凸顯遷移能力的教學(xué)設(shè)計(jì)個(gè)案

凸顯遷移能力的教學(xué)設(shè)計(jì)個(gè)案

教學(xué)內(nèi)容蘇科版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)》七年級(jí)上冊(cè)“4.1從問題到方程”。內(nèi)容解析方程是連接代數(shù)式與函數(shù)的橋梁，是初中代數(shù)中重要的內(nèi)容之一。其本質(zhì)是通過構(gòu)建含有未知數(shù)和已知數(shù)的等式，打開它們之間的通道，從而達(dá)到解決問題的目的。用方程解決問題的教學(xué)要點(diǎn)，不是它的類型，也不是列表法、圖示法等具體的方法分析，而是尋求含有未知量和已知量的相等關(guān)系。從這個(gè)角度來(lái)看，“從問題到方程”就是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題（方程問題），即將未知數(shù)引進(jìn)等式，再通過解方程解決問題。本節(jié)內(nèi)容為方程的起點(diǎn)，學(xué)生在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中已經(jīng)接觸過方程的一些知識(shí)，對(duì)此內(nèi)容并不陌生。關(guān)鍵是要讓學(xué)生清楚為什么要用方程來(lái)解決問題？小學(xué)算術(shù)不可以嗎？為什么要換個(gè)角度來(lái)研究？教學(xué)目標(biāo)(1)通過《雞兔同籠》的解法探究，構(gòu)建算術(shù)方法向方程方法的轉(zhuǎn)化活動(dòng)，自然銜接中、小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)。(2)通過對(duì)以“秋游”為主題的系列問題的探究，初步會(huì)用方程表達(dá)數(shù)量間的相等關(guān)系，初步感受方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的有效模型。(3)通過對(duì)《雞兔同籠》問題、以“秋游”為主題的系列問題、“方程與天平”的問題分析，體驗(yàn)在生活中學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的價(jià)值，感受學(xué)數(shù)學(xué)的樂趣。教學(xué)重點(diǎn)體驗(yàn)方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的一種有效的數(shù)學(xué)模型，用方程表達(dá)數(shù)量間的相等關(guān)系。教學(xué)難點(diǎn)從實(shí)際問題中建立方程模型。教學(xué)實(shí)錄1.趣題再解(1)趣題引入《雞兔同籠》是我國(guó)古代著名趣題之一，大約在1500年前，我國(guó)古代一部較為普及的算書《孫子算經(jīng)》就記載了這個(gè)有趣的問題。它還曾經(jīng)漂洋過海傳到日本等國(guó)。請(qǐng)看題：今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？(2)探索算術(shù)解法問題1請(qǐng)同學(xué)們回憶一下，在小學(xué)階段是怎么解決這個(gè)問題的？：把兔子的足砍去一半，則有35×2=70（只）足，那么被砍去的足有94-70=24（只），故有24÷2=12（只）兔子。師：噢，你是運(yùn)用假設(shè)把兔子的足砍去一半的方法來(lái)解決的。這個(gè)方法很好，大數(shù)學(xué)家孫子就是用這種方法來(lái)解決該問題的，我們就把它稱之為“砍足法”。（板書：砍足法。）：我受解法的啟發(fā)，想出如下解法：假設(shè)讓兔子全“起立”，那么雞、兔共有35×2=70（只）足，而實(shí)際多了94-70=24（只）足，故有24÷2=12（只）兔子。師：的想法頗具“擬人”的味道，這是一種創(chuàng)新，而且更具人性化，很有研究?jī)r(jià)值。我們可將此方法稱為“兔立法”。（板書：兔立法。）：老師，我是這樣想的，兔有4只足，雞有2只足，這樣對(duì)雞是否有些不公平？不過我又想，兔子沒有翅膀，而雞有2只翅膀，這樣一想，也能算是公平了，和諧了。我們?nèi)绻央u的兩只翅膀也算足的話，那么就有35×4=140（只）足，這就說(shuō)明雞有140-94=46（只）翅膀，故原來(lái)有46÷2=23（只）雞。師：的方法是假設(shè)將雞的2只翅膀也算作足，讓雞與兔和諧共生。因此，我們可將此方法稱之為“公平法”（板書：公平法）。事實(shí)上，這種解決問題的方法，數(shù)學(xué)家張景中院士給青少年講數(shù)學(xué)時(shí)早就運(yùn)用了，看來(lái)具有數(shù)學(xué)家的潛質(zhì)噢！(3)引入方程解法問題2上述解決問題的方法主要運(yùn)用的是小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)，請(qǐng)同學(xué)們考慮一下，這幾種方法有什么共同點(diǎn)？：我認(rèn)為上述解決問題的方法雖然不盡相同，但是它們都是在假設(shè)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。師：的回答很好，從上述的解法中，我們體驗(yàn)到了假設(shè)思維的妙處。雖然有些事情并沒有發(fā)生，但我們可以在想象中假設(shè)它發(fā)生了，于是出現(xiàn)了合乎解決問題的情境，從而獲得問題的答案。故上述解法，其實(shí)質(zhì)就是“假設(shè)法”。問題3能否沿著假設(shè)法的思路，通過用字母表示未知數(shù)的方法來(lái)解決該問題？：假設(shè)雞有x只，則兔有(35-x)只。根據(jù)雞兔共有94只足，就有2x+4(35-x)=94。剩下的問題就變成求x的純數(shù)學(xué)問題了。師：的思路非常清晰，他將小學(xué)階段學(xué)習(xí)的“假設(shè)法”遷移到我們初中數(shù)學(xué)中。今天我們就來(lái)研究——從問題到方程。（板書：從問題到方程。）2.主題式探究師：秋天是個(gè)收獲的季節(jié)，學(xué)校準(zhǔn)備組織部分同學(xué)去秋游。小明是秋游活動(dòng)的負(fù)責(zé)人，你們能幫他解決下面的問題嗎？請(qǐng)看題：?jiǎn)栴}4學(xué)校組織七年級(jí)94名三好學(xué)生到玄武湖劃船秋游，共用船35條，若每條大船可以坐4人，每條小船可以坐2人，如果小船有x條，那么可得方程一：因?yàn)樽蟠目側(cè)藬?shù)+坐小船的總?cè)藬?shù)=94，于是有方程4(35-x)+2x=94。師：俗話說(shuō)，兵馬未動(dòng)，糧草先行?，F(xiàn)決定為秋游活動(dòng)準(zhǔn)備水果，你們能幫小明當(dāng)好這個(gè)后勤部長(zhǎng)嗎？請(qǐng)看題：?jiǎn)栴}5用94元錢買蘋果和橘子共35千克，已知蘋果4元每千克，橘子2元每千克。如果買了x千克橘子，那么可得方程＿＿。：由于蘋果的總價(jià)錢+橘子的總價(jià)錢=94，則有方程4(35-x)+2x=94。師：當(dāng)秋游回來(lái)，學(xué)校正舉行球賽，有一個(gè)有關(guān)球賽的問題需要小明解決，你們能幫小明解決嗎？問題6某排球隊(duì)參加排球聯(lián)賽，勝一場(chǎng)得4分，負(fù)一場(chǎng)得2分，該隊(duì)賽了35場(chǎng)，共得94分。問：該隊(duì)負(fù)了多少場(chǎng)（用方程表示）?：勝的場(chǎng)數(shù)×4+負(fù)的場(chǎng)數(shù)×2=94。解：設(shè)該隊(duì)負(fù)x場(chǎng)，那么勝(35-x)場(chǎng)，可得方程2x+4(35-x)=94。師：看完球賽，回到教室，小華向小明請(qǐng)教了兩道習(xí)題，你們能幫小明解決嗎？問題7已知師傅每小時(shí)做4個(gè)零件，徒弟每小時(shí)做2個(gè)零件。現(xiàn)師、徒二人在35小時(shí)內(nèi)完成94個(gè)零件的加工任務(wù)。那么徒弟做了多長(zhǎng)時(shí)間（用方程表示）?：根據(jù)徒弟做的零件總數(shù)+師傅做的零件總數(shù)=94，可以列出方程。解：設(shè)徒弟做了t小時(shí)，則有2t+4(35-t)=94。3.變式體驗(yàn)(1)變式訓(xùn)練問題8在一次電腦知識(shí)競(jìng)賽中共有20道題。對(duì)于每道題，答對(duì)得5分，答錯(cuò)或不答扣3分，鄧民同學(xué)得到84分，則他答對(duì)多少道題（用方程表示）?：我可以根據(jù)答對(duì)的得分—答錯(cuò)或不答的扣分=84，列出方程。解：設(shè)答對(duì)x道題，那么答錯(cuò)或不答(20-x)道題，有5x-3(20-x)=84。(2)體驗(yàn)平臺(tái)師：我想剛才的秋游活動(dòng)同學(xué)們不僅愉快地和小明度過了一個(gè)美好的秋日，而且還學(xué)會(huì)了用方程去解決實(shí)際問題的方法。下面讓我們一起再體驗(yàn)一下用方程去解決問題。（學(xué)生練習(xí)課本第92頁(yè)試一試、練一練。）(3)心靈升華師：現(xiàn)實(shí)生活中充滿了大量的相等關(guān)系，方程的思想無(wú)處不在，現(xiàn)在就讓我們?cè)偃ジ惺芤幌路匠痰乃枷?。如圖1所示天平，可以得到的方程為：x+2=10。圖1如下頁(yè)圖2所示天平，可以得到什么方程？心靈感悟：方程是解決實(shí)際問題中相等數(shù)量關(guān)系的有效模型。圖24.仿真中考師：看來(lái)同學(xué)們今天對(duì)方程的相關(guān)知識(shí)學(xué)得不錯(cuò)，下面通過兩道中考題，讓同學(xué)們了解一下中考對(duì)這部分知識(shí)的要求，提前感受一下中考。(1)（2007年江蘇·徐州卷）某通訊運(yùn)營(yíng)商的短信收費(fèi)如下：發(fā)送網(wǎng)內(nèi)信息每條0.1元，發(fā)送網(wǎng)際信息每條0.15元。該通訊運(yùn)營(yíng)商小王某月發(fā)送以上兩種短信共計(jì)150條，依照該收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)共支出短信費(fèi)用19元。若設(shè)小王該月發(fā)送網(wǎng)內(nèi)短信z條，則可得方程＿＿。(2)（2008年浙江·臺(tái)州卷）四川“5·12”大地震后，災(zāi)區(qū)急需帳篷。某企業(yè)急災(zāi)區(qū)所急，準(zhǔn)備捐助甲、乙兩種型號(hào)的帳篷共2000頂，其中甲種帳篷每頂安置6人，乙種帳篷每頂安置4人，共安置9000人，設(shè)該項(xiàng)企業(yè)捐助甲種帳篷x頂，則可得方程＿＿。5.合作交流師：請(qǐng)同桌間根據(jù)老師提供的情境自己出題、交換答題、相互評(píng)價(jià)。參考情境：雞兔同籠類型問題、購(gòu)物問題、球賽問題……（要求：只列出方程，不要求解答。）6.反思小結(jié)。師：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，同學(xué)們對(duì)方程的相關(guān)知識(shí)又有什么新的理解呢？：用方程解決問題的方法好像是一種創(chuàng)設(shè)法。：從“問題到方程”的關(guān)鍵：建立含有未知數(shù)的方程。：從“問題到方程”的實(shí)質(zhì)：方程是解決實(shí)際問題中相等數(shù)量關(guān)系的有效模型。：從“問題到方程”的思想：實(shí)際問題數(shù)學(xué)問題方程模型。：從“問題到方程”的方法：實(shí)際問題數(shù)學(xué)問題確立等量關(guān)系設(shè)未知數(shù)列方程。……7.課后延伸“新雞兔同籠問題”：已知每千克五角硬幣價(jià)值132元，每千克一元硬幣價(jià)值165元，現(xiàn)有總重量為2千克的硬幣，總數(shù)共計(jì)462枚，問其中一元和五角的硬幣分別有多少枚？教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)緊緊圍繞“方法遷移”“知識(shí)遷移”來(lái)展開。通過引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從小學(xué)算術(shù)（算法）到中學(xué)數(shù)學(xué)（方程）的探索歷程，來(lái)體現(xiàn)“方法遷移”；通過對(duì)同一模型2x+4(35-x)=94的不同背景的呈現(xiàn)，來(lái)體現(xiàn)“知識(shí)遷移”。這樣設(shè)計(jì)主要是讓學(xué)生經(jīng)歷將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化的過程，體驗(yàn)用方程的模型來(lái)解決實(shí)際問題的過程，讓學(xué)生初步感受用方程解決實(shí)際問題與小學(xué)算術(shù)方法相比既簡(jiǎn)單又深刻，讓學(xué)生體驗(yàn)方程是解決實(shí)際問題的有效工具，它具有省時(shí)省力之功效。1.關(guān)于教學(xué)目標(biāo)的落實(shí)首先，教學(xué)中通過“砍足法”“兔立法”“公平法”等解法遷移，激發(fā)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的美好情感，一開始就將知識(shí)與情感有機(jī)地整合到課堂教學(xué)之中；其次，通過不同問題的“解法歸一”，讓學(xué)生深度思考，思維遷移，使學(xué)生充分認(rèn)識(shí)“方程是刻畫現(xiàn)實(shí)生活中相等關(guān)系的有效模型”，體驗(yàn)在生活中學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的價(jià)值，再一次保證“方法與過程”“情感、態(tài)度與價(jià)值觀”等目標(biāo)的有效落實(shí)。具體地講，在以“秋游”為主題的系列問題探究中，著重落實(shí)“知識(shí)與技能”目標(biāo)，在對(duì)《雞兔同籠》問題的解法探究中，著重落實(shí)“過程與方法”目標(biāo)，在對(duì)“方程與天平”問題的分析中，著重落實(shí)“情感態(tài)度與價(jià)值觀”的目標(biāo)。當(dāng)然，三維目標(biāo)是不可分割的有機(jī)統(tǒng)一體，它的落實(shí)貫穿在教學(xué)設(shè)計(jì)的全過程中。2.關(guān)于教學(xué)過程的設(shè)計(jì)教學(xué)過程是課堂教學(xué)設(shè)計(jì)的核心。教學(xué)任務(wù)、教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)對(duì)象的分析，教學(xué)媒體的選擇，課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)的選擇組合等，都將在教學(xué)過程中得到體現(xiàn)。課堂教學(xué)要求我們關(guān)注學(xué)生的主動(dòng)參與，讓學(xué)生在觀察、分析、討論、探究中，在情感的體驗(yàn)中，進(jìn)行有效遷移。在這樣的理念下，教學(xué)的過程呈現(xiàn)主題或網(wǎng)狀思考狀態(tài)，教學(xué)諸因素不是沿著“教”這條單線前行，而是在“學(xué)”與“教”的交錯(cuò)中，按照教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)任務(wù)動(dòng)態(tài)前行。本節(jié)課的教學(xué)過程設(shè)計(jì)有如下特點(diǎn)：(1)情境導(dǎo)入——遵循從“最近發(fā)展區(qū)”出發(fā)。每節(jié)課的開始，是師生建立情感的第一座橋梁，也是經(jīng)營(yíng)整個(gè)課堂氣氛的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。導(dǎo)入環(huán)節(jié)應(yīng)當(dāng)做好兩個(gè)方面的工作：一是在上課開始，運(yùn)用新穎的刺激和引人入勝的活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生把注意力轉(zhuǎn)移到新的學(xué)習(xí)課題，引起學(xué)生對(duì)課題的關(guān)注，使學(xué)生的心理活動(dòng)集中于要掌握的內(nèi)容；二是利用學(xué)生熟知的素材，把它作為“引子”過渡，找到新知識(shí)與學(xué)生原有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的“切合點(diǎn)”，將新知識(shí)通過“同化”或“順應(yīng)”遷移到已形成的知識(shí)結(jié)構(gòu)中，從而達(dá)到學(xué)習(xí)新知識(shí)的目的。本節(jié)課的情境創(chuàng)設(shè)，沒有使用課本中提供的“天平情境”，而采用古代《雞兔同籠》作為問題情境，主要基于以下幾個(gè)方面的考慮：一是從學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”出發(fā)，通過對(duì)《雞兔同籠》的趣題再解活動(dòng)，來(lái)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，喚起學(xué)生的求知欲；二是通過“砍足法”“兔立法”“公平法”的解法歸一，得到解決問題的本質(zhì)是一種思想，即假設(shè)思想，通過這樣的過程，培養(yǎng)學(xué)生的遷移能力；三是通過將假設(shè)法遷移到用方程方法解決問題，為學(xué)生提供非常自然流暢的思維場(chǎng)景（通過教師的提問：能否沿著假設(shè)法的思路，通過用字母表示未知數(shù)來(lái)解決該問題呢），為學(xué)生遷移能力的發(fā)展作有效的鋪墊。(2)主題式探究——堅(jiān)持凸顯問題的本質(zhì)。主題式探究是圍繞某一中心問題展開“形散神不散”的探究遷移活動(dòng)。在主題式探究中，問題是核心，沒有問題就沒有探究，更沒有有效的思維遷移。本節(jié)課的主題式探究活動(dòng)，通過對(duì)《雞兔同籠》問題探究形成的基礎(chǔ)，巧妙地選擇學(xué)生即將進(jìn)行的“秋游”主題活動(dòng)（上這節(jié)課時(shí)正值學(xué)校準(zhǔn)備組織秋游活動(dòng)），使學(xué)生倍感親切，增強(qiáng)了學(xué)生的探究欲望。具體的探究活動(dòng)，一是通過對(duì)同一模型2x+4(35-x)=94來(lái)展開知識(shí)遷移，讓學(xué)生體驗(yàn)“同一個(gè)方程模型可表述不同的問題背景”。首先，問題背景為秋游活動(dòng)中的“用船情況”；然后，將問題背景遷移到秋游活動(dòng)中協(xié)助“后勤部長(zhǎng)”工作；接著，將問題背景遷移到秋游結(jié)束后的球賽中；最后，將問題背景遷移到幫助小明解決小華提出的問題。讓學(xué)生感受生活中無(wú)處沒有“從問題到方程”，進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)此知識(shí)的必要性的認(rèn)識(shí)。設(shè)計(jì)這些不同背景的遷移，一是讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到方程的實(shí)用性，二是讓學(xué)生感受到方程的本質(zhì)美。二是設(shè)計(jì)變式訓(xùn)練，給出異于方程2x+4(35-x)=94的問題（其模型為：5x-3(20-x)=84），主要是讓學(xué)生形成“不同的方程可以表述不同背景”的經(jīng)驗(yàn)，并在此后安排練習(xí)，讓學(xué)生有更多的體驗(yàn)。(3)心靈升華——意在將知識(shí)內(nèi)化為積極的情感。學(xué)習(xí)的目的不僅僅是讓學(xué)生學(xué)習(xí)具體的知識(shí)，還要讓學(xué)生從知識(shí)中獲取遷移的方法，使學(xué)生會(huì)學(xué)，使學(xué)生獲得積極的情感體驗(yàn)，對(duì)知識(shí)形成正向遷移的能力。本節(jié)課通過“趣題再解”“主題式探究”“變式體驗(yàn)”等環(huán)節(jié)，讓學(xué)生體驗(yàn)用方程去解決問題的快樂。然后在此基礎(chǔ)上指出，方程的思想無(wú)處不在，無(wú)處不有。這時(shí)學(xué)生已具備了知識(shí)的橫向遷移能力，此時(shí)讓學(xué)生去感悟“方程與天平”的聯(lián)系，那么學(xué)生對(duì)天平的認(rèn)識(shí)，必然是不僅僅停留在小學(xué)那種簡(jiǎn)單的在“形”中“看”，而是在“數(shù)”中“思”，即由感性思維遷移到理性思維，有力地落實(shí)了《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出“螺旋式上升”的要求。(4)鞏固練習(xí)——考慮強(qiáng)化練習(xí)的內(nèi)推力。學(xué)生對(duì)知識(shí)和技能的掌握不是一蹴而就的，即使是學(xué)生已經(jīng)理解了的內(nèi)容，如不及時(shí)鞏固也會(huì)遺忘，不適當(dāng)練習(xí)也難以達(dá)到熟練的程度。因此，強(qiáng)化鞏固是課堂教學(xué)不可缺少的環(huán)節(jié)。本節(jié)課的練習(xí)