甲乙兩人騎車同時(shí)從南北兩地相向而行，甲每小時(shí)行23千米，乙每小時(shí)行18千米，兩人在距兩地中點(diǎn)10千米處相遇，南北兩地相距多少千米？

分析：按照題意畫圖如下

從圖中可以看出，甲走了南北距離的一半多10千米，乙走了南北距離的一半少10千米。從動身到相遇，甲比乙多走了兩個(gè)10千米。又已知甲每小時(shí)比乙多行

23－18=5（千米）

多少小時(shí)后甲就比乙多行20千米？這個(gè)時(shí)光就是甲乙相遇時(shí)光，有了相遇時(shí)光，南北兩地的距離就可求出了。

例11甲、乙兩人同時(shí)從東、西兩地分離動身，假如兩人同向而行，甲28分鐘追上乙；假如兩人相向而行，8分鐘相遇。已知乙每分鐘行50米，東西兩地相距多少米？

分析：按照題意畫圖如下

從圖中可以看出甲