小學(xué)奧數(shù)之排列組合問(wèn)題

數(shù)問(wèn)題教學(xué)目標(biāo).使學(xué)生正確理解列、組合的意義；正確區(qū)分排列、組合問(wèn)題；.了解排列、排列和組合數(shù)的意義，能根據(jù)具體的問(wèn)題，寫出符合要求的排列或組；.掌握排列組合的算公式以及組合數(shù)與排列數(shù)之間的關(guān)系；.會(huì)、分析與數(shù)字關(guān)的計(jì)數(shù)問(wèn)題，以及與其他專題的綜合運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生的抽象能和邏輯思維能力；通過(guò)本講的學(xué)習(xí)對(duì)列組合的一些計(jì)數(shù)問(wèn)題進(jìn)行歸納總結(jié)點(diǎn)掌握排列與組合的聯(lián)系和區(qū)別并掌握一些排列組合技巧，如捆綁法、擋板法等。.根據(jù)不同題目靈運(yùn)用計(jì)數(shù)方法進(jìn)行計(jì)數(shù)。知識(shí)點(diǎn)撥：例題精講：一、

排列組合的應(yīng)用【1新阿等個(gè)學(xué)像分別出下條下多種法（1）個(gè)排一；（2）個(gè)排一，新須在間（3）個(gè)排一，新阿必有人在間.（4）個(gè)排一，新阿必都在邊.（5）個(gè)排一，新阿都有在上.（6）個(gè)戰(zhàn)兩，排人后四.（7）個(gè)戰(zhàn)兩，排人后四.小、呆在一排【解析】（1

（（2只需排其余個(gè)人站剩下的6個(gè)置．P720（.（3先確定中間的位置站誰(shuí)，冉排剩下的個(gè)置．×=1440(種．（4先排兩邊，再排剩下的5位置，其中兩邊的小新和阿呆還可以互換位置．2240(種)．（5先排兩邊，從除小新、阿呆之外的個(gè)中選，再排剩下的5個(gè)人，P

（種）（6七個(gè)人排成一排時(shí)7個(gè)置就是各不相同的．現(xiàn)在排成兩排，不管前后排各有幾個(gè)人個(gè)位置還是各不相同的，所以本題實(shí)質(zhì)就是7個(gè)素的全排列．P

（）（7可以分為兩類情況新前阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后種情況是對(duì)等的，所以只要求出其中一種的排法數(shù)，再乘以即可．4××情況再去全排列。

P

×2=種)排隊(duì)問(wèn)題，一般先考慮特殊【212、、、可組多個(gè)有復(fù)字個(gè)是5的三數(shù)【析個(gè)位字已知問(wèn)題變成從從個(gè)素中取個(gè)素的排列問(wèn)題已知，m根排列數(shù)公式，一共可以組成

20(個(gè)符題意的三位數(shù)?！竟逃?、、、、這個(gè)字組多個(gè)大且位字是3的重?cái)?shù)的位？【解析】可以兩類來(lái)看：⑴把3排最高位上，其余個(gè)可以任意放到其余個(gè)位上，是4個(gè)元素全排列的問(wèn)題，有P

(種)放，對(duì)應(yīng)24個(gè)不同的五位數(shù)；⑵把，4放在最高位上，有3種擇，百位上有除已確定的最高位數(shù)字和3之的個(gè)數(shù)字可以選擇，有選擇，其余的個(gè)字可以任意放到其余個(gè)數(shù)位上，有以組成354(個(gè)不的五位數(shù)。由加法原理，可以組成2454(個(gè)不的五位數(shù)。

種擇．由乘法原理，可【固用到9個(gè)字組沒重?cái)?shù)的位若將這四數(shù)從到的序列則是幾數(shù)【析從高到低位逐層分類：⑴千位排，2，3或4時(shí)，千位有種擇而、十、個(gè)位可以~中千位已確定的數(shù)字之

2外的9數(shù)字中選擇，因?yàn)閿?shù)字不重復(fù)，也就是從個(gè)素中取的排列問(wèn)題，所以百、十、2有

(種排列方式．由乘法原理，有4504(個(gè))．⑵千上排，位上排4時(shí)千位有種擇，百位有種擇，十、個(gè)位可以從剩下的八個(gè)數(shù)字中選擇．也就是從8素中取2個(gè)排列問(wèn)題，即P(個(gè))．

，由乘法原理，有⑶千上排5，位上排，位上排，2，，4，7時(shí)個(gè)位也從剩下的七個(gè)數(shù)字中選擇，有42(個(gè))．⑷千上排5，位上排，位上排8時(shí)，比小數(shù)的個(gè)位可以選擇0，，2，3，4共5個(gè)綜上所述，比小四位數(shù)有2016280422343(個(gè))，故比小第2344個(gè)位數(shù)．【3、、、4、這五數(shù)，許復(fù)位不，寫多個(gè)3的倍數(shù)【解析】按位來(lái)分類考慮：⑴一數(shù)只有個(gè)3；⑵兩數(shù)：由與，15，與4，4與四數(shù)字組成，每一組可以組成P兩位數(shù)，共可組成()同的兩位數(shù)；

(個(gè)不同的⑶三數(shù)：由1，2與3；1，3與5，4；3，與四組數(shù)字組成，每一組可以組成P(個(gè)不的三位數(shù)，共可組成6(個(gè)不的三位數(shù)；⑷四數(shù)：可由1，2，，5這四個(gè)數(shù)字組成，有

24()不同的四位數(shù)；⑸五數(shù)：可由1，2，，，組，共有(個(gè)不的五位數(shù)．由加法原理，一共有24(個(gè))能被3整的數(shù)，即的數(shù)．【固用1、345、六張數(shù)卡，次三卡組三數(shù)一可組多少不的數(shù)【析由于成偶數(shù)個(gè)上的數(shù)應(yīng)從2，4，中一張有種法十和百位的數(shù)可以從剩下的張中選二張，有

20(種選．由乘法原理，一共可以組成(個(gè)不同的偶數(shù)．【4管員記自小險(xiǎn)的密數(shù)，記是四非數(shù)碼成且個(gè)碼和，么保開險(xiǎn)至要幾？【解析】四個(gè)0數(shù)之和等于組合有1，，，；1，，51，1，3，；1，2，41，2，3，3，，2，種。第一種中，可以組成多少個(gè)密碼呢？只要考慮6的置就可以了，6可任意選擇個(gè)置中的一個(gè)，其余位置放1，有種擇；第二種中慮選擇慮5的置有種選擇的位置放4()選擇同樣的方法，可以得出第三、四、五種都各種選擇．最后一種，與第一種的情形相似3的置有4選擇，其余位置放2，有種擇．綜上所述，由加法原理，一共可以組成4(個(gè))不同的四位數(shù)，即確保能打開保險(xiǎn)柜至少要試56次【5對(duì)胞喜逢他圍在桌旁要每人不自的胞妹鄰(同一位置上不同人不的法，么有多種同坐？【解析】第一位置在個(gè)中任選一個(gè)，有

(種)選，第二個(gè)位置在另一胞胎的人任選一個(gè)，有種)法．同理，第，4，5個(gè)置依次有2，，11種選法．由乘法原理，不同的坐法有PPPPP(種?！?種子在時(shí)分秒時(shí)的示624，么8時(shí)到時(shí)段間，此的個(gè)數(shù)字都相的刻共多個(gè)【解析】設(shè):是足題意時(shí)刻，有A8、D應(yīng)，1，，4，這數(shù)字中選擇兩個(gè)不同的DE數(shù)字，所以有P種選法，而、應(yīng)從剩下的個(gè)字中選擇兩個(gè)不同的數(shù)字，所以有P種法，所6以共有

P×P7

=1260種法。從到9時(shí)段時(shí)間里，此表的個(gè)數(shù)字都不相同的時(shí)刻一共有1260。【7個(gè)位能整除它各數(shù)非且互相的將個(gè)位的6個(gè)字新列最少能出少能11整除六數(shù)【解析】設(shè)這六位數(shù)為abcdef，則有()、()均不為，任何一個(gè)數(shù)作為首位都是一個(gè)六位數(shù)。

的差為0或的數(shù)．且a、c、d、f

先考慮a、c、e偶位內(nèi)b、、奇位內(nèi)的組內(nèi)交換，有

P3×P33

=36種序；再考慮形如badcfe這種奇數(shù)位與偶數(shù)位的組間調(diào)換，也有×=36種序。3所以，用均不為bcdef最可排出+36個(gè)能被11除的數(shù)包原來(lái)的所以最少還能排出-=個(gè)能被11整的六位數(shù)。

)。【8知由、、、、共5名同進(jìn)的工作賽，出第至第名名．、乙名賽去問(wèn)績(jī)回者甲“遺，和乙未到軍對(duì)說(shuō)你然會(huì)是差”這回分，人名排共多種同的況【解析】這道乍一看不太像是列問(wèn)題，這就需要靈活地對(duì)問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化．仔細(xì)審題，已知“甲和乙都未拿到冠軍且“乙不是最差的等于人成一排，甲、乙都不站在排頭且乙不站在排尾的排法數(shù)，因?yàn)橐业南拗谱疃?，所以先排乙，有種排法，再排甲，也有排法，剩下的人隨意排，有P

(種排法．由乘法原理，一共有54(種不同的排法?！?4名男，5名女，體成行問(wèn)列形有少不的法⑴甲在間不兩；⑵甲乙人須在端⑶男女分排一；⑷男相．【析⑴先甲，9個(gè)置除了中間和兩端之外的個(gè)置都可以，有選擇，剩下的8個(gè)隨意排也是個(gè)素全排列的問(wèn)題共有40320(種排法．

(種選乘法原理，⑵甲乙先排，有P

(種排；剩下的7個(gè)隨意排，有

(種排．由乘法原理，共有(種)排法．⑶分把男生、女生看成一個(gè)整體進(jìn)行排列，有P(種不同列方法，再別對(duì)男生、女生內(nèi)部進(jìn)行排列，分別是個(gè)素與5個(gè)素的全排列問(wèn)題，分別有P24(種和(種排法．由乘法原理，共有5760(種排．⑷先4名生，有P(種排法，再把5女生排到個(gè)檔中，有P(種排．由乘法原理，一共有2880(種排法。【固五同扮奧會(huì)祥物娃貝晶、歡迎和妮排一表節(jié)目如貝和妮相，有）種同排?！窘馕觥课逦粚W(xué)的排列方式共××3××1（種如果將相鄰的貝貝和妮妮看作一人，那么四人的排列方式共有×3××1（種因?yàn)樨愗惡湍菽菘梢越粨Q位置，所以貝貝和妮妮相鄰的排列方式有24×=(種；貝貝和妮妮不相鄰的排列方式有120-4872種【10一晚上個(gè)演節(jié)和個(gè)舞節(jié)．：⑴當(dāng)4舞蹈目排一時(shí)有少同安節(jié)的序⑵當(dāng)求2個(gè)舞節(jié)目間少排個(gè)唱目，共多不的排目的序【析⑴先4個(gè)蹈節(jié)目看成1個(gè)目，與個(gè)演唱節(jié)目一起排，則是個(gè)元素全排列的問(wèn)題，有【析P

(種)方．第二步再排個(gè)蹈目，也就是4個(gè)蹈節(jié)【析目排列的問(wèn)題，有P(種)方．根據(jù)乘法原理，一共有120960()方法．⑵首將6個(gè)唱節(jié)目排成一列如下圖中的eq\o\ac(□,“)”)是元素全排列的問(wèn)題，一共有6!(種)方法．×□×□×□×□×□×□×第二步，再將個(gè)蹈節(jié)目在一頭一尾或個(gè)唱節(jié)目之(即上圖中“×”的位)這相當(dāng)于從7個(gè)×”中選4個(gè)排，一共有840(種)方法．根據(jù)乘法原理，一共有720(種)方法?！竟逃蓚€(gè)不的唱目不的唱目成一晚，求意個(gè)唱目相，始最一節(jié)必是唱?jiǎng)t臺(tái)會(huì)目編方共多種？【析先排唱節(jié)目，四個(gè)節(jié)目隨意排是個(gè)素全排列的問(wèn)題，有24種排法；其次在獨(dú)

唱節(jié)目的首尾排合唱節(jié)目，有三個(gè)節(jié)目，兩個(gè)位置，也就是從三個(gè)節(jié)目選兩個(gè)進(jìn)行排列的問(wèn)題有

(種)排法；再在獨(dú)唱節(jié)之間的個(gè)置中排一個(gè)合唱節(jié)目有種法．由乘法原理，一共有24432()同的編排方法．【結(jié)排中，我們可以先排條件限制不多的元素，然后再排限制多的元素．如本題中，獨(dú)唱節(jié)目好之后，合唱節(jié)目就可以采取“插空”的方法來(lái)確定排法了．總的排列數(shù)用乘法原理．把若干個(gè)排列數(shù)乘，得出最后的答案?！?1⑴，，，8中任個(gè)數(shù)成重?cái)?shù)的三數(shù)共多個(gè)（要列）⑵位候選中選位別團(tuán)書組委，傳員，有少不的法⑶位學(xué)個(gè)座位每座坐1人，有種法⑷個(gè)坐個(gè)位每座坐1人，共有少坐？⑸火站股道停3列火，多種同停方？⑹種同菜，選種種不土的塊地，多少不的法【析⑴按序，有百位、十位、個(gè)位個(gè)位置個(gè)數(shù)字個(gè)元素）取出往上排，有P

種．⑵3種務(wù)3個(gè)位置，從8位選人（個(gè)元素）任取3位往上排，有種⑶3位學(xué)看成是三個(gè)位置，任取8個(gè)位號(hào)8元素）中的個(gè)上排（座號(hào)找人定一種號(hào)碼即對(duì)應(yīng)一種坐法，有

種．⑷3個(gè)位排號(hào)，2三位置，從人任取3個(gè)上排（人找座位⑸3列車編為，2號(hào)從8股道中任取股上排，共有種．

種．⑹土地編1，，3號(hào)，從8種籽中任選3種上排，有種?！竟态F(xiàn)男學(xué)3人女學(xué)4人(女學(xué)有人王)從選男同學(xué)，別加學(xué)英、樂美四興小：)有少選?)中加術(shù)組是同的法多種?)加學(xué)組不女學(xué)紅選有少種)加學(xué)組不女學(xué)紅且加術(shù)小的女學(xué)選有少?【析（）從3個(gè)男同學(xué)中選出2人有

34=種法。從4個(gè)女同學(xué)中選出人有=6種選法。22在四個(gè)人確定的情況下，參加四個(gè)不同的小組有×××種選法?！痢?4432，所以共有種法。（2在四個(gè)人確定的情況下，參加美術(shù)小組的是女同學(xué)時(shí)有×××1種選法。××12216，所以其中參加美術(shù)小組的是同學(xué)的選法有216種（3考慮參加數(shù)學(xué)小組的是王紅時(shí)的選法，此時(shí)的問(wèn)題相當(dāng)于從3男同學(xué)中選出2人，從女同學(xué)中選出人，3個(gè)參加3個(gè)組時(shí)的選法?！痢?×2×154所以參加數(shù)學(xué)小組的是王紅時(shí)的選法有54，=378所以參加數(shù)學(xué)小組的不是女同學(xué)王紅的選法有種（4考慮參加數(shù)學(xué)小組的是王紅且參加美術(shù)小組的是女同學(xué)時(shí)的選法，此時(shí)的問(wèn)題相當(dāng)于從3個(gè)同學(xué)中選出人參加兩個(gè)不同的小組，3個(gè)同學(xué)中選出參加美術(shù)小組時(shí)的選法?！痢?，所以參加數(shù)學(xué)小組的是紅且參加美術(shù)小組的是女同學(xué)時(shí)的選法有種，21618=198，所以參加數(shù)學(xué)小組的不是女同學(xué)王紅，且參加美術(shù)小組的是女同學(xué)的選法有1種?！?2某舉男乒球比，賽成個(gè)段行第階：參比賽名手成8個(gè)組每人分進(jìn)行循賽第階：8個(gè)小產(chǎn)的2名共人再成4個(gè)組每人分進(jìn)單循賽第階：4小產(chǎn)的個(gè)第名行2場(chǎng)決和2決，確至名名．：整賽一需進(jìn)多場(chǎng)賽【析第一階段中，每個(gè)小組內(nèi)部的6個(gè)每2人賽一場(chǎng)組內(nèi)賽C

6場(chǎng)共個(gè)組，有24120場(chǎng)第二階段中，每個(gè)小組內(nèi)人每賽一場(chǎng)，組內(nèi)賽場(chǎng)共4個(gè)小組，2有6場(chǎng)；第三階段賽2．根據(jù)加法原理，整個(gè)賽程一共有148場(chǎng)賽?！?3由字12組五數(shù)求五數(shù)12至各現(xiàn)次么樣五數(shù)有_______個(gè)(2007年“春”年組賽)【析這是道組合計(jì)數(shù)問(wèn)題．由于題中僅要2至各出現(xiàn)一次，沒有確，2，出的具體

次數(shù)，所以可以采取分類枚舉的方法進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，也可以從反面想，從由組的五位數(shù)中，去掉僅有1個(gè)個(gè)字組成的五位數(shù)即可．(法1分兩類：⑴1，，3恰有一個(gè)數(shù)字出現(xiàn)次這樣的數(shù)有C

(；⑵，2中兩個(gè)數(shù)字各出現(xiàn)次這樣的數(shù)有C90(個(gè)．符合題意五位數(shù)共有150(個(gè)．(法)從反面想，由1，，3組的五位數(shù)共有35

個(gè)，由，，3中的某2數(shù)字組成的五位數(shù)共有個(gè)，由1，2，3中某個(gè)字組成的五位數(shù)共有3個(gè)所以符合題意的五位數(shù)共有

150(個(gè)?！?4人成一，中出個(gè)相的，有少不選？【析(1乘法原理．按題意，分別站在每個(gè)人的立場(chǎng)，當(dāng)自己被選中后，另一個(gè)被選中的，可以是除了自己和左右相鄰的兩人之外的所有人，每個(gè)人都有7種選擇，總共就有770種擇，但是需要注意的是，選擇的過(guò)程中，會(huì)出現(xiàn)“選了甲、乙，選了乙、甲”這樣的情況本來(lái)是同一種選擇而卻算作了兩種，所以最后的結(jié)果應(yīng)該(10)35種．(法)排除法．可以從所的兩人組合中排除掉相鄰的情況，總的組合數(shù)為

，而被選的兩個(gè)人相鄰的情況有0種所以共有C45()。【158個(gè)站，冬必站小和奇中（一相小和智能鄰，光大必相，足求站一有少？【析冬冬站在小悅和阿奇的中間意著只要為這三個(gè)人選定了三個(gè)位置間的位置就一定要留冬冬，而兩邊的位置可以任意地分配給小悅和阿奇．小慧和大智不能相鄰的互補(bǔ)事件是小慧和大智必須相鄰小光和大亮必須相鄰，則可以將兩人捆綁考慮只滿足第一、三個(gè)條件的站法總數(shù)為：

3360（）同時(shí)滿足第一、三個(gè)條件，滿足小慧和大智必須相鄰的站法總數(shù)為：C960（種）因此同時(shí)滿足三個(gè)條件的站法總數(shù)為：2400（【16小有10塊大白奶,今起每至少一.么一有少不的法?【析我們將10塊大白兔奶糖從左至右排成一,如果其中9個(gè)隙中的某個(gè)位置插木棍則將lO塊糖分成了兩部分。我們記從左至右,第分是第1天的第2分是第2吃,…，|○○○不難知曉每一種插入方法對(duì)應(yīng)種吃而9間隙,每個(gè)間隙可以插人也可以不插,且相獨(dú)立共有2=種不同的插入方,即512種同的吃法?！竟绦∮?0塊糖每至吃塊，7天吃，共多種同吃？【析分三情況來(lái)考慮：⑴當(dāng)紅最多一天吃塊，其余每天1，吃塊這天可以是這七天里的任何一天，有種吃法；⑵當(dāng)紅最多一天吃3塊，必有一天吃塊，其余五每天，先選吃3塊的那天，有7種擇，再選吃塊那天，有6種擇，由乘法原理，有種吃法；⑶當(dāng)紅最多一天吃2塊，有三天每天吃2，其四天每天吃1塊，從7天中選天有C

7種吃。3根據(jù)加法原理，小紅一共有74284(種不的吃法．還可以用擋板法來(lái)解這道題，10塊有個(gè)，6個(gè)放擋板，有C84(種不的吃法?！竟贪褌€(gè)蘋分個(gè)朋，人少3個(gè)，以多種不的法【解析】(法1先每人2個(gè)，還有14個(gè)果，每人至少分一個(gè)13個(gè)插2個(gè)，有C(法2也可以按分蘋果最多的人分的個(gè)數(shù)分類枚舉。

種法．【固有粒糖分天完每至吃粒，有少不的法【析如圖○|○○|○○○○將10粒如下圖所示排成一排，這樣每?jī)深w之間共有9個(gè)，從頭開始吃相兩塊糖是分在兩吃的在其間畫一條豎線隔開表示之前的糖和之后的糖不是在一天吃掉的，九個(gè)空中畫兩條豎線，一共有936方法．【17某塘有、、C只船A可坐人船乘人，船可乘1人，有個(gè)成和個(gè)童分這游為全見有兒童坐游上須少個(gè)人同那么他5人乘這支船所安乘方共多種

【析由于兒童乘坐的游船上必須至1個(gè)人陪同，所以兒童不能乘坐船⑴若這都不乘坐船恰坐滿、兩船①若兩個(gè)兒童在同一條船能船上時(shí)A船上還必須有個(gè)人有C

種法②兩兒童不在同一條船上分別在A、兩上則B船上有1個(gè)童和1個(gè)人，1個(gè)童有選擇，個(gè)人有C法．故都不乘坐船3種全方法；

種選擇，所以有種⑵若這5人中有1人乘坐C船這個(gè)人必定是個(gè)成人，有

選擇．其余的2個(gè)人與個(gè)童①若兩個(gè)兒童在同一條船上，只能在船上，此時(shí)A船還必須有1個(gè)人，有2種法，所以此時(shí)有3種法；②若兩個(gè)兒童不在同一條船上，那么B船上有兒童和1成人，此時(shí)個(gè)童和1個(gè)成人均有C2種擇，所以此種情況下有種法；故人有1乘坐船種全方法．所以，共有種安全乘法．【18從0名生8名女生選人參加泳賽在列件，別多少選？【19⑴有名生選；至有名生選⑶兩女，兩男必須選【20⑷兩女，兩名生能時(shí)選⑸兩女，兩男最入選人【析⑴恰3名女生入選，說(shuō)明男生有人選，應(yīng)為C14112種；⑵要求至少兩名女生人選，那么“只有一名女生入選”和“沒有女生入選”都不符合要求．運(yùn)包含與排除的方法，從所有可能的選法中減去不符合要求的情況：C

；⑶人須入選則從剩下的1人中再選出另外4，有1001種⑷從所有的選法C

種中減去這4個(gè)人同時(shí)入選的

種：C

42757．⑸分三類情況：4無(wú)人入選；僅有1入選；人有入選，共：

C

34749。【固在6名科生4名科生，科任和科任一，要成5人療小送下，按下條各多種派法【固⑴有3內(nèi)醫(yī)生名外科生【固⑵既有內(nèi)醫(yī)，有科生【固⑶至少有名任加【固⑷既有主，有科生【析⑴先6名科醫(yī)生中選3名有C

620種法；再?gòu)?名科醫(yī)生中選名34共有種法．根據(jù)乘法原理，一共有選派方法2種．2⑵用去雜法”較方便，先考慮從10醫(yī)生中任意選派人有

5

種選派方法；再考慮只有外科醫(yī)生或只有內(nèi)科醫(yī)生的情況．由于外科醫(yī)生只有4，所以不可能只派外科醫(yī)生．如果只派內(nèi)科醫(yī)生，有種選派方法．所以，一共有252246種有內(nèi)科醫(yī)生又有外科醫(yī)生的選派方法。⑶如選1名任則不是主任的名醫(yī)生要選4人有2

84

種選派方法如選

8名任不主任的8名醫(yī)生要選3人1種選派方法據(jù)法原理，3一共有140選派方法．⑷分類討論：①若選外科主任，則其余人任意選取，有

94

種取方法；②若不選外科主任，則必選內(nèi)科主任，且剩余4人不能全選內(nèi)科醫(yī)生，用“去雜法”有

8565種取法．4根據(jù)加法原理，一共有2665191種派方法。

【21在名生，5人會(huì)電，人會(huì)裝響備其2既會(huì)裝腦又安音設(shè)，選由人組成安小，內(nèi)裝腦3人，裝響備人，共多種同的人案【析按具雙項(xiàng)技術(shù)的學(xué)生分類：⑴兩都不選派，有

5(種選派方法；3⑵兩中選派人有2種法．而針對(duì)此人的任又分兩類：若此人要安裝電腦還2人裝電腦C(選法另會(huì)安裝音響設(shè)備的人全選派上，只有種法．由乘法原理，有0(種選；若此人安裝音響設(shè)備，則還需從人選人裝音響設(shè)備，有

3(種選，需從5人中2選3人安裝電腦，有C

種)選法．由乘法原理，有(種選法．根據(jù)加法原理，有030(種)選法；綜上所述，一共有80(種選派方法．⑶兩全派，針對(duì)兩人的任務(wù)可分類討論如下：①兩人全安裝電腦，則還需要5人選1人裝電腦，另外會(huì)安裝音響設(shè)備的人選上安裝音設(shè)備，有5(種)選方案；②兩人一個(gè)安裝電腦，一個(gè)安裝音響設(shè)備，有C

5(種選方案；22③兩人全安裝音響設(shè)備，有3

530(選派方案．3根據(jù)加法原理，共有56095(種選方案．綜合以上所述，符合條件的方案一共185()．【22有11名外翻人，中名是語(yǔ)譯，4名日翻員另兩英、語(yǔ)精．中出8人使們成個(gè)譯組其人翻英，4人翻日，兩個(gè)組同工作問(wèn)樣分名共以出少？【析針對(duì)名英語(yǔ)、日語(yǔ)都精通人(以稱多面)的參考情況分成三類：⑴多手不參加，則需從名語(yǔ)翻譯員中選出人有C種擇，需從名日語(yǔ)翻譯員中選出人有1種擇．由乘法原理，有5種擇．⑵多手中有一人入選，有2種擇，而選出的這個(gè)人又有參加英文或日文翻譯兩種可能：如果參加英文翻譯，則需從5名語(yǔ)翻譯員中再選出3人，有

5種擇，需從4名3語(yǔ)翻譯員中選出人有種選擇．由乘法原理，有種選擇；如果參加日文翻譯，則需從英語(yǔ)翻譯員中選出人有選擇，需從名語(yǔ)譯員中再選出名有C種擇．由乘法原理，有40選擇．根據(jù)加法原理，多面手中有一人入選，有4060種擇．⑶多手中兩人均入選，對(duì)應(yīng)一種選擇，但此時(shí)又分三種情況：①兩人都譯英文；②兩人都譯日文；③兩人各譯一個(gè)語(yǔ)種．情況①中需從5名英語(yǔ)翻譯員中選出2人C

52

選擇從4名語(yǔ)翻譯員中選人，種擇．由乘法原理，有1種擇．情況②中需5名語(yǔ)翻譯員中選出有選擇還從4名日語(yǔ)翻譯員中選出24人，有C種選擇．根據(jù)乘法原理，共有130選擇．2情況③中，兩人各譯一個(gè)語(yǔ)種，有兩種安排即兩種選擇．剩下的需從5名語(yǔ)翻譯員中選出3人有C

5選擇，需從名語(yǔ)翻譯員中選出人有3

種擇．由乘法原理，二、

有80種擇．根據(jù)加法原理，多面手中兩人均入選，一共130種選擇．綜上所述，由加法原理，這樣的分配名單共可以開出5張幾何計(jì)數(shù)

11112111111【23下中有____正形11112111111【析每個(gè)正方形中有長(zhǎng)為的方形有4

個(gè)長(zhǎng)2的方形有3

個(gè)；邊為的正方形有

個(gè)；邊長(zhǎng)為4的方形有個(gè)總共有4()方形．現(xiàn)有個(gè)4的正方形，它們重疊部分是2的方形．此，圖中正方形的個(gè)數(shù)是3?！?4在中單位：米：①共幾長(zhǎng)形②有些方面的是少【析①一有(4100(個(gè)長(zhǎng)方形；②所求的和是(512)8)8)(12(2(47)(7(2(4(212384(平方厘米。

【25由20個(gè)邊為1的正形成個(gè)4長(zhǎng)方中一有☆圖含“”所長(zhǎng)(正形共個(gè)，們面總是。第屆美賽題)【析含☆的行內(nèi)所有可能的長(zhǎng)方形有：(八種)含☆☆☆☆☆內(nèi)所有可能的

☆

☆☆

的一列長(zhǎng)方形有：(六種

☆所☆☆

以總共長(zhǎng)方形有648個(gè)面積總

和

為

☆

☆☆(1360。

☆【固圖共多個(gè)角？【解析】顯然角形可分為尖向與尖向下兩大類類中三角形的個(gè)數(shù)相等尖向上的三角形又可分為6類（1最大的三角形(△ABC，（2第二大的三角形有3個(gè)（3第三大的三角形有6個(gè)（4第四大的三角形有10個(gè)（5第五大的三角形有15個(gè)（6最小的三角形有個(gè)所以尖向上的三角形共有++6+1524=（個(gè)）圖中共有三角形2=118（【26一圓有個(gè)點(diǎn)A，，A，，A，．以們頂連角，使個(gè)恰是個(gè)角形頂，各三形邊不交問(wèn)有少不的法【析我們采用遞推的方法．I如圓上只有3個(gè)，那么只有一種連法Ⅱ如果圓上有6個(gè)，除點(diǎn)在三角形的三頂點(diǎn)外，剩下的三個(gè)點(diǎn)一定只能在A所三角形一條邊所對(duì)應(yīng)的圓弧上，表1給這時(shí)有可能的連法。Ⅲ如果圓上有9個(gè)，考慮所的三角形．此時(shí)，其余的6點(diǎn)可能分布在：①所三角形的一個(gè)邊所對(duì)的弧上；②也可能三個(gè)點(diǎn)在一個(gè)邊所對(duì)應(yīng)的弧上，另三個(gè)點(diǎn)在另一邊所對(duì)的弧上．在表中用“”表示它們分布在不同的邊所對(duì)的弧．如果是情形①，則由Ⅱ，這六個(gè)點(diǎn)有三種連法；如果是情形②，則由①，每三個(gè)點(diǎn)都只能有一種連法．共有12種法．Ⅳ最后考慮圓周上有個(gè)．同樣考慮所三形，剩下點(diǎn)的分布有三種可能：①9個(gè)都在同一段弧上：②有個(gè)點(diǎn)是在一段弧上，另三點(diǎn)在一段弧上；③每三個(gè)點(diǎn)在A所三角形一條邊對(duì)應(yīng)的弧上．得到表3共有12+3×+＝55種．

所以當(dāng)圓周上有12個(gè)時(shí)，滿足題意的連法有種。課后練習(xí)：練1.用24排四數(shù)（1）有少四數(shù)（2）重?cái)?shù)的位有少？（3）重?cái)?shù)的位數(shù)多個(gè)（4）2在3的左的重復(fù)字四數(shù)多個(gè)（5）2在千上無(wú)復(fù)字四數(shù)多少？（6）5不在位個(gè)上無(wú)復(fù)字四位有少？【析⑴條中未限制“無(wú)重復(fù)數(shù)字以數(shù)字可以重復(fù)出現(xiàn)，如2555等依分步計(jì)數(shù)乘法原理共有⑵24（個(gè)）

（個(gè)）⑶個(gè)位上只能是或，P（）⑷所有四位數(shù)中，2在3的邊或2在的邊的數(shù)各占一半，共有

個(gè)）⑸2在千位上，只有種法，此后在外的個(gè)置上排列，有

（）⑹法一：5不十位、個(gè)位上，所以5只在千位上或百位上，有2P

（）法二：從中減去不合要求的（十位上、個(gè)位上PP（練2.如，中每條段是平或直，界各線的度次為厘米7厘米9厘米厘米4厘、厘、厘、厘．圖長(zhǎng)形個(gè)，及有長(zhǎng)形積和【析利用方形的計(jì)數(shù)公式：橫邊上有n條段，縱邊上共有m條段，則圖中共有長(zhǎng)方（平行四邊形）mn個(gè)所以(+3++1)×（43++）=100這些長(zhǎng)方形的面積和為79+2+161121++）×（++51+++6++）=1248610664。練3.有粒糖每至吃粒吃為止共多種同吃？【析初看題似乎覺得很好入手，比可以按天數(shù)進(jìn)行分類枚舉：吃完的有1種法，這天吃塊；2天完的有方法=19=+8…9+；當(dāng)枚舉到天吃完的時(shí)，情況就有點(diǎn)綜復(fù)雜了，叫人無(wú)所適從……所以我們必須換一種角度來(lái)思考不妨從具體的例子入手來(lái)分析，比如這塊分天完：第吃2塊第2天吃3塊；第3天；第天吃4塊．我們可以將10個(gè)○”代表粒糖，把個(gè)“○”排成一排eq\o\ac(○,)之間共有空位，若相鄰兩塊糖是分在兩天吃的，就在其間畫一條豎如下圖．○eq\o\ac(○,○)|○○○○比如上圖就表示“第天；第吃3塊；第吃塊；第吃4塊這樣一來(lái)，每一種吃糖的方法就對(duì)應(yīng)