第五章-圖像消噪和恢復(fù)

第五章__圖像消噪和恢復(fù)第一頁(yè)，共49頁(yè)。圖像的退化是指圖像在形成、傳輸和記錄過(guò)程中，由于成像系統(tǒng)、傳輸介質(zhì)和設(shè)備的不完善，使圖像的質(zhì)量變壞第二頁(yè)，共49頁(yè)。圖像復(fù)原就是要盡可能恢復(fù)退化圖像的本來(lái)面目，它是沿圖像退化的逆過(guò)程進(jìn)行處理。第三頁(yè)，共49頁(yè)。典型的圖像復(fù)原是根據(jù)圖像退化的先驗(yàn)知識(shí)建立一個(gè)退化模型，以此模型為基礎(chǔ)，采用各種逆退化處理方法進(jìn)行恢復(fù)，得到質(zhì)量改善的圖像。圖像復(fù)原過(guò)程如下：找退化原因→建立退化模型→反向推演→恢復(fù)圖像可見(jiàn)，圖像復(fù)原主要取決于對(duì)圖像退化過(guò)程的先驗(yàn)知識(shí)所掌握的精確程度，體現(xiàn)在建立的退化模型是否合適。第四頁(yè)，共49頁(yè)。圖像復(fù)原和圖像增強(qiáng)的區(qū)別：圖像增強(qiáng)不考慮圖像是如何退化的，而是試圖采用各種技術(shù)來(lái)增強(qiáng)圖像的視覺(jué)效果。因此，圖像增強(qiáng)可以不顧增強(qiáng)后的圖像是否失真，只要看得舒服就行。圖像復(fù)原就完全不同，需知道圖像退化的機(jī)制和過(guò)程等先驗(yàn)知識(shí)，據(jù)此找出一種相應(yīng)的逆處理方法，從而得到復(fù)原的圖像。如果圖像已退化，應(yīng)先作復(fù)原處理，再作增強(qiáng)處理。二者的目的都是為了改善圖像的質(zhì)量。第五頁(yè)，共49頁(yè)。

圖像退化指由場(chǎng)景得到的圖像沒(méi)能完全地反映場(chǎng)景的真實(shí)內(nèi)容，產(chǎn)生了失真等問(wèn)題。在圖像采集過(guò)程中產(chǎn)生的退化常被稱為模糊(blurring)在圖像記錄過(guò)程中產(chǎn)生的退化常被稱為噪聲(noise)模糊用頻率分析的語(yǔ)言來(lái)說(shuō)是高頻分量得到抑制或消除的過(guò)程噪聲是一個(gè)統(tǒng)計(jì)過(guò)程，所以噪聲對(duì)一個(gè)特定圖像的影響是不確定的。噪聲是最常見(jiàn)的退化因素之一，也是圖像恢復(fù)中重點(diǎn)研究的內(nèi)容。第六頁(yè)，共49頁(yè)。圖像中的噪聲可定義為圖像中不希望有的部分，或圖像中不需要的部分。噪聲既可能有一定的隨機(jī)性，也可能比較規(guī)則或有規(guī)律。很多情況下將噪聲看成不確定的隨機(jī)現(xiàn)象，主要采用概率論和統(tǒng)計(jì)的方法來(lái)處理。圖像中的噪聲并不需要與信號(hào)對(duì)立，它可以與信號(hào)有密切的聯(lián)系。如果將信號(hào)除去，噪聲也可能變化。在很多情況下，噪聲的（隨機(jī)/規(guī)則）特性不很重要，重要的是它的強(qiáng)度，或者說(shuō)人們只關(guān)心它的強(qiáng)度。

信噪比SNR(signal-to-noiseratio)信噪比是一個(gè)重要的放大器或通信系統(tǒng)的質(zhì)量指標(biāo)。在圖像壓縮中，信噪比用來(lái)作為表示壓縮－解壓縮的一個(gè)客觀保真度準(zhǔn)則。第七頁(yè)，共49頁(yè)。幾種常見(jiàn)的噪聲

1.熱噪聲

與物體的絕對(duì)溫度有關(guān)，也稱Johnson噪聲。指導(dǎo)電載流子由于熱擾動(dòng)而產(chǎn)生的噪聲，它可以產(chǎn)生對(duì)不同波長(zhǎng)有相同能量的頻譜，相同頻率間隔內(nèi)的能量相同，也稱為高斯噪聲或白噪聲。2.閃爍(flicker)噪聲由電流運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致的一種噪聲，也有人稱為粉色噪聲，粉色噪聲在對(duì)數(shù)頻率間隔內(nèi)有相同的能量。一般具有反比于頻率的頻譜，也稱1/f噪聲。3.發(fā)射(shot)噪聲

電流非均勻流動(dòng)，電子運(yùn)動(dòng)有隨機(jī)性的結(jié)果，在本該穩(wěn)定的直流分量里實(shí)際上還保留了一個(gè)交流分量。也是一種高斯分布的噪聲。第八頁(yè)，共49頁(yè)。

4.有色(colored)噪聲：指具有非白色頻譜的寬帶噪聲。相對(duì)白噪聲來(lái)說(shuō)，有色噪聲中低頻分量占了較大比重。白噪聲：指功率譜密度在整個(gè)頻域內(nèi)均勻分布的噪聲，所有頻率具有相同能量的隨機(jī)噪聲。是指信號(hào)中包含從負(fù)無(wú)窮到正無(wú)窮之間的所有頻率分量，且各頻率分量在信號(hào)中的權(quán)值相同。白光包含各個(gè)頻率成分的光，白噪聲這個(gè)名稱是由此由此而來(lái)的。第九頁(yè)，共49頁(yè)。高斯噪聲、均勻噪聲及脈沖（椒鹽）噪聲的概率密度函數(shù)P190第十頁(yè)，共49頁(yè)。高斯白噪聲：如果一個(gè)噪聲，它的幅度分布服從高斯分布，而它的功率譜密度又是均勻分布的，則稱它為高斯白噪聲。熱噪聲和散粒噪聲是高斯白噪聲。所謂高斯白噪聲中的高斯是指概率分布是正態(tài)函數(shù)，而白噪聲是指它的二階矩不相關(guān)，一階矩為常數(shù)，是指先后信號(hào)在時(shí)間上的相關(guān)性。這是考查一個(gè)信號(hào)的兩個(gè)不同方面的問(wèn)題。高斯白噪聲是指信號(hào)中包含從負(fù)無(wú)窮到正無(wú)窮之間的所有頻率分量，且各頻率分量在信號(hào)中的權(quán)值相同。白光包含各個(gè)頻率成分的光，白噪聲這個(gè)名稱是由此由此而來(lái)的。它在任意時(shí)刻的幅度是隨機(jī)的，但在整體上滿足高斯分布函數(shù)。時(shí)變信號(hào)的知識(shí)參考《信號(hào)與系統(tǒng)》，高斯白噪聲參考《通信原理》類書(shū)籍第十一頁(yè)，共49頁(yè)。5.1退化模型和對(duì)角化假定成像系統(tǒng)是線性位移不變系統(tǒng),則獲取的圖像g(x,y)表示為

g（x，y）=f（x，y）*h（x，y）f(x，y)表示理想的、沒(méi)有退化的圖像，g(x，y)是退化（所觀察到）的圖像。

第十二頁(yè)，共49頁(yè)。原始圖像f(x,y)經(jīng)過(guò)一個(gè)退化算子或退化系統(tǒng)H(x,y)的作用，再和噪聲n(x,y)進(jìn)行疊加，形成退化后的圖像g(x,y)。下圖表示退化過(guò)程的輸入和輸出的關(guān)系，其中H(x,y)概括了退化系統(tǒng)的物理過(guò)程，就是所要尋找的退化數(shù)學(xué)模型。圖像的退化模型g(x,y)=H［f(x,y)］+n(x,y)第十三頁(yè)，共49頁(yè)。數(shù)字圖像的圖像恢復(fù)問(wèn)題可看作是：根據(jù)退化圖像g(x,y)和退化算子H(x,y)的形式，沿著反向過(guò)程去求解原始圖像f(x,y)，或者說(shuō)是逆向地尋找原始圖像的最佳近似估計(jì)。圖像退化的過(guò)程可以用數(shù)學(xué)表達(dá)式寫(xiě)成如下的形式：

g(x,y)=H［f(x,y)］+n(x,y) 在這里，n(x,y)是一種統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的信息。在實(shí)際應(yīng)用中，往往假設(shè)噪聲是白噪聲，即它的頻譜密度為常數(shù)，并且與圖像不相關(guān)。第十四頁(yè)，共49頁(yè)。在圖像復(fù)原處理中，盡管非線性、時(shí)變和空間變化的系統(tǒng)模型更具有普遍性和準(zhǔn)確性，更與復(fù)雜的退化環(huán)境相接近，但它給實(shí)際處理工作帶來(lái)了巨大的困難，常常找不到解或者很難用計(jì)算機(jī)來(lái)處理。因此，在圖像復(fù)原處理中，往往用線性系統(tǒng)和空間不變系統(tǒng)模型來(lái)加以近似。這種近似的優(yōu)點(diǎn)使得線性系統(tǒng)中的許多理論可直接用于解決圖像復(fù)原問(wèn)題，同時(shí)又不失可用性。第十五頁(yè)，共49頁(yè)。在線性和空間不變系統(tǒng)的情況下，退化算子H具有如下性質(zhì):(1)線性：設(shè)f1(x,y)和f2(x,y)為兩幅輸入圖像，k1和k2為常數(shù)，則由該性質(zhì)還可推出下面兩個(gè)結(jié)論：①相加性：當(dāng)k1=k2=1時(shí),式(11-5)變?yōu)棰谝恢滦裕喝绻鹒2(x,y)=0，則式（11-5）變?yōu)橥嘶到y(tǒng)H的4個(gè)性質(zhì)第十六頁(yè)，共49頁(yè)。(2)空間不變性:如果對(duì)任意f(x,y)以及a和b，有則對(duì)于線性空間不變系統(tǒng)，輸入圖像經(jīng)退化后的輸出為：H是一個(gè)輪換矩陣P192塊輪換矩陣：輪換矩陣的對(duì)角化H＝WDW－1本征矢量，本征值P194

第十七頁(yè)，共49頁(yè)。點(diǎn)源的概念事實(shí)上，一幅圖像可以看成由無(wú)窮多極小的像素所組成，每一個(gè)像素都可以看作為一個(gè)點(diǎn)源成像，因此，一幅圖像也可以看成由無(wú)窮多點(diǎn)源形成的。在數(shù)學(xué)上，點(diǎn)源可以用狄拉克δ函數(shù)來(lái)表示。二維δ函數(shù)可定義為且滿足第十八頁(yè)，共49頁(yè)。它的一個(gè)重要特性就是采樣特性。即當(dāng)α=β=0時(shí)第十九頁(yè)，共49頁(yè)。一幅連續(xù)圖像f(x,y)可以看作是由一系列點(diǎn)源組成的。因此，f(x,y)可以通過(guò)點(diǎn)源函數(shù)的卷積來(lái)表示。即式中，δ函數(shù)為點(diǎn)源函數(shù)，表示空間上的點(diǎn)脈沖。在不考慮噪聲的一般情況下，連續(xù)圖像經(jīng)過(guò)退化系統(tǒng)H后的輸出為把式1代入式2得第二十頁(yè)，共49頁(yè)。線性位移不變系統(tǒng)的輸出等于系統(tǒng)的輸入和系統(tǒng)脈沖響應(yīng)（點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)）的卷積。第二十一頁(yè)，共49頁(yè)。式中，h(x-α,y-β)為該退化系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)，或叫系統(tǒng)的沖激響應(yīng)函數(shù)。它表示系統(tǒng)對(duì)坐標(biāo)為(a,β)處的沖激函數(shù)δ(x-α,y-β)的響應(yīng)。也就是說(shuō)，只要系統(tǒng)對(duì)沖激函數(shù)的響應(yīng)為已知，那么就可以清楚圖像退化是如何形成的。因?yàn)閷?duì)于任一輸入f(a,β)的響應(yīng)，都可以通過(guò)上式計(jì)算出來(lái)。此時(shí)，退化系統(tǒng)的輸出就是輸入圖像信號(hào)f(x,y)與點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)h(x,y)的卷積，即第二十二頁(yè)，共49頁(yè)。采用線性位移不變系統(tǒng)模型的原由：1）由于許多種退化都可以用線性位移不變模型來(lái)近似，這樣線性系統(tǒng)中的許多數(shù)學(xué)工具如線性代數(shù)，能用于求解圖像復(fù)原問(wèn)題，從而使運(yùn)算方法簡(jiǎn)捷和快速。2）當(dāng)退化不太嚴(yán)重時(shí)，一般用線性位移不變系統(tǒng)模型來(lái)復(fù)原圖像，在很多應(yīng)用中有較好的復(fù)原結(jié)果，且計(jì)算大為簡(jiǎn)化。3）盡管實(shí)際非線性和位移可變的情況能更加準(zhǔn)確而普遍地反映圖像復(fù)原問(wèn)題的本質(zhì)，但在數(shù)學(xué)上求解困難。只有在要求很精確的情況下才用位移可變的模型去求解，其求解也常以位移不變的解法為基礎(chǔ)加以修改而成。第二十三頁(yè)，共49頁(yè)。圖像退化除了受到成像系統(tǒng)本身的影響外，有時(shí)還要受到噪聲的影響。假設(shè)噪聲n(x,y)是加性噪聲，這時(shí)上式可寫(xiě)成在頻域上，可以寫(xiě)成其中，G(u,v)、F(u,v)、N(u,v)分別是退化圖像g(x,y)、原圖像f(x,y)、噪聲信號(hào)n(x,y)的傅立葉變換；H(u,v)是系統(tǒng)的點(diǎn)沖激響應(yīng)函數(shù)h(x,y)的傅立葉變換，稱為系統(tǒng)在頻率域上的傳遞函數(shù)。第二十四頁(yè)，共49頁(yè)?？梢?jiàn)，圖像復(fù)原實(shí)際上就是已知g(x,y)求f(x,y)的問(wèn)題或已知G(u,v)求F(u,v)的問(wèn)題，它們的不同之處在于一個(gè)是在空域，一個(gè)是在頻域。顯然，進(jìn)行圖像復(fù)原的關(guān)鍵問(wèn)題是尋找降質(zhì)系統(tǒng)在空間域上的沖激響應(yīng)函數(shù)h(x,y)，或者降質(zhì)系統(tǒng)在頻率域上的傳遞函數(shù)H(u,v)。一般來(lái)說(shuō)，傳遞函數(shù)比較容易求得。因此，在進(jìn)行圖像復(fù)原之前，一般應(yīng)設(shè)法求得完全的或近似的降質(zhì)系統(tǒng)傳遞函數(shù)，要想得到h(x,y),只需對(duì)H(u,v)求傅立葉逆變換即可。第二十五頁(yè)，共49頁(yè)。5.3無(wú)約束復(fù)原無(wú)約束恢復(fù)方法僅將圖像看作一個(gè)數(shù)字矩陣，從數(shù)學(xué)角度進(jìn)行恢復(fù)處理而不考慮恢復(fù)后圖像應(yīng)受到的物理約束。由簡(jiǎn)單的通用圖像退化模型可得逆濾波法是指在對(duì)n沒(méi)有先驗(yàn)知識(shí)的情況下，可以依據(jù)這樣的最優(yōu)準(zhǔn)則，即尋找一個(gè)，使得在最小均方誤差的意義下最接近g，即要使n的?；蚍稊?shù)（norm）最?。旱诙?yè)，共49頁(yè)。上式的極小值為如果我們?cè)谇笞钚≈档倪^(guò)程中，不做任何約束，稱這種復(fù)原為無(wú)約束恢復(fù)。由極值條件可得出一個(gè)無(wú)約束恢復(fù)公式，解出為對(duì)上式作傅立葉變換，得第二十七頁(yè)，共49頁(yè)?？梢?jiàn)，如果知道g(x,y)和h(x,y)，也就知道了G(u,v)和H(u,v)。根據(jù)上式，即可得出F(u,v)，再經(jīng)過(guò)反傅立葉變換就能求出f(x,y)。逆濾波是最早應(yīng)用于數(shù)字圖像復(fù)原的一種方法。并用此方法處理過(guò)由漫游者、探索者等衛(wèi)星探索發(fā)射得到的圖像。第二十八頁(yè)，共49頁(yè)。逆濾波恢復(fù)法

對(duì)于線性移不變系統(tǒng)而言對(duì)上式兩邊進(jìn)行傅立葉變換得

H(u,v)稱為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。從頻率域角度看，它使圖像退化，因而反映了成像系統(tǒng)的性能。

第二十九頁(yè)，共49頁(yè)。通常在無(wú)噪聲的理想情況下，上式可簡(jiǎn)化為則進(jìn)行反傅立葉變換可得到f(x,y)。以上就是逆濾波復(fù)原的基本原理。1/H(u,v)稱為逆濾波器。

第三十頁(yè)，共49頁(yè)。(1)對(duì)退化圖像g(x，y)作二維離散傅立葉變換，得到G(u,v)；(2)計(jì)算系統(tǒng)點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)h(x，y)的二維傅立葉變換，得到H(u,v);(3)逆濾波計(jì)算(4)計(jì)算的逆傅立葉變換，求得。

逆濾波復(fù)原過(guò)程可歸納如下:第三十一頁(yè)，共49頁(yè)。若噪聲為零，則采用逆濾波恢復(fù)法能完全再現(xiàn)原圖像。若噪聲存在，而且H(u,v）很小或?yàn)榱銜r(shí)，則噪聲被放大。這意味著退化圖像中小噪聲的干擾在H(u,v)較小時(shí)，會(huì)對(duì)逆濾波恢復(fù)的圖像產(chǎn)生很大的影響，有可能使恢復(fù)的圖像和f(x,y)相差很大，甚至面目全非。當(dāng)u-v平面上的某引起點(diǎn)或區(qū)域H(u,v)很小或等于零，即出現(xiàn)了零點(diǎn)時(shí)，就會(huì)導(dǎo)致不穩(wěn)定解。

但實(shí)際獲取的影像都有噪聲，因而只能求F(u,v)的估計(jì)值。再作傅立葉逆變換得第三十二頁(yè)，共49頁(yè)。一種改進(jìn)方法是考慮到退化系統(tǒng)的傳遞函數(shù)H(u,v)帶寬比噪聲的帶寬要窄得多，其頻率特性具有低通性質(zhì)，取恢復(fù)轉(zhuǎn)移函數(shù)M(u,v)為其中，ω0的選取原則是將H(u,v)為零的點(diǎn)除去。這種方法的缺點(diǎn)是復(fù)原后的圖像的振鈴效果較明顯。第三十三頁(yè)，共49頁(yè)。消除勻速直線運(yùn)動(dòng)模糊：線性運(yùn)動(dòng)退化是由于目標(biāo)于成像系統(tǒng)間的相對(duì)勻速直線運(yùn)動(dòng)形成的退化。改進(jìn)的方法：第三十四頁(yè)，共49頁(yè)。維納濾波在一般情況下，圖像信號(hào)可近似地認(rèn)為是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，維納濾波將原始圖像f和對(duì)原始圖像的估計(jì)看作為隨機(jī)變量。假設(shè)Rf和Rn為f和n的自相關(guān)矩陣，其定義為式中，E{·}代表數(shù)學(xué)期望運(yùn)算。5.4有約束恢復(fù)第三十五頁(yè)，共49頁(yè)。

Rf和Rn均為實(shí)對(duì)稱矩陣，在大多數(shù)圖像中，鄰近的像素點(diǎn)是高度相關(guān)的，而距離較遠(yuǎn)的像素點(diǎn)的相關(guān)性卻較弱。通常，f和n的元素之間的相關(guān)不會(huì)延伸到20～30個(gè)像素的距離之外。因此，一般來(lái)說(shuō)，自相關(guān)矩陣在主對(duì)角線附近有一個(gè)非零元素帶，而在右上角和左下角的區(qū)域內(nèi)將為零值。如果像素之間的相關(guān)是像素之間距離的函數(shù)，而不是它們位置的函數(shù)，可將Rf和Rn近似為分塊循環(huán)矩陣。因而，用循環(huán)矩陣的對(duì)角化，可寫(xiě)成第三十六頁(yè)，共49頁(yè)。W的第i,m個(gè)分塊為i,m=0,1,…,M-1其中，WN為一個(gè)N×N矩陣，其第k,n個(gè)位置的元素為k,n=0,1,…,N-1式中，A和B的元素分別為Rf和Rn中的自相關(guān)元素的傅立葉變換。這些自相關(guān)的傅立葉變換被分別定義為fe(x,y)和ne(x,y)的譜密度Sf(u,v)和Sn(u,v)。式中，W為一個(gè)MN×MN矩陣，包含M×M個(gè)N×N的塊。M、N的含義見(jiàn)二維離散模型部分。第三十七頁(yè)，共49頁(yè)。定義QTQ=R-1fRn，代入式(11-33)，得進(jìn)一步可推導(dǎo)出式中，D*為D的共軛矩陣。再進(jìn)行矩陣變換：第三十八頁(yè)，共49頁(yè)。假設(shè)M=N，則式中，u,v=0,1,2,…,N-1，|H(u,v)|2=H*(u,v)H(u,v)。第三十九頁(yè)，共49頁(yè)。對(duì)式作如下分析：

(1)如果γ=1，稱之為維納濾波器。注意，當(dāng)γ=1時(shí)，并不是在約束條件下得到的最佳解，即并不一定滿足 若γ為變數(shù)，此式為參變維納濾波器。使用參變維納濾波法時(shí)，H(u,v)由點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)確定，而當(dāng)噪聲是白噪聲時(shí)，Sn(u,v)為常數(shù)，可通過(guò)計(jì)算一幅噪聲圖像的功率譜Sg(u,v)求解。由于Sg(u,v)=|H(u,v)|2Sf(u,v)+Sn(u,v)，所以Sf(u,v)可通過(guò)式求得。第四十頁(yè)，共49頁(yè)。

(2)當(dāng)無(wú)噪聲影響時(shí)，Sn(u,v)=0，稱之為理想的反向?yàn)V波器。逆濾波器可看成是維納濾波器的一種特殊情況。

(3)如果不知道噪聲的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，也就是Sf(u,v)和Sn(u,v)未知時(shí)，式(11-39)可以用下式近似：式中，K表示噪聲對(duì)信號(hào)的頻譜密度之比。第四十一頁(yè)，共49頁(yè)。有約束最小平方恢復(fù)約束最小平方復(fù)原是一種以平滑度為基礎(chǔ)的圖像復(fù)原方法。如前所述，在進(jìn)行圖像恢復(fù)計(jì)算時(shí)，由于退化算子矩陣H［·］的病態(tài)性質(zhì)，多數(shù)在零點(diǎn)附近數(shù)值起伏過(guò)大，使得復(fù)原后的圖像產(chǎn)生了多余的噪聲和邊緣。約束最小平方復(fù)原仍然是以最小二乘方濾波復(fù)原公式為基礎(chǔ)，通過(guò)選擇合理的Q，并優(yōu)化‖Qf‖2，從而去掉被恢復(fù)圖像的這種尖銳部分，即增加圖像的平滑性。第四十二頁(yè)，共49頁(yè)。我們知道，圖像增強(qiáng)的拉普拉斯算子，它具有突出邊緣的作用，然而則恢復(fù)了圖像的平滑性，因此，在作圖像恢復(fù)時(shí)可將其作為約束?，F(xiàn)在的問(wèn)題是如何將其表示成‖Qf