數(shù)據(jù)處理與實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

數(shù)據(jù)處理與實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)第1頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期六實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的整理誤差分析整理列表曲線標(biāo)繪求取數(shù)學(xué)模型第2頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第一節(jié)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的列表整理評(píng)定實(shí)驗(yàn)精度的幾個(gè)特征值

1.平均值

2.均方差3.平均值標(biāo)準(zhǔn)差算術(shù)平均值加權(quán)平均值等精度測(cè)量不等精度測(cè)量第3頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第一節(jié)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的列表整理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的初步整理步驟

1.求出算術(shù)平均值2.求出各測(cè)定值的均方差3.確定其最大可能誤差，并驗(yàn)證各測(cè)定誤差是否超過最大可能誤差4.確定其算術(shù)平均值的均方差第4頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第一節(jié)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的列表整理例：整理某亞高效過濾器灰塵穿透?jìng)€(gè)數(shù)的結(jié)果

第5頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第一節(jié)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的列表整理1.求出算術(shù)平均值2.求出各測(cè)定值的均方差3.確定其最大可能誤差，并驗(yàn)證各測(cè)定誤差是否超過最大可能誤差最大可能誤差第六個(gè)測(cè)定值不可靠第6頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期六4.確定其算術(shù)平均值的均方差第一節(jié)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的列表整理算術(shù)平均值練習(xí)題如果實(shí)驗(yàn)中，某氣體流量計(jì)的相對(duì)誤差為12％，那么，應(yīng)指定量測(cè)多少次，才能保證其結(jié)果的相對(duì)精度是10％，5％，3％和1％？第7頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第一節(jié)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的列表整理三.實(shí)驗(yàn)結(jié)果的數(shù)據(jù)表1.標(biāo)題應(yīng)該醒目，恰當(dāng)?shù)恼f明主題；2.數(shù)據(jù)的名稱和單位，應(yīng)在表格的名稱欄中表明，不宜和數(shù)字附在一起；3.“過大”或“過小”的數(shù)據(jù)，應(yīng)該用“乘數(shù)10”來表達(dá)，并將它放在表頭；4.表中的數(shù)字應(yīng)與測(cè)定精確度相適應(yīng)，注意有效數(shù)字的運(yùn)算和寫法第8頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第二節(jié)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的插值差值法：就是根據(jù)已知實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的數(shù)據(jù)，找出一個(gè)原函數(shù)關(guān)系的簡(jiǎn)單表達(dá)式，時(shí)他們?cè)诮o定的若干點(diǎn)處符合實(shí)驗(yàn)值，用詞表達(dá)式近似的找出差值點(diǎn)的數(shù)值。內(nèi)插法外推法常用的方法：線型插值法，圖解法，拉格朗日法及樣條函數(shù)法第9頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第二節(jié)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的插值例：已經(jīng)測(cè)得不同直徑的圓柱中心冷卻速度如下：圖解法：

選一個(gè)坐標(biāo)系，以橫坐標(biāo)表示圓柱直徑，縱坐標(biāo)表示中心冷卻速度，然后將已知的測(cè)定點(diǎn)標(biāo)注在圖上，用光滑曲線將這些點(diǎn)連接起來，即得到了近似的函數(shù)曲線。在曲線上，找出橫坐標(biāo)為40的點(diǎn)，那么縱坐標(biāo)即為所求的插值結(jié)果。求40cm的圓柱中心冷卻速度。第10頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第二節(jié)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的插值第11頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第二節(jié)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的插值線性插值法：

線性插值就是我們?cè)缫延眠^的部分正比法，他是把插值區(qū)間的函數(shù)關(guān)系，近似當(dāng)作直線來處理。設(shè)被插值的原函數(shù)，，的值分別為則通過此兩點(diǎn)，的直線方程為：

第12頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第二節(jié)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的插值第13頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期六拉格朗日法：

設(shè)為給定的節(jié)點(diǎn)，，為相應(yīng)的函數(shù)值，求一個(gè)次數(shù)不超過的多項(xiàng)式，使其滿足，.這類問題稱為插值問題。稱為被插值函數(shù)，稱為插值函數(shù)，稱為插值節(jié)點(diǎn)一、問題提出第14頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期六y=f(x)Oyxy=p(x)

幾何解釋

求代數(shù)多項(xiàng)式，使其通過給定的點(diǎn)，并用它近似已知曲線.第15頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

定理1

設(shè)為給定的彼此互異的個(gè)插值節(jié)點(diǎn)，則存在唯一的次數(shù)不超過的多項(xiàng)式，滿足條件,.二、存在唯一性第16頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期六三、Lagrange插值多項(xiàng)式的構(gòu)造

求一個(gè)n次多項(xiàng)式,使其滿足如下條件

其中為Kroneker符號(hào).注意到當(dāng)時(shí),為的根,故可設(shè),其中C為待定常數(shù).此時(shí)由另一條件當(dāng)時(shí),得,

得到常數(shù)C,進(jìn)而得到基函數(shù)

從而Lagrange插值多項(xiàng)式可以表示為

第17頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期六四、線性插值和拋物插值

當(dāng)n=1時(shí),插值結(jié)點(diǎn)為,相應(yīng)的函數(shù)值為,插值基函數(shù)滿足故線性插值多項(xiàng)式可表示為

幾何意義:通過兩點(diǎn)的直線.

第18頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

當(dāng)n=2時(shí),插值結(jié)點(diǎn)為,相應(yīng)的函數(shù)值為,插值基函數(shù)滿足

故拋物插值多項(xiàng)式可表示為

幾何意義:通過三點(diǎn)的拋物線.

第19頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第二節(jié)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的插值有了這n個(gè)n－1次多項(xiàng)式，可寫出插值多項(xiàng)式

本例已知：x1=19;x2=25;x3=25;x4=75;y1=105;y2=55;y3=19;y4=10;求x＝40時(shí)y的值。第20頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例2.求過點(diǎn)(2,0)(4,3)(6,5)(8,4)(10,1)的拉格朗日型插值多項(xiàng)式。第21頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期六解：用4次插值多項(xiàng)式對(duì)5個(gè)點(diǎn)插值

第22頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

第23頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期六于是有第24頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期六評(píng)價(jià)優(yōu)點(diǎn):Lagrange基函數(shù)容易構(gòu)造,結(jié)構(gòu)緊湊,便于理論研究.缺點(diǎn):當(dāng)增加或減少插值結(jié)點(diǎn)時(shí),基函數(shù)需要重新構(gòu)造,不便于實(shí)際的計(jì)算使用第25頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第三節(jié)如何正確的繪制實(shí)驗(yàn)結(jié)果曲線4-2-2圖解法處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)作圖時(shí)要先整理出數(shù)據(jù)表格，并要用坐標(biāo)紙作圖。作圖步驟：實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)列表如下1、選擇合適的坐標(biāo)分度值，確定坐標(biāo)紙的大小坐標(biāo)分度值的選取應(yīng)能反映測(cè)量值的有效位數(shù)，一般以1～2mm對(duì)應(yīng)于測(cè)量?jī)x表的最小分度值或?qū)?yīng)于測(cè)量值的次末位數(shù)）。作圖六點(diǎn)要求：第26頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期六2、標(biāo)明坐標(biāo)軸：用粗實(shí)線畫坐標(biāo)軸，用箭頭標(biāo)軸方向，標(biāo)坐標(biāo)軸的名稱或符號(hào)、單位,再按順序標(biāo)出坐標(biāo)軸整分格上的量值。4、連成圖線：用直尺、曲線板等把點(diǎn)連成直線、光滑曲線。一般不強(qiáng)求直線或曲線通過每個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，應(yīng)使圖線兩邊的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)與圖線最為接近且分布大體均勻。圖線正穿過實(shí)驗(yàn)點(diǎn)時(shí)可以在點(diǎn)處斷開。3、標(biāo)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)：實(shí)驗(yàn)點(diǎn)可用“+”、“*”、“?！钡确?hào)標(biāo)出（同一坐標(biāo)系下不同曲線用不同的符號(hào)）。第27頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期六I(mA)U(V)8.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.0002.004.006.008.0010.001.003.005.007.009.00由圖上A、B兩點(diǎn)可得被測(cè)電阻R為：A(1.00,2.76)B(7.00,18.58)5.標(biāo)出圖線特征：在圖上空白位置標(biāo)明實(shí)驗(yàn)條件或從圖上得出的某些參數(shù)。利用所繪直線可給出被測(cè)電阻R大小：從所繪直線上讀取兩點(diǎn)A、B的坐標(biāo)就可求出R值。6.標(biāo)出圖名：在圖線下方或空白位置寫出圖線的名稱及某些必要的說明。電阻伏安特性曲線第28頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期六圖2I(mA)U(V)02.008.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.001.003.00電學(xué)元件伏安特性曲線橫軸坐標(biāo)分度選取不當(dāng)。橫軸以3cm

代表1V，使作圖和讀圖都很困難。實(shí)際在選擇坐標(biāo)分度值時(shí)，應(yīng)既滿足有效數(shù)字的要求又便于作圖和讀圖，一般以1mm代表的量值是10的整數(shù)次冪或是其2倍或5倍。第29頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期六改正為：I(mA)U(V)o1.002.003.004.008.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.00電學(xué)元件伏安特性曲線第30頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期六定容氣體壓強(qiáng)～溫度曲線1.20001.60000.80000.4000圖3P(×105Pa)t(℃)60.00140.00100.00o120.0080.0040.0020.00圖紙使用不當(dāng)。實(shí)際作圖時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)的讀數(shù)可以不從零開始。第31頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期六改正為：定容氣體壓強(qiáng)～溫度曲線1.00001.15001.20001.10001.0500

P(×105Pa)50.0090.0070.0020.0080.0060.0040.0030.00t(℃)第32頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第三節(jié)如何正確的繪制實(shí)驗(yàn)結(jié)果曲線一.坐標(biāo)的選擇1.直角坐標(biāo)；優(yōu)點(diǎn)：最常用的方式，也是最熟悉的方式優(yōu)點(diǎn)：A變量之一在所研究的范圍內(nèi)，有若干數(shù)量級(jí)的變化時(shí)，例如橫坐標(biāo)在20，40，60，80，100，500，1000，2000，4000，此橫坐標(biāo)，如采用直角坐標(biāo)的花，曲線開始部分的坐標(biāo)點(diǎn)幾乎無法描繪。B當(dāng)自變量在起始階段的少許變化，引起因變量有劇烈變化時(shí)C當(dāng)需要將非線性函數(shù)關(guān)系，變換成執(zhí)行函數(shù)關(guān)系時(shí)。2.單對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙；第33頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第三節(jié)如何正確的繪制實(shí)驗(yàn)結(jié)果曲線3.雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)；4.極坐標(biāo)；第34頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期六二比例尺的選擇

1.兩個(gè)坐標(biāo)比例尺應(yīng)遵守的比例法則

第三節(jié)如何正確的繪制實(shí)驗(yàn)結(jié)果曲線保證兩個(gè)坐標(biāo)軸各自所取的比例應(yīng)遵守一定的關(guān)系兩軸比例尺的選擇應(yīng)保證“雙雙誤差”面積成正方形第35頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第三節(jié)如何正確的繪制實(shí)驗(yàn)結(jié)果曲線二.比例尺的選擇1.兩個(gè)坐標(biāo)比例尺應(yīng)遵守的比例法則；

兩軸比例尺的選擇應(yīng)保證“雙雙誤差”面積成正方形。例：

當(dāng)自變量x為1，2，3，4時(shí)，因變量y為8.0，8.2，8.3，8.0?，F(xiàn)在任取坐標(biāo)軸比例尺來作圖，如縱坐標(biāo)比例尺取得過分短或者過分長(zhǎng)時(shí)，所獲得兩個(gè)曲線則完全不同。第36頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第三節(jié)如何正確的繪制實(shí)驗(yàn)結(jié)果曲線

在本例子中，自變量測(cè)定誤差為0.05，而因變量測(cè)量誤差為0.02。

取沿x軸1單位為20mm，實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的底邊在圖上的寬度：

為保證點(diǎn)的高度在圖上也等于2mm時(shí)，縱坐標(biāo)1個(gè)單位就應(yīng)等于Mmm（M為待定比例尺），即按第37頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第三節(jié)如何正確的繪制實(shí)驗(yàn)結(jié)果曲線第38頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第三節(jié)如何正確的繪制實(shí)驗(yàn)結(jié)果曲線2.單坐標(biāo)軸比例尺的選擇1.比例尺的大小，應(yīng)保證所描出的實(shí)驗(yàn)誤差“點(diǎn)”的面積，通常在2－4mm2之內(nèi)，且應(yīng)使所有測(cè)試數(shù)據(jù)易于在圖面上繪出確切的坐標(biāo)點(diǎn)。2.自變量至于x軸上，因變量置于y軸上，沿y軸標(biāo)示的變量應(yīng)該包括所研究區(qū)間的全部變化值；3.應(yīng)使所繪曲線，占滿坐標(biāo)紙面，如果是直線關(guān)系，應(yīng)使其盡量接近一根斜率為1的直線。第39頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第三節(jié)如何正確的繪制實(shí)驗(yàn)結(jié)果曲線四.通過數(shù)據(jù)點(diǎn)描繪曲線的方法1.標(biāo)繪數(shù)據(jù)點(diǎn)是，可用各種符號(hào)，