常用三角恒等變換技巧(師)

PAGE常用三角恒等變換技巧解答三角函數(shù)問(wèn)題，幾乎都要通過(guò)恒等變換將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，將隱性問(wèn)題明朗化。三角恒等變換的公式很多，主要有“同角三角函數(shù)的基本關(guān)系”、“誘導(dǎo)公式”、“和、差、倍、半角公式”、“輔助角公式（化一公式）”等，這些公式間一般都存在三種差異，如角的差異、函數(shù)名的差異和運(yùn)算種類的差異，只有靈活有序地整合使用這些公式，消除差異、化異為同，才能得心應(yīng)手地解決問(wèn)題，這是三角問(wèn)題的特點(diǎn)。下面從九個(gè)方面解讀三角恒等變換的常用技巧。一、“角變換”技巧角變換的基本思想是，觀察發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中出現(xiàn)的角之間的數(shù)量關(guān)系，把“未知角”分解成“已知角”的“和、差、倍、半角”，然后運(yùn)用相應(yīng)的公式求解。例1已知，，求的值?！痉治觥靠紤]到“已知角”是，而“未知角”是和，注意到，可直接運(yùn)用相關(guān)公式求出和?！竞?jiǎn)解】因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以，，從而?原式=.【反思】（1）若先計(jì)算出，則在計(jì)算時(shí)，要注意符號(hào)的選?。唬?）本題的另一種自然的思路是，從已知出發(fā)，用和角公式展開(kāi)，結(jié)合“平方關(guān)系”通過(guò)解二元二次方程組求出和.但很繁瑣，易出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤；（3）本題也可由，運(yùn)用誘導(dǎo)公式和倍角公式求出。例2已知，其中，求證：【分析】所給條件中出現(xiàn)的“已知角”是與，涉及的“未知角”是與，將三個(gè)角比較分析發(fā)現(xiàn)，，把“未知”角轉(zhuǎn)化為兩個(gè)“已知”角的代數(shù)和，然后用相關(guān)公式求解?！竞?jiǎn)證】【反思】（1）以上除了用到了關(guān)鍵的角變換技巧以外，還用到了“弦化切”技巧.；（2）本題也可由已知直接求出與的關(guān)系，但與目標(biāo)相差甚遠(yuǎn)，一是函數(shù)名稱不同，二是角不同，所以較為困難；（3）善于發(fā)現(xiàn)所求的三角函數(shù)的角與已知條件的角的聯(lián)系，是有效進(jìn)行角變換的前提。常用的角變換關(guān)系還有：，，，，，等.二、“名變換”技巧名變換是為了減少函數(shù)名稱或統(tǒng)一函數(shù)而實(shí)施的變換，需要進(jìn)行名變換的問(wèn)題常常有明顯的特征，如已知條件中弦、切交互呈現(xiàn)時(shí)，最常見(jiàn)的做法是“切弦互化”，但實(shí)際上，誘導(dǎo)公式、倍角公式，平方關(guān)系也能進(jìn)行名變換。例1已知向量，，求的定義域和值域；【分析】易知，這是一個(gè)“切弦共存”且“單、倍角共在”的式子，因此既要通過(guò)“切化弦”減少函數(shù)名稱，又要用倍角公式來(lái)統(tǒng)一角，使函數(shù)式更簡(jiǎn)明。【簡(jiǎn)解】由得，，所以，.的定義域是，值域是.【反思】本題也可以利用萬(wàn)能置換公式先進(jìn)行“弦化切”，變形后再進(jìn)行“切化弦”求解.例2已知都是銳角，且，求的值?！痉治觥恳阎獥l件中，等式的右邊是分式，符合和差解的正切公式特征，可考慮“弦化切”，另一方面，若是“切化弦”，則很快出現(xiàn)待求式，與目標(biāo)很近.【簡(jiǎn)解1】顯然時(shí)，，因?yàn)槎际卿J角，所以，所以，.【簡(jiǎn)解2】由得，，設(shè)，則，所以，，，即.【反思】簡(jiǎn)解1說(shuō)明當(dāng)分子分母都是同角的正弦、余弦的齊次式時(shí)，很容易“弦化切”；簡(jiǎn)解2很巧妙，其基本思想是整體換元后利用平方關(guān)系消元.三、“常數(shù)變換”技巧在三角恒等變形過(guò)程中，有時(shí)需將問(wèn)題中的常數(shù)寫(xiě)成某個(gè)三角函數(shù)值或式，以利于完善式子結(jié)構(gòu)，運(yùn)用相關(guān)公式求解，如，，等.例1（1）求證:；（2）化簡(jiǎn)：.【分析】第（1）小題運(yùn)用和把分子、分母都變成齊次式后進(jìn)行轉(zhuǎn)化；第（2）小題實(shí)際上是把同一個(gè)角的正弦、余弦的代數(shù)和化為熟悉的的形式，有利于系統(tǒng)研究函數(shù)的圖象與性質(zhì).【簡(jiǎn)解】（1）左邊=.（2）原式=【反思】“1”的變換應(yīng)用是很多的，如萬(wàn)能置換公式的推導(dǎo)，實(shí)際上是利用了把整式化成分式后進(jìn)行的，又如例4中，也是利用了，把分式變成了整式.四、“邊角互化”技巧解三角形時(shí)，邊角交互呈現(xiàn)，用正、余弦定理把復(fù)雜的邊角關(guān)系或統(tǒng)一成邊，運(yùn)用代數(shù)運(yùn)算方法求解，或統(tǒng)一成角，運(yùn)用三角變換求解.例在中，分別為角的對(duì)邊，且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC，（1）求角的大??；（2）若，證明是等腰三角形.【分析】本題的條件集三角形的六元素于一身，看似復(fù)雜，但等式是關(guān)于三邊長(zhǎng)和三個(gè)角的正弦的齊次式，所以可用正弦定理把“角”化為邊或把邊化為“角”來(lái)求解?！竞?jiǎn)解】（1）（角化邊）由正弦定理得， ，整理得，，所以，因?yàn)?，所?（2）法一：（邊化角）由已知和正弦定理得， 即，從而，又，所以.所以，是等腰三角形.法二：由（1）知，，代入得，，所以，，所以，，是等腰三角形.【反思】第（1）小題“化角為邊”后，把已知條件轉(zhuǎn)化為邊的二次齊次式，符合余弦定理的結(jié)構(gòu)，第（2）小題的法一之所以“化邊為角”，是因?yàn)椴灰装褩l件化為邊的關(guān)系，而把條件轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系卻很容易；法二的基本思路是消元后統(tǒng)一角，再利用“化一公式”簡(jiǎn)化方程.五、“升降冪變換”技巧當(dāng)所給條件出現(xiàn)根式時(shí)，常用升冪公式去根號(hào)，當(dāng)所給條件出現(xiàn)正、余弦的平方時(shí)，常用“降冪”技巧，常見(jiàn)的公式有：，，，可以看出，從左至右是“冪升角變半”，而從右至左則是“冪降角變倍”.例1化簡(jiǎn)：【分析】含有根號(hào)，需“升冪”去根號(hào).【簡(jiǎn)解】原式==因?yàn)?，所以，，所以，原?例2求函數(shù)，的最大值與最小值．【分析】函數(shù)式中第一項(xiàng)是正弦的平方，若“降冪”后“角變倍”，與第二項(xiàng)的角一致..【簡(jiǎn)解】．又，，即，．【反思】以上兩例表明，“升降冪技巧”僅僅是解題過(guò)程中的一個(gè)關(guān)鍵步驟，只有有效地整合各種技巧與方法才能順利地解題。如例7中用到了常數(shù)“變換技巧”，例8中用到了“輔助角”變換技巧.六、“公式變用”技巧幾乎所有公式都能變形用或逆向用，如，，等，實(shí)際上，“常數(shù)變換”技巧與“升降冪”技巧等也是一種公式變用或逆用技巧.例1求值：（1）；（2）。【分析】第（1）小題中，除是特殊角外，其他角成倍角，于是考慮使用倍角公式；第（2）小題中兩角差為，而是兩角差的正切值，所以與兩角差的正切公式有關(guān)?！竞?jiǎn)解】（1）原式＝。（2）原式＝＝?！痉此肌康冢?）小題的一般性結(jié)論是：.例2求證：。【分析】左邊通項(xiàng)是兩角正切的積，且兩角差為定值，而在正切的和、差角公式中出現(xiàn)了兩角正切的積，可嘗試.【簡(jiǎn)證】因?yàn)椋?，左?=【反思】這里通過(guò)“角變換”和公式變形得出裂項(xiàng)公式，然后累加消項(xiàng)，這也是數(shù)列求和的一種常見(jiàn)技巧.七、“輔助角變換”技巧通常把叫做輔助角公式（也叫化一公式），其作用是把同角的正弦、余弦的代數(shù)和化為的形式，來(lái)研究其圖象與性質(zhì).尤其是當(dāng)，，時(shí)，要熟記其變換式，如，等.例求函數(shù)的值域.【分析】初看此題，似無(wú)從下手，若把分式變成整式，就出現(xiàn)了，然后利用三角函數(shù)的有界性建立關(guān)于y的不等式.【簡(jiǎn)解】由得，所以，從而，其中輔助角由，決定.所以，由解得.【反思】（1）解答本題的方法很多，比較多用的方法是類比斜率計(jì)算公式，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線斜率問(wèn)題，也有用萬(wàn)能置換后，轉(zhuǎn)化為分式函數(shù)求解的.（2）輔助角公式的形成，也可以看成是“常數(shù)變換”的結(jié)果.事實(shí)上，=，可設(shè)，再進(jìn)行“切化弦”變換，就得到了“化一公式”..八、“換元變換”技巧有些函數(shù)，式子里同時(shí)出現(xiàn)（或）與，這時(shí)，可設(shè)（或），則（或），把三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)來(lái)求解.例1求函數(shù)的值域．【分析】同時(shí)出現(xiàn)與時(shí)，可用.【簡(jiǎn)解】設(shè)，因?yàn)?，，所以，又由得，，所以，，由得?【反思】（1）本題若不換元，則需要用到“添、湊、配”技巧，而怎樣進(jìn)行“添、湊、配”，則是因題而異，無(wú)明顯特征.；（2）引進(jìn)“新元”后，一定要說(shuō)明“新元”的取值范圍；（3）平方關(guān)系的變式應(yīng)用廣泛，如在解答命題“已知，是方程的兩根，求的值．”時(shí)，關(guān)鍵步驟是在運(yùn)用韋達(dá)定理后，利用變式消元后求解。例2求證：。【分析】所證等式中每個(gè)分式與兩角差的正切相似，而所證等式與三角形中的結(jié)論相似，從而嘗試換元，利用三角知識(shí)證代數(shù)問(wèn)題?！竞?jiǎn)解】設(shè)，因?yàn)?，所以，，變形整理得所以，即，【反思】本題解法也體現(xiàn)了類比思維的作用，若用常規(guī)方法處理，則運(yùn)算十分繁瑣.九、“萬(wàn)能置換”技巧“萬(wàn)能置換”技巧，實(shí)際從屬于“名變換”技巧，其特征是用半角的正切值表示原角的正弦、余弦與正切.例討論函數(shù)的最大值與最小值.【分析】本題可通過(guò)求導(dǎo)或利用基本不等式求解.但類比函數(shù)式的結(jié)構(gòu)與萬(wàn)能置換公式相同，于是問(wèn)題得到轉(zhuǎn)化.【簡(jiǎn)解】設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)也就是時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)也就是時(shí)，.【反思】（1）當(dāng)問(wèn)題條件中出現(xiàn)單角的正切與倍角三角函數(shù)問(wèn)題時(shí)，可考慮使用萬(wàn)能置換公式；（2）運(yùn)用萬(wàn)能置換技巧既可以把代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)