數(shù)學(xué)分析 第七章 課件 定積分

數(shù)學(xué)分析第七章課件定積分第1頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第一節(jié) 定積分的概念例1：變力作功例2：變速直線運(yùn)動(dòng)的路程例3：曲邊梯形的面積這些例子，都?xì)w結(jié)為一種和式的極限，我們把它抽象出來(lái)，得到定積分的定義:一.背景（引入）第2頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六思路：把整段時(shí)間分割成若干小段，每小段上速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通過(guò)對(duì)時(shí)間的無(wú)限細(xì)分過(guò)程求得路程的精確值．（二）變速直線運(yùn)動(dòng)的距離第3頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六（1）分割部分路程值某時(shí)刻的速度（2）求和（3）取極限路程的精確值第4頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六xyoab(三)求曲邊梯形的面積第5頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六abxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積．（四個(gè)小矩形）（九個(gè)小矩形）第6頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．第7頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．第8頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．第9頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．第10頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．第11頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．第12頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．第13頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．第14頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．第15頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．第16頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．第17頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．第18頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．第19頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．第20頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．第21頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六曲邊梯形面積求法：第22頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六曲邊梯形面積為第23頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六二、定積分的定義定義7.1設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，(1)分割在內(nèi)任意插入個(gè)分點(diǎn)。

它將分成個(gè)小區(qū)間，第個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度記為在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)(2)取點(diǎn)(3)作和 記作和式第24頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六（4）求極限令若和式的極限存在（設(shè)為I）且不依賴于分法，也不依賴于的選取，則稱在是可積的，否則稱為不可積。稱為在的定積分，記為即第25頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六上述定義用語(yǔ)言給出。有了積分概念以后，上面的例子便可用其表示。例1：變力使質(zhì)點(diǎn)從移到所作的功為例2：變速直線運(yùn)動(dòng)的路程，就是速度在時(shí)間段上的定積分，即第26頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例3：曲邊梯形（由軸及曲線所圍成的圖形）的面積為幾點(diǎn)說(shuō)明：定義中的兩個(gè)任意性。2.定義中，表示對(duì)無(wú)限細(xì)分的過(guò)程，但第27頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六3.當(dāng)我們已知可積的情況下，可取區(qū)間的特殊分法和的特殊取法來(lái)求積分和。這就是用定義求積分的依據(jù)。4.定積分只與被積函數(shù)和積分區(qū)間（上、下限）有關(guān)，與積分變量無(wú)關(guān)。即例用定義求積分：第28頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六5.規(guī)定：第29頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第二節(jié) 定積分的基本性質(zhì)定理7.1(可積函數(shù)必有界)在上可積，則在上有界。但反過(guò)來(lái)不成立。例如：函數(shù)在是不可積的第30頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六定理7.2(積分的線性性質(zhì))第31頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六定理7.3（定積分區(qū)間的可加性）第32頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六定理7.4（積分的單調(diào)性）推論7.1第33頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六若在可積，則定理7.5第34頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六函數(shù)的一致連續(xù)性概念設(shè)在某一區(qū)間（或開(kāi)，或閉）連續(xù)，按照定義，也就是在區(qū)間中的每一點(diǎn)都連續(xù)，即使當(dāng)時(shí)，一般說(shuō)來(lái)：對(duì)同一個(gè)，當(dāng)不同時(shí)，也不同

用符號(hào)：當(dāng)時(shí)，第35頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例：圖7.7曲線對(duì)接近于原點(diǎn)的就取得小一些，而當(dāng)離原點(diǎn)較遠(yuǎn)時(shí)，卻可以取大一些，對(duì)后者所取的值，對(duì)前者就不一定適用。能否找到（是否存在）一個(gè)對(duì)區(qū)間內(nèi)所有點(diǎn)都適用的。從圖大致看出，在中就沒(méi)有公共的，有時(shí)卻需要這種對(duì)所有點(diǎn)都適用的存在，這就需要第36頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六設(shè)函數(shù)在區(qū)間有定義，若對(duì)任給存在只與有關(guān)而與內(nèi)的點(diǎn)無(wú)關(guān)的，使得對(duì)任意只要就有則稱在區(qū)間一致連續(xù)。用符號(hào)：當(dāng)時(shí)，一致連續(xù)的定義第37頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六將函數(shù)在區(qū)間的定義加以比較，可見(jiàn)它們截然不同：前者（連續(xù)）：給定了和來(lái)決定。一般說(shuō)來(lái)，隨和而改變，記為而后者（一致連續(xù)）：是只給了就能決定即只隨而變，我們記為第38頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六而這種對(duì)任意的都可用。仍拿的情形看：對(duì)我們不妨求出滿足時(shí)，的的最大值，來(lái)看看依賴于的情況。從得：第39頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六不妨設(shè)從而或故只要取則它是使成立的最大的第40頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六顯然，當(dāng)時(shí)可見(jiàn)的確依賴于我們得不到一個(gè)對(duì)中每點(diǎn)都適用的函數(shù)也就是說(shuō)在不一致連續(xù)現(xiàn)設(shè)是一個(gè)小于1的函數(shù)下面在來(lái)考慮由前面難導(dǎo)，當(dāng)時(shí)則對(duì)中任意和只要就有即在區(qū)間是一致連續(xù)的第41頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六應(yīng)當(dāng)注意：函數(shù)在某區(qū)間的連續(xù)性，只與區(qū)間中每一點(diǎn)及其附近的的情形有關(guān),是局部性質(zhì)而一致連續(xù)性，是整體性質(zhì)函數(shù)在區(qū)間非一致連續(xù)的肯定敘述：若存在某個(gè)對(duì)任意都存在兩點(diǎn)使得但則得在非一致收斂第42頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例1：證明在一致連續(xù)，其中而在連續(xù)但不一致連續(xù)。證明:在某區(qū)間上:連續(xù)與一致連續(xù)的關(guān)系引出：定理：定理7.6：閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定在一致連續(xù)第43頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六若在連續(xù)，則在可積一個(gè)有界函數(shù)但不可積的例子。例2函數(shù)在是不可積的定理7.6康托（Cantor）定理閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定在一致連續(xù)定理7.7第44頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六定理7.8：（積分第一中值定理）第45頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六特別：當(dāng)時(shí)的情形，第46頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六在可積，令則是上的連續(xù)函數(shù)。定理7.9第47頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第三節(jié)微積分基本定理第48頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六（一）變上限積分的定義定義

第49頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六（二）變上限積分的性質(zhì)：定理1第50頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六二、微積分基本定理（一）Newton-Leibniz公式定理2牛頓—萊布尼茨公式第51頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六證令令第52頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六注:①②第53頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六（二）例題例2求原式解第54頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例3求解由圖形可知第55頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第四節(jié)定積分的計(jì)算（一）定積分的換元法定理7.13設(shè)函數(shù)在連續(xù)，單值函數(shù)滿足:1)2)在上則有連續(xù)微商，第56頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六證:

所證等式兩邊被積函數(shù)都連續(xù),因此積分都存在,是的原函數(shù),因此有且它們的原函數(shù)也存在.第57頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六說(shuō)明:1)當(dāng)<,即區(qū)間換為定理1仍成立.2)必需注意換元必?fù)Q限

,原函數(shù)中的變量不必代回.3)換元公式也可反過(guò)來(lái)使用,即或配元配元不換限第58頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例1.

計(jì)算解:

令則∴原式=且第59頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例3.證:(1)若(2)若偶倍奇零第60頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六定理2.

則證:二、定積分的分部積分法第61頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例7.

證明證:令

n

為偶數(shù)

n

為奇數(shù)則則第62頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六由此得遞推公式于是而故所證結(jié)論成立.第63頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第五節(jié)定積分在物理學(xué)中的

應(yīng)用初步第64頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六小窄條上各點(diǎn)的壓強(qiáng)例4.

的液體,

求桶的一個(gè)端面所受的側(cè)壓力.解:

建立坐標(biāo)系如圖.所論半圓的利用對(duì)稱性,側(cè)壓力元素端面所受側(cè)壓力為方程為一水平橫放的半徑為R的圓桶,內(nèi)盛半桶密度為第65頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六說(shuō)明:當(dāng)桶內(nèi)充滿液體時(shí),小窄條上的壓強(qiáng)為側(cè)壓力元素故端面所受側(cè)壓力為奇函數(shù)第66頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例5.設(shè)有一長(zhǎng)度為l,線密度為的均勻細(xì)直棒,其中垂線上距a

單位處有一質(zhì)量為

m

的質(zhì)點(diǎn)

M,該棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力.解:

建立坐標(biāo)系如圖.細(xì)棒上小段對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力大小為故垂直分力元素為在試計(jì)算第67頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六利用對(duì)稱性棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)引力的水平分力故棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力大小為棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力的垂直分力為第68頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六說(shuō)明:2)若考慮質(zhì)點(diǎn)克服引力沿y

軸從a

處1)

當(dāng)細(xì)棒很長(zhǎng)時(shí),可視

l

為無(wú)窮大,此時(shí)引力大小為方向與細(xì)棒垂直且指向細(xì)棒.移到b

(a<b)處時(shí)克服引力作的功,則有第69頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六引力大小為注意正負(fù)號(hào)3)當(dāng)質(zhì)點(diǎn)位于棒的左端點(diǎn)垂線上時(shí),第70頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六1.定積分的定義—乘積和式的極限2.定積分的性質(zhì)3.積分中值定理矩形公式梯形公式連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的平均值公式近似計(jì)算內(nèi)容小結(jié)第71頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六則有4.微積分基本公式積分中值定理微分中值定理牛頓–萊布尼茲公式5.變限積分求導(dǎo)公式第72頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

6.基本積分法換元積分法分部積分法換元必?fù)Q限配元不換限邊積邊代限第73頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六習(xí)題例1.

求解:

令則原式第74頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例2.

求解:第75頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例3.選擇一個(gè)常數(shù)c,使解:

令則因?yàn)楸环e函數(shù)為奇函數(shù),故選擇c使即可使原式為0.第76頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例4.若解:

令試證:則第77頁(yè)，共84頁(yè)，2023年，2月20日，星期六因?yàn)閷?duì)右端第二個(gè)積分令綜上所述