凸顯遷移能力的教學設計個案

凸顯遷移能力的教學設計個案

教學內容蘇科版《義務教育課程標準實驗教科書·數(shù)學》七年級上冊“4.1從問題到方程”。內容解析方程是連接代數(shù)式與函數(shù)的橋梁，是初中代數(shù)中重要的內容之一。其本質是通過構建含有未知數(shù)和已知數(shù)的等式，打開它們之間的通道，從而達到解決問題的目的。用方程解決問題的教學要點，不是它的類型，也不是列表法、圖示法等具體的方法分析，而是尋求含有未知量和已知量的相等關系。從這個角度來看，“從問題到方程”就是把實際問題轉化為數(shù)學問題（方程問題），即將未知數(shù)引進等式，再通過解方程解決問題。本節(jié)內容為方程的起點，學生在小學數(shù)學學習過程中已經接觸過方程的一些知識，對此內容并不陌生。關鍵是要讓學生清楚為什么要用方程來解決問題？小學算術不可以嗎？為什么要換個角度來研究？教學目標(1)通過《雞兔同籠》的解法探究，構建算術方法向方程方法的轉化活動，自然銜接中、小學數(shù)學知識。(2)通過對以“秋游”為主題的系列問題的探究，初步會用方程表達數(shù)量間的相等關系，初步感受方程是刻畫現(xiàn)實世界的有效模型。(3)通過對《雞兔同籠》問題、以“秋游”為主題的系列問題、“方程與天平”的問題分析，體驗在生活中學數(shù)學、用數(shù)學的價值，感受學數(shù)學的樂趣。教學重點體驗方程是刻畫現(xiàn)實世界的一種有效的數(shù)學模型，用方程表達數(shù)量間的相等關系。教學難點從實際問題中建立方程模型。教學實錄1.趣題再解(1)趣題引入《雞兔同籠》是我國古代著名趣題之一，大約在1500年前，我國古代一部較為普及的算書《孫子算經》就記載了這個有趣的問題。它還曾經漂洋過海傳到日本等國。請看題：今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？(2)探索算術解法問題1請同學們回憶一下，在小學階段是怎么解決這個問題的？：把兔子的足砍去一半，則有35×2=70（只）足，那么被砍去的足有94-70=24（只），故有24÷2=12（只）兔子。師：噢，你是運用假設把兔子的足砍去一半的方法來解決的。這個方法很好，大數(shù)學家孫子就是用這種方法來解決該問題的，我們就把它稱之為“砍足法”。（板書：砍足法。）：我受解法的啟發(fā)，想出如下解法：假設讓兔子全“起立”，那么雞、兔共有35×2=70（只）足，而實際多了94-70=24（只）足，故有24÷2=12（只）兔子。師：的想法頗具“擬人”的味道，這是一種創(chuàng)新，而且更具人性化，很有研究價值。我們可將此方法稱為“兔立法”。（板書：兔立法。）：老師，我是這樣想的，兔有4只足，雞有2只足，這樣對雞是否有些不公平？不過我又想，兔子沒有翅膀，而雞有2只翅膀，這樣一想，也能算是公平了，和諧了。我們如果把雞的兩只翅膀也算足的話，那么就有35×4=140（只）足，這就說明雞有140-94=46（只）翅膀，故原來有46÷2=23（只）雞。師：的方法是假設將雞的2只翅膀也算作足，讓雞與兔和諧共生。因此，我們可將此方法稱之為“公平法”（板書：公平法）。事實上，這種解決問題的方法，數(shù)學家張景中院士給青少年講數(shù)學時早就運用了，看來具有數(shù)學家的潛質噢！(3)引入方程解法問題2上述解決問題的方法主要運用的是小學數(shù)學知識，請同學們考慮一下，這幾種方法有什么共同點？：我認為上述解決問題的方法雖然不盡相同，但是它們都是在假設的基礎上進行的。師：的回答很好，從上述的解法中，我們體驗到了假設思維的妙處。雖然有些事情并沒有發(fā)生，但我們可以在想象中假設它發(fā)生了，于是出現(xiàn)了合乎解決問題的情境，從而獲得問題的答案。故上述解法，其實質就是“假設法”。問題3能否沿著假設法的思路，通過用字母表示未知數(shù)的方法來解決該問題？：假設雞有x只，則兔有(35-x)只。根據(jù)雞兔共有94只足，就有2x+4(35-x)=94。剩下的問題就變成求x的純數(shù)學問題了。師：的思路非常清晰，他將小學階段學習的“假設法”遷移到我們初中數(shù)學中。今天我們就來研究——從問題到方程。（板書：從問題到方程。）2.主題式探究師：秋天是個收獲的季節(jié)，學校準備組織部分同學去秋游。小明是秋游活動的負責人，你們能幫他解決下面的問題嗎？請看題：問題4學校組織七年級94名三好學生到玄武湖劃船秋游，共用船35條，若每條大船可以坐4人，每條小船可以坐2人，如果小船有x條，那么可得方程一：因為坐大船的總人數(shù)+坐小船的總人數(shù)=94，于是有方程4(35-x)+2x=94。師：俗話說，兵馬未動，糧草先行?，F(xiàn)決定為秋游活動準備水果，你們能幫小明當好這個后勤部長嗎？請看題：問題5用94元錢買蘋果和橘子共35千克，已知蘋果4元每千克，橘子2元每千克。如果買了x千克橘子，那么可得方程＿＿。：由于蘋果的總價錢+橘子的總價錢=94，則有方程4(35-x)+2x=94。師：當秋游回來，學校正舉行球賽，有一個有關球賽的問題需要小明解決，你們能幫小明解決嗎？問題6某排球隊參加排球聯(lián)賽，勝一場得4分，負一場得2分，該隊賽了35場，共得94分。問：該隊負了多少場（用方程表示）?：勝的場數(shù)×4+負的場數(shù)×2=94。解：設該隊負x場，那么勝(35-x)場，可得方程2x+4(35-x)=94。師：看完球賽，回到教室，小華向小明請教了兩道習題，你們能幫小明解決嗎？問題7已知師傅每小時做4個零件，徒弟每小時做2個零件?，F(xiàn)師、徒二人在35小時內完成94個零件的加工任務。那么徒弟做了多長時間（用方程表示）?：根據(jù)徒弟做的零件總數(shù)+師傅做的零件總數(shù)=94，可以列出方程。解：設徒弟做了t小時，則有2t+4(35-t)=94。3.變式體驗(1)變式訓練問題8在一次電腦知識競賽中共有20道題。對于每道題，答對得5分，答錯或不答扣3分，鄧民同學得到84分，則他答對多少道題（用方程表示）?：我可以根據(jù)答對的得分—答錯或不答的扣分=84，列出方程。解：設答對x道題，那么答錯或不答(20-x)道題，有5x-3(20-x)=84。(2)體驗平臺師：我想剛才的秋游活動同學們不僅愉快地和小明度過了一個美好的秋日，而且還學會了用方程去解決實際問題的方法。下面讓我們一起再體驗一下用方程去解決問題。（學生練習課本第92頁試一試、練一練。）(3)心靈升華師：現(xiàn)實生活中充滿了大量的相等關系，方程的思想無處不在，現(xiàn)在就讓我們再去感受一下方程的思想。如圖1所示天平，可以得到的方程為：x+2=10。圖1如下頁圖2所示天平，可以得到什么方程？心靈感悟：方程是解決實際問題中相等數(shù)量關系的有效模型。圖24.仿真中考師：看來同學們今天對方程的相關知識學得不錯，下面通過兩道中考題，讓同學們了解一下中考對這部分知識的要求，提前感受一下中考。(1)（2007年江蘇·徐州卷）某通訊運營商的短信收費如下：發(fā)送網內信息每條0.1元，發(fā)送網際信息每條0.15元。該通訊運營商小王某月發(fā)送以上兩種短信共計150條，依照該收費標準共支出短信費用19元。若設小王該月發(fā)送網內短信z條，則可得方程＿＿。(2)（2008年浙江·臺州卷）四川“5·12”大地震后，災區(qū)急需帳篷。某企業(yè)急災區(qū)所急，準備捐助甲、乙兩種型號的帳篷共2000頂，其中甲種帳篷每頂安置6人，乙種帳篷每頂安置4人，共安置9000人，設該項企業(yè)捐助甲種帳篷x頂，則可得方程＿＿。5.合作交流師：請同桌間根據(jù)老師提供的情境自己出題、交換答題、相互評價。參考情境：雞兔同籠類型問題、購物問題、球賽問題……（要求：只列出方程，不要求解答。）6.反思小結。師：通過本節(jié)課的學習，同學們對方程的相關知識又有什么新的理解呢？：用方程解決問題的方法好像是一種創(chuàng)設法。：從“問題到方程”的關鍵：建立含有未知數(shù)的方程。：從“問題到方程”的實質：方程是解決實際問題中相等數(shù)量關系的有效模型。：從“問題到方程”的思想：實際問題數(shù)學問題方程模型。：從“問題到方程”的方法：實際問題數(shù)學問題確立等量關系設未知數(shù)列方程。……7.課后延伸“新雞兔同籠問題”：已知每千克五角硬幣價值132元，每千克一元硬幣價值165元，現(xiàn)有總重量為2千克的硬幣，總數(shù)共計462枚，問其中一元和五角的硬幣分別有多少枚？教學設計說明本節(jié)課的教學設計緊緊圍繞“方法遷移”“知識遷移”來展開。通過引導學生經歷從小學算術（算法）到中學數(shù)學（方程）的探索歷程，來體現(xiàn)“方法遷移”；通過對同一模型2x+4(35-x)=94的不同背景的呈現(xiàn)，來體現(xiàn)“知識遷移”。這樣設計主要是讓學生經歷將實際問題數(shù)學化的過程，體驗用方程的模型來解決實際問題的過程，讓學生初步感受用方程解決實際問題與小學算術方法相比既簡單又深刻，讓學生體驗方程是解決實際問題的有效工具，它具有省時省力之功效。1.關于教學目標的落實首先，教學中通過“砍足法”“兔立法”“公平法”等解法遷移，激發(fā)了學生對數(shù)學的美好情感，一開始就將知識與情感有機地整合到課堂教學之中；其次，通過不同問題的“解法歸一”，讓學生深度思考，思維遷移，使學生充分認識“方程是刻畫現(xiàn)實生活中相等關系的有效模型”，體驗在生活中學數(shù)學、用數(shù)學的價值，再一次保證“方法與過程”“情感、態(tài)度與價值觀”等目標的有效落實。具體地講，在以“秋游”為主題的系列問題探究中，著重落實“知識與技能”目標，在對《雞兔同籠》問題的解法探究中，著重落實“過程與方法”目標，在對“方程與天平”問題的分析中，著重落實“情感態(tài)度與價值觀”的目標。當然，三維目標是不可分割的有機統(tǒng)一體，它的落實貫穿在教學設計的全過程中。2.關于教學過程的設計教學過程是課堂教學設計的核心。教學任務、教學目標、教學對象的分析，教學媒體的選擇，課堂教學結構的選擇組合等，都將在教學過程中得到體現(xiàn)。課堂教學要求我們關注學生的主動參與，讓學生在觀察、分析、討論、探究中，在情感的體驗中，進行有效遷移。在這樣的理念下，教學的過程呈現(xiàn)主題或網狀思考狀態(tài)，教學諸因素不是沿著“教”這條單線前行，而是在“學”與“教”的交錯中，按照教學目標、教學任務動態(tài)前行。本節(jié)課的教學過程設計有如下特點：(1)情境導入——遵循從“最近發(fā)展區(qū)”出發(fā)。每節(jié)課的開始，是師生建立情感的第一座橋梁，也是經營整個課堂氣氛的一個重要環(huán)節(jié)。導入環(huán)節(jié)應當做好兩個方面的工作：一是在上課開始，運用新穎的刺激和引人入勝的活動，引導學生把注意力轉移到新的學習課題，引起學生對課題的關注，使學生的心理活動集中于要掌握的內容；二是利用學生熟知的素材，把它作為“引子”過渡，找到新知識與學生原有知識經驗的“切合點”，將新知識通過“同化”或“順應”遷移到已形成的知識結構中，從而達到學習新知識的目的。本節(jié)課的情境創(chuàng)設，沒有使用課本中提供的“天平情境”，而采用古代《雞兔同籠》作為問題情境，主要基于以下幾個方面的考慮：一是從學生“最近發(fā)展區(qū)”出發(fā)，通過對《雞兔同籠》的趣題再解活動，來激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，喚起學生的求知欲；二是通過“砍足法”“兔立法”“公平法”的解法歸一，得到解決問題的本質是一種思想，即假設思想，通過這樣的過程，培養(yǎng)學生的遷移能力；三是通過將假設法遷移到用方程方法解決問題，為學生提供非常自然流暢的思維場景（通過教師的提問：能否沿著假設法的思路，通過用字母表示未知數(shù)來解決該問題呢），為學生遷移能力的發(fā)展作有效的鋪墊。(2)主題式探究——堅持凸顯問題的本質。主題式探究是圍繞某一中心問題展開“形散神不散”的探究遷移活動。在主題式探究中，問題是核心，沒有問題就沒有探究，更沒有有效的思維遷移。本節(jié)課的主題式探究活動，通過對《雞兔同籠》問題探究形成的基礎，巧妙地選擇學生即將進行的“秋游”主題活動（上這節(jié)課時正值學校準備組織秋游活動），使學生倍感親切，增強了學生的探究欲望。具體的探究活動，一是通過對同一模型2x+4(35-x)=94來展開知識遷移，讓學生體驗“同一個方程模型可表述不同的問題背景”。首先，問題背景為秋游活動中的“用船情況”；然后，將問題背景遷移到秋游活動中協(xié)助“后勤部長”工作；接著，將問題背景遷移到秋游結束后的球賽中；最后，將問題背景遷移到幫助小明解決小華提出的問題。讓學生感受生活中無處沒有“從問題到方程”，進一步增強學生對學習此知識的必要性的認識。設計這些不同背景的遷移，一是讓學生充分認識到方程的實用性，二是讓學生感受到方程的本質美。二是設計變式訓練，給出異于方程2x+4(35-x)=94的問題（其模型為：5x-3(20-x)=84），主要是讓學生形成“不同的方程可以表述不同背景”的經驗，并在此后安排練習，讓學生有更多的體驗。(3)心靈升華——意在將知識內化為積極的情感。學習的目的不僅僅是讓學生學習具體的知識，還要讓學生從知識中獲取遷移的方法，使學生會學，使學生獲得積極的情感體驗，對知識形成正向遷移的能力。本節(jié)課通過“趣題再解”“主題式探究”“變式體驗”等環(huán)節(jié)，讓學生體驗用方程去解決問題的快樂。然后在此基礎上指出，方程的思想無處不在，無處不有。這時學生已具備了知識的橫向遷移能力，此時讓學生去感悟“方程與天平”的聯(lián)系，那么學生對天平的認識，必然是不僅僅停留在小學那種簡單的在“形”中“看”，而是在“數(shù)”中“思”，即由感性思維遷移到理性思維，有力地落實了《數(shù)學課程標準》提出“螺旋式上升”的要求。(4)鞏固練習——考慮強化練習的內推力。學生對知識和技能的掌握不是一蹴而就的，即使是學生已經理解了的內容，如不及時鞏固也會遺忘，不適當練習也難以達到熟練的程度。因此，強化鞏固是課堂教學不可缺少的環(huán)節(jié)。本節(jié)課的練習