數(shù)學物理方程 特征線法

數(shù)學物理方程特征線法第1頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六Methodofcharacteristics一種基于特征理論的求解雙曲型偏微分方程組的似方法。它產生較早，19世紀末已經有效地為人們所用。電子計算機出現(xiàn)以后，又得到了進一步的發(fā)展，在一維不定常流和二維定常流等問題中得到了廣泛的用。

特征線法也是求解偏微分方程的一種基本方法。其實質是沿偏微分方程的特征線積分以使方程的形式簡化，從而使其求解稱為可能。它不僅適用于線性偏微分方程，而且也是求解非線性方程的一種有效方法。第2頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六一、特征線法

結合一些具體的定解問題的求解，說明特征線方法的基本思想和求解方法。第一節(jié)、一階偏微分方程特征線法

例1求解線性方法Cauchy問題

解

方程（1）的左端是的一階偏導數(shù)的線性組合。特征線方法的基本思想就是將其轉化為關于t的全導數(shù)。在這條直線上，即，在這個直線上，上述定解問題轉化為第3頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六解之，得又，則此解法關鍵之處是找到直線，偏微分方程轉化為常微分方程。直線稱為一階偏微分方程（1）的特征線第4頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六特征線是方程的解，方程稱為（1）的特征方程，其解就是（1）的特征線。沿一階偏微分方程的特征線將方程化為常微分方程，便是特征線法的基本思想。對定解問題（1）（2）也可以用變量代換方法求解。具體做法是，做變換則第5頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六即代入有所以即對兩邊積分，可得其中，為一個可微函數(shù)。由第6頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六由方程（2）得即所以第7頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六定義1考慮下面一階線性微分方程注1給出例1求解方法的一個幾何解釋。在該例中，使用了參數(shù)其中、和、均為自變量、的函數(shù)。方程稱為(4)式的特征方程，其積分曲線稱為(4)式的特征曲線。c，即為特征線的初始值。當參數(shù)在軸滑動時，(3)式的解曲線就織成了(1)式--(2)式的解曲面。為了避免和常數(shù)c混淆，下面用變量代替參數(shù)c。請記?。鹤兓喈斢谠谳S上滑動。第8頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六

例2求解線性方法柯西問題解方程(6)式的特征方程為而過點的特征線就是下面問題的解解之可得。沿此特征線原定解問題(6)-(7)簡化為第9頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六解出最后，由特征線方程易得該問題的解為常數(shù)(8)式中便得(6)式-(7)式的解為將其代入到第10頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六

練習求下列Cauchy問題的解

解第一步求特征線。特征線方程的解為

第二步化偏微分方程為常微分問題并求解。令則第11頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六則這個常微分方程初值問題的解為又所以第12頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六下面考慮一階擬線性方程，即一階導數(shù)的系數(shù)與未知函數(shù)一階擬線性方程柯西問題的一般形式為有關。第13頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六方程(9)式有一個很直觀的幾何解釋，在的法對曲面上任一點三維空間中，(9)式的解可視為該空間中的一曲面的曲面在該點向量為而在曲面上，過點的曲線在點的切向量為。顯然，向量與在點相互垂直。如記向量則方程(9)式恰好表示向量與在點處相互垂直。因此，在曲面第14頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六第二節(jié)、一維波動方程的特征線法考慮弦振動方程的Cauchy問題

這里是無界問題，可以用積分變換求解，下用特征線求解。

特征線族即可得第15頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六

（3）稱為特征方程

做變量代換則第16頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六則（1）式變?yōu)榉e分此方程，可得其中f、g是兩個任意函數(shù)，將變量還原成x和t得由方程的（2）式，可得第17頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六對上面第二式兩邊積分聯(lián)立（A）（B）兩式，可得所以第18頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六第19頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六例2解例1解第20頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六第21頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六第22頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六第23頁，共27頁，2023