演示文稿多層線性模型

演示文稿多層線性模型現(xiàn)在是1頁\一共有86頁\編輯于星期三（優(yōu)選）多層線性模型現(xiàn)在是2頁\一共有86頁\編輯于星期三主要內(nèi)容一、多層線性模型簡介二、多層線性模型基本原理三、多層線性模型HLM軟件的應(yīng)用現(xiàn)在是3頁\一共有86頁\編輯于星期三多層線性模型簡介1、多層數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的普遍性多層（多水平）數(shù)據(jù)指的是觀測數(shù)據(jù)在單位上具有嵌套的關(guān)系。（1）教育研究領(lǐng)域EG：學(xué)生鑲嵌于班級，班級鑲嵌于學(xué)校，或者學(xué)生簡單地鑲嵌于學(xué)校，這時學(xué)生代表了數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的第一層，而班級或?qū)W校代表的是數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的第二層；如果數(shù)據(jù)是學(xué)生鑲嵌于班級，而班級又是鑲嵌于學(xué)校，那么就是三層數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)?，F(xiàn)在是4頁\一共有86頁\編輯于星期三多層線性模型簡介（2）組織心理學(xué)研究領(lǐng)域Eg:雇員鑲嵌于不同的組織、工廠（3）發(fā)展心理學(xué)領(lǐng)域Eg:縱向研究、重復(fù)研究在一段時間內(nèi)對兒童進(jìn)行多次觀察，那么不同時間的觀測數(shù)據(jù)形成了數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的第一層，而兒童之間的個體差異則形成了數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的第二層。這樣，就可以探索個體在其發(fā)展趨勢或發(fā)展曲線上的差異?，F(xiàn)在是5頁\一共有86頁\編輯于星期三

兩水平層次結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)水平2

水平1

層次結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)的普遍性現(xiàn)在是6頁\一共有86頁\編輯于星期三

層次結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)為一種非獨立數(shù)據(jù)，即某觀察值在觀察單位間（或同一觀察單位的各次觀察間）不獨立或不完全獨立，其大小常用組內(nèi)相關(guān)(intra-classcorrelation，ICC)度量。例如，來自同一家庭的子女，其生理和心理特征較從一般總體中隨機(jī)抽取的個體趨向于更為相似，即子女特征在家庭中具有相似性，數(shù)據(jù)是非獨立的?，F(xiàn)在是7頁\一共有86頁\編輯于星期三違背了傳統(tǒng)回歸（OLS）中關(guān)于殘差相互獨立的假設(shè)采用經(jīng)典方法可能失去參數(shù)估計的有效性并導(dǎo)致不合理的推斷結(jié)論。

現(xiàn)在是8頁\一共有86頁\編輯于星期三經(jīng)典方法框架下的分析策略

經(jīng)典的線性模型只對某一層數(shù)據(jù)的問題進(jìn)行分析，而不能將涉及兩層或多層數(shù)據(jù)的問題進(jìn)行綜合分析。但有時某個現(xiàn)象既受到水平1變量的影響，又受到水平2變量的影響，還受到兩個水平變量的交互影響(cross-levelinteraction)?，F(xiàn)在是9頁\一共有86頁\編輯于星期三

個體的某事件既受到其自身特征的影響，也受到其生活環(huán)境的影響，即既有個體效應(yīng)，也有環(huán)境或背景效應(yīng)(contexteffect)。

例如，學(xué)生（個體）的學(xué)習(xí)成績與學(xué)生的勤奮程度有關(guān)，還與學(xué)校的師資配備有關(guān)。企業(yè)的創(chuàng)新能力與企業(yè)自身的創(chuàng)新投入、學(xué)習(xí)能力有關(guān)，還與企業(yè)所屬產(chǎn)業(yè)的R&D強(qiáng)度有關(guān)?，F(xiàn)在是10頁\一共有86頁\編輯于星期三多層線性模型簡介2、多層數(shù)據(jù)的傳統(tǒng)分析方法個體的行為既受個體自身特征的影響，也受到其所處環(huán)境的影響，所以研究者一直試圖將個體效應(yīng)與組效應(yīng)（背景效應(yīng)或環(huán)境效應(yīng)）區(qū)分開來。個體效應(yīng)：由個體自身特征所造成的變異。組效應(yīng)：由個體所處環(huán)境所造成的變異?，F(xiàn)在是11頁\一共有86頁\編輯于星期三多層線性模型簡介（1）只關(guān)注個體效應(yīng)，而忽視組效應(yīng)只在個體這一層數(shù)據(jù)上考慮變量間的關(guān)系，那么導(dǎo)致所觀測到的效應(yīng)既包含個體效應(yīng)，又包含組效應(yīng)，從而增大了犯一類錯誤的概率，夸大了變量間的關(guān)系。（2）在組水平上進(jìn)行分析把數(shù)據(jù)集中起來， 使其僅在第二層的組間發(fā)揮作用，從而丟失了重要的個體信息?，F(xiàn)在是12頁\一共有86頁\編輯于星期三多層線性模型簡介（3）組內(nèi)分析組間分析對相同的數(shù)據(jù)進(jìn)行三次計算：一是在組內(nèi)的個體層上進(jìn)行的分析，稱為組內(nèi)效應(yīng)二是通過平均或整合第一層中的個體數(shù)據(jù)，得到第二層的組間數(shù)據(jù)，稱為組間效應(yīng)三是忽視組的特性而對所有的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，稱為總效應(yīng)。在此基礎(chǔ)上，計算組內(nèi)效應(yīng)和組間效應(yīng)在總效應(yīng)的比例，從而確定變異來自于組間還是組內(nèi)。組內(nèi)分析組間分析的方法較前兩種方法更多地考慮到了第一層數(shù)據(jù)及第二層數(shù)據(jù)對變異產(chǎn)生的影響，但無法對組內(nèi)效應(yīng)和組間效應(yīng)做出具體的解釋，也就無法解釋為什么在不同的組變量間的關(guān)系存在差異?，F(xiàn)在是13頁\一共有86頁\編輯于星期三HLM數(shù)學(xué)模型例如：對73個學(xué)校1905名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，目的是考慮其剛上高中時的入學(xué)成績與三年后高考成績之間的關(guān)系?？紤]方法：（1）如果用傳統(tǒng)的線性回歸分析，直接在學(xué)生水平上進(jìn)行分析，得出入學(xué)學(xué)業(yè)成績對高考成績之間的一條回歸直線，如下圖1所示，從圖1的結(jié)果可以看出，傳統(tǒng)回歸分析沒有區(qū)分不同的學(xué)校之間的差異?，F(xiàn)在是14頁\一共有86頁\編輯于星期三圖1：不考慮學(xué)校之間差異的回歸直線

現(xiàn)在是15頁\一共有86頁\編輯于星期三HLM數(shù)學(xué)模型（2）如果將數(shù)據(jù)進(jìn)行簡單合并，用每個學(xué)校學(xué)生的平均成績代替這個學(xué)校的成績，直接在學(xué)校水平上估計入學(xué)成績對高考成績的影響，得到一條回歸直線，如圖2所示，這種方法忽略了不同學(xué)生（個體）之間的差異；現(xiàn)在是16頁\一共有86頁\編輯于星期三圖2：只考慮學(xué)校差異忽略學(xué)生差異回歸直線

現(xiàn)在是17頁\一共有86頁\編輯于星期三HLM數(shù)學(xué)模型（3）如果假設(shè)不同學(xué)校入學(xué)成績對高考成績的回歸直線截距不同，斜率相同（平均學(xué)習(xí)成績之間存在差異），得到如圖3的結(jié)果，從圖中結(jié)果可以看出，不同學(xué)校學(xué)生平均高考成績之間存在差異?，F(xiàn)在是18頁\一共有86頁\編輯于星期三圖3：考慮不同學(xué)校平均成績差異的回歸直線現(xiàn)在是19頁\一共有86頁\編輯于星期三HLM數(shù)學(xué)模型（4）對73所學(xué)校分別做回歸分析，得到如圖4的結(jié)果，如圖4所示，從圖中結(jié)果可以看出，不同學(xué)?；貧w直線的截距和斜率均不同，即：不同學(xué)校學(xué)生平均高考成績之間存在差異，入學(xué)學(xué)業(yè)成績對高考成績的影響強(qiáng)度不同?，F(xiàn)在是20頁\一共有86頁\編輯于星期三圖4：考慮不同學(xué)校平均成績差異和入學(xué)對畢業(yè)成績影響程度差異的回歸直線現(xiàn)在是21頁\一共有86頁\編輯于星期三在許多研究中，取樣往往來自不同層級和單位，這種數(shù)據(jù)帶來了很多跨級（多層）的研究問題，解決這些問題的一種新的數(shù)據(jù)分析方法——多層模型分析技術(shù)。這一方法的開創(chuàng)及發(fā)展的主要貢獻(xiàn)者之一是英國倫敦大學(xué)的HarveyGoldstein教授及研究者把這種方法稱作“多層分析”。另一主要開拓者美國密歇根大學(xué)的StephenW.Raudenbush教授和同行把它稱為“分層線性模型結(jié)構(gòu)”。在此，我們按照張雷等人的叫法稱其為“多層線性模型”或“多層模型”。

現(xiàn)在是22頁\一共有86頁\編輯于星期三多層線性模型簡介3、多層線性模型分析方法回歸的回歸方法Eg:學(xué)生成績（X）學(xué)習(xí)動機(jī)（Y）

班級教師教學(xué)水平（W）（1）求各個班級學(xué)生成績對學(xué)習(xí)動機(jī)的回歸現(xiàn)在是23頁\一共有86頁\編輯于星期三多層線性模型簡介（2）求教師教學(xué)水平對β0j和

β1j

的回歸方程現(xiàn)在是24頁\一共有86頁\編輯于星期三多層線性模型簡介4、多層線性模型的優(yōu)點（1）使用收縮估計的參數(shù)估計方法，使得估計結(jié)果更為穩(wěn)定、精確收縮估計：使用兩個估計的加權(quán)綜合作為最后的估計。其一是來自第一層數(shù)據(jù)的OLS估計，另一個是來自第二層數(shù)據(jù)的加權(quán)最小二乘法估計，最后的估計是對以上兩個估計的加權(quán)。（2）可以處理樣本不等的數(shù)據(jù)eg:當(dāng)某些第二層單位在第一層的取樣甚少時，可以借助于其他二層單位和二層預(yù)測變量，對取樣較少的一層單位進(jìn)行回歸分析。第一層單位3個及以上?，F(xiàn)在是25頁\一共有86頁\編輯于星期三多層線性模型簡介5、多層線性模型的應(yīng)用范圍（1）組織和管理研究（2）對個體進(jìn)行追蹤、多次觀測的發(fā)展研究（3）教育研究（4）元分析研究現(xiàn)在是26頁\一共有86頁\編輯于星期三多層線性模型基本原理1、多層線性模型的基本形式水平1（如：學(xué)生）

水平2（如：學(xué)校）

jju0000+=gbYij---第j個學(xué)校的第i個學(xué)生jju1101+=gb指固定成分隨機(jī)成分現(xiàn)在是27頁\一共有86頁\編輯于星期三多層線性模型基本原理

為固定成分，指第二層單位間β0j

和β1j

的平均值為隨機(jī)成分，指第二層單位β0j

和β1j

的變異現(xiàn)在是28頁\一共有86頁\編輯于星期三多層線性模型基本原理把第一層和第二層方程整合如下：誤差項間是相關(guān)的：同一第二層單位的個體有相同的誤差項間方差不等：相同第二層單位內(nèi)的個體間相似性比不同單位內(nèi)個體相似性高誤差項與自變量有關(guān)：殘差項包含殘差項現(xiàn)在是29頁\一共有86頁\編輯于星期三多層線性模型基本原理因此，多層數(shù)據(jù)并不滿足傳統(tǒng)OLS回歸分析關(guān)于殘差項的諸多假設(shè)。而多層線性模型將殘差項進(jìn)行了分解，更符合實際情況，所以對于多層數(shù)據(jù)使用多層線性模型進(jìn)行分析更為合理?，F(xiàn)在是30頁\一共有86頁\編輯于星期三多層線性模型基本模型2、多層線性模型的基本模型零模型（TheNullModel）第一層和第二層均沒有預(yù)測變量，只是將方程分解為由個體差異造成的部分及由組差異造成的部分，這種方法為方差成分分析?，F(xiàn)在是31頁\一共有86頁\編輯于星期三多層線性模型——零模型第一層：第二層：合并模型：ijojijeuY++=00g現(xiàn)在是32頁\一共有86頁\編輯于星期三多層線性模型——零模型

指第j個二層單位Y的平均值指第j個二層單位Y的變異指所有二層單位的Y的總體平均數(shù)指第二層方程的殘差（隨機(jī)項）跨級相關(guān)：指Y的總體變異中有多大比例是由第二層的變異引起的。

現(xiàn)在是33頁\一共有86頁\編輯于星期三多層線性模型——完整模型完整模型（TheFullModel）既包含了第一層的預(yù)測變量，又包含了第二層的預(yù)測變量，可通過理論建構(gòu)來說明解釋Y的總體變異是怎樣受第一層和第二層因素的影響。第一層：現(xiàn)在是34頁\一共有86頁\編輯于星期三多層線性模型——完整模型第二層：jjjuW001000++=ggb現(xiàn)在是35頁\一共有86頁\編輯于星期三多層線性模型——完整模型在第一層方程中，0代表截距，1代表斜率在第二層方程中，第一個下標(biāo)代表第一層參數(shù)的類型；第二個下標(biāo)代表第二層參數(shù)的類型。β0j和β1j的預(yù)測變量可以相同，也可以不同?，F(xiàn)在是36頁\一共有86頁\編輯于星期三多層線性模型——協(xié)方差模型在零模型與完整模型之間，可通過向各層方程中增加不同的變量，設(shè)定不同的隨機(jī)成分與固定成分來建構(gòu)各種分析模型。協(xié)方差模型（ANCOVAModel）第一層：第二層：現(xiàn)在是37頁\一共有86頁\編輯于星期三多層線性模型——協(xié)方差模型第一層方程中，預(yù)測變量采用總體平均數(shù)為參照的離差，與傳統(tǒng)協(xié)方差分析的區(qū)別是β0j被進(jìn)一步分解為和β1j沒有隨機(jī)項，反映了協(xié)方差分析的一個重要前提，協(xié)變量對因變量的回歸系數(shù)的組間一致性。檢驗這種假設(shè)的方法是把納入到方程中，并檢驗是否成立?，F(xiàn)在是38頁\一共有86頁\編輯于星期三多層線性模型——隨機(jī)效應(yīng)回歸模型隨機(jī)效應(yīng)回歸模型（RadomEeffectRegressionModel）第一層：第二層：jju0000+=gbjju1101+=gb現(xiàn)在是39頁\一共有86頁\編輯于星期三多層線性模型——隨機(jī)效應(yīng)回歸模型此模型與完整模型的區(qū)別在于第二層沒有預(yù)測變量；與傳統(tǒng)OLS回歸區(qū)別在于第一層的β0j和β1j是隨機(jī)的而非固定的，其目的是尋找第一層的截距、斜率在第二層單位上的變異?，F(xiàn)在是40頁\一共有86頁\編輯于星期三多層線性模型——發(fā)展模型發(fā)展模型發(fā)展模型是把多次觀測結(jié)果作為時間的某種數(shù)學(xué)函數(shù)來建構(gòu)模型。它多用于發(fā)展研究、縱向研究或者追蹤研究。在這種模型中，第一層數(shù)據(jù)為不同時間的觀察結(jié)果，第二層數(shù)據(jù)為個體的特征?，F(xiàn)在是41頁\一共有86頁\編輯于星期三多層線性模型——發(fā)展模型第一層：線性發(fā)展模型Time:一般用編碼的形式來反映增量Eg:0、1、2、3、4、5

－5、－4、－3、－2、－1、0線性發(fā)展模型的第一層方程并不一定為線性方程，也可以為非線性方程。Eg:現(xiàn)在是42頁\一共有86頁\編輯于星期三多層線性模型——發(fā)展模型“確定發(fā)展變異”的第二層：jju0000+=gbjju1101+=gb時間變量編碼為0時Y的總體平均數(shù)線性發(fā)展斜率的總體平均值指個體j與平均發(fā)展斜率的離差指個體j與平均截距的離差現(xiàn)在是43頁\一共有86頁\編輯于星期三多層線性模型——發(fā)展模型“預(yù)測發(fā)展變異”的第二層：jjjuW001000++=ggb考慮第二層的預(yù)測變量W后第一層的截距和第一層的斜率在第二層單位間的殘差方差代表第二層的變量W對第一層截距的效應(yīng)現(xiàn)在是44頁\一共有86頁\編輯于星期三多層線性模型——三層模型三層模型是二層模型的直接擴(kuò)展，我們也可以根據(jù)需要選擇零模型與完整模型之間的任何模型。模型1：零模型第一層：第二層：第三層：現(xiàn)在是45頁\一共有86頁\編輯于星期三多層線性模型——三層模型第一個下標(biāo)表示第一層方程中的參數(shù)；第二個下標(biāo)表示第二層方程中的參數(shù)；第三個下標(biāo)表示第三層方程中的參數(shù)。表示第二層單位之間的變異，表示第三層單位之間的變異跨級相關(guān)：第一層的方差和總方差之比：第二層的方差和總方差之比：第三層的方差和總方差之比：現(xiàn)在是46頁\一共有86頁\編輯于星期三多層線性模型——三層模型模型2：完整模型第一層：第二層：現(xiàn)在是47頁\一共有86頁\編輯于星期三多層線性模型——三層模型第三層：現(xiàn)在是48頁\一共有86頁\編輯于星期三HLM應(yīng)用舉例hsb1.sav和hsb2.sav

在水平一的數(shù)據(jù)文件hsb1.sav中，有7185個觀測樣本和四個第一水平的變量（不包含第二水平指標(biāo)變量：學(xué)校編號ID），這四個變量所表示的含義如下：minority，學(xué)生的種族（1=少數(shù)民族，0=其他）female：學(xué)生性別（1=女，0=男）ses：學(xué)生的社經(jīng)地位，由學(xué)生父母受教育程度、職業(yè)和收入合成，變量已被標(biāo)準(zhǔn)化mathach：學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績現(xiàn)在是49頁\一共有86頁\編輯于星期三HLM應(yīng)用舉例數(shù)據(jù)文件hsb2.sav中包含有160個學(xué)校，每個學(xué)校測量了六個學(xué)校水平的變量（不包含學(xué)校指標(biāo)變量ID）?！ize：學(xué)校招生人數(shù)·sector：學(xué)校類型（1=天主教教會學(xué)校，0=公立學(xué)校）·pracad：從事學(xué)術(shù)研究的學(xué)生的比例·disclim：學(xué)校紀(jì)律環(huán)境，由量表測量得到·himnty：學(xué)校招生少數(shù)民族學(xué)生比例描述（1=超過40%少數(shù)民族學(xué)生，0=其他）·meanses：包含在水平1數(shù)據(jù)中，每個學(xué)校學(xué)生的平均社經(jīng)地位

現(xiàn)在是50頁\一共有86頁\編輯于星期三層1數(shù)據(jù)現(xiàn)在是51頁\一共有86頁\編輯于星期三層2數(shù)據(jù)現(xiàn)在是52頁\一共有86頁\編輯于星期三HLM應(yīng)用舉例目的：分析影響學(xué)生數(shù)學(xué)成績的學(xué)生水平變量和學(xué)校水平變量現(xiàn)在是53頁\一共有86頁\編輯于星期三現(xiàn)在是54頁\一共有86頁\編輯于星期三現(xiàn)在是55頁\一共有86頁\編輯于星期三現(xiàn)在是56頁\一共有86頁\編輯于星期三現(xiàn)在是57頁\一共有86頁\編輯于星期三現(xiàn)在是58頁\一共有86頁\編輯于星期三指定層1變量現(xiàn)在是59頁\一共有86頁\編輯于星期三指定層2變量現(xiàn)在是60頁\一共有86頁\編輯于星期三保存MDM模板生成MDM文件查看MDM的統(tǒng)計量現(xiàn)在是61頁\一共有86頁\編輯于星期三MDM的描述統(tǒng)計量現(xiàn)在是62頁\一共有86頁\編輯于星期三現(xiàn)在是63頁\一共有86頁\編輯于星期三選擇層1的結(jié)果變量現(xiàn)在是64頁\一共有86頁\編輯于星期三無條件模型現(xiàn)在是65頁\一共有86頁\編輯于星期三無條件模型參數(shù)估計結(jié)果Finalestimationofvariancecomponents:-----------------------------------------------------------------------------RandomEffectStandardVariancedfChi-squareP-valueDeviationComponent-----------------------------------------------------------------------------INTRCPT1,2.935018.614311591660.232590.000level-1,R6.2568639.14831-----------------------------------------------------------------------------現(xiàn)在是66頁\一共有86頁\編輯于星期三填加層1解釋變量現(xiàn)在是67頁\一共有86頁\編輯于星期三含有第一水平預(yù)測變量的HLM模型（隨機(jī)系數(shù)模型）現(xiàn)在是68頁\一共有86頁\編輯于星期三隨機(jī)系數(shù)模型參數(shù)估計結(jié)果Finalestimationoffixedeffects(withrobuststandarderrors)----------------------------------------------------------------------------StandardApprox.FixedEffectCoefficientErrorT-ratiod.f.P-value----------------------------------------------------------------------------ForINTRCPT1,B0INTRCPT2,G0012.6649350.18925166.9211590.000ForSESslope,B1INTRCPT2,G102.3938780.11769720.3391590.000----------------------------------------------------------------------------現(xiàn)在是69頁\一共有86頁\編輯于星期三Finalestimationofvariancecomponents:-----------------------------------------------------------------------------RandomEffectStandardVariancedfChi-squareP-valueDeviationComponent-----------------------------------------------------------------------------INTRCPT1,U02.197684.82978159905.264720.000SESslope,U10.646750.41828159216.211780.002level-1,R6.0686436.82835-----------------------------------------------------------------------------現(xiàn)在是70頁\一共有86頁\編輯于星期三含有第二水平預(yù)測變量的模型現(xiàn)在是71頁\一共有86頁\編輯于星期三TheoutcomevariableisMATHACHFinalestimationoffixedeffects(withrobuststandarderrors)----------------------------------------------------------------------------StandardApprox.FixedEffectCoefficientErrorT-ratiod.f.P-value----------------------------------------------------------------------------ForINTRCPT1,B0INTRCPT2,G0012.6584100.17326373.0591580.000DISCLIM,G01-1.1285190.160735-7.0211580.000ForSESslope,B1INTRCPT2,G102.4092880.11219421.4741580.000DISCLIM,G110.5706150.1239064.6051580.000----------------------------------------------------------------------------現(xiàn)在是72頁\一共有86頁\編輯于星期三Finalestimationofvariancecomponents:-----------------------------------------------------------------------------RandomEffectStandardVariancedfChi-squareP-valueDeviationComponent-----------------------------------------------------------------------------INTRCPT1,U01.934673.74295158730.839400.000SESslope,U10.454910.20694158189.395720.045level-1,R6.0650136.78432-----------------------------------------------------------------------------現(xiàn)在是73頁\一共有86頁\編輯于星期三Inthelevel-2model,boththeinterceptandSESslopearetobemodeledasdependentontheschool'smeansocialclass(MEANSES)andschoolsector(SECTOR).現(xiàn)在是74頁\一共有86頁\編輯于星期三填加層2的解釋變量現(xiàn)在是75頁\一共有86頁\編輯于星期三現(xiàn)在是76頁\一共有86頁\編輯于星期三混合模型現(xiàn)在是77頁\一共有86頁\編輯于星期三Usinglevelsubscripts現(xiàn)在是78頁\一共有86頁\編輯于星期三指定層1系數(shù)為隨機(jī)的或非隨機(jī)的現(xiàn)在是79頁\一共有86頁\編輯于星期三結(jié)果分析現(xiàn)在是80頁\一共有86頁\編輯于星期三個體水平模型Yij=0j+1jX1ij+2jX2ij+…+KjXKij+rij第j組第

i個個體因變量的觀測值第j個組的截距第j組

X1

對應(yīng)的斜率第j組

X2

對應(yīng)的斜率第j組

XK

對應(yīng)的斜率現(xiàn)在是81頁\一共有86頁\編輯于星期三背景（Contextual）模型

Yij=0j+1jX1ij+2jX2ij+…+