充分條件和必要條件及充要條件的概念

充分條件和必要條件及充要條件的概念教學(xué)目標(biāo)理解充分條件、必要條件、充要條件的概念.（重點）會用充分不必要條件，必要不充分條件、充要條件.既不充分也不必要條件表達(dá)命題間的關(guān)系.（重點）會求問題成立的充分條件、必要條件、充要條件，會證明充要條件.（難點、易錯點）教材整理1充分條件與必要條件閱讀教材P9~P10部分，完成下列問題.充分條件與必要條件命題真假"若p，則q”為真命題"若p，則q”為假命題推出關(guān)系p_qp/q條件關(guān)系p是q的充分條件q是p的必要條件p不是q的充分條件q不是p的必要條件課堂練習(xí)判斷（正確的打“"”，錯誤的打“X”）（1）若p是q的必要條件，則q是p的充分條件.（）⑵“兩角不相等”是“兩角不是對頂角”的必要條件.（）（3）x>a2+b2（a>0，b>0）是x>2ab的充分條件.（）【答案】（1）"⑵X（3）V教材整理2充要條件閱讀教材匕~?12部分，完成下列問題.充要條件推出關(guān)系：p今q,且q習(xí)p,記作p?q.簡稱：p是q的充分必要條件，簡稱充要條件.意義：p?q，則p是q的充要條件或q是p的充要條件，即p與q互為充要條課堂練習(xí)判斷(正確的打“"”，錯誤的打“X”)q是p的必要條件時，p是q的充分條件.()若p是q的充要條件，則命題p和q是兩個相互等價的命題.()q不是p的必要條件時，“p#q”成立.()【答案】(1)寸⑵寸(3)寸例題分析例判斷下列各題中p是q的什么條件？n1(1)p:a=3，q:cosa=2；在△ABC中，p：a>b,q：sinA>sinB；p:四邊形的對角線相等，q：四邊形是平行四邊形.【精彩點撥】根據(jù)定義法，集合法，等價法作出判斷.【自主解答】(1)..,?=?習(xí)cosa=2，cosa=2#a=n，匕匕?.?p是q的充分條件.由正弦定理土=當(dāng)，sinAsinB矢口a>b習(xí)sinA>sinB,sinA>sinB習(xí)a>b,?.?p是q的充要條件.'四邊形的對角線相等。，四邊形是平行四邊形，71一四邊形是平行四邊形。，四邊形的對角線相等，?.?p是q的既不充分也不必要條件.小結(jié)充分、必要、充要條件的判斷方法定義法若p"q中P,則P是q的充分條件；若P中q.q^P，^P是q的必要條件；若PFq^P，則P是q的充要條件；若P。q,q。P,則P是q的既不充分也不必要條件.集合法對于集合A={x\x滿足條件p},B={x\x滿足條件q}，具體情況如下：若AWB，則p是q的充分條件；若A%，則p是q的必要條件；若A=Bf則p是q的充要條件；若AWB，則p是q的充分條件；若^B，則p是q的必要條件；即小范圍可推出大范圍，大范圍不能推出小范圍.等價法等價轉(zhuǎn)化法就是在判斷含有“否”的有關(guān)條件之間的充要關(guān)系時，根據(jù)原命題與其逆否命題的等價性轉(zhuǎn)化為形式較為簡單的兩個條件之間的關(guān)系進(jìn)行判斷.［再練一題］設(shè)p：1VxV2,q：2x〉1,則p是q成立的（）A.充分條件B.必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】由2x>1=2。得x>0,所以p*但q。p,所以p是q的充分條件.【答案】A指出下列命題中，p是q的什么條件？p：x2=2x+1,q：x=\；2x+1；p：a2+b2=0,q:a+b=0；p:x=11或x=2,q:x—1=l；x—1；p：sina>sin月，q：a>g.【解］(1)?.&2=2x+1—x、-j2x+1,x=\^+62=2x+1,...p是q的必要條件.ya2+b2=0^a=b=0^a+b=0,a+b-0。a+b2=0,--p是q的充分條件.V當(dāng)x-1或x-2成立時，可得x-1-Jx-1成立，反過來，當(dāng)x-1-\：x-1成立時，可以推出x-1或x-2,?.?p既是q的充分條件也是q的必要條件.由sina>sin8不能推出a>。，反過來由a>也不能推出sina>sin&,?.p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件.例是否存在實數(shù)p,使4x+pV0是x2-x-2>0的充分條件？如果存在，求出p的取值范圍；否則，說明理由.【精彩點撥】用集合的觀點研究問題，先求出4x+p<0和x2-x-2>0所對應(yīng)的集合，再由“4x+p<0”6“x2-x-2>0”求p的范圍.［自主解答］由x2-x-2>0,解得x>2或x<-1,令A(yù)-{xlx>2或x<-1},由4x+p<0，得B-］xx<-§,當(dāng)B—A時，即-pW-1,即pN4，此時x<-，W-16x2-x-2>0,.,?當(dāng)pN4時，4x+p<0是x2-x-2>0的充分條件.小結(jié)解答本題的關(guān)鍵是分清4x+pV06x2-x-2>0.解答這類題主要根據(jù)充分條件、必要條件與集合的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為集合與集合間的包含關(guān)系，然后建立關(guān)于參數(shù)的不等式（組）進(jìn)行求解.［再練一題］3.若p：x（x—3）<0是q：2x—3<m的充分條件，則實數(shù)m的取值范圍是,【解析】p：x（x-3）<0，則0<x<3,q：2x-3<m,m+3m+3則x<—^-，由題意知P今q，???=■N2,..?mN3.【答案】mN3探究1如何證明充要條件？【提示】充要條件的證明分充分性和必要性的證明.在證明時要注意兩種敘述方式的區(qū)別：P是q的充要條件，則由p^q證的是充分性，由q^p證的是必要性；P的充要條件是q,則由p今q證的是必要性，由q^p證的是充分性.探究2如何求解充要條件？【提示】探求充要條件，可先求出必要條件，再證充分性；如果能保證每一步的變形轉(zhuǎn)化過程都可逆，也可以直接求出充要條件.例求證：一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一負(fù)根的充要條件是acV0.【精彩點撥分清條件〃與結(jié)論q一|證充分性^01一|證必要性q習(xí)p|一|結(jié)論pOq【自主解答】充分性：（由ac<0推證方程有一正根和一負(fù)根）,「ac<0,?一元二次方程ax2+bx+c=0的判別式A=b2-4ac>0.?.?方程一定有兩個不等實根.設(shè)為X1,x2，則x1x2=c<0，?.?方程的兩根異號，即方程ax2+bx+c=0有一正根和一負(fù)根.必要性：（由方程有一正根和一負(fù)根推證ac<0）,?,方程ax2+bx+c=0有一正根和一負(fù)根，設(shè)為氣，x2，則由根與系數(shù)的關(guān)系得氣尤2寸<°，即如<0，綜上可知：一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一負(fù)根的充要條件是ac<0.小結(jié)有關(guān)充要條件的證明問題，要分清哪個是條件，哪個是結(jié)論，誰是誰的什么條件，由“條件習(xí)結(jié)論”是證明命題的充分性，由“結(jié)論習(xí)條件”是證明命題的必要性.證明要分兩個環(huán)節(jié)：一是證充分性；二是證必要性.例已知方程x2+(2k—1)x+奴=0,求使方程有兩個大于1的實數(shù)根的充要條件.【精彩點撥】求解過程要保證每一步的變形轉(zhuǎn)化過程都可逆，直接求出充要條件.【自主解答】令f(x)=x2+(2k-1)x+k2,則方程X2+(2k-1)x+k2=0有兩個大于1的實數(shù)根fA=(2k-1)2-4k2^0,oI-2k^>1,Ok<-2.2f(1)>0因此k<-2是使方程X2+(2k-1)x+k2=0有兩個大于1的實數(shù)根的充要條件.小結(jié)探求充要條件一般有兩種方法先尋找必要條件，即將探求充要條件的對象視為結(jié)論，尋找使之成立的條件；再證明此條件是該對象的充分條件，即從充分性和必要性兩方面說明.將原命題進(jìn)行等價變形或轉(zhuǎn)換，直至獲得其成立的充要條件，探求的過程同時也是證明的過程，因為探求過程每一步都是等價的，所以不需要將充分性和必要性分開來證.［再練一題］4.已知尤，y都是非零實數(shù)，且尤>y,求證：^<^的充要條件是xy>0.1111_y-x【證明】⑴必要性：由x<y，得項-y<0，即*「<0，又由x>y，得y-x<0,所以xy>0.⑵充分性：由xy>0及x>y，得蘭>里，即【<【.xyxyxy綜上所述，X<y的充要條件是xy>0.練習(xí)“x>1”是“l(fā)ogT(x+2)<0"的()2A.充要條件B.充分條件C.必要條件D.既不充分也不必要條件【解析】由x+2>1得x>-1，故選B.(小范圍可推大范圍，大范圍不能推小范圍)【答案】B設(shè)四邊形ABCD的兩條對角線為AC,BD,則“四邊形ABCD為菱形”是“AC1BD”的()A.充分條件B.必要條件C.必要條件D.既不充分也不必要條件【解析】當(dāng)四邊形ABCD為菱形時，必有對角線互相垂直，即ACLBD.當(dāng)四邊形ABCD中AC1BD時，四邊形ABCD不一定是菱形，還需要AC與BD互相平分.綜上知，“四邊形ABCD為菱形”是“ACLBD”的充分條件.【答案】A實數(shù)a,b中至少有一個不為零的充要條件是()A.ab=0B.ab>0C.a2+b2=0D.a2+b2>0【解析】a2+b2>0，則a，b不同時為零；a，b中至少有一個不為零，則a2+b2>0.故選D.【答案】D若"x<m"是"(x—1)(x—2)>0"的充分條件，則m的取值范圍是.【解析】由(x-1)(x-2)>0可得x>2或x<1，由已知條件，知[x\x<m\={x\x>2,或x<1}，..?mW1.【答案】(一8,1]5.判斷下列各題中p是q的什么條件.p：x>1,q：x2>1；(2)p：(a—2)(a—3)=0,q：a=3；(3)p：a<b,q：；<1.【解】(1)由x>1可以推出x2>1;由x2>1