更新自動控制原理(胡壽松)第五第五章

頻率特性分析法

，又稱為頻域分析法，是一種圖解的分析方法，它不必直接求解系統(tǒng)輸出的時域表達式，不需要求解系統(tǒng)的閉環(huán)特征根，具有較多的優(yōu)點。如：①根據系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性能揭示閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能,得到定性和定量的結論，可以簡單迅速地判斷某些環(huán)節(jié)或者參數(shù)對系統(tǒng)閉環(huán)性能的影響,并提出改進系統(tǒng)的方法。②時域指標和頻域指標之間有對應關系，而且頻率特性分析中大量使用簡潔的曲線、圖表及經驗公式，簡化控制系統(tǒng)的分析與設計。

頻率特性分析法的特點現(xiàn)在是1頁\一共有135頁\編輯于星期四③具有明確的物理意義，它可以通過實驗的方法，借助頻率特性分析儀等測試手段直接求得元件或系統(tǒng)的頻率特性，建立數(shù)學模型作為分析與設計系統(tǒng)的依據，這對難于用理論分析的方法去建立數(shù)學模型的系統(tǒng)尤其有利。④頻率分析法使得控制系統(tǒng)的分析十分方便、直觀，并且可以拓展應用到某些非線性系統(tǒng)中。

本章重點介紹頻率特性的基本概念、幅相頻率特性(奈奎斯特圖)與對數(shù)頻率特性(波特圖)的繪制方法、奈奎斯特穩(wěn)定判據、控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性、利用開環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)閉環(huán)性能的方法。現(xiàn)在是2頁\一共有135頁\編輯于星期四5.1頻率特性的基本概念5.2幅相頻率特性及其繪制5.3對數(shù)頻率特性及其繪制5.4奈奎斯特穩(wěn)定判據5.5控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性5.6利用開環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)的閉環(huán)性能5.7閉環(huán)系統(tǒng)頻率特性本章內容現(xiàn)在是3頁\一共有135頁\編輯于星期四5.1頻率特性的基本概念現(xiàn)在是4頁\一共有135頁\編輯于星期四5.1.1頻率響應控制系統(tǒng)對正弦輸入信號的穩(wěn)態(tài)正弦響應。一個穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)，在正弦信號的作用下，穩(wěn)態(tài)時輸出仍是一個與輸入同頻率的正弦信號，且穩(wěn)態(tài)輸出的幅值與相位是輸入正弦信號頻率的函數(shù)。RC

RC網絡ui(t)u0(t)i(t)電路的時間常數(shù)T=RC，單位為s。

例5-1：求下述RC網絡在正弦信號輸入作用下的穩(wěn)態(tài)輸出。Ui與分別為輸入正弦信號的振幅與角頻率現(xiàn)在是5頁\一共有135頁\編輯于星期四輸出的拉氏變換為：

對上式進行拉氏反變換可得輸出的時域表達式：輸出與輸入相位差：

=-arctanTω穩(wěn)態(tài)輸出與輸入幅值比A：二者均與輸入頻率，系統(tǒng)本身的結構與參數(shù)有關?，F(xiàn)在是6頁\一共有135頁\編輯于星期四

實際上，頻率響應的概念具有普遍意義。對于穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)（或元件），當輸入信號為正弦信號r(t)=sint

時，過渡過程結束后，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出必為

Css(t)=Asin(ωt+)，如圖所示。線性定常系統(tǒng)sintAsin(ωt+)tr（t）Css（t）

線性系統(tǒng)及頻率響應示意圖A(ω)(ω)現(xiàn)在是7頁\一共有135頁\編輯于星期四5.1.2頻率特性1、定義

線性定常系統(tǒng)（或元件）在零初始條件下，當輸入信號的頻率ω在0→∞的范圍內連續(xù)變化時，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出與輸入信號的幅值比A(ω)與相位差(ω)隨輸入頻率變化而呈現(xiàn)的變化規(guī)律為系統(tǒng)的頻率特性。A(ω)：幅頻特性。穩(wěn)態(tài)響應不同頻率的正弦輸入時在幅值上是放大(A＞1)還是衰減(A＜1)。(ω)：相頻特性。穩(wěn)態(tài)響應不同頻率的正弦輸入時在相位上是超前(＞0o)還是滯后(＜0o)。

頻率特性反映系統(tǒng)對不同頻率的輸入信號的跟蹤能力，在頻域內全面描述系統(tǒng)的性能。

只與系統(tǒng)的結構、參數(shù)有關，是線性定常系統(tǒng)的固有特性?，F(xiàn)在是8頁\一共有135頁\編輯于星期四RC網絡的幅頻特性和相頻特性的表達式分別為：A（ω）=

（ω）=-arctanTωRC

RC網絡ui(t)u0(t)i(t)控制系統(tǒng)的頻率傳遞函數(shù)恰好表示了系統(tǒng)的頻率特性，其幅值與相角分別為幅頻特性、相頻特性的表達式。頻率傳遞函數(shù)現(xiàn)在是9頁\一共有135頁\編輯于星期四G（jω）就是頻率特性通用的表示形式，是ω的函數(shù)。G（jω）=∣G（jω）∣·ej∠G（jω）=A（ω）·ej指數(shù)表示法G（jω）=A(ω)∠(ω)幅角表示法

當ω是一個特定的值時，可以在復平面上用一個向量去表示G(jω)。向量的長度為A(ω)，向量與正實軸之間的夾角為

(ω)，并規(guī)定逆時針方向為正，即相角超前；規(guī)定順時針方向為負，即相角滯后。2、頻率特性的表示方法現(xiàn)在是10頁\一共有135頁\編輯于星期四

另外還可以將向量分解為實數(shù)部分和虛數(shù)部分，即

G（jω）=R（ω）+jI（ω）

R(ω)稱為實頻特性，I(ω)稱為虛頻特性。A(ω)與R(ω)為ω的偶函數(shù)，

(ω)與I(ω)是ω的奇函數(shù)?，F(xiàn)在是11頁\一共有135頁\編輯于星期四線性定常系統(tǒng)，傳遞函數(shù)為G（s）G（jω）=

G（s）|s=jω=A(ω)·ejRsinωtA(ω)·R·sin[ωt+(ω)]A(ω)是幅頻特性，是相頻特性

系統(tǒng)的頻率特性可由系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G（s）將jω代替其中的s而得到。由拉氏變換可知，傳遞函數(shù)的復變量s=σ+jω。當σ=0時，s=jω。所以G（jω）就是σ=0時的G（s）。即當傳遞函數(shù)的復變量s用jω代替時，傳遞函數(shù)轉變?yōu)轭l率特性，這就是求取頻率特性的解析法。由傳遞函數(shù)求取頻率特性現(xiàn)在是12頁\一共有135頁\編輯于星期四RC

RC網絡ui(t)u0(t)i(t)G(s)=

00.5/T1/T2/T3/T4/T5/T6/TA()10.890.710.450.320.240.200.160()0-26.6-45-63.5-71.5-76-78.7-80.5-90現(xiàn)在是13頁\一共有135頁\編輯于星期四5.1.4頻率特性的物理意義1.在某一特定頻率下，系統(tǒng)輸入輸出的幅值比與相位差是確定的數(shù)值，不是頻率特性。當輸入信號的頻率ω在0→∞的范圍內連續(xù)變化時，則系統(tǒng)輸出與輸入信號的幅值比與相位差隨輸入頻率的變化規(guī)律將反映系統(tǒng)的性能，才是頻率特性。2.頻率特性反映系統(tǒng)本身性能，取決于系統(tǒng)結構、參數(shù)，與外界因素無關。3.頻率特性隨輸入頻率變化的原因是系統(tǒng)往往含有電容、電感、彈簧等儲能元件，導致輸出不能立即跟蹤輸入，而與輸入信號的頻率有關。4.頻率特性表征系統(tǒng)對不同頻率正弦信號的跟蹤能力，一般有“低通濾波”與“相位滯后”作用?，F(xiàn)在是14頁\一共有135頁\編輯于星期四5.1.5頻率特性的數(shù)學意義

頻率特性是描述系統(tǒng)固有特性的數(shù)學模型，與微分方程、傳遞函數(shù)之間可以相互轉換。

三種數(shù)學模型以不同的數(shù)學形式表達系統(tǒng)的運動本質，并從不同的角度揭示出系統(tǒng)的內在規(guī)律，是經典控制理論中最常用的數(shù)學模型。

微分方程（以t為變量）

傳遞函數(shù)（以s為變量）

頻率特性（以ω為變量）

控制系統(tǒng)數(shù)學模型之間的轉換關系現(xiàn)在是15頁\一共有135頁\編輯于星期四1.幅相頻率特性曲線（奈氏曲線,奈氏圖）坐標系為極坐標。反映A(ω)與

(ω)隨ω變化的規(guī)律。2.對數(shù)頻率特性曲線(對數(shù)坐標圖，

波德圖)坐標系為半對數(shù)坐標。反映對數(shù)幅頻特性曲線L(ω)=20lgA(ω)和對數(shù)相頻特性曲線

(ω)隨ω變化的規(guī)律。3.對數(shù)幅相頻率特性曲線(尼柯爾斯圖或對數(shù)幅相圖)

坐標系為對數(shù)幅相坐標。反映L(ω)=20lgA(ω)隨

(ω)的變化規(guī)律，主要用于求取閉環(huán)頻率特性。常用頻率特性曲線現(xiàn)在是16頁\一共有135頁\編輯于星期四2023/4/21現(xiàn)在是17頁\一共有135頁\編輯于星期四5.2幅相頻率特性及其繪制

現(xiàn)在是18頁\一共有135頁\編輯于星期四5.2.1奈氏圖的基本概念

繪制奈氏圖的坐標系是極坐標與直角坐標系的重合。取極點為直角坐標的原點，極坐標軸為直角坐標的實軸。當ω在0→∞的范圍內連續(xù)變化時，向量的幅值A()與相角()均隨之連續(xù)變化，不同ω下的向量的端點在復平面上掃過的軌跡即為該系統(tǒng)的奈氏曲線G(j2)Re(1)(2)A(1)A(2)G(j1)

極坐標圖的表示方法

Im

把ω作為參變量，標在曲線旁邊，并用箭頭表示頻率增大時曲線的變化軌跡，以便更清楚地看出該系統(tǒng)頻率特性的變化規(guī)律。G(jω)與G(-jω)互為共軛。相應的奈氏圖曲線G(jω)必然與G(-jω)對稱于實軸。G(jω)=A(ω)·ej現(xiàn)在是19頁\一共有135頁\編輯于星期四

當系統(tǒng)或元件的傳遞函數(shù)G(s)已知時，可以采用解析的方法先求取系統(tǒng)的頻率特性的具體步驟：1.用jω代替s，求出頻率特性G(jω)2.求出幅頻特性A(ω)與相頻特性(ω)的表達式，也可求出實頻特性R(ω)與虛頻特性I(ω)，幫助判斷G(jω)所在的象限。3.在0→∞的范圍內選取不同的ω，分別計算出A(ω)與(ω)的值，在坐標圖上描出對應的向量G(jω)，將所有G(jω)的端點連接描出光滑的曲線即可得到所求的奈氏曲線?，F(xiàn)在是20頁\一共有135頁\編輯于星期四典型環(huán)節(jié)的奈氏圖1、比例環(huán)節(jié)用j替換s，可求得比例環(huán)節(jié)的頻率特性表達式為

G(j)=KImRe0K→0→

比例環(huán)節(jié)的幅相頻率特性G(s)=K幅頻特性A(ω)=

|K|=K相頻特性（ω）=0o比例環(huán)節(jié)的幅頻特性、相頻特性均與頻率無關。所以當由0變到,G(j)始終為實軸上一點。比例環(huán)節(jié)可以完全、真實地復現(xiàn)任何頻率的輸入信號，幅值上有放大或衰減作用；()=0o,表示輸出與輸入同相位，既不超前也不滯后。現(xiàn)在是21頁\一共有135頁\編輯于星期四2、積分環(huán)節(jié)頻率特性：幅頻特性：A()=|1/|=1/

，與角頻率ω成反比相頻特性：()=-90o

積分環(huán)節(jié)的幅相頻率特性→0→0ReIm0＜＜：幅相頻率特性與負虛軸重合。積分環(huán)節(jié)是低通濾波器，放大低頻信號、抑制高頻信號，輸入頻率越低，對信號的放大作用越強；并且有相位滯后作用，輸出滯后輸入的相位恒為90o?，F(xiàn)在是22頁\一共有135頁\編輯于星期四3、微分環(huán)節(jié)G(s)=s頻率特性：G(j)=j幅頻特性:

A()=||=，與成正比。相頻特性：

()=90o。在0＜＜的范圍內,

奈氏圖與正虛軸重合。理想微分環(huán)節(jié)是高通濾波器，輸入頻率越高，對信號的放大作用越強；并且有相位超前作用，輸出超前輸入的相位恒為90o，說明輸出對輸入有提前性、預見性作用?，F(xiàn)在是23頁\一共有135頁\編輯于星期四4、慣性環(huán)節(jié)R()≥0，I()≤0:慣性環(huán)節(jié)的奈氏圖必在坐標系的第四象限。位于第四象限的半圓，圓心為(1/2,0),直徑為1。

比例系數(shù)變?yōu)镵時，圓心為(K/2,0),直徑為K。慣性環(huán)節(jié)為低通濾波器，且輸出滯后于輸入，相位滯后范圍為0o→-90o。00.5/T1/T2/T3/T4/T5/T6/TA()10.890.710.450.320.240.200.160()0-26.6-45-63.5-71.5-76-78.7-80.5-90現(xiàn)在是24頁\一共有135頁\編輯于星期四5、一階微分環(huán)節(jié)實頻特性恒為1，虛頻特性與輸入頻率成正比。平行于正虛軸向上無窮延伸的直線G(s)=(s+1)具有放大高頻信號的作用，輸入頻率越大，放大倍數(shù)越大；且輸出超前于輸入，相位超前范圍為0o→90o，輸出對輸入有提前性、預見性作用。是控制工程中常用的比例微分控制器（PD控制器），PD控制器常用于改善二階系統(tǒng)的動態(tài)性能，但存在放大高頻干擾信號的問題。00.5/1/2/A()11.121.412.36()028.74565.490現(xiàn)在是25頁\一共有135頁\編輯于星期四6、二階振蕩環(huán)節(jié)虛頻特性恒≤0，奈氏曲線必位于第三與第四象限。1＞2。與負虛軸的交點頻率為=1/T，幅值為1/(2)。相位滯后：輸出滯后于輸入的范圍為0o→-180o；的取值對曲線形狀的影響較大，可分為以下兩種情況

01/A()11/(2)0()0-90-180現(xiàn)在是26頁\一共有135頁\編輯于星期四1)

＞0.707

幅頻特性A()隨的增大而單調減小，如圖中1所對應曲線，環(huán)節(jié)有低通濾波作用。當＞1時，振蕩環(huán)節(jié)有兩個相異負實數(shù)極點。若足夠大，一個極點靠近原點，另一個極點遠離虛軸（對瞬態(tài)響應影響很?。?，奈氏曲線與負虛軸的交點的虛部為1/(2)≈0，奈氏圖近似于半圓，即振蕩環(huán)節(jié)近似于慣性環(huán)節(jié)。

現(xiàn)在是27頁\一共有135頁\編輯于星期四2)0≤≤0.707當增大時，幅頻特性A()并不是單調減小，而是先增大，達到一個最大值后再減小直至衰減為0，這種現(xiàn)象稱為諧振。奈氏圖上距離原點最遠處所對應的頻率為諧振頻率r，所對應的向量長度為諧振峰值Mr=A(r)=A(r)/A(0)

。諧振表明系統(tǒng)對頻率r下的正弦信號的放大作用最強?，F(xiàn)在是28頁\一共有135頁\編輯于星期四隨的減小,諧振峰值Mr增大，諧振頻率r也越接近振蕩環(huán)節(jié)的無阻尼自然振蕩頻率n。諧振峰值Mr越大，表明系統(tǒng)的阻尼比越小，系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性就越差，單位階躍響應的最大超調量σ%也越大。當=0時，r≈n，Mr≈，即振蕩環(huán)節(jié)處于等幅振蕩狀態(tài)。

求諧振角頻率r和諧振峰值Mr，現(xiàn)在是29頁\一共有135頁\編輯于星期四7、延遲環(huán)節(jié)幅頻特性：A()=1相頻特性：()=-單位為弧度（rad）?；蛘?)=G(s)=e-sG(j)=e-j故延遲環(huán)節(jié)的奈氏圖是一個以原點為圓心,半徑為1的圓。即延遲環(huán)節(jié)可以不失真地復現(xiàn)任何頻率的輸入信號，但輸出滯后于輸入，而且輸入信號頻率越高，延遲環(huán)節(jié)的輸出滯后就越大。

=時，()=-，即輸出相位滯后輸入為無窮大。當從0連續(xù)變化至時，奈氏曲線沿原點作半徑為1的無窮次旋轉，τ越大，轉動速度越大?，F(xiàn)在是30頁\一共有135頁\編輯于星期四在低頻區(qū)，頻率特性表達式根據泰勒公式展開為當很小時，有

即在低頻區(qū)，延遲環(huán)節(jié)的頻率特性近似于慣性環(huán)節(jié)。從奈氏圖也可見，二者的曲線在低頻區(qū)基本重合。現(xiàn)在是31頁\一共有135頁\編輯于星期四5.2.3開環(huán)奈氏圖的繪制1.定義系統(tǒng)的頻率特性有兩種，閉環(huán)頻率特性Ф(jω)與開環(huán)頻率特性Gk(jω)。由于系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)較易獲取，并與系統(tǒng)的元件一一對應，在控制系統(tǒng)的頻率分析法中，分析與設計系統(tǒng)一般是基于系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性。幅值相乘、相位相加現(xiàn)在是32頁\一共有135頁\編輯于星期四2.開環(huán)奈氏圖的繪制(1)低頻段的確定(→0)：起點

低頻段的Gk(jω):()=-v90°向量相乘是幅值相乘、相位相加:低頻段的幅頻：低頻段的相頻：現(xiàn)在是33頁\一共有135頁\編輯于星期四開環(huán)系統(tǒng)奈氏圖低頻段的形狀（幅值與相位）均與系統(tǒng)的型別v與開環(huán)增益K有關。1)0型系統(tǒng)，v=0：A(0)

=K，(0)=0o;低頻特性為實軸上的一點(K,0)。2)Ⅰ型系統(tǒng)，v=1：A(0)=∞，(0)=-90o3)Ⅱ型系統(tǒng)，v=2：A(0)=∞，(0)=-180o系統(tǒng)的型別v每增加1，起點順時針轉90度現(xiàn)在是34頁\一共有135頁\編輯于星期四(2)高頻段（→∞）：終點

不失一般性，假定系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)全為不相等的負實數(shù)極點與零點。m為分子多項式的階數(shù)，

n為分母多項式的階數(shù)，且一般m＜n

高頻段終止于坐標原點；而最終相位為()=-(n-m)90，

現(xiàn)在是35頁\一共有135頁\編輯于星期四

①(n-m)=1,則()=-90,即幅相特性沿負虛軸進入坐標原點。②(n-m)=2,則()=-180,即幅相特性沿負實軸進入坐標原點。③(n-m)=3,則()=-270,即幅相特性沿正虛軸進入坐標原點?，F(xiàn)在是36頁\一共有135頁\編輯于星期四(3)奈氏圖與實軸、虛軸的交點將頻率特性表達式按照分母有理化的方法分解為實部與虛部。1）曲線與實軸的交點處的頻率由虛部為0求出

Im[G(j)]=I()=0求出交點處的，再代回頻率特性表達式求出交點的坐標。2）曲線與虛軸的交點處的頻率由實部為0求出

Re[G(j)]=R()=0求出交點處的，再代回頻率特性表達式求出交點的坐標?，F(xiàn)在是37頁\一共有135頁\編輯于星期四(1)分別寫出開環(huán)系統(tǒng)中各個環(huán)節(jié)的幅頻特性和相頻特性。(2)寫出開環(huán)系統(tǒng)的A(ω)和φ(ω)表達式。(3)分別求出ω=0和ω=的G(jω)H(jω)

。(4)求奈氏圖與實軸交點：可用Im[G(jω)H(jω)

]=0求出。(5)求奈氏圖與虛軸交點：可用Re[G(jω)H(jω)

]=0求出。(6)必要時再畫出中間幾點。(7)勾畫大致曲線（開環(huán)概略幅相曲線）總結：開環(huán)系統(tǒng)Nyquist圖的一般作圖方法現(xiàn)在是38頁\一共有135頁\編輯于星期四起點：A(0)=10,(0)=0終點：A()=0,()=-90-90=-180與虛軸的交點：G(j)()17.07-50.72.53.61-82.0351.75-105.2100.74-129.31000.01-173.7例1：繪制0型開環(huán)系統(tǒng)的奈氏圖現(xiàn)在是39頁\一共有135頁\編輯于星期四Ⅰ型系統(tǒng)G(j)()0.199.6-95.710.517.89-116.5722.24-153.4350.39-168.69100.1-174.29500.004-178.85例2已知開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性，試畫出奈氏圖現(xiàn)在是40頁\一共有135頁\編輯于星期四Ⅱ型系統(tǒng)例3G(j)()0.535.7-206.617.07-22521.12-243.4350.08-258.7100.01-264.3現(xiàn)在是41頁\一共有135頁\編輯于星期四0型3型2型1型值系統(tǒng)名稱奈氏圖起點奈氏圖終點=00型(K,j0)(1)分母階次大于分子階次：坐標原點處；相位為-90(n-m)(2)分母階次等于分子階次：坐標實軸上的有限值處=1I型相角為-90的無窮遠處=2II型相角為-180的無窮遠處奈氏圖起點：每增加一個積分環(huán)節(jié)，相位增加-90現(xiàn)在是42頁\一共有135頁\編輯于星期四下圖列出了常見系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)與開環(huán)概略奈氏圖。

如果系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)沒有開環(huán)零點，則在由0增大到過程中，頻率特性的相位單調連續(xù)減?。筮B續(xù)增加），特性曲線平滑地變化。奈氏曲線應該是從低頻段開始幅值逐漸減小，沿順時針方向連續(xù)變化最后終于原點?，F(xiàn)在是43頁\一共有135頁\編輯于星期四(4)開環(huán)零點對曲線的影響1）如果系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)沒有開環(huán)零點，則在由0增大到過程中，頻率特性的相位單調連續(xù)減?。筮B續(xù)增加），特性曲線平滑地變化。奈氏曲線應該是從低頻段開始幅值逐漸減小，沿順時針方向連續(xù)變化最后終于原點。2）如果系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)有開環(huán)零點，則在由0增大到過程中，特性的相位不再是連續(xù)減小。視開環(huán)零點的時間常數(shù)的數(shù)值大小不同，特性曲線的相位可能在某一頻段范圍內呈增加趨勢，此時，特性曲線出現(xiàn)凹部。

現(xiàn)在是44頁\一共有135頁\編輯于星期四若該系統(tǒng)增加一個開環(huán)零點，開環(huán)頻率特性表達式為此系統(tǒng)仍為Ⅱ型系統(tǒng)，當→0時，幅值趨于無窮大,而相角位移為-180，即奈氏圖的起點基本未變。在→時，A()=0，()=-(n-m)90=-290=-180，奈氏圖沿負實軸終止于原點。

由于增加了開環(huán)零點，所以奈氏曲線從低頻段到高頻段連續(xù)變化時，相位先滯后增加，達到一個滯后最大值后，相位滯后又開始減?。聪辔辉黾樱麠l曲線出現(xiàn)了凹凸?，F(xiàn)在是45頁\一共有135頁\編輯于星期四現(xiàn)在是46頁\一共有135頁\編輯于星期四

根據以上繪制規(guī)律，可以方便地繪制系統(tǒng)的開環(huán)概略奈氏圖。

在０＜＜的區(qū)段，奈氏曲線的形狀與所有典型環(huán)節(jié)及其參數(shù)有關，但通過奈氏曲線并不能非常直觀地顯示出系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)的結構與參數(shù)。

奈氏圖的用途：判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性作業(yè)：p.2375-6p.2385-8,5-9現(xiàn)在是47頁\一共有135頁\編輯于星期四2023/4/21現(xiàn)在是48頁\一共有135頁\編輯于星期四5.3對數(shù)頻率特性及其繪制現(xiàn)在是49頁\一共有135頁\編輯于星期四5.3.1對數(shù)頻率特性曲線（Bode圖）基本概念坐標系為半對數(shù)坐標。反映對數(shù)幅頻特性曲線L(ω)=20lgA(ω)和對數(shù)相頻特性曲線

(ω)隨ω變化的規(guī)律。1.Bode圖的坐標系橫坐標：對取以10為底的對數(shù)lg進行分度。十倍頻程（decade，dec）：每變化十倍,

1gω就增加一個單位長度。標注ω的真值,以方便讀數(shù)。橫坐標對于ω是不均勻的，但對1gω卻是均勻的線性分度。由于0頻無法表示，橫坐標的最低頻率是由所需的頻率范圍來確定的。ω1與ω2的距離不是ω2-ω1，而是lgω2-lgω1現(xiàn)在是50頁\一共有135頁\編輯于星期四對數(shù)幅頻特性縱坐標：(dB)

，用L()=20lgA(ω)表示。對數(shù)相頻特性圖縱坐標：對相角進行線性分度，單位為度（o）

,仍用

()表示。2.伯德（Bode）圖的構成G(j)=G1(j)G2(j)…Gn(j)=

A()ej()

A()=A1()A2()…An()；()=1()+2()+…+n()

L()=20lgA()=20lgA1()+20lgA2()+…+20lgAn()=L1()+L2()+…+Ln()現(xiàn)在是51頁\一共有135頁\編輯于星期四3．Bode圖法的特點（1）橫坐標按頻率取對數(shù)分度，低頻部分展寬，而高頻部分縮小。與對實際控制系統(tǒng)（一般為低頻系統(tǒng)）的頻率分辨要求吻合。（2）幅頻特性取分貝數(shù)（20Lg|GH|）后，使各因子間的乘除運算變?yōu)榧訙p運算，在Bode圖上則變?yōu)楦饕蜃臃l特性曲線的疊加，大大簡化了作圖過程，使系統(tǒng)設計和分析變得容易。（3）可采用由直線段構成的漸近特性（或稍加修正）代替精確Bode圖，使繪圖十分簡便。（4）在控制系統(tǒng)的設計和調試中,開環(huán)放大系數(shù)K是最常變化的參數(shù)。而K的變化不影響對數(shù)幅頻特性的形狀，只會使幅頻特性曲線作上下平移?，F(xiàn)在是52頁\一共有135頁\編輯于星期四5.3.2典型環(huán)節(jié)的伯德圖

1.比例環(huán)節(jié)（K）

比例環(huán)節(jié)可以完全、真實地復現(xiàn)任何頻率的輸入信號，幅值上有放大或衰減作用；

()=0o,表示輸出與輸入同相位，既不超前也不滯后?，F(xiàn)在是53頁\一共有135頁\編輯于星期四2.積分環(huán)節(jié)(1/s)

402000.010.111020100.010.11

頻率每增加10倍，幅頻特性下降20dB，故積分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性是一條斜率為-20dB/dec的斜線,并且在=1這一點穿過0dB線。積分環(huán)節(jié)是低通濾波器，放大低頻信號、抑制高頻信號，輸入頻率越低，對信號的放大作用越強；并且有相位滯后作用，輸出滯后輸入的相位恒為90o?，F(xiàn)在是54頁\一共有135頁\編輯于星期四3.微分環(huán)節(jié)（s）

1微分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性是一條斜+20dB/dec的斜線,并且在=1這一點穿過0dB線。理想微分環(huán)節(jié)是高通濾波器，輸入頻率越高，對信號的放大作用越強；并且有相位超前作用，輸出超前輸入的相位恒為90o，說明輸出對輸入有提前性、預見性作用。積分環(huán)節(jié)與理想微分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性相比較，只相差正負號，二者以軸為基準，互為鏡象；同理，二者的相頻特性互以軸為鏡象。現(xiàn)在是55頁\一共有135頁\編輯于星期四4.慣性環(huán)節(jié)(1)對數(shù)幅頻特性

1)低頻段：T<<1(或<<1/T)，T0低頻漸近線：0dB的直線，現(xiàn)在是56頁\一共有135頁\編輯于星期四2)高頻段

:T>>1(或>>1/T)3）轉折點：低頻與高頻漸近線的交點。

轉折頻率T：

T

=1/T。

繪制慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性時的一個重要參數(shù)。高頻漸近線：斜率為-20dB/dec的直線，現(xiàn)在是57頁\一共有135頁\編輯于星期四（2）對數(shù)相頻特性()=-arctan(ωT)；對數(shù)相頻特性曲線將對應于ω=1/T及()=-45°這一點斜對稱。在整個頻率范圍內，()呈滯后持續(xù)增加的趨勢，極限為-90?，F(xiàn)在是58頁\一共有135頁\編輯于星期四

當慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)T改變時，其轉折頻率1/T將在Bode圖的橫軸上向左或向右移動。與此同時，對數(shù)幅頻特性及對數(shù)相頻特性曲線也將隨之向左或向右移動，但它們的形狀保持不變。現(xiàn)在是59頁\一共有135頁\編輯于星期四5．一階微分環(huán)節(jié)（s＋1）

(1)

低頻漸近線：<<1(或<<1/)；近似用零分貝線表示。(2)高頻漸近線：>>1(或>>1/)；斜率為20dB/dec的斜線。(3)轉折頻率:T=1/。1)對數(shù)幅頻特性

現(xiàn)在是60頁\一共有135頁\編輯于星期四一階微分環(huán)節(jié)的bode圖與慣性環(huán)節(jié)互以橫軸為鏡像。一階微分環(huán)節(jié)具有放大高頻信號的作用；輸出超前于輸入，0o→90o，輸出對輸入有提前性、預見性作用。一階微分環(huán)節(jié)（PD控制器）：改善二階系統(tǒng)的動態(tài)性能，但存在放大高頻干擾信號的問題。2)相頻特性

3)特點

現(xiàn)在是61頁\一共有135頁\編輯于星期四

6．二階振蕩環(huán)節(jié)（1）對數(shù)幅頻特性

1)低頻段：T<<1(或<<1/T)時，L()20lg1=0dB。(0≤≤1)2)高頻段：T>>1(或>>1/T)時,并考慮到（0≤≤1），有L()-20lg(T)2=-40lg(T)=-40lgT-40lgdB這說明高頻段是一條斜率為-40dB/dec的斜線。3)T=1/T為轉折頻率，也就是環(huán)節(jié)的無阻尼自然振蕩頻率n?，F(xiàn)在是62頁\一共有135頁\編輯于星期四0.4時，漸近線需要加尖峰修正。隨的減小,諧振峰值Mr增大，系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性就越差，單位階躍響應的最大超調量σ%也越大。諧振頻率r也越接近n。當=0時，r≈n，Mr≈，即振蕩環(huán)節(jié)處于等幅振蕩狀態(tài)。

高頻漸近線:-40dB/dec低頻漸近線:0dB現(xiàn)在是63頁\一共有135頁\編輯于星期四（2）相頻特性

當ω=0時，()=0ω=1/T時，()=-90°ω→∞時，()→-180°

振蕩環(huán)節(jié)具有相位滯后的作用，輸出滯后于輸入的范圍為0o→-180o；同時的取值對曲線形狀的影響較大。振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性曲線將對應于ω=1/T及()=-90°這一點斜對稱?，F(xiàn)在是64頁\一共有135頁\編輯于星期四7．延遲（滯后）環(huán)節(jié)（e-Ts）

()是呈指數(shù)規(guī)律下降的曲線，隨ω增加而滯后無限增加，現(xiàn)在是65頁\一共有135頁\編輯于星期四控制系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為：5.3.3開環(huán)伯德圖的繪制順序斜率疊加法在繪制系統(tǒng)Bode圖時，應先將系統(tǒng)傳遞函數(shù)分解為典型環(huán)節(jié)乘積的形式，再逐步繪制。不必將各個典型環(huán)節(jié)的L(ω)繪出,而使用從低頻到高頻逐次變換斜率的方法繪出L(ω)曲線,Ф(ω)曲線描點或疊加求取。G(j)=G1(j)G2(j)…Gn(j)=

A()ej()

A()=A1()A2()…An()；()=1()+2()+…+n()

L()=20lgA()=20lgA1()+20lgA2()+…+20lgAn()=L1()+L2()+…+Ln()現(xiàn)在是66頁\一共有135頁\編輯于星期四1.基本規(guī)律（1）由于系統(tǒng)開環(huán)幅頻特性的漸近線是由各典型環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性疊加而成，而直線疊加就是斜率相加，所以L()的漸近線必為由不同斜率的線段組成的折線。（2）低頻漸近線（及其延長線）的確定()=-v90°斜率:-20vdB/dec;與積分環(huán)節(jié)的個數(shù)v有關=1時,有L(1)=20lgK?，F(xiàn)在是67頁\一共有135頁\編輯于星期四（3）轉折頻率及轉折后斜率變化量的確定在慣性環(huán)節(jié)的轉折頻率1/T處，斜率-20dB/dec；在一階微分環(huán)節(jié)G(s)=(s+1)的轉折頻率1/處，斜率+20dB/dec；在振蕩環(huán)節(jié)的轉折頻率1/T處，斜率-

40dB/dec（4）最終斜率與最終相位滯后與n-m的關系()=-(n–m)·90°斜率為-20（n-m）dB/dec的斜線。高頻段Bode圖與（n-m）有關。→時,由于n＞m，現(xiàn)在是68頁\一共有135頁\編輯于星期四2．Bode圖繪制步驟1)開環(huán)傳遞函數(shù)寫成時間常數(shù)表達式，確定各典型環(huán)節(jié)的轉折頻率。2)選定Bode圖坐標系所需頻率范圍，一般最低頻率為系統(tǒng)最低轉折頻率的1/10左右，而最高頻率為最高轉折頻率的10倍左右。3)在橫坐標上，由小到大標注各典型環(huán)節(jié)轉折頻率。4)確定低頻漸近線（由積分環(huán)節(jié)個數(shù)v與開環(huán)傳遞系數(shù)K決定），找到橫坐標為ω=1、縱坐標為20lgK的點，過該點作斜率為-20vdB/dec的斜線。5)由低頻向高頻延伸，每到一個轉折頻率,斜率根據具體環(huán)節(jié)作相應的改變，最終斜率為-20（n-m）dB/dec。6)如有必要，可對分段直線進行修正，以得到精確的對數(shù)幅頻特性。通常只需修正各轉折頻率處以及轉折頻率的二倍頻和1/2倍頻處的幅值就可以了。現(xiàn)在是69頁\一共有135頁\編輯于星期四7）系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性L()通過0分貝線,即

L(c)=0或A(c)=1時的頻率c稱為幅值穿越頻率。是分析與設計時的重要參數(shù)。8)在對數(shù)相頻特性圖上，分別畫出各典型環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性曲線，將各典型環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性曲線沿縱軸方向迭加，便可得到系統(tǒng)的對數(shù)相頻特性曲線。也可求出()的表達式，逐點描繪。低頻時有()=-v(90)，最終相位為()=-(n-m)90。9)若系統(tǒng)串聯(lián)有延遲環(huán)節(jié)，不影響系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性，只影響系統(tǒng)的對數(shù)相頻特性，則可以求出相頻特性的表達式，直接描點繪制對數(shù)相頻特性曲線?，F(xiàn)在是70頁\一共有135頁\編輯于星期四(1)確定Bode圖坐標系例5.3.1：求開環(huán)傳遞函數(shù)的Bode圖0.1110100204060(2)將各環(huán)節(jié)的轉角頻率由低到高依次標于橫軸上：=1,=2。2(3)繪制低頻漸近線。I型系統(tǒng)；斜率為-20dB/dec

的直線；

=1處的幅值為20lg100=40(dB)。-20dB/dec(4)由低頻到高頻順序繪出對數(shù)幅頻特性漸近線。在低頻漸近線的基礎上，每遇到一個環(huán)節(jié)的轉折頻率,根據該環(huán)節(jié)的性質作一次斜率變化，直至最后一個環(huán)節(jié)完成為止。-40dB/dec-20dB/dec>1:[-20][-40]>2:[-40][-20]28c(5)幅值穿越頻率c?現(xiàn)在是71頁\一共有135頁\編輯于星期四畫開環(huán)傳遞函數(shù)的相頻bode圖-108.4-95.592023/4/21現(xiàn)在是72頁\一共有135頁\編輯于星期四例5.3.2系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

繪制Bode圖。解：(1)頻率特性(3)轉折頻率：=2,10現(xiàn)在是73頁\一共有135頁\編輯于星期四0.1121020()-92.86-110.85-123.69-123.69-110.85-90現(xiàn)在是74頁\一共有135頁\編輯于星期四0.112103010002040-20-90L(ω)/dBω[-20][-40]14[-40]-2620-14[-20]-100-110-120(ω)/現(xiàn)在是75頁\一共有135頁\編輯于星期四例：繪制開環(huán)對數(shù)幅頻漸近特性曲線低頻段(<0.5)：轉折頻率：0.5230斜率：-40-20-40時為38db時為52db解：開環(huán)傳遞函數(shù)為現(xiàn)在是76頁\一共有135頁\編輯于星期四0.10.51210301000db20db40db-20db-40dbL(ω)ω[-20][-40][-20][-40]低頻段：時為38db轉折頻率：0.5230斜率：-40-20-40時為52db

L()曲線38db14db-6db現(xiàn)在是77頁\一共有135頁\編輯于星期四例5.3.4：繪制開環(huán)系統(tǒng)的對數(shù)頻率曲線。解：對數(shù)幅頻：低頻段：-20dB/dec,=1時，20lgK=20lg20=26dB對數(shù)相頻：相頻特性的畫法為：起點，終點，轉折點。 環(huán)節(jié)角度：

轉折頻率：1510斜率：-400-40現(xiàn)在是78頁\一共有135頁\編輯于星期四1101000.10db20db40db-20db-40dbL(ω)/dBω5-90-180對數(shù)幅頻：低頻段：-20dB/dec,20lgK=26dB

轉折頻率：1510

斜率：-400-40修正值：

-114.7-93.7-137.5[-20]26db46db8.14db[-40][-40]-14db現(xiàn)在是79頁\一共有135頁\編輯于星期四畫開環(huán)系統(tǒng)Bode圖的步驟：(1)寫出開環(huán)頻率特性的時間常數(shù)表達式，把其所含各環(huán)節(jié)的轉折頻率由小到大依次標注在頻率軸上。(2)確定各轉折頻率前后分段直線的斜率：低頻段（<min)的斜率為-20dB/dec（為積分環(huán)節(jié)數(shù)）。同時利用在=1處，L()=20lgK確定低頻漸近線的位置。沿著頻率增大的方向，每遇到一個轉折頻率就改變一次分段直線的斜率，取決于對應的典型環(huán)節(jié)的種類（p.203表5-2）。高頻漸近線（分段直線最后一段）的斜率為-20(n-m)dB/dec，其中n、m分別為開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)的極點數(shù)和零點數(shù)。(3)作出分段直線表示的漸近線后，如果需要，再按照各典型因子的誤差曲線對相應的分段直線進行修正，就可得到實際的對數(shù)幅頻特性曲線。如對二階振蕩環(huán)節(jié)，標出Mr值。(4)作相頻特性曲線，根據開環(huán)相頻特性的表達式，在低頻、中頻和高頻區(qū)域各選擇若干個頻率進行計算，然后連成曲線。現(xiàn)在是80頁\一共有135頁\編輯于星期四由Bode圖確定傳遞函數(shù)1、系統(tǒng)的類型與Bode圖低頻漸近線斜率的對應關系1）0型系統(tǒng)0型系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性低頻漸近線為一條20lgKdB的水平線。2）I型系統(tǒng)

低頻漸近線斜率為-20dB/dec開環(huán)增益K在數(shù)值上等于低頻漸近線（或延長線）與0dB線相交點的頻率值。

低頻漸近線（或延長線）在ω=1處的相交坐標值為20lgK?，F(xiàn)在是81頁\一共有135頁\編輯于星期四3）Ⅱ型系統(tǒng)

低頻漸近線的斜率為-40dB/dec。

低頻漸近線（或延長線）在ω=1處的坐標值為20lgK。

開環(huán)增益K在數(shù)值上等于低頻漸近線（或延長線）與0dB線相交點頻率值的平方?，F(xiàn)在是82頁\一共有135頁\編輯于星期四例5.3.5某最小相位系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性的漸近線如圖所示，確定該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。2、舉例28現(xiàn)在是83頁\一共有135頁\編輯于星期四例5.3.5某最小相位系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性的漸近線如圖所示，確定該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。現(xiàn)在是84頁\一共有135頁\編輯于星期四作業(yè)：p.238:5-11；5-12現(xiàn)在是85頁\一共有135頁\編輯于星期四5.3.4最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)

“最小相位”這一概念來源于網絡理論。它是指具有相同幅頻特性的一些環(huán)節(jié),其中相角位移有最小可能值的,稱為最小相位環(huán)節(jié);反之,其中相角位移大于最小可能值的環(huán)節(jié)稱為非最小相位環(huán)節(jié)。1.基本概念（1）如果系統(tǒng)傳遞函數(shù)在右半S平面上沒有極點和零點，則稱該系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)（由除延遲環(huán)節(jié)之外的典型環(huán)節(jié)組成），如（2）系統(tǒng)傳遞函數(shù)在右半s平面上有一個(或多個)零點或極點，稱為非最小相位系統(tǒng)；

現(xiàn)在是86頁\一共有135頁\編輯于星期四

顯然G1（s）屬于最小相位系統(tǒng)。這兩個系統(tǒng)幅值相同，具有同一個幅頻特性，但它們卻有著不同的相頻特性。下面以一個簡單例子來說明最小相位系統(tǒng)的慨念?，F(xiàn)在是87頁\一共有135頁\編輯于星期四1()=arctan-arctanT2()=-arctan-arctanTG1(s)具有較小的相位變化范圍(0°,-90°),為最小相位環(huán)節(jié)；而G2(s)為非最小相位環(huán)節(jié)，相位變化范圍較大(0°，-180°)現(xiàn)在是88頁\一共有135頁\編輯于星期四2、性質☆

(1)最小相位系統(tǒng)的對數(shù)相頻特性和對數(shù)幅頻特性是一一對應的。也就是說，對于最小相位系統(tǒng)，一條對數(shù)幅頻特性只有一條對數(shù)相頻特性與之對應，知道其對數(shù)幅頻特性，也就知道其對數(shù)相頻特性。因此，利用Bode圖對最小相位系統(tǒng)進行分析時，往往只分析其對數(shù)幅頻特性L()。(2)最小相位系統(tǒng)的對數(shù)相頻特性和對數(shù)幅頻特性的變化趨勢相同，即若L()的斜率減小（或增大），則()的相位也相應地減?。ɑ蛟龃螅蝗绻谀骋活l率范圍內,對數(shù)幅頻特性L()的斜率保持不變,則在這些范圍內,相位也幾乎保持不變。現(xiàn)在是89頁\一共有135頁\編輯于星期四5.4奈奎斯特穩(wěn)定判據現(xiàn)在是90頁\一共有135頁\編輯于星期四

除勞斯判據外，分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的另一種常用判據為奈奎斯特(Nyquist)判據。Nyquist穩(wěn)定判據是奈奎斯特于1932年提出的，是頻率法的重要內容，簡稱奈氏判據。奈氏判據的主要特點有1.根據系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性，來研究閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性，而不必求閉環(huán)特征根；2.能夠確定系統(tǒng)的穩(wěn)定程度（相對穩(wěn)定性）。3.可用于分析系統(tǒng)的瞬態(tài)性能，利于對系統(tǒng)的分析與設計；4.基于系統(tǒng)的開環(huán)奈氏圖，是一種圖解法。

現(xiàn)在是91頁\一共有135頁\編輯于星期四一、

簡化奈奎斯特穩(wěn)定判據

1.繪制由0變到+

時的開環(huán)幅相頻率特性G(j)

由0變到+

時的開環(huán)幅相頻率特性G(j)順時針包圍(-1,j0)點的圈數(shù)為N，已知系統(tǒng)開環(huán)右極點數(shù)為P

，則系統(tǒng)閉環(huán)右極點個數(shù)為Z

（不包括虛軸上的極點）：

Z=P+2N

當Nyquist曲線G(jω)通過(-l,j0)點時,表明在s平面虛軸上有閉環(huán)極點，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，屬于不穩(wěn)定?，F(xiàn)在是92頁\一共有135頁\編輯于星期四2.采用穿越的概念簡化復雜曲線包圍次數(shù)的計算由0變到+

時開環(huán)頻率特性曲線要形成對(-1,j0)點的一次包圍，勢必穿越（-∞，-1）區(qū)間一次。開環(huán)頻率特性曲線逆時針穿越（-∞，-1）區(qū)間時，隨ω增加，頻率特性的相角值增大，稱為一次正穿越N’+。開環(huán)頻率特性曲線順時針穿越（-∞，-1）區(qū)間時，隨ω增加，頻率特性的相角值減小，則稱為一次負穿越N’-。由0變到+

時的開環(huán)幅相頻率特性G(j)對(-1,j0)點的總包圍次數(shù)為N=N’--

N’+

Z=P+2(N’--

N’+

)利用正、負穿越情況的奈奎斯特穩(wěn)定判據敘述為：現(xiàn)在是93頁\一共有135頁\編輯于星期四3.半次穿越

奈氏曲線始于或止于(-1,j0)點以左負實軸，稱為一個半次穿越。由于曲線始于(-3，j0)點，故順時針包圍(-1，j0)的次數(shù)為1/2，N’-=1/2。開環(huán)右極點數(shù)為P=0，故

Z=P+2(

N’--0)

=P+2N’-=1閉環(huán)系統(tǒng)有一個右極點，閉環(huán)不穩(wěn)定。例某系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性?，F(xiàn)在是94頁\一共有135頁\編輯于星期四例5.4.2經實驗測得某最小相位系統(tǒng)的開環(huán)奈氏圖如圖所示，判斷閉環(huán)穩(wěn)定性。由圖可以看出,當由0變到+時,G(j)矢量在(-1,j0)點以左負實軸上正負穿越次數(shù)各一次。

Z=P+2（N’-

-N’+

）

=0。

故由奈氏穩(wěn)定判據知該閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

由于為最小相位系統(tǒng)，開環(huán)右極點數(shù)P=0，且為0型系統(tǒng)，故直接利用開環(huán)頻率特性G(j)的軌跡判斷穩(wěn)定性?，F(xiàn)在是95頁\一共有135頁\編輯于星期四4.型別v≥1系統(tǒng)開環(huán)頻率特性G(j)曲線的處理原有曲線的起點對應于=0+。在=0附近,幅相特性以為半徑,逆時針補畫=v·90°的圓弧，添加圓弧后相當于得到新的開環(huán)頻率特性G(j)曲線。系統(tǒng)在虛軸上的0值開環(huán)極點作左極點處理。

Z=P+2（N’--

N’+

）開環(huán)系統(tǒng)型別過高會影響穩(wěn)定性.而串聯(lián)比例微分調節(jié)器可以改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性，起到校正的作用，但要選擇合適的參數(shù)。現(xiàn)在是96頁\一共有135頁\編輯于星期四例5.4.3判斷圖示系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性b圖所示系統(tǒng)為一Ⅰ型二階系統(tǒng)，該系統(tǒng)為非最小相位系統(tǒng)，P=1，在=0附近,曲線以為半徑,逆時針補畫=1·90°=90°的圓弧與負實軸相交。由0變到+

時，順時針包圍（-1，j0）點半次，有N’-=1/2。則Z=P+2N’-=2，閉環(huán)系統(tǒng)有兩個右極點，系統(tǒng)不穩(wěn)定。Z=P+2（N’--

N’+

）現(xiàn)在是97頁\一共有135頁\編輯于星期四例5.4.4系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為畫出開環(huán)系統(tǒng)的奈氏圖，并用奈氏穩(wěn)定判據判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性開環(huán)系統(tǒng)存在一階微分環(huán)節(jié)，奈氏圖穿越負實軸。開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，但閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，有2個極點在[s]平面的右半平面。現(xiàn)在是98頁\一共有135頁\編輯于星期四二、

奈奎斯特穩(wěn)定判據在伯德圖上的應用

由于系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線的繪制較奈奎斯特曲線更為簡單、方便，自然使用伯德圖來進行系統(tǒng)穩(wěn)定性判別就更適用。該判據不但可以回答系統(tǒng)穩(wěn)定與否的問題，還可以研究系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量（相對穩(wěn)定性），以及研究系統(tǒng)結構和參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響?，F(xiàn)在是99頁\一共有135頁\編輯于星期四（1）在G(j)平面上,|G(j)|=1的單位圓,對應于對數(shù)幅頻特性的0dB線;

單位圓外部如(-,-1)區(qū)段，對應L()>0dB，單位圓內部對應L()<0dB。

（2）從對數(shù)相頻特性來看,G(j)平面上的負實軸,對應于對數(shù)相頻特性上的()=-180°。（3）(-1,j0)點的向量表達式為1∠-180°，對應于波德圖上穿過0dB線，并同時穿過()=-180°的點。二、

奈奎斯特穩(wěn)定判據在伯德圖上的應用

1、奈氏圖與伯德圖的對應關系現(xiàn)在是100頁\一共有135頁\編輯于星期四2、穿越在波德圖上的含義（1）穿越：在L()>0dB的頻率范圍內，相頻特性曲線穿過-180°；在L()<0dB的頻率范圍內，相頻特性曲線穿過-180°不是穿越。（2）正穿越N+ˊ：產生正的相位移，這時，相頻特性應由下部向上穿越-180°線。（3）負穿越N-ˊ：產生負的相位移,這時,相頻特性應由上部向下穿越-180°線。正、負穿越的定義和前面的定義實際上是一致的。正穿越負穿越-270-90現(xiàn)在是101頁\一共有135頁\編輯于星期四3、對數(shù)幅頻特性曲線的奈氏判據根據上述對應關系，結合使用正、負穿越情況的穩(wěn)定判據，在伯德圖上使用奈奎斯特穩(wěn)定判據時，就是在L()>0dB的頻率范圍內，根據相頻曲線穿越-180o的相位線的次數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性做出判定。可將對數(shù)頻率特性判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的奈氏穩(wěn)定判據表述如下:

設開環(huán)傳遞函數(shù)在右半s平面上的極點數(shù)為P，則L()>0dB的頻率范圍內，當頻率增加時對數(shù)相頻特性曲線對-180o的相位線的正、負穿越次數(shù)為N’+與N’-

，閉環(huán)右極點個數(shù)為

Z=P+2（N’--N’+）

現(xiàn)在是102頁\一共有135頁\編輯于星期四[例6]設系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線如圖所示，試判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解：由系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)可知，開環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即P=0，在L()>0dB的頻率范圍內，相頻特性曲線()不穿越-180o的相位線，即正、負穿越次數(shù)差為0，由Z=P+2N′可知，Z=0，故閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

現(xiàn)在是103頁\一共有135頁\編輯于星期四

對于型別v≥1（v為系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)在原點處的極點數(shù)）的系統(tǒng)，應將Bode圖對數(shù)相頻特性在ω→0處附加一段自上而下的、變化范圍為-v·90°的曲線與相頻特性曲線在ω→0處相連。相頻特性經過處理后，再使用上述穩(wěn)定性判據?，F(xiàn)在是104頁\一共有135頁\編輯于星期四作業(yè)：p.2385-14(不交）；p.2395-16；p.2405-17現(xiàn)在是105頁\一共有135頁\編輯于星期四5.5控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性

（計算系統(tǒng)穩(wěn)定裕度：

相角裕量和幅值裕量hg）

現(xiàn)在是106頁\一共有135頁\編輯于星期四一、相位裕量γ,

幅值穿越頻率ωc相角裕量γ:使系統(tǒng)達到臨界穩(wěn)定需要增加的相角:

γ=(c)-

(-180o)=(c)+180o穩(wěn)定系統(tǒng)：γ>0,γ越大,系統(tǒng)相對穩(wěn)定性越高。

相位裕度是設計控制系統(tǒng)時的一個重要依據，描述系統(tǒng)的阻尼程度。幅值穿越頻率(或截止頻率)ωc:G(j)曲線與單位圓(0dB線)交接處的頻率；現(xiàn)在是107頁\一共有135頁\編輯于星期四二、

幅值裕量hg，

相位穿越頻率ωg幅值裕量hg：Nyquist曲線與負實軸交點處幅值的倒數(shù)穩(wěn)定系統(tǒng)：hg>1,Lh(dB)>0,hg越大，相對穩(wěn)定性越高。相位穿越頻率(相位交接頻率)ωg：G(j)曲線曲線與負實軸(-180o線)交接處的頻率?，F(xiàn)在是108頁\一共有135頁\編輯于星期四三、系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量僅用相位裕量或幅值裕量都不足以充分說明系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對于非最小相位系統(tǒng)，只有當γ、Lh均為正時，系統(tǒng)才是穩(wěn)定的。對最小相位系統(tǒng)，有時僅需兩者之一即可，一般取γ。為了確保系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，使系統(tǒng)具有滿意的性能，γ、Lh都應該有合適的取值。從控制工程實踐得出，系統(tǒng)應具有30~60的相位裕量，幅值裕量大于6dB（即hg>2）。要求相位裕量應在30~60之間,意味著開環(huán)對數(shù)幅頻特性在穿越頻率c上的斜率必須小于-40dB/十倍頻,通常取-20dB/dec，且具有一定的寬度。適當?shù)南辔辉Ａ亢头翟Ａ?可以防止系統(tǒng)中元件的參數(shù)和特性在工作過程中的變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性產生不良的影響，并可以提高系統(tǒng)抗高頻干擾的能力?，F(xiàn)在是109頁\一共有135頁\編輯于星期四例：系統(tǒng)開環(huán)傳函為分別畫出K=5、20系統(tǒng)的Bode圖，并求幅值裕度hg，相位裕度。K=5：=12o，L(h)=6dBK=20：

=-12o，L(h)=-6dB解：(1)作出bode圖；（2）由圖讀相應的數(shù)據(3)計算法：現(xiàn)在是110頁\一共有135頁\編輯于星期四例5.5.2典型二階系統(tǒng)如圖所示：試確定其相角裕度。R(s)C(s)_截止頻率c相角裕度截止頻率c是n的增函數(shù)和的減函數(shù)相角裕度只與阻尼比有關，且為的增函數(shù)現(xiàn)在是111頁\一共有135頁\編輯于星期四現(xiàn)在是112頁\一共有135頁\編輯于星期四現(xiàn)在是113頁\一共有135頁\編輯于星期四現(xiàn)在是114頁\一共有135頁\編輯于星期四作業(yè)：p.2405-21,5-22,5-23現(xiàn)在是115頁\一共有135頁\編輯于星期四5.6利用開環(huán)頻率特性

分析系統(tǒng)的性能現(xiàn)在是116頁\一共有135頁\編輯于星期四

幅值穿越頻率c與相位穿越頻率g，相位裕量與幅值裕量hg都是控制系統(tǒng)的開環(huán)頻域指標，頻域指標是表征系統(tǒng)動態(tài)性能的間接指標。由于時域指標（穩(wěn)態(tài)誤差ess、最大超調量σ%、調節(jié)時間ts等）反映系統(tǒng)性能更為直接、正確。因此需要探討開環(huán)頻域指標與時域指標之間的關系，以便于由開環(huán)頻域指標分析閉環(huán)系統(tǒng)的性能。

對于最小相位系統(tǒng)來說，對數(shù)幅頻特性與對數(shù)相頻特性存在著一一對應的關系，反映系統(tǒng)的結構與參數(shù)，能夠據此推出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。因此，根據系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性L()，就能了解系統(tǒng)的靜態(tài)和動態(tài)性能。

本節(jié)介紹開環(huán)對數(shù)幅頻特性L()的形狀與系統(tǒng)性能的關系，并研究頻域指標與時域指標的關系，以及根據頻域指標估算系統(tǒng)的時域響應性能的方法。現(xiàn)在是117頁\一共有135頁\編輯于星期四一、開環(huán)對數(shù)幅頻特性L()中頻段

與系統(tǒng)動態(tài)性能的關系

由開環(huán)頻率特性來研究系統(tǒng)的動態(tài)性能,一般是用對數(shù)幅頻特性的幅值穿越頻率c和相位裕量這兩個特征量，這兩個特征量都與系統(tǒng)中頻段的形狀有關。開環(huán)對數(shù)幅頻特性L()的中頻段是指L()曲線在幅值穿越頻率c附近的區(qū)段，在波德圖一般是L()從大約+30dB過渡到約-15dB的范圍內。下面以一例題來說明系統(tǒng)開環(huán)波德圖中頻段形狀與系統(tǒng)穩(wěn)定性之間的關系?，F(xiàn)在是11