二維形式的柯西不等式賽后反思 論文

二維形式的柯西不等式的說課及賽后反思王杰

（安徽省蕪湖市第一中學(xué)241000郵箱：408581559@）摘要：本人基于二維形式的柯西不等式說課經(jīng)歷，從深度解讀教材并滲透核心素養(yǎng)、創(chuàng)造探究式教學(xué)、重視數(shù)學(xué)文化的傳遞三方面對(duì)本節(jié)課進(jìn)行了深刻反思.對(duì)于深度解讀教材培養(yǎng)核心素養(yǎng)有了更深的認(rèn)識(shí)，堅(jiān)定了在今后教學(xué)過程中努力創(chuàng)造探究式教學(xué)并積極傳播數(shù)學(xué)文化的信念. 關(guān)鍵詞：說課；深度解讀教材；核心素養(yǎng)；探究式教學(xué)；數(shù)學(xué)文化

筆者有幸參加了2019年安徽省優(yōu)質(zhì)課說課比賽，說課的課題是人教A版選修4-5第三講第1課時(shí)《二維形式的柯西不等式》，賽后筆者對(duì)本節(jié)課又進(jìn)行了細(xì)致研讀，從深度解讀教材并滲透核心素養(yǎng)、創(chuàng)造探究式教學(xué)、重視數(shù)學(xué)文化的傳遞三方面對(duì)本節(jié)課進(jìn)行了深刻反思.一、說課呈現(xiàn)

教材分析

1.教材地位及作用本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，是繼均值不等式后學(xué)習(xí)的又一個(gè)經(jīng)典不等式，是前面學(xué)習(xí)的平面向量和不等式的證明的進(jìn)一步應(yīng)用，也是后面學(xué)習(xí)三角不等式、n維形式柯西不等式的基礎(chǔ)，起到承上啟下的作用.運(yùn)用柯西不等式可以解決高中數(shù)學(xué)中一些比較典型的問題，如不等式的證明、求最值等.2.學(xué)情分析

已有知識(shí)與能力：

（1）學(xué)生系統(tǒng)學(xué)習(xí)了平面向量、基本不等式和不等式的證明方法.（2）對(duì)高中數(shù)學(xué)的探究方式已經(jīng)有了比較成熟的認(rèn)識(shí)，心智水平發(fā)育都很完善.問題：

（1）柯西不等式的發(fā)現(xiàn)過程，是一個(gè)難點(diǎn).（2）對(duì)柯西不等式還比較陌生，不知道怎樣構(gòu)造靈活應(yīng)用柯西不等式.解決方案：

（1）采用平面圖形間的面積關(guān)系引入新課.（2）從柯西不等式的向量形式出發(fā)理解柯西不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和等號(hào)成立的條件.3.教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：二維形式的柯西不等式及其向量形式，等號(hào)成立的條件及其初步應(yīng)用.難點(diǎn)：二維形式的柯西不等式的引入及初步應(yīng)用.1教學(xué)目標(biāo)

1.認(rèn)識(shí)二維形式的柯西不等式代數(shù)及其向量形式，了解不等式的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用柯西不等式初步解決一些簡(jiǎn)單問題.2.通過對(duì)二維形式的柯西不等式的探究、思考和討論，讓學(xué)生從數(shù)形兩個(gè)方面認(rèn)識(shí)柯西不等式，體會(huì)由特殊到一般、數(shù)形結(jié)合、類比的數(shù)學(xué)思想方法.發(fā)展學(xué)生的邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng). 3.引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成細(xì)心觀察、認(rèn)真參與、獨(dú)立思考的學(xué)習(xí)習(xí)慣.通過生生合作、師生互動(dòng)，增強(qiáng)學(xué)生合作交流的意識(shí)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，感受探索的樂趣，體會(huì)成功的喜悅.教學(xué)方法

本節(jié)課采用問題引導(dǎo)探究的教學(xué)方式，在課堂教學(xué)中始終貫徹“教師為主導(dǎo)、學(xué)生為主體、探究為主線、思維為核心”的教學(xué)思想，通過試驗(yàn)操作，設(shè)置問題串，引導(dǎo)學(xué)生思考、交流、討論（直觀感知、操作確認(rèn)），調(diào)動(dòng)學(xué)生參與活動(dòng)的積極性，經(jīng)歷知識(shí)的形成和發(fā)展過程.教學(xué)工具

多媒體，ppt：充分發(fā)揮它們快捷、生動(dòng)、直觀的特點(diǎn)，有助于加深學(xué)生對(duì)問題的理解和認(rèn)識(shí)，提高課堂效率.教學(xué)過程

1.創(chuàng)設(shè)情景、引入新課

情境：類比趙爽弦圖給出一個(gè)由兩組全等的直角三角形和一個(gè)小正方形構(gòu)成的平行四邊形，引導(dǎo)學(xué)生從中尋找面積之間的等量關(guān)系和不等關(guān)系.問題1你能用圖中給定的數(shù)據(jù)從面積角度抽象出一個(gè)等量關(guān)系嗎？ 設(shè)計(jì)意圖：類比從趙爽選圖中探究基本不等式的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，找到本節(jié)課的知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)，繼續(xù)從平面圖形面積中所蘊(yùn)含的等量關(guān)系引導(dǎo)學(xué)生探究新知，滲透數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，發(fā)展學(xué)生的類比思想.2.師生互動(dòng)、探究新知

由圖形中的面積關(guān)系可以抽象出如下等式：a2b2c2d2sinabcd(da)(bc)acbd.2由于sin1，所以我們有(a2b2)(c2d2)(acbd)2a2b2c2d2acbd問題2上述不等式中的等號(hào)何時(shí)成立？分析：sin190AEFDHEAEF∽DHEacadbcbd設(shè)計(jì)意圖：從幾何圖形中探討柯西不等式等號(hào)成立的條件，突出重點(diǎn).問題3上述不等式(a2b2)(c2d2)(acbd)2對(duì)任意的實(shí)數(shù)a,b,c,d是否也成立？等號(hào)何時(shí)成立？ 活動(dòng)設(shè)計(jì)：師生互動(dòng)，小組合作，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)多角度探索柯西不等式的證明，請(qǐng)小組代表展示探究成果，教師適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)、點(diǎn)撥、總結(jié)（作差法、分析法、構(gòu)造法等）.設(shè)計(jì)意圖：將不等式成立的范圍由正數(shù)區(qū)間推廣到實(shí)數(shù)區(qū)間，逐漸揭開定理的神秘面紗，培養(yǎng)學(xué)生由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法，通過自主證明，培養(yǎng)學(xué)生自主探究的能力，增強(qiáng)合作交流的意識(shí)，獲得學(xué)習(xí)成功的體驗(yàn)，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.教師板書定理1（二維形式的柯西不等式）)(c2d2)(acbd)2，當(dāng)且僅當(dāng)adbc時(shí)若a,b,c,d都是實(shí)數(shù)，則(a2b2等號(hào)成立. 問題4為什么上述不等式會(huì)稱為柯西不等式呢？（引出對(duì)數(shù)學(xué)家柯西的介紹）

設(shè)計(jì)意圖：通過介紹偉大數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)上的成就，一方面是為了激勵(lì)學(xué)生樹立遠(yuǎn)大目標(biāo)，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情.另一方面滲透數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化的教育.再論定理分析柯西不等式的一個(gè)變式a2b2c2d2acbd的結(jié)構(gòu)特征，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其與向量的內(nèi)在聯(lián)系.α(a,b,)β(c,d)，則上述變式等價(jià)于αβαβ解釋：設(shè)問題5設(shè)α,β是兩個(gè)向量，則αβαβ嗎？等號(hào)成立的條件是？分析：從數(shù)量積定義來看，αβαβcosαβ，其中為向量α,β的夾角.當(dāng)α,β共線時(shí)等號(hào)成立；3結(jié)論：αβαβa2b2c2d2acbd(a2b2)(c2d2)(acbd)2，當(dāng)且僅當(dāng)α,β共adbc.線時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)有設(shè)計(jì)意圖：從柯西不等式的變式中發(fā)現(xiàn)其與向量的密切聯(lián)系，再?gòu)拇鷶?shù)和幾何兩個(gè)方面驗(yàn)證αβ|αβ|，最后又通過它驗(yàn)證了柯西不等式的正確性，體現(xiàn)了柯西不等式與向量之間的密切聯(lián)系，充分說明了向量形式是柯西不等式的另一種表現(xiàn)形式，從幾何直觀上對(duì)柯西不等式進(jìn)行詮釋. 教師板書定理2（柯西不等式的向量形式）設(shè)α,β是兩個(gè)向量，則αβαβ，當(dāng)且僅當(dāng)β是零向量，或存在實(shí)數(shù)k，使αkβ時(shí)等號(hào)成立.(acbd)2有哪些結(jié)構(gòu)特征問題6柯西不等式(a2b2)(c2d2)平方和（模的平方）的積不小于積的和（數(shù)量積）的平方；當(dāng)且僅當(dāng)adbc（向量共線）時(shí)等號(hào)成立. 設(shè)計(jì)意圖：聯(lián)系向量運(yùn)算公式，概括柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征，易于掌握，便于記憶，這是本節(jié)課數(shù)與形相結(jié)合的完美體現(xiàn).

3.典例講解、能力提升例1已知a,b都是實(shí)數(shù)，證明：(a4b4)(a2b2)(a3b3)22a)2變式：已知a,b都是實(shí)數(shù)，則(a4b4)(a2b2)(a2bb 活動(dòng)設(shè)計(jì)：學(xué)生獨(dú)立思考后，小組交流、討論，教師請(qǐng)學(xué)生談解題思路和方法，并通過多媒體或板演呈現(xiàn)解題過程.設(shè)計(jì)意圖：例題和變式一方面是加強(qiáng)對(duì)柯西不等式結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)，強(qiáng)調(diào)使用柯西不等式時(shí)需要明確公式中a，b，c，d分別對(duì)應(yīng)什么樣的量，對(duì)應(yīng)不同，結(jié)果不同，并形成解題技能，突出等號(hào)成立的條件，訓(xùn)練解題的規(guī)范性，提高推理論證能力.此外，通過一題多解（還可以作差）讓學(xué)生感受柯西不等式的應(yīng)用價(jià)值.例2求函數(shù)y=5x-1+5-x的最大值．10-2x的最大值．變式：求函數(shù)y=5x-1+設(shè)計(jì)意圖：例2學(xué)生很容易從結(jié)構(gòu)特點(diǎn)發(fā)現(xiàn)可以使用柯西不等式求最值，進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)公式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的認(rèn)識(shí)，變式的設(shè)置是例2的延伸和拓展，讓學(xué)生明確在使用柯西不等式時(shí)往往需要對(duì)表達(dá)式進(jìn)行簡(jiǎn)4單的結(jié)構(gòu)變形，提高學(xué)生學(xué)生利用重要結(jié)論進(jìn)行推理論證的能力. 4.總結(jié)反思、提高認(rèn)識(shí)

知識(shí)：（1）（二維形式的柯西不等式）定理1若a,b,c,d都是實(shí)數(shù)，則(a2b2)(c2d2)(acbd)2當(dāng)且僅當(dāng)adbc時(shí)等號(hào)成立.αβ，當(dāng)且僅當(dāng)β是零向量，（2）（柯西不等式的向量形式）定理2設(shè)α,β是兩個(gè)向量，則αβ或存在實(shí)數(shù)k，使αkβ時(shí)等號(hào)成立.方法：

由特殊到一般：幾何圖形面積---發(fā)現(xiàn)不等式（正數(shù)范圍）---推廣不等式（實(shí)數(shù)范圍）數(shù)形結(jié)合：兩個(gè)定理分別從代數(shù)和向量形式解釋. 構(gòu)造法：柯西不等式的證明（構(gòu)造二次函數(shù)）及例題2條件較隱蔽，構(gòu)造柯西不等式解決. 類比：類比基本不等式求最值“正、定、等”步驟，用柯西不等式求最值時(shí)也需要從定值和等號(hào)成立兩個(gè)方面進(jìn)行. 設(shè)計(jì)意圖：通過小結(jié)突出重點(diǎn)，使學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)有一個(gè)清晰、完整的認(rèn)識(shí)，學(xué)會(huì)解決問題的思想和方法，鼓勵(lì)學(xué)生多總結(jié)、多反思，并且可以培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力.5.分層作業(yè)、自主探究

必做：（1）教材第36頁(yè)習(xí)題3.1第3,5,7,9題

（2）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式和三角形的邊長(zhǎng)關(guān)系，發(fā)現(xiàn)：x12y12x22y2(x1x2)2(y1y2)2你能由柯西不等式證明它嗎？2選做：類比二維形式的柯西不等式，你能寫出三維形式的柯西不等式嗎？設(shè)計(jì)意圖：新課標(biāo)指出，不同的學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)獲得不同的發(fā)展，因而設(shè)置分層作業(yè)，通過作業(yè)，進(jìn)一步鞏固新知，強(qiáng)化基本技能和解題規(guī)范化的訓(xùn)練，提高學(xué)生應(yīng)用新知解決問題的能力.選做題為學(xué)有余力的學(xué)生安排，是本節(jié)課內(nèi)容的延伸與拓展，體現(xiàn)因材施教. 板書設(shè)計(jì)（略）

教學(xué)評(píng)價(jià)（略）

二、賽后反思：

2.1深度解讀教材并滲透核心素養(yǎng)

課程標(biāo)準(zhǔn)和教材是執(zhí)教者最重要的綱和本，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出：學(xué)科核5心素養(yǎng)是育人價(jià)值的集中體現(xiàn)，是學(xué)生通過學(xué)科學(xué)習(xí)而逐漸形成的正確價(jià)值觀念、必備品格和關(guān)鍵能力.數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用過程中逐步形成和發(fā)展的.因此，數(shù)學(xué)教學(xué)要樹立以發(fā)展學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的教學(xué)意識(shí)，創(chuàng)設(shè)有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)教學(xué)環(huán)境及問題情境.教材是載體，是編寫者寫給學(xué)習(xí)者的書信，但是教材在編寫的過程中，限于篇幅，有時(shí)會(huì)淡化數(shù)學(xué)知識(shí)的生成過程，將一些重要的思維過程一筆帶過.因此一線教師應(yīng)認(rèn)真研讀教材，領(lǐng)悟教材編寫者的編寫意圖，融會(huì)貫通的做好教學(xué)設(shè)計(jì)，這里的教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)考慮到知識(shí)能力應(yīng)達(dá)到什么水平、方法和過程體驗(yàn)需要完成什么目標(biāo)、情感態(tài)度價(jià)值觀方面有什么要求，真正做到課堂的每個(gè)環(huán)節(jié)都有的放矢，讓課堂過程成為落實(shí)學(xué)科核心素養(yǎng)的沃土.d2)在本節(jié)課的引入階段，我放棄了課本上的引入（類比a2b22ab(a、bR)考慮(a2b2)(c2）主要還是因?yàn)闆]有完全領(lǐng)悟教材的編寫意圖，認(rèn)為教材的引入突兀難理解，故而設(shè)計(jì)了類比趙爽弦圖從平面幾何圖形間的面積關(guān)系入手引入新課.后來經(jīng)過評(píng)委老師的點(diǎn)評(píng)才幡然領(lǐng)悟課本的設(shè)計(jì)意圖：課本引入式子中(a2b2)(c2d2)(acbd)2(adbc)2的右側(cè)包含明顯的向量特征，其中acbd表示向量α(a,b,)β(c,d)的內(nèi)積，adbc表示向量α(a,b,)β(c,d)的外積.這其中就已滲透二維形式的柯西不等式與向量的內(nèi)在聯(lián)系，為后續(xù)探究柯西不等式的向量形式鋪墊.在例題的設(shè)計(jì)階段我通過閱讀教參并對(duì)例題深入分析，深刻把握兩個(gè)例題的設(shè)計(jì)意圖（見說課稿），在繼續(xù)沿用課本例題的同時(shí)設(shè)置了相應(yīng)變式，目的是更有層次和直觀的體現(xiàn)例題的教學(xué)價(jià)值.所以我們需要在尊重教材、深度理解教材的前提下，為提高教學(xué)效果，達(dá)成教學(xué)目標(biāo)才可以靈活地對(duì)教材進(jìn)行優(yōu)化處理.2.2創(chuàng)造探究式教學(xué)

教學(xué)的宗旨是教會(huì)學(xué)生學(xué)習(xí)，單純的教，而沒有學(xué)生的學(xué)那不是教學(xué)，課堂教學(xué)中要努力為學(xué)生創(chuàng)造探究式教學(xué)的場(chǎng)景，逐步搭建自主學(xué)習(xí)平臺(tái)，巧妙設(shè)置問題情境，讓學(xué)生從問題中質(zhì)疑、嘗試、交流，通過觀察、分析、類比、猜想、歸納等學(xué)習(xí)方法，通過生生合作、師生互動(dòng)解決問題，讓學(xué)生成為課堂的主體.高效地實(shí)現(xiàn)探究式教學(xué)需要執(zhí)教者首先充分了解所教內(nèi)容的地位和作用，宏觀上對(duì)課時(shí)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行設(shè)計(jì)，準(zhǔn)確地領(lǐng)悟教學(xué)目標(biāo).其次是充分認(rèn)識(shí)所教學(xué)生的已有認(rèn)知水平和最近發(fā)展區(qū)，所有教學(xué)策略和教學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)最終落腳點(diǎn)都是為了幫助學(xué)生更好的理解知識(shí).最后通過對(duì)前面兩方面的把握設(shè)置恰當(dāng)?shù)摹皢栴}串”調(diào)動(dòng)學(xué)生思維，突破學(xué)習(xí)障礙，凸顯教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn).問題串的設(shè)置是決定探究式教學(xué)效果的主要因素.本節(jié)課為實(shí)現(xiàn)探究式教學(xué)首先通過設(shè)置6個(gè)具有關(guān)聯(lián)性的大問題，構(gòu)建起本節(jié)課的一6個(gè)整體框架.在具體每個(gè)環(huán)節(jié)中根據(jù)學(xué)生的表現(xiàn)又設(shè)置若干的小問題，例如問題3引導(dǎo)學(xué)生探究柯西不等式的證法這一環(huán)節(jié)，問題3是一個(gè)開放性問題，首先面對(duì)所有學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生由易到難、由淺入深地探究，學(xué)生基本都會(huì)想到作差法或分析法去證明，在這時(shí)教師可以繼續(xù)追問是否還有其它的證明方法（如構(gòu)造法等，構(gòu)造fx()=(a2+b2)x2+2(ac+bdx+(c2+d2)30(0)），該活動(dòng)過程確保兼顧所有水平的學(xué)生，讓每一個(gè)學(xué)生參與到課堂中來，每個(gè)學(xué)生可根據(jù)自己的實(shí)際水平思考出不同證明方法，可以讓程度弱的學(xué)生嘗試夠一夠，同時(shí)也可以提升程度較好學(xué)生的思維能力，把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)、找到思考問題的抓手。所有學(xué)生不僅能學(xué)到知識(shí)、形成技能，還能掌握數(shù)學(xué)探究方法、積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).2.3重視數(shù)學(xué)文化的傳遞

《2017年版新課標(biāo)》指出：數(shù)學(xué)文化是指數(shù)學(xué)的思想、精神、語(yǔ)言、方法、觀點(diǎn)以及它們的形成和發(fā)展；還包括數(shù)學(xué)在人類生活、科學(xué)技術(shù)、社會(huì)發(fā)展中的貢獻(xiàn)和意義，以及與數(shù)學(xué)相關(guān)的人文活動(dòng).并一再?gòu)?qiáng)調(diào)要將數(shù)學(xué)文化融入課程內(nèi)容.從近幾年高考命題來看，數(shù)學(xué)文化已納入到考試范圍，這至少已經(jīng)說明我們應(yīng)當(dāng)重視數(shù)學(xué)文化，但是很多與一線教師誤認(rèn)為數(shù)學(xué)文化就是數(shù)學(xué)史，這種認(rèn)識(shí)是不全面的.從新課標(biāo)對(duì)數(shù)學(xué)文化的界定來看，數(shù)學(xué)文化應(yīng)包含兩個(gè)層面：

第一層面是純粹的數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)的知識(shí)、方法、思想、精神和數(shù)學(xué)的形成和發(fā)展歷史，這些都是實(shí)實(shí)在在的數(shù)學(xué)，是數(shù)學(xué)文化的重要內(nèi)容，人們所說的數(shù)學(xué)史包含在這個(gè)范疇內(nèi).對(duì)于廣大教師來說首先要把第一層面的數(shù)學(xué)文化落實(shí)好，這是數(shù)學(xué)的根基，例如本節(jié)課教學(xué)過程中特意設(shè)定一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)介紹偉大的數(shù)學(xué)家柯西及其研究成果，目的就是激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，讓學(xué)生愛學(xué)、好學(xué)，充滿好奇心和求知欲，提高學(xué)習(xí)興趣，始終抱有探究世界的積極態(tài)度.此外我認(rèn)為數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)是教會(huì)學(xué)生思考，經(jīng)常聽學(xué)生說：“一聽就懂，一做就錯(cuò).”產(chǎn)生這個(gè)問題的根本原因就是我們沒有想給學(xué)生聽，想給學(xué)生看.為解決這個(gè)問題，借助數(shù)學(xué)文化的滲透會(huì)起到良好效果。例如在等差數(shù)列求和公式的探究過程中我們可以介紹高斯小時(shí)候是如何求得“123100”并提出問題高斯是如何想到首尾相加乘以項(xiàng)數(shù)除以2的，借助數(shù)學(xué)文化不僅可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情，還可以教會(huì)學(xué)生如何思考，從而習(xí)得數(shù)學(xué)思想方法，掌握以數(shù)學(xué)的視角看待問題.第二層面是數(shù)學(xué)與人類活動(dòng)，這是廣義的數(shù)學(xué)文化，只要與數(shù)學(xué)相關(guān)都屬于數(shù)學(xué)文化的范疇.數(shù)學(xué)教學(xué)的最高境界不是停留在知識(shí)傳授層面而是教會(huì)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的眼光看待世界、思考問題.其實(shí)本節(jié)課在探究柯西不等式的幾何意義時(shí)也是在滲透數(shù)學(xué)