復(fù)習(xí)課中例題教學(xué)需要注意的幾個問題

復(fù)習(xí)課中例題教學(xué)需要注意的幾個問題

對數(shù)學(xué)學(xué)科來講，復(fù)習(xí)課顯得尤其重要，因?yàn)樗灤┲麄€數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，許多教學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)以及學(xué)生不太明白的知識點(diǎn)、易錯點(diǎn)等都需要通過復(fù)習(xí)課來強(qiáng)調(diào)、落實(shí)、理解和糾正，題型和解法的熟練也需要通過復(fù)習(xí)課來實(shí)現(xiàn)。所有這些的落腳點(diǎn)，都是復(fù)習(xí)課中的例題，因此，例題教學(xué)的成功與否直接關(guān)系著復(fù)習(xí)課的成敗。鑒于此，筆者在文[1]中指出了復(fù)習(xí)課中例題選擇的三個原則，在文[2]中就一堂數(shù)列復(fù)習(xí)課中例題的選擇談了自己設(shè)計(jì)的思想，這兩篇文章都是筆者對復(fù)習(xí)課中例題教學(xué)的正面思考，本文以筆者9年多來的教學(xué)經(jīng)歷和聽課實(shí)踐，想從反面繼續(xù)反思復(fù)習(xí)課中例題教學(xué)需要注意的幾個問題，請各位專家和同行不吝指教！一、復(fù)習(xí)課中的例題應(yīng)力求“舊貌換新顏”，雖常例但常新在每章每節(jié)中，每一位教師總有那么幾道認(rèn)為典型的好例題“珍藏”著，這些例題將是復(fù)習(xí)中的常客，在章節(jié)復(fù)習(xí)、期中期末復(fù)習(xí)、會考復(fù)習(xí)和高考復(fù)習(xí)中都會出現(xiàn)，造成學(xué)生不滿，“怎么又是這道題？”當(dāng)面對學(xué)生的質(zhì)疑時，教師通常會反駁為“這道題是十分典型的題，關(guān)聯(lián)的知識和方法非常重要，因?yàn)槟銈兂Ｗ龀ｅe，所以我們要常做”。其實(shí)，對于好題每一位教師都會愛不釋手，很正常，但經(jīng)常不經(jīng)任何改變的重復(fù)使用，很容易造成學(xué)生視覺疲勞，給學(xué)生心理造成不良影響，從而嚴(yán)重影響教學(xué)效果。實(shí)際上，教師只需小小改變就能解決這對矛盾，取得非常好的教學(xué)效果，那就是對例題進(jìn)行“舊貌換新顏”，雖常例但常新。案例1在兩角和差的三角函數(shù)公式中，通過角度的和、差變換求角或三角函數(shù)值是該部分內(nèi)容的一種典型考題，在復(fù)習(xí)該內(nèi)容時教師經(jīng)常會以下題為例子。因?yàn)樵摾邮堑湫偷拇?，所以?jīng)常未經(jīng)改變地出現(xiàn)在以后的該章節(jié)內(nèi)容的各種復(fù)習(xí)中，從而導(dǎo)致學(xué)生視覺疲勞，沒有得到該有的教學(xué)效果。但如果我們對該例進(jìn)行簡單的“包裝”，使它“舊貌換新顏”，那么就能取得預(yù)想的教學(xué)效果。例如在后續(xù)復(fù)習(xí)中可以任選下列之一：只有通過這樣的例題教學(xué)才能使學(xué)生在復(fù)習(xí)中真正得到數(shù)學(xué)解題能力的提高和各個知識點(diǎn)的有效交匯，從而完成知識的建構(gòu)和網(wǎng)絡(luò)化。這應(yīng)該也是復(fù)習(xí)課與新授課的基本差異之一。三、復(fù)習(xí)課的例題也要注意回歸教材教材中的例題等課程資源通常只被教師使用在新授課中，在復(fù)習(xí)課中鮮有其身影，其實(shí)這也是我們復(fù)習(xí)課中要注意的問題：例題也可以回歸教材。下面舉兩個筆者親身實(shí)踐并取得非常好教學(xué)效果的案例來說明。案例3在教材的例題中，許多例題具有一定的共性，這些例題可能具有相同或相似的已知條件，可能具有相同的問題載體或背景，可能與某些相同的知識點(diǎn)有關(guān)聯(lián)或具有交匯性，可能所求結(jié)果是相似的，可能這些例題可以通過類比思維共同學(xué)習(xí)，等等，總之，我們可以根據(jù)其中的某一點(diǎn)共性來設(shè)計(jì)開放性問題。例如人教A版必修2第3.1節(jié)例1、例6，第3.2節(jié)例4，第3.3節(jié)例6，第4.1節(jié)例2、例4等具有共性：已知條件都是“已知三角形的三點(diǎn)坐標(biāo)”的問題，筆者根據(jù)這一點(diǎn)設(shè)計(jì)了這樣一道開放性例題：已知三角形的三個頂點(diǎn)A(-5,0)，B(3,-3)，C(0,2)，請自擬結(jié)論，使該題成為有意義的問題，并解答該問題。學(xué)生提出來的問題有：(1)求AB（或BC、AC）的斜率（或傾斜角）。(2)求AB（或BC、AC）的距離。(3)求直線AB（或BC、AC）的直線方程。(4)求點(diǎn)A到直線BC的距離（或點(diǎn)B到直線AC，點(diǎn)C到直線AB的距離）。(5)求AB邊（或BC、AC）上中線所在直線的方程。(6)求平行于AB邊（或BC、AC）的中位線所在直線的方程。(7)求AB邊（或BC、AC）中垂線所在直線的方程。(8)求AB邊（或BC、AC）上高線所在直線的方程。(9)判斷△ABC的形狀。(10)求△ABC的面積。(11)求△ABC的外接圓方程。(12)求一點(diǎn)P(x,y)，使四邊形ABCP為平行四邊形。(13)求AB關(guān)于點(diǎn)C對稱（或AC關(guān)于點(diǎn)B對稱，BC關(guān)于點(diǎn)A對稱）的直線方程。(14)求以C為圓心，與直線AB相切的圓（或以B為圓心，與直線AC相切；以A為圓心，與直線BC相切）方程。這些問題基本包括了直線部分的所有知識點(diǎn)，例如斜率、傾斜角、兩點(diǎn)的距離、點(diǎn)到直線的距離、直線的方程、兩直線平行與垂直、直線與圓相切；另有一些問題是從幾何圖形的角度提出的，即三角形的中線、中位線、中垂線、高線、外接圓等。從課后的言談中，筆者了解到，學(xué)生對開放性例題的教學(xué)基本是持歡迎態(tài)度的，因?yàn)槟艹浞终{(diào)動他們的思維，并且每一位學(xué)生基本都能提出一些問題，使他們每個人都有成就感。通過研究教材例題的共性，編撰開放性例題開展教學(xué)，在復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)知識的同時培養(yǎng)了學(xué)生提出問題與發(fā)散性思維的能力。案例4[3]教材中的許多“探究”欄目都有繼續(xù)探究下去的余地，我們可以將這些“探究”進(jìn)行到底。例如人教A版選修1-1第3.2.1節(jié)《幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)》中的第二個“探究”：畫出函數(shù)的圖象。根據(jù)圖象，描述它的變化情況，并求出曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線方程。解決探究問題后可讓學(xué)生繼續(xù)下面的4個探究：探究1上述切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積是多少？探究2函數(shù)在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積又是多少？探究3你能根據(jù)探究1和探究2發(fā)現(xiàn)函數(shù)的什么性質(zhì)？一般地，函數(shù)也具有類似性質(zhì)嗎？為什么？探究4你能根據(jù)探究3的解答過程，解決下面的兩個問題嗎？問題1（2008年寧夏高考文科21）設(shè)函數(shù)，曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程為7x-4y-12=0。(Ⅰ)求f(x)的解析式；(Ⅱ)證明：曲線y=f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x=0和直線y=x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值。問題2（2008年寧夏高考理科21）設(shè)函數(shù)，曲線y=f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程為y=3。(Ⅰ)求f(x)的解析式；(Ⅱ)證明：函數(shù)y=f(x)的圖象是一個中心對稱圖形，并求其對稱中心；(Ⅲ)證明：曲線y=f(x)上任一點(diǎn)的切線與直線x=1和直線y=x所圍三角形的面積為定值，并求出此定值。我們知道，反比例函數(shù)的圖象和2008年寧夏高考文理21題中的函數(shù)圖象其實(shí)都是雙曲線，兩條坐標(biāo)軸和相應(yīng)的兩條直線其實(shí)是其相應(yīng)的漸近線，那么，在一般的雙曲線問題中是否有類似的結(jié)論呢？于是我們又可以有——探究5在雙曲線(a,b＞0)圖象上一點(diǎn)處的切線與雙曲線的兩漸近線圍成的三角形面積為定值ab。通過以上五個探究，將“探究”進(jìn)行到底，聯(lián)系了第二章的知識，充分發(fā)揮了教材中這個探究欄目的作用。從案例3和案例4可以看出，在復(fù)習(xí)課中采用教材例題來教學(xué)是完全行得通的，并且這也是復(fù)習(xí)回歸教材的具體示范，比空洞的要求學(xué)生復(fù)習(xí)時回歸教材的說教來的有意義，當(dāng)然這也是對課程標(biāo)準(zhǔn)要求教師“能立足教材，并以教材為起點(diǎn)，更好地開發(fā)教材的最大功能，創(chuàng)造性地開展教學(xué)”，“教師不僅是課程的實(shí)施者，而且也是課程的研究、建設(shè)和資源開發(fā)的重要力量”的具體支持與實(shí)踐。四、復(fù)習(xí)課中的例題要注意落實(shí)教學(xué)有效性教學(xué)有效性是課堂教學(xué)的生命力。復(fù)習(xí)課教學(xué)的有效性由例題的教學(xué)來落實(shí)，因此，例題的選擇直接關(guān)系到教學(xué)有效性的落實(shí)，不恰當(dāng)?shù)睦}無疑會極大地影響教學(xué)的有效性。案例5筆者曾多次在《直線與圓的位置關(guān)系》復(fù)習(xí)課聽課中看到授課教師選用例題：“已知圓C：，直線l：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R)，證明：無論m為何實(shí)數(shù)，l與圓C恒交于兩點(diǎn)?！眮韽?fù)習(xí)直線與圓位置關(guān)系判斷的方法，但因?yàn)楸绢}的代數(shù)法（聯(lián)立直線與圓方程，消y得到關(guān)于x的一元二次函數(shù)，考慮判別式△的符號）和幾何法（圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系）較難，所以教師要么不提直線與圓位置關(guān)系判斷的基本方法，要么蜻蜓點(diǎn)水式提一下基本方法，然后直接轉(zhuǎn)入通過證明直線過圓內(nèi)一點(diǎn)的方法講解；當(dāng)然也有教師讓學(xué)生先用基本方法解決的，但不僅耗時太多，而且也是與本課主旨不符的。眾所周知，直線與圓位置關(guān)系的基本方法應(yīng)是代數(shù)法與幾何法，如果教師在復(fù)習(xí)中不提這兩種方法肯定是嚴(yán)重偏離教學(xué)重點(diǎn)的，簡單提一下，也是一種“丟了西瓜撿了芝麻”的做法，而且，因?yàn)閷W(xué)生沒有親身的體驗(yàn)，所以他們是體會不到較難處理的“難”在何處的。其實(shí)，帶來教學(xué)無效問題的原因是教師選擇的例題！我們認(rèn)為對于上述例題“只需小小改變”就能達(dá)到教學(xué)的有效性！例如，在該復(fù)習(xí)課中，筆者是選用下面例題：“已知圓，直線l:mx-y+1-m=0(m∈R)，證明：無論m為何實(shí)數(shù)，l與圓C恒交于兩點(diǎn)。”開展教學(xué)的，該例無論用代數(shù)法還是幾何法都能解決，可以保證重點(diǎn)突出，同時也可用直線過圓內(nèi)一點(diǎn)的方法證明。由此可見，復(fù)習(xí)課的例題教師必須精挑細(xì)選，必須以保證教學(xué)有效性為前提。五、復(fù)習(xí)課中的例題要注意控制難度我們知道現(xiàn)在考試命題中的大部分題一般要求將整體難度控制在0.6～0.8，也就是要求絕大多數(shù)學(xué)生都能做。同樣，在復(fù)習(xí)課中我們也應(yīng)該控制好例題的難度，要使得絕大多數(shù)學(xué)生都能做，要讓絕大多數(shù)學(xué)生通過“跳”后都能“摘到桃子”，否則，會嚴(yán)重的傷害學(xué)生做題的積極性。案例6筆者曾聽過一位老師的三角函數(shù)單調(diào)性的復(fù)習(xí)課，該老師要求學(xué)生求解的第一道例題是：求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間（當(dāng)然該例還不是一道特別難的題）。該老師在絕大多數(shù)學(xué)生得到相同的錯誤答案后，再按錯因分析、正確解法來講解。課后在與該老師的交流中了解到，他希望通過學(xué)生的錯讓他們牢記錯因，從而避免再次出錯。其實(shí)，有經(jīng)驗(yàn)的教師都知道，學(xué)生該類題做錯是難免的，而且復(fù)習(xí)課采用“試誤策略”我們認(rèn)為要慎用！因?yàn)檫€要注意一個“先入為主”的原因。例如，有些學(xué)生平時做題和考試都能得到很好的分?jǐn)?shù)，但關(guān)鍵性的考試卻經(jīng)?？疾缓?，家長、老師在考試前通常會強(qiáng)調(diào)來強(qiáng)調(diào)去要注意什么，但學(xué)生偏偏就是老樣子，其實(shí)家長、老師的強(qiáng)調(diào)反而正好加深了學(xué)生對“害怕的事”的印象。我們的例題教學(xué)不是去為難學(xué)生，而是通過例題教學(xué)幫學(xué)生鞏固知識和解題的方法，而且更應(yīng)該激發(fā)他們做題的興趣。在課堂上，如果學(xué)生做一題對一題，則他們肯定會積極的做題，否則，長此以往，他們一定會失去做題的興趣，最后懶得動筆。因此，我們認(rèn)為