【DOC】-考研數(shù)學(xué)之線性代數(shù)講義(考點(diǎn)知識(shí)點(diǎn) 概念定理總結(jié))

考研數(shù)學(xué)之線性代數(shù)講義(考點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)+概念定理總結(jié))

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線性代數(shù)講義

目錄

第一講基本概念

線性方程組矩陣與向量初等變換和階梯形矩陣線性方程組的矩陣消元法第二講行列式

完全展開式化零降階法其它性質(zhì)克萊姆法則

第三講矩陣

乘法乘積矩陣的列向量和行向量矩陣分解矩陣方程逆矩陣伴隨矩陣第四講向量組

線性表示向量組的線性相關(guān)性向量組的極大無關(guān)組和秩矩陣的秩

第五講方程組

解的性質(zhì)解的情況的判別基礎(chǔ)解系和通解

第六講特征向量與特征值相似與對(duì)角化

特征向量與特征值—概念,計(jì)算與應(yīng)用相似對(duì)角化—判斷與實(shí)現(xiàn)

附錄一內(nèi)積正交矩陣施密特正交化實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化

第七講二次型

二次型及其矩陣可逆線性變量替換實(shí)對(duì)稱矩陣的合同標(biāo)準(zhǔn)化和規(guī)范化慣性指數(shù)正定二次型與正定矩陣

附錄二向量空間及其子空間

附錄三兩個(gè)線性方程組的解集的關(guān)系

附錄四06,07年考題

1

第一講基本概念

1．線性方程組的基本概念

線性方程組的一般形式為:11x1+a12x2+?+a1nxn=b1,

21x1+a22x2+?+a2nxn=b2,

????

m1x1+am2x2+?+amnxn=bm,

其中未知數(shù)的個(gè)數(shù)n和方程式的個(gè)數(shù)m不必相等.

線性方程組的解是一個(gè)n維向量(k1,k2,?,kn)(稱為解向量),它滿足:當(dāng)每個(gè)方程中的

未知數(shù)xi都用ki替代時(shí)都成為等式.

線性方程組的解的情況有三種:無解,唯一解,無窮多解.

對(duì)線性方程組討論的主要問題兩個(gè):(1)判斷解的情況.(2)求解,特別是在有無窮多接時(shí)求通解.

b1=b2=?=bm=0的線性方程組稱為齊次線性方程組.

n維零向量總是齊次線性方程組的解,稱為零解.因此齊次線性方程組解的情況只有兩種:唯一解(即只要零解)和無窮多解(即有非零解).

把一個(gè)非齊次線性方程組的每個(gè)方程的常數(shù)項(xiàng)都換成0，所得到的齊次線性方程組稱為原方程組的導(dǎo)出齊次線性方程組，簡(jiǎn)稱導(dǎo)出組.

2.矩陣和向量

(1)基本概念

矩陣和向量都是描寫事物形態(tài)的數(shù)量形式的發(fā)展.

由mn個(gè)數(shù)排列成的一個(gè)m行n列的表格,兩邊界以圓括號(hào)或方括號(hào),就成為一個(gè)mn型矩陣.例如

3是一個(gè)45矩陣.對(duì)于上面的線性方程組,稱矩陣

11a12?11a12?a1A21a22?a和(A|21a22?ab2

???????am1am2?aam1am2?abm

為其系數(shù)矩陣和增廣矩陣.增廣矩陣體現(xiàn)了方程組的全部信息,而齊次方程組只用系數(shù)矩陣就體現(xiàn)其全部信息.

一個(gè)矩陣中的數(shù)稱為它的元素,位于第i行第j列的數(shù)稱為(i,j)位元素.

元素全為0的矩陣稱為零矩陣,通常就記作0.

兩個(gè)矩陣A和B相等(記作A=B),是指它的行數(shù)相等,列數(shù)也相等(即它們的類型相同),并且對(duì)應(yīng)的元素都相等.

由n個(gè)數(shù)構(gòu)成的有序數(shù)組稱為一個(gè)n維向量,稱這些數(shù)為它的分量.

書寫中可用矩陣的形式來表示向量,例如分量依次是a1,a2,,an的向量可表示成

2

1(a1,a2,,an)或2┆

請(qǐng)注意,作為向量它們并沒有區(qū)別,但是作為矩陣,它們不一樣(左邊是1n矩陣,右邊是n1矩陣).習(xí)慣上把它們分別稱為行向量和列向量.(請(qǐng)注意與下面規(guī)定的矩陣的行向量和列向量概念的區(qū)別.)

一個(gè)mn的矩陣的每一行是一個(gè)n維向量,稱為它的行向量;每一列是一個(gè)m維向量,稱為它的列向量.常常用矩陣的列向量組來寫出矩陣,例如當(dāng)矩陣A的列向量組為1,2,,n時(shí)(它們都是表示為列的形式!)可記A=(1,2,,n).

矩陣的許多概念也可對(duì)向量來規(guī)定,如元素全為0的向量稱為零向量,通常也記作0.兩個(gè)向量和相等(記作=),是指它的維數(shù)相等,并且對(duì)應(yīng)的分量都相等.

(2)線性運(yùn)算和轉(zhuǎn)置

線性運(yùn)算是矩陣和向量所共有的,下面以矩陣為例來說明.

加(減)法:兩個(gè)mn的矩陣A和B可以相加(減),得到的和(差)仍是mn矩陣,記作A+B(A-B),法則為對(duì)應(yīng)元素相加(減).

數(shù)乘:一個(gè)mn的矩陣A與一個(gè)數(shù)c可以相乘,乘積仍為mn的矩陣,記作cA,法則為A的每個(gè)元素乘c.

這兩種運(yùn)算統(tǒng)稱為線性運(yùn)算,它們滿足以下規(guī)律:

①加法交換律:A+B=B+A.

②加法結(jié)合律:(A+B)+C=A+(B+C).

③加乘分配律:c(A+B)=cA+cB.(c+d)A=cA+dA.

④數(shù)乘結(jié)合律:c(d)A=(cd)A.

⑤cA=0c=0或A=0.

轉(zhuǎn)置:把一個(gè)mn的矩陣A行和列互換,得到的nm的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置,記作AT(或A).有以下規(guī)律:

①(AT)T=A.

②(A+B)=A+B.

③(cA)T=cAT.

轉(zhuǎn)置是矩陣所特有的運(yùn)算,如把轉(zhuǎn)置的符號(hào)用在向量上,就意味著把這個(gè)向量看作矩陣了.當(dāng)是列向量時(shí),T表示行向量,當(dāng)是行向量時(shí),T表示列向量.

向量組的線性組合:設(shè)1,2,?,s是一組n維向量,c1,c2,?,cs是一組數(shù),則稱

c11+c22+?+css

為1,2,?,s的(以c1,c2,?,cs為系數(shù)的)線性組合.

n維向量組的線性組合也是n維向量.

(3)n階矩陣與幾個(gè)特殊矩陣

行數(shù)和列數(shù)相等的矩陣稱為方陣,行列數(shù)都為n的矩陣也常常叫做n階矩陣.

把n階矩陣的從左上到右下的對(duì)角線稱為它對(duì)角線.(其上的元素行號(hào)與列號(hào)相等.)TTT

3

下面列出幾類常用的n階矩陣,它們都是考試大綱中要求掌握的.

對(duì)角矩陣:對(duì)角線外的的元素都為0的n階矩陣.

單位矩陣:對(duì)角線上的的元素都為1的對(duì)角矩陣,記作E(或I).

數(shù)量矩陣:對(duì)角線上的的元素都等于一個(gè)常數(shù)c的對(duì)角矩陣,它就是cE.

上三角矩陣:對(duì)角線下的的元素都為0的n階矩陣.

下三角矩陣:對(duì)角線上的的元素都為0的n階矩陣.

對(duì)稱矩陣:滿足AT=A矩陣.也就是對(duì)任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素總是相等的n階矩陣.

T(反對(duì)稱矩陣:滿足A=-A矩陣.也就是對(duì)任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素之和

總等于0的n階矩陣.反對(duì)稱矩陣對(duì)角線上的元素一定都是0.)

3.矩陣的初等變換和階梯形矩陣

矩陣有以下三種初等行變換:

①交換兩行的位置.

②用一個(gè)非0的常數(shù)乘某一行的各元素.

③把某一行的倍數(shù)加到另一行上.(稱這類變換為倍加變換)

類似地,矩陣還有三種初等列變換,大家可以模仿著寫出它們,這里省略了.初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱初等變換.

階梯形矩陣:一個(gè)矩陣稱為階梯形矩陣,如果滿足:

①如果它有零行,則都出現(xiàn)在下面.

②如果它有非零行,則每個(gè)非零行的第一個(gè)非0元素所在的列號(hào)自上而下嚴(yán)格單調(diào)遞增.

把階梯形矩陣的每個(gè)非零行的第一個(gè)非0元素所在的位置稱為臺(tái)角.

簡(jiǎn)單階梯形矩陣:是特殊的階梯形矩陣,特點(diǎn)為:

③臺(tái)角位置的元素為1.

④并且其正上方的元素都為0.

每個(gè)矩陣都可以用初等行變換化為階梯形矩陣和簡(jiǎn)單階梯形矩陣.這種運(yùn)算是在線性代數(shù)的各類計(jì)算題中頻繁運(yùn)用的基本運(yùn)算,必須十分熟練.

請(qǐng)注意:1.一個(gè)矩陣用初等行變換化得的階梯形矩陣并不是唯一的,但是其非零行數(shù)和臺(tái)角位置是確定的.

2.一個(gè)矩陣用初等行變換化得的簡(jiǎn)單階梯形矩陣是唯一的.

4.線性方程組的矩陣消元法

線性方程組的基本方法即中學(xué)課程中的消元法:用同解變換把方程組化為階梯形方程組(即增廣矩陣為階梯形矩陣的方程組).

線性方程組的同解變換有三種:

①交換兩個(gè)方程的上下位置.

②用一個(gè)非0的常數(shù)乘某個(gè)方程.

③把某個(gè)方程的倍數(shù)加到另一個(gè)方程上.

以上變換反映在增廣矩陣上就是三種初等行變換.

線性方程組求解的基本方法是消元法,用增廣矩陣或系數(shù)矩陣來進(jìn)行,稱為矩陣消元法.4

對(duì)非齊次線性方程組步驟如下:

(1)寫出方程組的增廣矩陣(A|),用初等行變換把它化為階梯形矩陣(B|).

(2)用(B|)判別解的情況:

如果最下面的非零行為(0,0,,0|d),則無解,否則有解.

有解時(shí)看非零行數(shù)r(r不會(huì)大于未知數(shù)個(gè)數(shù)n),r=n時(shí)唯一解；r<n時(shí)無窮多解.(推論:當(dāng)方程的個(gè)數(shù)m<n時(shí),不可能唯一解.)

(3)有唯一解時(shí)求解的初等變換法:

去掉(B|)的零行,得到一個(gè)n×(n+1)矩陣(B0|0),并用初等行變換把它化為簡(jiǎn)單階梯形

矩陣(E|),則就是解.

對(duì)齊次線性方程組:

(1)寫出方程組的系數(shù)矩陣A,用初等行變換把它化為階梯形矩陣B.

(2)用B判別解的情況:非零行數(shù)r=n時(shí)只有零解；r<n時(shí)有非零解(求解方法在第五章講).(推論:當(dāng)方程的個(gè)數(shù)m<n時(shí),有非零解.)

討論題

1.設(shè)A是n階矩陣,則

(A)A是上三角矩陣A是階梯形矩陣.

(B)A是上三角矩陣A是階梯形矩陣.

(C)A是上三角矩陣A是階梯形矩陣.

(D)A是上三角矩陣與A是階梯形矩陣沒有直接的因果關(guān)系.

2.下列命題中哪幾個(gè)成立?

(1)如果A是階梯形矩陣,則A去掉任何一行還是是階梯形矩陣.

(2)如果A是階梯形矩陣,則A去掉任何一列還是是階梯形矩陣.

(3)如果(A|B)是階梯形矩陣,則A也是階梯形矩陣.

(4)如果(A|B)是階梯形矩陣,則B也是階梯形矩陣.

(5)如果是階梯形矩陣,則A和B都是階梯形矩陣.

B

5

第二講行列式

一.概念復(fù)習(xí)1.形式和意義

形式:用n2個(gè)數(shù)排列成的一個(gè)n行n列的表格,兩邊界以豎線,就成為一個(gè)n階行列式:11a12?a1n

a21a22?a2n

???an1an2?ann

如果行列式的列向量組為1,2,?,n,則此行列式可表示為|1,2,?,n|.意義:是一個(gè)算式,把這n個(gè)元素按照一定的法則進(jìn)行運(yùn)算,得到的數(shù)值稱為這個(gè)行列式的值.

請(qǐng)注意行列式和矩陣在形式上和意義上的區(qū)別.

當(dāng)兩個(gè)行列式的值相等時(shí),就可以在它們之間寫等號(hào)!(不必形式一樣,甚至階數(shù)可不同.)

每個(gè)n階矩陣A對(duì)應(yīng)一個(gè)n階行列式,記作|A|.

行列式這一講的的核心問題是值的計(jì)算,以及判斷一個(gè)行列式的值是否為0.

2.定義(完全展開式)

2階和3階行列式的計(jì)算公式:

11aa21a=a11a22-a12a21.a11a12a13a21a22a=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a13a22a31-a11a23a32-a12a21a33.

a31a32a33

2

一般地,一個(gè)n階行列式11a12?a1n

a21a22?a2n

???an1an2?ann

的值是許多項(xiàng)的代數(shù)和,每一項(xiàng)都是取自不同行,不同列的n個(gè)元素的乘積,其一般形式為:

a1j1a2j2anjn,

這里把相乘的n個(gè)元素按照行標(biāo)的大小順序排列,它們的列標(biāo)j1j2?jn構(gòu)成1,2,?,n的一個(gè)全排列(稱為一個(gè)n元排列),共有n!個(gè)n元排列,每個(gè)n元排列對(duì)應(yīng)一項(xiàng),因此共有n!個(gè)項(xiàng).

所謂代數(shù)和是在求總和時(shí)每項(xiàng)先要乘+1或-1.規(guī)定(j1j2?jn)為全排列j1j2?jn的逆序

(j

數(shù)(意義見下面),則項(xiàng)a1ja2janj所乘的是(1)

1

2

n

1j2jn)

.

全排列的逆序數(shù)即小數(shù)排列在大數(shù)右面的現(xiàn)象出現(xiàn)的個(gè)數(shù).

逆序數(shù)可如下計(jì)算:標(biāo)出每個(gè)數(shù)右面比它小的數(shù)的個(gè)數(shù),它們的和就是逆序數(shù).例如求436512的逆序數(shù):

323200

436512,(436512)=3+2+3+2+0+0=10.

6

至此我們可以寫出n階行列式的值:

11a12?a1n

a21a22?a=

???an1an2?ann這里

用完全展開式求行列式的值一般來說工作量很大.只在有大量元素為0,使得只有少數(shù)項(xiàng)不為0時(shí),才可能用它作行列式的計(jì)算.例如對(duì)角行列式,上(下)三角行列式的值就等于主對(duì)角線上的元素的乘積,因?yàn)槠渌?xiàng)都為0.

2.化零降階法

把n階行列式的第i行和第j列劃去后所得到的n-1階行列式稱為(i,j)位元素aij的余子式,記作Mij.稱Aij=(-1)i+jMij為元素aij的代數(shù)余子式.

定理(對(duì)某一行或列的展開)行列式的值等于該行(列)的各元素與其代數(shù)余子式乘積之和.

命題第三類初等變換(倍加變換)不改變行列式的值.

化零降階法用命題把行列式的某一行或列化到只有一個(gè)元素不為0,再用定理.于是化為計(jì)算一個(gè)低1階的行列式.

化零降階法是實(shí)際計(jì)算行列式的主要方法,因此應(yīng)該熟練掌握.

3.其它性質(zhì)

行列式還有以下性質(zhì):

①把行列式轉(zhuǎn)置值不變,即|AT|=|A|.

②某一行(列)的公因子可提出.

于是,|cA|=cn|A|.

③對(duì)一行或一列可分解,即如果某個(gè)行(列)向量則原行列式等于兩個(gè)行列式之和,這兩個(gè)行列式分別是把原行列式的該行(列)向量換為或所得到的行列式.例如

|,1+2|=|,1|+|,2|.

④把兩個(gè)行(列)向量交換,行列式的值變號(hào).

⑤如果一個(gè)行(列)向量是另一個(gè)行(列)向量的倍數(shù),則行列式的值為0.

⑥某一行(列)的各元素與另一行(列)的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和=0.

⑦如果A與B都是方陣(不必同階),則

AAA||B|.

OBB

范德蒙行列式：形如

111?1a2a3?an

a12a22a32?an2

????

1n-ia2n-ia3n-i?ann-ij1j2jn(1)(j1j2jn)a1j1a2j2anjn.j1j2jn表示對(duì)所有n元排列求和.稱此式為n階行列式的完全展開式.

7

的行列式(或其轉(zhuǎn)置).它由a1,a2,a3,?,an所決定,它的值等于

(ajai).ij

因此范德蒙行列式不等于0a1,a2,a3,?,an兩兩不同.

對(duì)于元素有規(guī)律的行列式(包括n階行列式),常?？衫眯再|(zhì)簡(jiǎn)化計(jì)算,例如直接化為三角行列式等.

4.克萊姆法則

克萊姆法則應(yīng)用在線性方程組的方程個(gè)數(shù)等于未知數(shù)個(gè)數(shù)n(即系數(shù)矩陣為n階矩陣)的情形.此時(shí),如果它的系數(shù)矩陣的行列式的值不等于0,則方程組有唯一解,這個(gè)解為

(D1/D,D2/D,,Dn/D),

這里D是系數(shù)行列式的值,Di是把系數(shù)行列式的第i個(gè)列向量換成常數(shù)列向量所得到的行列

式的值.

說明與改進(jìn):

按法則給的公式求解計(jì)算量太大，沒有實(shí)用價(jià)值.因此法則的主要意義在理論上,用在對(duì)解的唯一性的判斷,而在這方面法則不夠.法則的改進(jìn):系數(shù)行列式不等于0是唯一解的充分必要條件.

實(shí)際上求解可用初等變換法:對(duì)增廣矩陣(A|)作初等行變換,使得A變?yōu)閱挝痪仃?(A|)(E|),

就是解.

用在齊次方程組上:如果齊次方程組的系數(shù)矩陣A是方陣,則它只有零解的充分必要條件是|A|0.

二.典型例題

1.利用性質(zhì)計(jì)算元素有規(guī)律的行列式

例1①②③22+a22

1111+x例例31231

4例8

例5四)

2.測(cè)試概念與性質(zhì)的題

例63

-31-32x+2

多項(xiàng)式，求f(x)的次數(shù)和最高次項(xiàng)的系數(shù).3x23

例7求–的x4

和x3

的系數(shù).

例8設(shè)4階矩陣A=(,1,2,3),B=(,1,2,3),|A|=2,|B|=3,求|A+B|.例9已知行列式的代數(shù)余子式A11=-9,A12=3,A13=-1,A14=3,求x,y,z.例10求行列式的第四行各元素的余子式的和.(01)

3.幾個(gè)n階行列式

兩類爪形行列式及其值:

例11a1a2a3?an-1an1c20?n

證明2c3(1)i1b1bi1aici1cn.

i1

????000?bn-1c

提示:只用對(duì)第1行展開(M1i都可直接求出).例a0a1a2?an-1a

b1c10?n

n

證明20c2?a0cic1ci1aibici1cn.

i1

i1

????

bn?0c

提示:只用對(duì)第1行展開(M1i都可直接求出).另一個(gè)常見的n階行列式:

9

例13證明

?00

?00

n

????a

i0nibian1bn1ab(當(dāng)ab時(shí)).

?j-1提示:把第j列(行)的(-1)倍加到第1列(行)上(j=2,?,n),再對(duì)第1列(行)展開.

4.關(guān)于克萊姆法則的題

例14

設(shè)有方程組x1+x2+x3=a+b+c,

22

1+bx2+cx3=a+b+c2,

bcx1+acx2+abx3=3abc.

(1)證明此方程組有唯一解的充分必要條件為a,b,c兩兩不等.

(2)在此情況求解.

參考答案

例1①(2+4a)(2-a)4.②x3(x+4).③a3(a+10).

例21875.

例3x1x2x3x4+x2x3x4+x1x3x4+x1x2x4+x1x2x3.

例4(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c).

例51-a+a2-a3+a4-a5.

例69,-6

例71,-10.

例840.

例9x=0,y=3,z=-1.

例10-28.

例14x1=a,x2=b,x3=c..

10

第三講矩陣

一．概念復(fù)習(xí)

1.矩陣乘法的定義和性質(zhì)

定義2.1當(dāng)矩陣A的列數(shù)和B的行數(shù)相等時(shí),和A和B可以相乘,乘積記作AB.AB的行數(shù)和A相等,列數(shù)和B相等.AB的(i,j)位元素等于A的第i個(gè)行向量和B的第j個(gè)列向量(維數(shù)相同)對(duì)應(yīng)分量乘積之和.

設(shè)11a12?1n11b12?b1s11c12?c1sA=a21a22?aB21b22?bC=AB=c21c22?c

?????????am1am2?a,bn1bn2?bm1cm2?c則

cij=ai1b1j+ai2b2j+?+ainbnj.

矩陣的乘法在規(guī)則上與數(shù)的乘法有不同:①矩陣乘法有條件.

②矩陣乘法無交換律.

③矩陣乘法無消去律,即一般地由AB=0推不出A=0或B=0.

由AB=AC和A0推不出B=C.(無左消去律)由BA=CA和A0推不出B=C.(無右消去律)

請(qǐng)注意不要犯一種常見的錯(cuò)誤:把數(shù)的乘法的性質(zhì)簡(jiǎn)單地搬用到矩陣乘法中來.

矩陣乘法適合以下法則:

①加乘分配律A(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+BC.②數(shù)乘性質(zhì)(cA)B=c(AB).③結(jié)合律(AB)C=A(BC).④(AB)T=BTAT.

2.n階矩陣的方冪和多項(xiàng)式

任何兩個(gè)n階矩陣A和B都可以相乘,乘積AB仍是n階矩陣.并且有行列式性質(zhì):|AB|=|A||B|.如果AB=BA,則說A和B可交換.

方冪設(shè)k是正整數(shù),n階矩陣A的k次方冪Ak即k個(gè)A的連乘積.規(guī)定A0=E.顯然A的任何兩個(gè)方冪都是可交換的,并且方冪運(yùn)算符合指數(shù)法則:①AkAh=Ak+h.②(Ak)h=Akh.

但是一般地(AB)和AB不一定相等!n階矩陣的多項(xiàng)式

設(shè)f(x)=amx+am-1x+?+a1x+a0,對(duì)n階矩陣A規(guī)定f(A)=amAm+am-1Am-1+?+a1A+a0E.

稱為A的一個(gè)多項(xiàng)式.請(qǐng)?zhí)貏e注意在常數(shù)項(xiàng)上加單位矩陣E.

乘法公式一般地,由于交換性的障礙,小代數(shù)中的數(shù)的因式分解和乘法公式對(duì)于n階矩

m

m-1k

kk

11

陣的不再成立.但是如果公式中所出現(xiàn)的n階矩陣互相都是乘法交換的,則乘法公式成立.例如

當(dāng)A和B可交換時(shí),有:

222

(AB)=A2AB+B;

A2-B2=(A+B)(A-B)=(A+B)(A-B).二項(xiàng)展開式成立

:(AB)

C

1

A

B

等等.

前面兩式成立還是A和B可交換的充分必要條件.

同一個(gè)n階矩陣的兩個(gè)多項(xiàng)式總是可交換的.一個(gè)n階矩陣的多項(xiàng)式可以因式分解.

3.分塊法則

矩陣乘法的分塊法則是簡(jiǎn)化矩陣乘法的一種方法.對(duì)兩個(gè)可以相乘的矩陣A和B,可以先用縱橫線把它們切割成小矩陣(一切A的縱向切割和B的橫向切割一致!),再用它們來作乘法.

(1)兩種常見的矩陣乘法的分塊法則

11A11B11B11+A12B21A11B12+A12B22A21AB21BA21B11+A22B21A21B12+A22B22要求Aij的列數(shù)Bjk和的行數(shù)相等.準(zhǔn)對(duì)角矩陣的乘法:形如

A10?AA2?????An的矩陣稱為準(zhǔn)對(duì)角矩陣,其中A1,A2,?,Ak都是方陣.

兩個(gè)準(zhǔn)對(duì)角矩陣

10?10?AA2?BB2?0???????A00?Bk如果類型相同即Ai和Bi,則1B10?ABA2B2????0?AkB

(2)乘積矩陣的列向量組和行向量組

設(shè)A是mn矩陣B是ns矩陣.A的列向量組為1,2,?,n,B的列向量組為1,2,?,s,AB的列向量組為1,2,?,s,則根據(jù)矩陣乘法的定義容易看出(也是分塊法則的特殊情形):

①AB的每個(gè)列向量為:i=Ai,i=1,2,?,s.即A(1,2,?,s)=(A1,A2,?,As).

②=(b1,b2,?,bn)T,則A=b11+b22+?+bnn.

12

應(yīng)用這兩個(gè)性質(zhì)可以得到:如果i=(b1i,b2i,?,bni),則

i=AI=b1i1+b2i2+?+bnin.

即:乘積矩陣AB的第i個(gè)列向量i是A的列向量組1,2,?,n的線性組合,組合系數(shù)就

是B的第i個(gè)列向量i的各分量.

類似地,乘積矩陣AB的第i個(gè)行向量是B的行向量組的線性組合,組合系數(shù)就是A的第i個(gè)行向量的各分量.

以上規(guī)律在一般教材都沒有強(qiáng)調(diào),但只要對(duì)矩陣乘法稍加分析就不難得出.它們無論在理論上和計(jì)算中都是很有用的.

(1)當(dāng)兩個(gè)矩陣中,有一個(gè)的數(shù)字很簡(jiǎn)單時(shí),直接利用以上規(guī)律寫出乘積矩陣的各個(gè)列向量或行向量,從而提高了計(jì)算的速度.

(2)利用以上規(guī)律容易得到下面幾個(gè)簡(jiǎn)單推論:

用對(duì)角矩陣從左側(cè)乘一個(gè)矩陣,相當(dāng)于用的對(duì)角線上的各元素依次乘此矩陣的各行向量;用對(duì)角矩陣從右側(cè)乘一個(gè)矩陣,相當(dāng)于用的對(duì)角線上的各元素依次乘此矩陣的各列向量.

數(shù)量矩陣kE乘一個(gè)矩陣相當(dāng)于用k乘此矩陣；單位矩陣乘一個(gè)矩陣仍等于該矩陣.兩個(gè)同階對(duì)角矩陣的相乘只用把對(duì)角線上的對(duì)應(yīng)元素相乘.

求對(duì)角矩陣的方冪只需把對(duì)角線上的每個(gè)元素作同次方冪.

(3)矩陣分解:當(dāng)一個(gè)矩陣C的每個(gè)列向量都是另一個(gè)A的列向量組的線性組合時(shí),可以構(gòu)造一個(gè)矩陣B,使得C=AB.

例如設(shè)A=(,,),C=(+2-,3-+,+2),令B則C=AB.

(4)初等矩陣及其在乘法中的作用

對(duì)單位矩陣E作一次初等(行或列)變換,所得到的矩陣稱為初等矩陣.

有三類初等矩陣:

E(i,j):交換E的i,j兩行(或列)所得到的矩陣.T

E(i(c)):用非0數(shù)c乘E的第i行(或列)所得到的矩陣.也就是把E的對(duì)角線上的第i個(gè)元素改為c.

E(i,j(c))(ij):把E的第j行的c倍加到第i行上(或把第i列的c倍加到第j列上)所得到的矩陣,也就是把E的(i,j)位的元素改為c.

命題對(duì)矩陣作一次初等行(列)變換相當(dāng)于用一個(gè)相應(yīng)的初等矩陣從左(右)乘它.

4.矩陣方程和可逆矩陣(伴隨矩陣)

(1)矩陣方程

矩陣不能規(guī)定除法,乘法的逆運(yùn)算是解下面兩種基本形式的矩陣方程:

(I)AX=B.(II)XA=B.

這里假定A是行列式不為0的n階矩陣,在此條件下,這兩個(gè)方程的解都是存在并且唯一的.(否則解的情況比較復(fù)雜.)

13

當(dāng)B只有一列時(shí),(I)就是一個(gè)線性方程組.由克萊姆法則知它有唯一解.如果B有s列,設(shè)B=(1,2,?,s),則X也應(yīng)該有s列,記X=(X1,X2,?,Xs),則有AXi=i,i=1,2,?,s,這是

s個(gè)線性方程組.由克萊姆法則,它們都有唯一解,從而AX=B有唯一解.

這些方程組系數(shù)矩陣都是A,可同時(shí)求解,即得

(I)的解法:

將A和B并列作矩陣(A|B),對(duì)它作初等行變換,使得A變?yōu)閱挝痪仃?此時(shí)B變?yōu)榻釾.(A|B)(E|X)

(II)的解法:對(duì)兩邊轉(zhuǎn)置化為(I)的形式:AX=B.再用解(I)的方法求出X,轉(zhuǎn)置得X.

TTT(A|B)(E|X)

矩陣方程是歷年考題中常見的題型,但是考試真題往往并不直接寫成(I)或(II)的形式,要用恒等變形簡(jiǎn)化為以上基本形式再求解.TTTT.

(2)可逆矩陣的定義與意義

定義設(shè)A是n階矩陣,如果存在n階矩陣B,使得AB=E,BA=E,則稱A為可逆矩陣.此時(shí)B是唯一的,稱為A的逆矩陣,通常記作A-1.

如果A可逆,則A在乘法中有消去律:

AB=0B=0；AB=ACB=C.(左消去律)；BA=0B=0；BA=CAB=C.(右消去律)

如果A可逆,則A在乘法中可移動(dòng)(化為逆矩陣移到等號(hào)另一邊):

AB=CB=A-1C.BA=CB=CA-1.

由此得到基本矩陣方程的逆矩陣解法:

(I)AX=B的解X=A-1B.(II)XA=B的解X=BA-1.

這種解法想法自然，好記憶,但是計(jì)算量比初等變換法大(多了一次矩陣乘積運(yùn)算).

(3)矩陣可逆性的判別與性質(zhì)

定理n階矩陣A可逆|A|0.

證明“”對(duì)AA-1=E兩邊取行列式,得|A||A-1|=1,從而|A|0.(并且|A-1|=|A|-1.)“”因?yàn)閨A|0,矩陣方程AX=E和XA=E都有唯一解.設(shè)B,C分別是它們的解,即AB=E,CA=E.事實(shí)上B=C(B=EB=CAB=CE=C),于是從定義得到A可逆.

推論如果A和B都是n階矩陣,則AB=EBA=E.

于是只要AB=E(或BA=E)一式成立,則A和B都可逆并且互為逆矩陣.

可逆矩陣有以下性質(zhì):

①如果A可逆,則

A-1也可逆,并且(A-1)-1=A.

AT也可逆,并且(AT)-1=(A-1)T.

當(dāng)c0時(shí),cA也可逆,并且(cA)-1=c-1A-1.

kk-1-1k對(duì)任何正整數(shù)k,A也可逆,并且(A)=(A).

(規(guī)定可逆矩陣A的負(fù)整數(shù)次方冪A-k=(Ak)-1=(A-1)k.)

②如果A和B都可逆,則AB也可逆,并且(AB)-1=B-1A-1.(請(qǐng)自己推廣到多個(gè)可逆矩陣乘積的情形.)

14

初等矩陣都是可逆矩陣,并且

E(i,j)=E(i,j),E(i(c))=E(i(c)),E(i,j(c))=E(i,j(-c)).

(4)逆矩陣的計(jì)算和伴隨矩陣

①計(jì)算逆矩陣的初等變換法

當(dāng)A可逆時(shí),A是矩陣方程AX=E的解,于是可用初等行變換求A:

(A|E)(E|A-1)

這個(gè)方法稱為求逆矩陣的初等變換法.它比下面介紹的伴隨矩陣法簡(jiǎn)單得多.

②伴隨矩陣

若A是n階矩陣,記Aij是|A|的(i,j)位元素的代數(shù)余子式,規(guī)定A的伴隨矩陣為

11A21?An1A*12A22?A=(Aij).

???A1nA2n?A

請(qǐng)注意,規(guī)定n階矩陣A的伴隨矩陣并沒有要求A可逆,但是在A可逆時(shí),A*和A-1有密切關(guān)系.

基本公式:AA*=A*A=|A|E.

于是對(duì)于可逆矩陣A,有T-1-1-1-1-1-1

A-1=A*/|A|,即A*=|A|A-1.

因此可通過求A*來計(jì)算A-1.這就是求逆矩陣的伴隨矩陣法.

和初等變換法比較,伴隨矩陣法的計(jì)算量要大得多,除非n=2,一般不用它來求逆矩陣.對(duì)于2階矩陣

*因此當(dāng)ad-bc0時(shí),

-1伴隨矩陣的其它性質(zhì):

①如果A是可逆矩陣，則A*也可逆，并且(A*)-1=A/|A|=(A-1)*.

②|A*|=|A|.

③(AT)*=(A*)T.

④(cA)*=cn-1A*.

⑤(AB)*=B*A*；(Ak)*=(A*)k.

⑥當(dāng)n>2時(shí),(A*)*=|A|n-2A；n=2時(shí),(A*)*=A.

二典型例題

1.計(jì)算題

例1=(1,-2,3)T,=(1,-1/2,1/3)T,A=T,求A6.

討論:(1)一般地,如果n階矩陣A=,則A=()A=(trA)A.

(2)乘法結(jié)合律的應(yīng)用:遇到形如T的地方可把它當(dāng)作數(shù)處理.

①T，求T.（2003一）

15TkTk-1k-1n-1

②設(shè)=(1,0,-1),A=,求|aE-A|.

③n維向量=(a,0,,0,a),a<0,A=E-,A=E+a,求a.(03三,四)④n維向量=(1/2,0,,0,1/2)T,A=E-T,B=E+2T,求AB.(95四)

T2T

⑤A=E-,其中,都是n維非零列向量,已知A=3E-2A,求.

例2(1999三設(shè)A，求An-2An-1.(n>1)

T

T

-1

-1

T

TTn

例3設(shè)A，(1)證明當(dāng)n>1時(shí)A=A+A-E.(2)求A.

n

n-2

2

n

例4設(shè)A為3階矩陣,1,2,3是線性無關(guān)的3維列向量組,滿足

A1=1+2+3,A2=22+3,A3=22+33.

求作矩陣B,使得A(1,2,3)=(1,2,3)B.(2005年數(shù)學(xué)四)

例5設(shè)3階矩陣A=(1,2,3),|A|=1,B=(1+2+3,1+22+33,1+42+93),求|B|.(05)

例63維向量1,2,3,1,2,3滿足

1+3+21-2=0,31-2+1-3=0,2+3-2+3=0,

已知1,2,3|=a,求|1,2,3|.

例7設(shè)A是3階矩陣,是3維列向量,使得P=(,A,A2)可逆,并且A3=3A-2A2.又3階矩陣B滿足A=PBP-1.

(1)求B.(2)求|A+E|.(01一)

例83階矩陣A,B滿足ABA*=2BA*+E,其中A求|B|.(04一)

例設(shè)3階矩陣AA-1XA=XA+2A,求X.

例設(shè)3階矩陣AA*X=A-1+2X,求X.例114階矩陣A,B滿足ABA=BA+3E,已知A*求B.(00一)-1

-1

16

例12已知ABXA+2B=AB+2X,求X.

例13設(shè)1=(5,1,-5)T,2=(1,-3,2)T,3=(1,-2,1)T,矩陣A滿足

A1=(4,3),A2=(7,-8),A3=(5,-5),

求A.

2.概念和證明題

例14設(shè)A是n階非零實(shí)矩陣,滿足A*=AT.證明:

(1)|A|>0.

(2)如果n>2,則|A|=1.

例15設(shè)矩陣A=(aij)33滿足A*=AT,a11,a12,a13為3個(gè)相等的正數(shù),則它們?yōu)?/p>

(A)3/3.(B)3.(C)1/3.(D)3.(2005年數(shù)學(xué)三)

例16設(shè)A和B都是n階矩陣,CA則C*=

A|A*B|B*0|B|B|A|A*A|B*|B|A*0|B|A|A|BTTT11

例17設(shè)A是3階矩陣,交換A的1,2列得B,再把B的第2列加到第3列上,得C.求Q,使得C=AQ.

例18設(shè)A是3階可逆矩陣,交換A的1,2行得B,則

(A)交換A*的1,2行得到B*.

(B)交換A*的1,2列得到B*.

(C)交換A*的1,2行得到-B*.

(D)交換A*的1,2列得到-B*.(2005年)

例19設(shè)A是n階可逆矩陣,交換A的i,j行得到B.

(1)證明B可逆.

(2)求AB-1.

例20設(shè)n階矩陣A滿足A+3A-2E=0.

(1)證明A可逆,并且求A-1.(2)證明對(duì)任何整數(shù)c,A-cE可逆.

討論:如果f(A)=0,則

(1)當(dāng)f(x)的常數(shù)項(xiàng)不等于0時(shí),A可逆.

(2)f(c)0時(shí),A-cE可逆.

(3)上述兩條的逆命題不成立.

例21設(shè)是n維非零列向量,記A=E-T.證明2

17

(1)A2=AT=1.

(2)T=1A不可逆.(96一)

討論:(2)的逆命題也成立.

例22設(shè)A,B都是n階矩陣,證明

E-AB可逆E-BA可逆.

例23設(shè)3階矩陣A,B滿足AB=A+B.

(1)證明A-E可逆.

(2)設(shè)B求A.

例24設(shè)A,B是3階矩陣,A可逆,它們滿足2A-1B=B-4E.

(1)證明A-2E可逆.

(2)設(shè)B求A.

例25設(shè)n階矩陣A,B滿足AB=aA+bB.其中ab0,證明

(1)A-bE和B-aE都可逆.

(2)A可逆B可逆.

(3)AB=BA.

例26設(shè)A,B都是n階對(duì)稱矩陣,E+AB可逆,證明(E+AB)-1A也是對(duì)稱矩陣.

例27設(shè)A,B都是n階矩陣使得A+B可逆,證明

(1)如果AB=BA,則B(A+B)-1A=A(A+B)-1B.

(2)如果A.B都可逆,則B(A+B)-1A=A(A+B)-1B.

(3)等式B(A+B)-1A=A(A+B)-1B總成立.

例28設(shè)A,B,C都是n階矩陣,滿足B=E+AB,C=A+CA,則B-C為

E.(B)-E.(C)A.(D)-A.(2005年數(shù)學(xué)四)

參考答案

1例135A=35–①3.②a2(a-2n).③-1.④E.⑤4.

例2O.

例3(1)提示:An=An-2+A2-EAn-2(A2-E)=A2-EA(A2-E)=A2-E.

(2)n=2k時(shí),100

An(A)

18

n=2k+1時(shí),1An例41B例52.例6–4a.

例70BE+A|=-4

例81/9.

例9X例10例11B例12例132-1.

例15(A).

例16(D).

例17Q例18(D).

例19E(i,j).

例22提示:用克萊姆法則.例如證明,即在E-AB可逆時(shí)證明齊次方程組(E-BA)X=0只

有零解.

例23A例24020

A例25提示:計(jì)算(A-bE)(B-aE).

例28(A).

19

第四講向量組的線性關(guān)系與秩

一.概念復(fù)習(xí)

1.線性表示關(guān)系

設(shè)1,2,?,s是一個(gè)n維向量組.

如果n維向量等于1,2,?,s的一個(gè)線性組合，就說可以用1,2,?,s線性表示.如果n維向量組1,2,?,t中的每一個(gè)都可以可以用1,2,?,s線性表示,就說向量

1,2,?,t可以用1,2,?,s線性表示.

判別“是否可以用1,2,?,s線性表示?表示方式是否唯一？”就是問：向量方程

x11+x22+?+xss=

是否有解？解是否唯一？用分量寫出這個(gè)向量方程,就是以1,2,?,s為增廣矩陣的線性方程組.反之,判別“以A為增廣矩陣的線性方程組是否有解？解是否唯一？”的問題又可轉(zhuǎn)化為“是否可以用A的列向量組線性表示?表示方式是否唯一？”的問題.

向量組之間的線性表示問題與矩陣乘法有密切關(guān)系:乘積矩陣AB的每個(gè)列向量都可以表示為A的列向量組的線性組合,從而AB的列向量組可以用A的列向量組線性表示;反之,如果向量組1,2,?,t可以用1,2,?,s線性表示,則矩陣(1,2,?,t)等于矩陣(1,2,?,s)和一個(gè)st矩陣C的乘積.C可以這樣構(gòu)造:它的第i個(gè)列向量就是i對(duì)

1,2,?,s的分解系數(shù)(C不是唯一的).

向量組的線性表示關(guān)系有傳遞性,即如果向量組1,2,?,t可以用1,2,?,s線性表示,而1,2,?,s可以用1,2,?,r線性表示,則1,2,?,t可以用1,2,?,r線性表示.

當(dāng)向量組1,2,?,s和1,2,?,t互相都可以表示時(shí)就說它們等價(jià)并記作1,2,?,s1,2,?,t.

等價(jià)關(guān)系也有傳遞性.

2.向量組的線性相關(guān)性

(1)定義(從三個(gè)方面看線性相關(guān)性)

線性相關(guān)性是描述向量組內(nèi)在關(guān)系的概念,它是討論向量組1,2,?,s中有沒有向量可以用其它的s-1個(gè)向量線性表示的問題.

定義設(shè)1,2,?,s是n維向量組,如果存在不全為0的一組數(shù)c1,c2,?,cs使得

c11+c22+?+css=0,則說1,2,?,s線性相關(guān)否則(即要使得c11+c22+?+css=0,必須c1,c2,?,cs全為0)就說它們線性無關(guān).

于是,1,2,?,s“線性相關(guān)還是無關(guān)”也就是向量方程x11+x22+?+xss=0“有沒有非零解”,也就是以(1,2,?,s)為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組有無非零解.

當(dāng)向量組中只有一個(gè)向量(s=1)時(shí),它相關(guān)(無關(guān))就是它是(不是)零向量.兩個(gè)向量的相關(guān)就是它們的對(duì)應(yīng)分量成比例.

(2)性質(zhì)

①當(dāng)向量的個(gè)數(shù)s大于維數(shù)n時(shí),1,2,?,s一定線性相關(guān).

20

如果向量的個(gè)數(shù)s等于維數(shù)n,則1,2,?,n線性相關(guān)|1,2,?,n|=0.②線性無關(guān)向量組的每個(gè)部分組都無關(guān)(從而每個(gè)向量都不是零向量).

③如果1,2,?,s線性無關(guān)而1,2,?,s,線性相關(guān),則可用1,2,?,s線性表示.

④如果可用1,2,?,s線性表示,則表示方式唯一1,2,?,s線性無關(guān).⑤如果1,2,?,t可以用1,2,?,s線性表示，并且t>s,則1,2,?,t線性相關(guān).推論如果兩個(gè)線性無關(guān)的向量組互相等價(jià),則它們包含的向量個(gè)數(shù)相等.

3.向量組的極大無關(guān)組和秩(1)定義

向量組的秩是刻畫向量組相關(guān)“程度”的一個(gè)數(shù)量概念.它表明向量組可以有多大(指包含向量的個(gè)數(shù))的線性無關(guān)的部分組.

定義設(shè)1,2,?,s是n維向量組,(I)是它的一個(gè)部分組.如果①(I)線性無關(guān).

②(I)再擴(kuò)大就線性相關(guān).

就稱(I)為1,2,?,s的一個(gè)極大無關(guān)組.

條件②可換為:任何I都可用(I)線性表示,也就是(I)與1,2,?,s等價(jià).

當(dāng)1,2,?,s不全為零向量時(shí),它就存在極大無關(guān)組,并且任意兩個(gè)極大無關(guān)組都等價(jià),從而包含的向量個(gè)數(shù)相等.

定義如果1,2,?,s不全為零向量,則把它的極大無關(guān)組中所包含向量的個(gè)數(shù)是一個(gè)正整數(shù)稱為1,2,?,s的秩,記作r(1,2,?,s).如果1,2,?,s全是零向量,則規(guī)定r(1,2,?,s)=0.

由定義得出:如果r(1,2,?,s)=k,則

i)1,2,?,s的一個(gè)部分組如果含有多于k個(gè)向量,則它一定的相關(guān).ii)1,2,?,s的每個(gè)含有k個(gè)向量的線性無關(guān)部分組一定是極大無關(guān)組.

(2)應(yīng)用

①1,2,?,s線性無關(guān)r(1,2,?,s)=s.

②可用1,2,?,s線性表示r(1,2,?,s,)=r(1,2,?,s).

(事實(shí)上若不可用1,2,?,s線性表示,則r(1,2,?,s,)=r(1,2,?,s)+1.)推論1:可用1,2,?,s唯一線性表示r(1,2,?,s,)=r(1,2,?,s)=s.推論2:如果r(1,2,?,s=維數(shù)n,則任何n維向量都可以用1,2,?,s線性表示.③1,2,?,t可以用1,2,?,s線性表示

r(1,2,?,s,1,2,?,t)=r(1,2,?,s).

推論:如果1,2,?,t可以用1,2,?,s線性表示,則r(1,2,?,t)r(1,2,,s).

④1,2,?,s和1,2,?,t等價(jià)

r(1,2,?,s)=r(1,2,?,s,1,2,?,t)=r(1,2,?,t).

極大無關(guān)組和秩的概念可以推廣到向量集合上(即包含的向量的個(gè)數(shù)不必有限),所有性質(zhì)仍然成立.

21

4.秩的計(jì)算,有相同線性關(guān)系的向量組

兩個(gè)向量個(gè)數(shù)相同的向量組1,2,?,s,和1,2,?,s稱為有相同線性關(guān)系,如果向量方程

x11+x22+?+xss=0和x11+x22+?+xss=0

同解,即齊次線性方程組(1,2,?,s)X=0和(1,2,?,s)X=0同解.

當(dāng)1,2,?,s和1,2,?,s有相同線性關(guān)系時(shí),(1)它們的對(duì)應(yīng)部分組有一致的線性相關(guān)性.(2)它們的極大無關(guān)組相對(duì)應(yīng),從而它們的秩相等.(3)它們有相同的內(nèi)在線性表示關(guān)系.

例如,當(dāng)A經(jīng)過初等行變換化為B時(shí),AX=0和BX=0同解,從而A的列向量組和B的列向量組有相同線性關(guān)系.于是它們的極大無關(guān)組相對(duì)應(yīng),秩相等.

這樣,就產(chǎn)生了計(jì)算一個(gè)向量組1,2,?,s的秩和極大無關(guān)組的方法:把此向量組作為列向量組構(gòu)造矩陣(1,2,?,s),用初等行變換把它化為階梯形矩陣B,則B的非零行數(shù)就是1,2,?,s的秩,B的各臺(tái)角所在列號(hào)對(duì)應(yīng)的部分組是1,2,?,s的的一個(gè)極大無關(guān)組.

如果A經(jīng)過初等列變換化為B，則A的列向量組和B的列向量組是等價(jià)關(guān)系，雖然秩相等,但是極大無關(guān)組并沒有對(duì)應(yīng)關(guān)系.

5.矩陣的秩(1)定義

一個(gè)矩陣A的行向量組的秩和列向量組的秩相等,稱此數(shù)為矩陣A的秩,記作r(A).于是

r(A)=0A=0.

如果A是mn矩陣,則r(A)Min{m,n}.

當(dāng)r(A)=m時(shí),稱A為行滿秩的;當(dāng)r(A)=n時(shí),稱A為列滿秩的.

對(duì)于n階矩陣A,則行滿秩和列滿秩是一樣的,此時(shí)就稱A滿秩.于是:

n階矩陣A滿秩r(A)=n(即A的行(列)向量組無關(guān))|A|0A可逆.矩陣的秩還可以用它的非0子式來看.

A的r階子式:任取A的r行和r列,在它們的交叉位置上的元素所構(gòu)成的行列式,如果它的值不為0,就稱為非0子式.

命題r(A)就是A的非0子式的階數(shù)的最大值.(即A的每個(gè)階數(shù)大于r(A)的子式的值都為0,但是A有階數(shù)等于r(A)的非0子式.)

(2)計(jì)算

命題①初等變換保持矩陣的秩.

②階梯形矩陣的秩等于它的非零行的個(gè)數(shù).

矩陣秩的計(jì)算:用初等變換將其化為階梯形矩陣,則此階梯形矩陣的非零行數(shù)就是原矩陣的秩.

(3)在矩陣運(yùn)算中,矩陣的秩有性質(zhì)①r(AT)=r(A).

②如果c不為0,則r(cA)=r(A).③r(AB)r(A)+r(B).

22

④r(AB)Min{r(A),r(B)}.

⑤當(dāng)A(或B)可逆時(shí),r(AB)=r(B)(或r(A)).

⑥如果AB=0,n為A的列數(shù)(B的行數(shù)),則r(A)+r(B)n.⑦如果A列滿秩(r(A)等于列數(shù)),則r(AB)=r(B).⑧一般公式:r(A)+r(B)n+r(AB).

下面給出⑤和⑦在判別向量組的線性相關(guān)性和秩的計(jì)算問題上的應(yīng)用.

設(shè)向量組1,2,,s線性無關(guān),向量組1,2,,t可用1,2,,m線性表示,表示矩陣為C,則

i)r(1,2,,t)=r(C).

ii)如果t=s(此時(shí)C是t階矩陣),則1,2,,s線性無關(guān)C可逆.

(令A(yù)=(1,2,,s),B=(1,2,,t),則B=AC,并且r(A)=列數(shù)s,用⑦得到r(1,2,,s)=r(C).t=s時(shí),C可逆r(1,2,,s)=r(C)=s1,2,,s線性無關(guān).或直接用⑤證明ii):C可逆時(shí)r(B)=r(A)=s,從而1,2,,s線性無關(guān).如果C不可逆,則r(1,2,,s)r(C)<s,從而1,2,,s線性相關(guān).)

6.矩陣的等價(jià)兩個(gè)矩陣如果可以用初等變換互相轉(zhuǎn)化,就稱它們等價(jià).矩陣的等價(jià)的充分必要條件為它們類型相同,秩相等.

二.典型例題

1.向量組秩的計(jì)算和應(yīng)用

例1a,b,c滿足什么條件時(shí)向量組1=(a,0,c),2=(b,c,0),3=(0,a,b)線性無關(guān)？(02)

例2已知(2,1,1,1),(2,1,a,a),(3,2,1,a),(4,3,2,1)線性相關(guān),并且a1,求a.(05)

例3設(shè)1=(1+a,1,1)，2=(1,1+b,1)，3=(1,1,1-b)，問a,b滿足什么條件時(shí)r(1,2,3)=2?

例4設(shè)1=(1+λ，1，1)，2=(1，1+λ，1)，3=(1，1，1+λ)，=(0，λ,λ2)．①λ為何值時(shí)，可用1，2，3線性表示，并且表示方式唯一？②λ為何值時(shí)，可用1，2，3線性表示，并且表示方式不唯一？③λ為何值時(shí)，不可用1，2，3線性表示？

例5設(shè)1=(1,0,1,1),2=(2,-1,0,1),3=(-1,2,2,0),1=(0,1,0,1),2=(1,1,1,1).問:c1,c2滿足什么條件時(shí)c11+c22可以用1,2,3線性表示?

例6設(shè)1=(1,2,0,1),2=(1,1,-1,0),3=(0,1,a,1),1=(1,0,1,0),2=(0,1,0,2).a和k取什么值時(shí),1+k2可用1,2,3線性表示?寫出表示式.

例7設(shè)1=(1,2,-3)，2=(3,0,1)，3=(9,6,-7)，1=(0,1,-1)，2=(a,2,1)，3=(b，1，0)．已知r(1,2,3)=r(1,2,3),并且3可用1,2,3線性表示，求a,b.(00二)例8求常數(shù)a,使得向量組1=(1,1,a),2=(1,a,1),3=(a,1,1)可由向量組1=(1,1,a),2=(-2,a,4),3=(-2,a,a)線性表示,但是1,2,3不可用1,2,3線性表示.(2005年數(shù)學(xué)二)

23

例9給定向量組(Ⅰ)1=(1,0,2)，2=(1,1,3)，3=(1,-1,a+2)和(Ⅱ)1=(1,2,a+3)，2=(2,1,a+6)，3=(2,1,a+4)．當(dāng)a為何值時(shí)(Ⅰ)和(Ⅱ)等價(jià)?a為何值時(shí)(Ⅰ)和(Ⅱ)不等價(jià)?(03四)

例10設(shè)1=(1,-1,2,4),2=(0,3,1,2),3=(3,0,7,14),4=(1,-2,2,0),5=(2,1,5,10).它們的下列部分組中,是極大無關(guān)組的有哪幾個(gè)?

(1)1,2,3.(2)1,2,4.(3)1,2,5.(4)1,3,4.

2.向量組秩的性質(zhì)的應(yīng)用

例11已知1,2,3線性相關(guān),而2,3,4線性無關(guān),則1,2,3,4中,能用另外3個(gè)向量線性表示,而不能用另外3個(gè)向量線性表示.

例12已知r(1,2,3)=r(1,2,3,4)=3,r(1,2,3,4,5)=4，求r(1,2,3,4-5)．(95三)

例13已知可用1,2,…,s線性表示，但不可用1,2,…,s-1線性表示．證明⑴s不可用1,2,…,s-1線性表示；⑵s可用1,2,…,s-1,線性表示．

例141,2,3,線性無關(guān),而1,2,3,線性相關(guān),則A)1,2,3,c+線性相關(guān).(B)1,2,3,c+線性無關(guān).(C)1,2,3,+c線性相關(guān).(D1,2,3,+c線性無關(guān).

例15已知n維向量組1,2,…,s線性無關(guān),則n維向量組1,2,…,s也線性無關(guān)的充分必要條件為

A)1,2,…,s可用1,2,…,s線性表示.(B)1,2,…,s可用1,2,…,s線性表示.

(C)1,2,…,s與1,2,…,s等價(jià).

(D矩陣1,2,…,s)和(1,2,…,s等價(jià).

3.矩陣的秩例16n階矩陣

??a

A?┆┆┆┆?的秩為n-1,求a.(98三)

例設(shè)

24

A=bab,已知r(A)+r(A*)=3,求a,b應(yīng)該滿足的關(guān)系.(03三)bba

例18設(shè)AB求r(BA+2A).

例193階矩陣A，B0

例20設(shè)1，2，3線性無關(guān)，則()線性無關(guān)：

⑴1+2，2+3，3-1；

⑵1+2，2+3，1+22+3；

⑶1+22，22+33，33+1；

⑷1+2+3，21-32+223，31+52-53．(97三)

例21設(shè)1，2，3線性無關(guān)，則()線性相關(guān)：

⑴1+2，2+23，3+41；

⑵1-2，2-23，3-41；

⑶1+(1/2)2，2+3，33+21；

⑷1-(1/2)2，2-3，3-21．

例22設(shè)A是mn矩陣,B是nm矩陣,則()

(A)當(dāng)mn時(shí),AB0.(B)當(dāng)mn時(shí),AB.

(C)當(dāng)nm時(shí),AB|0.(D)當(dāng)nm時(shí),AB.(99)

例23AB=0,A,B是兩個(gè)非零矩陣,則

(A)A的列向量組線性相關(guān).B的行向量組線性相關(guān).

(B)A的列向量組線性相關(guān).B的列向量組線性相關(guān).

(C)A的行向量組線性相關(guān).B的行向量組線性相關(guān).

(D)A的行向量組線性相關(guān).B的列向量組線性相關(guān).(04)

4.證明題

例24設(shè)1,2,?,s是n維向量組.證明r(1,2,?,s)=n的充分必要條件為:任何n維向量都可用1,2,?,s線性表示.

例25設(shè)A是mn矩陣，證明r(A)=1存在m維非零列向量=(a1,a2,?，am)和n維非零列向量=(b1,b2,?,bn)T，使得A=T.

例26設(shè)n階矩陣A的秩為1，證明A2=tr(A)A.

T，已知r(AB)小于r(A)和r(B),求a,b和AB).

25

例27設(shè)A*為n階矩陣A的伴隨矩陣,則若r(A)=n,

r(A*若r(A)=n-1,

0,若r(A)<n-1.

例28設(shè)A為n階矩陣,為n維列向量.正整數(shù)k使得A=0,但是A0,證明,A,?,Ak-1線性無關(guān).

例29證明r(1,2,…,s,1,2,…,t)r(1,2,…,s)+r(1,2,…,t).kk-1

例30證明r(A+B)r(A)+r(B).

例31證明矩陣方程AX=B有解r(A|B)=r(A).

參考答案

例1abc0.

例21/2.

例3a=-1或b=0并且a0.

例4(1)λ0和-3.(2)λ=0.(3)λ=-3.

例52c1+c2=0.

例6k=-1,a1.

例7a=15,b=5.

例81.

例9a-1時(shí)等價(jià),a=-1時(shí)不等價(jià).

例10(2)和(4).

例111能,4不能.

例124.

例14(D).

例15(D).

例16a=1/(1-n).

例17a=-2b0.

例182.

例19a=1,b=2,r(AB)=1.

例20(C).

例21(D).

例22(B).

例23(A).

26

第五講線性方程組

一.概念復(fù)習(xí)

1.線性方程組的形式

線性方程組除了通常的寫法外,還常用兩種簡(jiǎn)化形式：

矩陣式AX=，(齊次方程組AX=0).

向量式x11+x22+?+xss=，(齊次方程組x11+x22+?+xss=0).

2.線性方程組解的性質(zhì)(1)齊次方程組AX=0

如果1,2,?,s是齊次方程組AX=0的一組解,則它們的任何線性組合c11+c22++css也都是解.

(2)非齊次方程組AX=

如果1,2,?,s是AX=的一組解,則

①它們的線性組合c11+c22+?+css也是AX=解的c1+c2+?+cs=1.

②它們的線性組合c11+c22+?+css是AX=的解c1+c2+?+cs=0.

如果0是AX=的一個(gè)解,則n維向量(n是未知數(shù)的個(gè)數(shù))也是解-0是導(dǎo)出齊次方程組AX=的解.(也就是說,是0與導(dǎo)出組AX=的一個(gè)解的和.)

3.線性方程組解的情況的判別

對(duì)于方程組AX=,判別其解的情況用三個(gè)數(shù):未知數(shù)的個(gè)數(shù)n,r(A),r(A|).①無解r(A)<r(A|).

②有唯一解r(A)=r(A|)=n.

(當(dāng)A是方陣時(shí),就推出克萊姆法則.)

③有無窮多解r(A)=r(A|)<n.

方程的個(gè)數(shù)m雖然在判別公式中沒有出現(xiàn),但它是r(A)和r(A|)的上界,因此

當(dāng)r(A)=m時(shí),AX=一定有解.當(dāng)m<n時(shí),一定不是唯一解.

對(duì)于齊次方程組AX=0,判別解的情況用兩個(gè)數(shù):n,r(A).有非零解r(A)=<n(即:只有零解r(A)=n).

推論1當(dāng)A列滿秩時(shí),A在矩陣乘法中有左消去律:

AB=0B=0；AB=ACB=C.

證明設(shè)B=(1,2,?,t),則AB=Ai=0,i=1,2,?,s.1,2,?,t都是AX=0的解.而A列滿秩,AX=0只有零解,i=0,i=1,2,?,s,即B=0.

推論2如果A列滿秩,則r(AB)=r(B).

證明只用證明齊次方程組ABX=0和BX=0同解.(此時(shí)矩陣AB和B的列向量組有相同的線性關(guān)系,從而秩相等.)

是ABX=的解AB=B=0(用推論)是BX=的解.于是ABX=0和BX=0確實(shí)同解.

27

4.齊次方程組的基礎(chǔ)解系線性方程組的通解

(1)齊次方程組的基礎(chǔ)解系

如果齊次方程組AX=有非零解,則它的解集(全部解的集合)是無窮集,稱解集的每個(gè)極大無關(guān)組為AX=的基礎(chǔ)解系.

于是,當(dāng)1,2,?,s是AX=的基礎(chǔ)解系時(shí):

向量是AX=的解可用1,2,?,s線性表示.

定理設(shè)AX=有n個(gè)未知數(shù),則它的基礎(chǔ)解系中包含解的個(gè)數(shù)(即解集的秩)=n-r(A).

于是,判別一組向量1,2,?,s是AX=的基礎(chǔ)解系的條件為

①1,2,?,s是AX=的一組解.

②1,2,?,s線性無關(guān).

③s=n-r(A).

推論如果AB=0,n為A的列數(shù)(B的行數(shù)),則r(A)+r(B)n.

證記B=(1,2,,s),則Ai=0,i=1,2,,s,即每個(gè)i都是齊次方程組AX=的解,從

而r(B)=r(1,2,,s)n-r(A),即r(A)+r(B)n.

(2)線性方程組的通解

如果1,2,?,s是齊次方程組AX=的基礎(chǔ)解系,則AX=的通解(一般解)為

c11+c22+?+css,其中c1c2?,cs可取任何常數(shù).

如果0是非齊次方程組AX=的解,1,2,?,s是導(dǎo)出組AX=的基礎(chǔ)解系,則AX=的通

解(一般解)為

0+c11+c22+?+css,其中c1c2,?,cs可取任何常數(shù).

二.典型例題

例13x1+2x2-2x3+x4=0，

6x1+4x2+5x3+2x4+3x5=0，求此齊次方程組的基礎(chǔ)解系和通解.

1+6x2+3x4+2x5=0，

例2討論p,t的取值對(duì)下面方程組解的影響,并在有無窮多解時(shí)求通解.(96四)x1+x2-2x3+3x4=0，

2x1+x2-6x3+4x4=-1，

3x1+2x2+px3+7x4=-1，

x1-x2-6x3-x4=t．

例3齊次方程組AX=0的系數(shù)矩陣為

????2

A??????

??a為什么數(shù)時(shí)AX=0有非零解?求通解.(04一)

28

例4線性方程組的增廣矩陣為(A|又已知(1,-1,1,-1)T是它的一個(gè)解.

(1)用導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示通解.

(2)寫出滿足x2=x3的全部解.(04四)

例5設(shè)線性方程組為

1+a1x2+a12x3=a13,

x1+a2x2+a2x3=a2,

x1+a3x2+a3x3=a3,

x1+a4x2+a4x3=a4.

(1)證明當(dāng)a1,a2,a3,a4兩兩不相等時(shí),方程組無解.

(2)設(shè)a1=a3=-a2=-a4=k,并且(-1,1,1)T和(1,1,-1)T都是解,求此方程組的通解.(94三)

例6已知1(0,1,0)和2=(-3,2,2)都是方程組

x1-x2+2x3=-1,

1+x2+4x3=1,

ax1+bx2+cx3=d

的解,求通解.

例7已知1(1,1,-1,-1)T和2(1,0,-1,0)T是線性方程組

1+x2-x3+x4=2，

x2+px3+qx4=s,

1+tx2-x3+tx4=r

的解,η=(2,-2,1,1)T是它的導(dǎo)出組的解,求方程組的通解.

例8設(shè)矩陣=(,,3,4),其中,3,4線性無關(guān),=2-3.又設(shè)=1+2+3+,求AX=的通解.(02一，二)

例91,2,3都是X=的解,其中=(1,2,3,4),0,1,2,3r()=3.求通解.(00三)

例10已知3階矩陣A的第一行為(a,b,c),a,b,c不全為0,矩陣B并且AB=0,求齊次線性方程組AX=0的通解.(2005年數(shù)學(xué)一,二)

例11設(shè)A是m×n矩陣，r(A)=r．則方程組AX=

(A)在r=m時(shí)有解.

(B)在m=n時(shí)有唯一解.

(C)在r<n時(shí)有無窮多解.

(D)在r=n時(shí)有唯一解.(97四)TT232323

29

例12設(shè)1，2是非齊次方程組AX=的兩個(gè)不同的解,,2為它的導(dǎo)出組AX=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則它的通解為

(A)k11k2212/2.(B)k11k21212/2.

(C)k11k21212/2.(D)k11k21212/2.

例13當(dāng)A=()時(shí)，(0，1，-1)和(1，0，2)構(gòu)成齊次方程組AX=0的基礎(chǔ)解系．，1，1–0．(92一)1

例141+x3=0，

2x2+x4=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系為

(A)(0,-1,0,2)T.(B)(0,-1,0,2)T,(0,1/2,0,1)T.(C)(1,0,-1,0)T,(-2,0,2,0)T.(D)(0,-1,0,2)T,(1,0,-1,0)T.

例15已知(1,a,2)T,(-1,4,b)T構(gòu)成次線性方程組1+x2-2x3=0,1-tx2-2x3=0

的一個(gè)基礎(chǔ)解系,求a,b,s,t.

例16線性方程組1+x2+x3-x4=1,1+x2+x3-2x4=0

的通解可以表示為

(A)(1,-1,0,0)T+c(0,1,-1,0)T,c任意.

(B)(0,1,1,1)T+c1(0,-2,2,0)T+c2(0,1,-1,0)T,c1,c2任意.

TTT

(C)(1,-2,1,0)+c1(-1,2,1,1)+c2(0,1,-1,0),c1,c2任意.(D)(1,-1,0,0)T+c1(1,-2,1,0)T+c2(0,1,-1,0)T,c1,c2任意.

例17設(shè)(Ⅰ)和(Ⅱ)是兩個(gè)四元齊次線性方程組,(Ⅰ)的系數(shù)矩陣為，

(Ⅱ)的一個(gè)基礎(chǔ)解系為(2,-1,a+2,1)T,(-1,2,4,a+8)T.已知(Ⅰ)和(Ⅱ)有公共非零解,求a,并求出它們的全部公共解.(02四)

例18設(shè)(Ⅰ)和(Ⅱ)是兩個(gè)四元齊次線性方程組,(Ⅰ)為x1+x2=0，

x3-x4=0，(Ⅱ)有一個(gè)基礎(chǔ)解系(0,1,1,0),(-1,2,2,1)．求(Ⅰ)和(Ⅱ)的全部公共解．

例19設(shè)(Ⅰ)和(Ⅱ)是兩個(gè)四元齊次線性方程組,(Ⅲ)是將它們合并而得到的方程組.已知(1,0,1,1)T,(-1,0,1,0)T,(0,1,1,0)T是(Ⅰ)的一個(gè)基礎(chǔ)解系,(0,1,0,1)T,(1,1,-1,0)T是(Ⅱ)的一個(gè)基礎(chǔ)解系．求(Ⅲ)的通解．

T

T

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例20設(shè)(Ⅰ)和(Ⅱ)都是3元非齊次線性方程組,(Ⅰ)有通解1+c11+c22,其中1=(1,0,1),1=(1,1,0),2=(1,2,1)；(Ⅱ)有通解2+c,2=(0,1,2),=(1,1,2).求(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共解.

例21設(shè)方程組11x1+a12x2+?+a16x6=0,a21x1+a22x2+…+a26x6=0,a31x1+a32x2+…+a36x6=0

有基礎(chǔ)解系(bi1，bi2，?，bi6)，i=1,2,3,求方程組11y1+b12y2+…+b16y6=0,b21y1+b22y2+…+b26y6