二項(xiàng)分布及超幾何分布期望與方差_第1頁(yè)
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nnnn.nnnn二項(xiàng)分布超幾何分布學(xué)期望與方差式的推導(dǎo)高中教材中對(duì)二項(xiàng)分布和超幾何分布數(shù)學(xué)期望與方差公式?jīng)]有給出推導(dǎo)公式給出一推導(dǎo)過(guò)程僅供參考。預(yù)備公式一kCn預(yù)備公式二

（n

用合數(shù)計(jì)算公式即可證。DE

)

，證明過(guò)程可見(jiàn)教材。預(yù)備公式三k(kCn(nn

（

n2,k

用合數(shù)計(jì)算公式即可證。預(yù)備公式四

k

k

k

k

C

km

(nNn)

，利用恒等式

)mx)n(1x)

m

的二項(xiàng)展開(kāi)式中x

的系數(shù)相等可證。一、二項(xiàng)分布在獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為（次數(shù)為，的概率分布列為

件A發(fā)

01

…

k

…

P

op)p1(1)

Co(1)

…

ok(1p)

…

on)

二分布的數(shù)學(xué)期望

)(1)n

n

p(1n

n

k)nnk

k

kkn

p

k

(1

n

(1

n

npk二分布的方差'.

nnnnnnnCCCCCCCMnnnnnnnCCCCCCCMMNMNMCD(

)n

k

(1p)

n

np)

2

2

kn

p(1

n

2

p

2k

k(Ckpn

k

p)

n

kn

pk)

n

2

p

2k

k(Ckpn

k

p)

n

22

(nC

kn

p(1

n

2

p

2k

k(p

2

kn

pk(1p)(npppnp2p二、超幾何分布

k一批產(chǎn)品共N件其中有M不合格品，-M件格品，從中隨機(jī)取出n件品，不合格品數(shù)X概率分布列為：X

0

1

2

…

k

…

mP

C

nMNC

C

nMNC

C

nMNC

…

C

kCMNC

…

C

mCMNC其中mmin（，M超何分布的數(shù)學(xué)期望mCkCkCn(XMNkMNCnkNNMkMnnmnCCnkNM預(yù)備公式四可得）nNMN!)!超何分布的方差'.

Ckn2knnnMNn2nCkn2knnnMNn2nnD()(X2))NCnkN

22k

MNkk

kCnmCMNCnk

kCnMCn

2

M(MnMCNN

2M(MnMNM(MNNNNN

2

MnNN

)超何分布的數(shù)學(xué)期望和方差與二項(xiàng)分布的學(xué)期望和方差的關(guān)系根據(jù)極限知識(shí)，很容易得到：在超幾何分布中，當(dāng)

M

（二項(xiàng)分布中的p（）N

時(shí)，超幾何分布的數(shù)學(xué)期望

(X)

M

(X)

（二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望

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