論文 由一道中考數(shù)學題引發(fā)的思考

2022年安徽省中小學教育教學論文評選由一道中考數(shù)學題引發(fā)的思考摘要：2022年6月份，筆者有幸參加了安徽省滁州市的中考閱卷，負責的是第22題的批閱工作.閱卷結束后，筆者對這一題進行了分析與總結，這讓筆者重新反思自己的幾何問題的教學，引發(fā)了對幾何問題的再思考.關鍵詞：中考，壓軸題，幾何模型，教學反思一、試題呈現(xiàn) 試題（2022年安徽中考第22題）已知四邊形ABCD中，BC＝CD，連接BD，過點C作BD的垂線交AB于點E，連接DE．（1）如圖1，若DE//BC，求證：四邊形BCDE是菱形；

（2）如圖2，連接AC，設BD，AC相交于點F，DE垂直平分線段AC．（?。┣蟆螩ED的大?。唬áⅲ┤鬉F＝AE，求證：BE＝CF．圖1二、試題解讀圖2本題已知條件較少，給人的第一感覺是題目較為簡單，但在實際解題過程中，根據(jù)已知條件能夠推出多個結論.學生在考試過程中，由于時間緊張易陷入“迷?！保瑹o法將所得到的結論與問題聯(lián)系起來，這也是大部分考生丟分、失分的主要原因.那么該如何進行解題呢？波利亞將解題過程分為“弄清問題、擬定計劃、實現(xiàn)計劃、回顧”四個階段[1].接下來筆者將按照這四個階段論解讀本題. 1.首先，我們要清楚問題是什么？讀完題目，稍作思考，我們會發(fā)現(xiàn)問題（1）中證明四邊形BCDE是菱形，很容易聯(lián)想到利用菱形的判定進行證明.問題（2）中的（?。?2022年安徽省中小學教育教學論文評選求∠CED的大小，與角度有關，而已知條件中并沒有角度，只有線段垂直平分線和等邊，那么如何把這些已知條件轉化成與角相關呢？我們可以聯(lián)想到利用其性質，通過推出3個相等的角解得.問題（2）中的（ⅱ）證明BE＝CF，結合條件和圖形，我們可以猜想通過全等進行證明.2.然后，對于問題（1）來說，比較簡單，我們結合條件，通過菱形的判定可以利用多種方法進行證明.問題（2）中的（?。┛衫镁€段垂直平分線的性質、等邊對等角、等腰三角形“三線合一”的性質、全等的性質、平角的定義求出∠CED的大小.問題（2）中的（ⅱ）有些難度，但結合問題和圖形，我們容易聯(lián)想到一些幾何全等模型，比如：公共角、公共邊、8字全等模型，通過全等的性質證明邊相等.此時，我們就有了方向和目標.3.最后，圍繞問題，結合已知條件寫出解題過程.本題主要考查了以下知識點：等腰三角形“三線合一”的性質、平行線的性質、角平分線的性質、等量代換、菱形的判定、線段垂直平分線的性質、等邊對等角、全等的性質及判定、平角的定義、四點共圓等內容，這些都是教材中極為重要和基礎的知識點.三、典型問題分析1.閱卷結束后，筆者發(fā)現(xiàn)這一題0分居多，占24.6%，按照本次的評分細則，本題的得分點應該有很多，如能利用菱形的判定定理證明四邊形BCDE是菱形，即可得2分，作出輔助線即可得1分.在此情況下，仍出現(xiàn)如此之多的0分，說明部分考生的基礎薄弱，看到題目無從下手.2.會出現(xiàn)跳躍關鍵步驟的現(xiàn)象.比如在第（1）問中，部分考生直接通過等腰三角形“三線合一”的逆定理推出"DE=DC"；在第（2）問的（?。┲?，部分考生通過線段垂直平分線的性質定理直接得到“∠AED=∠CED”或“∠CED=∠CEB”.3.思路復雜，彎路多.比如第（2）問中的（ⅱ）證明BE=CF，部分考生已經證明了△AEC≌△AFB，由全等的性質得到AB=AC，再加上已知條件AF＝AE，利用等式的基本性質兩邊同時減去AE、AF，即可證明BE=CF，但有些考生在證明△AEC≌△AFB后，又連接了EF，證明△EFC≌△FEB從而得到BE=CF，繞了很大的彎路，使得解題過程變得復雜了.四、原因分析22022年安徽省中小學教育教學論文評選1.基礎知識薄弱一方面部分考生可能沒有真正地掌握數(shù)學定義、定理等知識點，導致自己不能夠正確的運用所學的知識點.比如在第（2）小問的（?。┲校删€段垂直平分線的性質定理得到的結論應該是兩條線段相等，即AE=CE，再通過等腰三角形“三線合一”的性質才能夠得到∠AED=∠CED,但是在閱卷過程中，筆者發(fā)現(xiàn)部分考生卻直接由線段垂直平分線的性質定理得到∠AED=∠CED.另一方面也有可能部分考生對所學的數(shù)學定義、定理等知識點不能夠進行靈活的應用，而且本題的每一小問都有多種方法進行求解，是比較靈活的，導致考生思路不清、無從下手.2.考試心理影響本題是倒數(shù)第二題.一方面或許一些考生在前面的答題過程中消耗了較多時間，導致后續(xù)時間緊張，從而產生慌亂；另一方面也有可能部分考生根據(jù)其所在試卷中的位置，想當然地認為其很難，一旦解題入手不順利便產生急躁情緒，影響了考試心態(tài)，進而影響考生在考試中的發(fā)揮. 五、解法賞析

由于本題的前兩小問比較簡單，筆者就不再做過多的贅述，僅對第（2）問中的（ⅱ）給出以下四種證明方法. 證法1：通過公共角模型證明△AEC和△AFB全等,利用全等的性質得到AB=AC,再用等式的基本性質，即可得到結論.證明：由（i）得：AE＝EC,∠CEB＝∠CED＝60o∴∠AEC＝180o－∠CEB＝120o∴∠ACE＝30o同理可得：在等腰△DEB中，∠EBD＝30o∴∠ABF＝∠ACE＝30o又∵AF＝AE,∠FAB＝∠EAC∴△AFB≌△AECAAS)∴AB＝AC∴AB－AE＝AC－AF即BE＝CF3圖32022年安徽省中小學教育教學論文評選證法2：通過公共邊模型證明△EBF和△FCE全等,利用全等的性質即可得到結論.證明：如圖所示：連接EF由（）得：AE＝EC,∠CEB＝∠CED＝60o圖4∴∠AEC＝180o－∠CEB＝120o∴∠EAC＝∠ECA＝30o又∵AF＝AE∴∠AEF＝∠AFE＝75o∴∠BEF＝∠CFE＝105o∵CE⊥BD,∠CEB＝60o∴∠EBD＝30o∴∠EBF＝∠FCE又∵FE＝EF∴△EBF≌△FCEAAS)∴BE＝CF證法3：作輔助線連接EF,通過“8”字模型證明△EGB和△FGC全等,再利用全等的性質即可得到結論.證明：如圖所示：連接EF,設BD與CE相交于點G由（）得：AE＝EC,∠CEB＝∠CED＝60o∴∠AEC＝180o－∠CEB＝120o∴∠EAC＝∠ECA＝30o又∵AF＝AE∴∠AEF＝∠AFE＝75o∴∠BEF＝∠CFE＝105o∴∠GEF＝∠BEF－∠CEB＝45o又∵CE⊥BD∴△FGE是等腰直角三角形∴GE＝GF∵CE⊥BD,∠BEG＝60o∴∠EBG＝∠FCG＝30o又∵∠EGB＝∠FGC∴△EGB≌△FGCAAS)∴BE＝CF4圖52022年安徽省中小學教育教學論文評選證法4：作輔助線連接EF,通過四點共圓、平行線的性質和等量代換證明∠ABC和∠ACB相等,再利用等邊對等角和等式的基本性質即可得到結論.證明：如圖所示：連接EF,由（i）得：EA＝ECED＝EB∠AED＝∠CED＝∠BEC＝60o∴∠AEC＝∠BED＝120o∴∠EAC＝∠ECA＝30,o∠EBD＝∠EDB＝30o∴∠EAF＝∠EDF＝30,o∠EBF＝∠ECF＝30o∴、、、E四點共圓，、、、C四點共圓又∵AE＝AF∴∠AEF＝∠AFE＝∠ADE＝∠CDE＝∠CBE∴EF∥BC∴∠AFE＝∠ACB∴∠ABC＝∠ACB∴AB＝AC∴AB－AE＝AC－AF即BE＝CF六、教學反思圖6在批改完這一題后，筆者從后臺數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)這一題的得分率較低.全市平均得分為4.61分，其中0分居多，占24,6％.針對以上情況，筆者就幾何問題教學的具體做法談幾點自己的見解.1.注重基礎知識的教學解決數(shù)學問題必須熟練掌握相關的基礎知識，中考雖然是選拔性考試，但考查的難題并不多，大部分題目都是基礎題，尤其在“雙減”之后，更加體現(xiàn)了試題的基礎性.例如：本題作為2022年安徽中考幾何壓軸題，無非考查了菱形、平行線、角平分線、等腰三角形、垂直平分線、全等的相關知識點及運用.學好基礎知識就像蓋房子打好地基一樣，只有地基打牢了，后面的就是在原有的架構上添磚加瓦，才能建構好一個個知識樓層.所以，作為教師應該重視學生基礎知識的掌握情況，引導學生構建自己的知識框架，從而形成各知識點相連接的知識網圖.2.建立幾何模型，培養(yǎng)直觀能力52022年安徽省中小學教育教學論文評選幾何是初中數(shù)學學習過程中的一大重要板塊,也是數(shù)學教學的難點.在幾何教學中采用模型教學的策略具有重要意義，可以將原來復雜抽象的知識通過幾何模型直觀的呈現(xiàn)到學生面前，降低了學生的理解難度，加深了學生對知識的理解，從而有利于提高教學效率和教學質量，發(fā)展學生的幾何直觀能力，進而提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng).在具體問題中幾何模型有時單獨出現(xiàn)，有時結伴而行.在教學過程中，教師應該注意揭示模型中的紐帶，引導學生建立模型中的橋梁.對于模型中元素的特征及聯(lián)系的分析徹底了，才能夠更好的抓住模型的主要特征.這樣，無論圖形是如何變換的，隱藏在什么樣復雜的圖形中，學生都能夠從中分離出簡單的基本模型，從而提升了學生的幾何直觀能力[2].3.注重數(shù)學思想方法的滲透數(shù)學思想方法是數(shù)學的精髓、是數(shù)學的本質所在.日本數(shù)學教育家米山國藏在他的著作《數(shù)學的精神、思想和方法》中提出：“不管學生從事什么業(yè)務工作，即使把所教給的數(shù)學知識全忘了，惟有銘刻在他們心中的數(shù)學精神、思想和方法都隨時隨地地發(fā)生作用，使他們受益終生.”足以說明數(shù)學思想方法對數(shù)學教育本身和學生數(shù)學素養(yǎng)的重要性、必要性[3].所以，“授之以魚，不如授之以漁”，教師在教學過程中不應只關注數(shù)學的知識和結論，在重視傳授數(shù)學知識的同時，盡可能的要讓學生能夠體會到蘊含在知識內的數(shù)學思想方法，從而促進學生的思維發(fā)展、全面提高學生的數(shù)學素養(yǎng),為學生的可持續(xù)發(fā)展奠定堅實的基礎.4.培養(yǎng)學生的審題能力審題是對題目進行分析、綜合、尋求解題思路和方法的過程，認真審題是正確解題的關鍵.從數(shù)學教學的實際情況看，教師大多只注重對知識的教與學，忽視了對學生習慣的培養(yǎng).從學生終身發(fā)展的角度，達成學生培養(yǎng)目標層面上來看，也要重視學生這一習慣的培養(yǎng).審題能力影響著學生的解題，如果在審題過程中出現(xiàn)錯誤，就會使得解題方向、解題知識點運用、解題方法運用等出現(xiàn)錯誤，最終導致題目解錯.在教學過程中，教師應該嚴格要求審題，讓學生養(yǎng)成良好的審題習慣.在課堂上講解數(shù)學題時，對于一些關鍵條件，應該注意反復讀題、分析，讓學生在潛移默化的過程中認識到讀題的重要性，并在以后自己解題時能夠主動認真地審清題目、分析題意.62022年安徽省中小學教育教學論文評選5.強調“言必有據(jù)”在批改學生的證明題時，經常會發(fā)現(xiàn)學生在推導過程中會出現(xiàn)“無依據(jù)”、“無因果”、“少條件”、“多條件”等問題，究其原因在于對定理、定義等內容沒有熟練的掌握，在用一個定理、定義時對所需的條件弄不清楚.這就要求我們教師在教學過程中應注